2027届新高三数学热点突破复习 空间点、线、面的位置关系

2027届新高三数学热点突破复习空间点、线、面的位置关系五年高考考点空间点、线、面的位置关系1.★★(2025天津,4,5分)已知m是一条直线,α,β是两个平面.下列命题正确的是

()A.若m∥α,m∥β,则α∥βB.若m⊥α,m⊥β,则α⊥βC.若m∥α,m⊥β,则α⊥βD.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β

C

解析对于A,如图1,α与β不平行,故A错误;

对于B,如图2,α∥β,故B错误;对于C,如图3,若m∥α,则存在直线n⊂α使得m∥n,又因为m⊥β,则n⊥β,根据面面垂直的

判定定理,可知α⊥β,故C正确;

对于D,如图4,m与α和β的交线不垂直时,m不垂直于β,故D错误.2.★★(2021全国乙理,5,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与

AD1所成的角为

()A.

B.

C.

D.

D

解析如图所示,连接BC1,C1P,

易知四边形ABC1D1是平行四边形,∴BC1∥AD1,∴∠C1BP(或其补角)就是异面直线AD1与PB所成的角,【利用图中已有的平行线找

角】设正方体的棱长为a,则BC1=

a,C1P=

a,PB=

=

a.在△C1BP中,cos∠PBC1=

=

,【解三角形,利用余弦定理的推论求解】∴∠PBC1=

,即直线PB与AD1所成的角为

.故选D.3.★★(2024天津,6,5分)已知m,n是两条直线,α是一个平面,下列命题正确的是

()A.若m∥α,m⊥n,则n⊥αB.若m⊥α,m⊥n,则n⊥αC.若m∥α,n⊥α,则m⊥nD.若m⊥α,n⊥α,则m⊥n

C

解析对于A,若m∥α,m⊥n,则n⊂α或n与α相交或n∥α,A不正确;对于B,若m⊥α,m⊥n,则n⊂α或n∥α,B不正确;对于C,过m作平面β使α∩β=l,则m∥l,由n⊥α得n⊥l,所以m⊥n,C正确;对于D,若m⊥α,n⊥α,则m∥n,D不正确,故选C.4.★★(2021浙江,6,4分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则

()

A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD

A

D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1

解析连接AD1,在正方形ADD1A1中,由M为A1D的中点,可知AD1∩A1D=M,且M为AD1的

中点,AD1⊥A1D.又∵N为D1B的中点,∴MN∥AB.∵AB⊂平面ABCD,MN⊄平面ABCD,∴MN∥平面

ABCD.∵AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,∵AB∩AD1=A,AB,AD1⊂平

面ABD1,∴A1D⊥平面ABD1,又D1B⊂平面ABD1,∴A1D⊥D1B.故选A.5.★★★(2022全国乙,文9,理7,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中

点,则

()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D

A

解析对于A选项,如图所示,

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,EF∥AC,∴EF⊥BD,又D1D⊥平面ABCD,EF⊂平

面ABCD,∴D1D⊥EF,又D1D∩BD=D,DD1,BD⊂平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1,又EF⊂平

面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1,故A选项正确.对于B选项,易得AC1⊥平面A1BD,且AC1与平面B1EF相交,故平面B1EF⊥平面A1BD不成

立,故B选项错误;对于C选项,直线AA1与B1E必相交,且AA1⊂平面A1AC,B1E⊂平面B1EF,故平面B1EF与平

面A1AC有公共点,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故C选项错误;对于D选项,连接AB1,B1C(图略),易知A1D∥B1C,A1C1∥AC,由线面平行的判定定理得A1D

∥平面AB1C,A1C1∥平面AB1C,又A1D∩A1C1=A1,A1D,A1C1⊂平面A1C1D,∴平面A1C1D∥平

面AB1C,又∵点B1既在平面B1EF内,又在平面AB1C内,∴平面A1C1D与平面B1EF不平行,

故D选项错误,故选A.6.★★★(2024全国甲理,10,5分)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个

命题:①若m∥n,则n∥α或n∥β②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,则m∥n④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n其中所有真命题的编号是

()A.①③

B.②④

C.①②③

D.①③④

A

解析命题①,由m∥n,m⊂α,得n⊂α或n∥α,若n⊂α,m∥n,m⊂β,则n∥β,命题①正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图1所示,

取平面ADD1A1为平面α,平面A1B1C1D1为平面β,则A1D1为直线m,若n是C1D,则m⊥n,但n不垂直于α且n不垂直于β,命题②错误;若n是AC1,则n与平面α、β所成角相等,但m不垂直于n,命题④错误;命题③,如图2,过n作平面γ交α于直线a,作平面δ交平面β于直线b,由n∥α,n⊂γ,α∩γ=a得

n∥a,同理可得n∥b.则a∥b,由a∥b,a⊂α,b⊄α得b∥α,又α∩β=m,b⊂β,所以b∥m,所以m∥n,命题③正确,故选A.7.★★(多选)(2025全国一卷,9,6分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则

(

)A.AD⊥A1C

B.B1C1⊥平面AA1DC.AD∥A1B1

D.CC1∥平面AA1D

BD解析对于A,由正三棱柱的性质可知,AD与A1C是异面直线且不垂直,故A错误;对于B,因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所

以AA1⊥BC,又AD⊥BC,AD∩AA1=A,AD,AA1⊂平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,又BC∥B1C1,所以B1C1⊥平面AA1D,故B正确;

对于C,因为AB∥A1B1,AD与AB相交,所以AD与A1B1不平行,故C错误;对于D,由正三棱柱的性质可知,CC1∥AA1,又CC1⊄平面AA1D,AA1⊂平面AA1D,所以CC1

∥平面AA1D,故D正确.故选BD.8.★★★(多选)(2021新高考Ⅱ,10,5分)如图,下列各正方体中,O为下底面的中心,M,N为

正方体的顶点,P为所在棱的中点,则满足MN⊥OP的是

(

)

BC

解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1.

对于A,M(1,0,1),N(0,1,1),O

,P

,则

=(-1,1,0),

=

,

·

=

+

=1≠0,故A不合题意;对于B,M(0,0,1),N(1,0,0),O

,P

,则

=(1,0,-1),

=

,

·

=

-

=0,故B符合题意;对于C,M(1,1,1),N(0,1,0),O

,P

,则

=(-1,0,-1),

=

,

·

=

-

=0,故C符合题意;对于D,M(0,1,0),N(0,0,1),O

,P

,则

=(0,-1,1),

=

,

·

=1≠0,故D不合题意.故选BC.三年模拟1.★★(2026届河北石家庄实验中学期中,2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C与平面

AB1D1的交点为M,O为线段B1D1的中点,则下列结论错误的是

()A.A,M,O三点共线

B.M,O,A1,A四点共面C.B,B1,O,M四点共面

D.A,O,C,M四点共面

C

解析因为AA1∥CC1,所以A,A1,C1,C四点共面.因为M∈A1C,则M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理,O,A也在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,所以A,M,O三点共线,从而M,O,A1,A四点共面,A,O,C,M四点共面.由长方体性质知:OM,BB1是异面直线,即B,B1,O,M四点不共面.故选C.

2.★★(2026届广东东莞外国语学校测试,3)设α,β,γ是三个不同平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,

则“l∥m”是“α∥β”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

B

解析若α∥β,则由面面平行的性质定理得l∥m;但当l∥m时,可能有α∥β,也可能有α,β

相交,如l,m是三棱柱的两条侧棱所在直线,γ是l,m所在的平面,另两个侧面所在平面分别

为α,β,此时α,β相交,所以“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件.3.★★(2026届湖南第一次联考,3)在空间中,下列命题正确的是

()A.若三条直线两两相交,则这三条直线一定共面B.若平面α与平面β平行,直线l在α内,直线m在β内,则l∥mC.若直线A1B1⊥A2B2,B1C1⊥B2C2,则∠A1B1C1与∠A2B2C2相等或互补D.若三个平面两两相交得三条交线,则这三条交线共点或互相平行

D

解析若三条直线交于一点,则这三条直线可能不共面,A错误.分别在两平行平面内的直线可能是异面直线,B错误.设α∩β=l,A1B1⊥α,B1C1⊥β,B2∈l,A2B2⊂α,B2C2⊂β,则∠A2B2C2的大小有无数个不同取值,

C错误.D中说法正确,故选D.4.★★(2025届山东济南三模,4)如图,下列正方体中,M,N,P,Q分别为所在棱的中点,则在

这四个正方体中,直线MN和PQ为异面直线的是

()

D

解析对于A,如图1,PQ∥CD∥AB∥MN,所以M,N,P,Q四点共面,A不符合题意;

对于B,如图2,MP∥GH∥EF∥NQ,所以M,N,P,Q四点共面,B不符合题意;对于C,如图3,MP∥KL∥NQ,所以M,N,P,Q四点共面,C不符合题意;

对于D,如图4,PQ∈平面MPQ,N∉平面MPQ,M∈平面MPQ,M∉直线PQ,则MN与PQ是异面直线,D符合题意.故选D.5.★★(2026届四川彭州中学期中,5)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,E为

棱PA的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为

()

A.

B.

C.

D.

B

解析连接AC,取AC的中点O,连接OE,OB,

由题意知,EO∥PC,则异面直线BE与PC所成角为∠BEO(或其补角),在△BEO中,EO=1,BO=

,BE=

,则cos∠BEO=

=

,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为

.故选B.6.★★★(2026届大湾区联考,6)在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴

截面ABCD,其中母线AB=2,E是

的中点,F是AB的中点,则

()A.AE=CF,AC与EF是共面直线B.AE≠CF,AC与EF是共面直线C.AE=CF,AC与EF是异面直线D.AE≠CF,AC与EF是异面直线

D

解析连接BE,CE,如图,在Rt△ABE中,AE=

=

=

,在Rt△BFC中,CF=

=

=

,所以AE≠CF,由图知AC⊂平面ABC,EF∩平面ABC=F,而F∉AC,所以AC与EF是异面直线.

7.★★★(2026届重庆渝北中学开学考,5)空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=BD=AC

=a,M,N分别是BC与AD的中点,则异面直线AM,CN所成角的余弦值为

()

A.

B.

C.

D.

C

解析如图,连接DM,取MD的中点O,连接OC,ON,

因为O,N分别为DM,AD的中点,所以ON=

AM且ON∥AM,所以∠ONC(或其补角)为异面直线AM和CN所成的角,因为△ABC是边长为a的等边三角形,M为BC的中点,所以AM⊥BC,所以AM=

=

=

a,同理可得DM=CN=

a,所以ON=

AM=

a,OM=

DM=

a,OC=

=

=

a,在△CON中,由余弦定理的推论可得cos∠ONC=

=

=

,因此异面直线AM和CN所成角的余弦值为

.故选C.8.★★(多选)(2026届江苏南通调研,9)已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同的平面,

则下列结论一定成立的是

(

)A.若m⊥α,n⊥α,则m∥nB.若α⊥β,α⊥γ,则β∥γC.若m⊥α,m⊥β,则α∥βD.若m∥α,n∥α,则m∥n

AC

解析对于A,由线面垂直的性质定理可知A正确.对于B,若α⊥β,α⊥γ,则β与γ可能平行

或相交.对于C,利用平行与垂直的关系知α∥β,C正确.对于D,若m∥α,n∥α,则m与n平

行、相交或异面.故选AC.9.★★★(2025届江苏南京一中二模,12)正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线中,与AD1所

成角为60°的有_________条.

8

解析如图所示,

因为△AD1C,△AD1B1是等边三角形,所以AC,D1C,D1B1,AB1与AD1所成角均为60°,又△A1BC1,△DBC1是等边三角形,所以A1C1,A1B,DC