考研数学一、二、三大纲详解(教材分析)

高等数学

考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）

第一章函数与极限（7天）（考小题）

学习内容复习知识点与对应习题大纲要求

:映射与函函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与1.理解函数的概

数偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反念，掌握函数的

（一般章节）函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射表示法，并会建

不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用立应用问题中的

看）函数关系.

习题1—1：4,5,6,7,8,9,13,2.了解函数的有

15,16（重点）界性、单调性、周

15,16（重点）期性和奇偶性.

3.理解复合函数

第一节：数列定义，数列极限的性质（唯一性、有界性、

及分段函数的概

数列的极限保号性）（本节用极限定义证明极限的题目考纲

念，了解反函数

（一般章节）不作要求，可不看，如P26例1,例2,例3,定

及隐函数的概念.

理.1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4

4.掌握基本初等

不用看）

函数的性质及其

习题1一2:1

图形，了解初等

习题1—2：1

函数的概念.

第三节：函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号5.理解极限的概

函数的极限性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性，念，理解函数左

（一般章节）函数极限与数列极限的关系等）P33（例4,例极限与右极限的

5）（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理概念，以及函数

4不用看）极限存在与左、右

习题1一3：1,2,3,4极限之间的关系.

习题1一3:1,2,3,46.掌握极限的性

习题1—3：1,2,3,4质及四则运算法

则.

第四节：无穷小与5匕穷大的定义，它们之间的关系，以

无穷大与无及与极限白勺关系（无穷小重要，无穷大了解）7,掌握极限存在

的两个准则，并

穷小（重要）（例2不户月看，定理2不用证明）

会利用它们求极

习题1一41,6

限，掌握利用两

习题1—41,6

个重要极限求极

习题1-41,6

限的方法.

第五节：极限的运算法则（6个定理以及一些推论）8.理解无穷小

极限的运算（注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）量、无穷大量的概

法则（掌握）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3,定理6的念，掌握无穷小

证明不用看）P46®J3/IJ4）,P47^IJ6）

习题1—5：1,2,3,4,5（重点）量的比较方法，

习题1—5:1,2,3,4,5（重点）会用等价无穷小

习题1—5：1,2,3,4,5（重点）量求极限.

9.理解函数连续

第六节：两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的

性的概念（含左连

极限存在准条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证

续与右连续），会

则（理解）明两个重要极限），函数极限的存在问题（夹逼

判别函数间断点

两个重要极定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限

的类型.

限（重要）求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数

10.了解连续函数

列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限

的性质和初等函

的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用

数的连续性，理

看，柯西存在准则不用看）

解闭区间上连续

P51（例1）习题1—6：1,2,4

函数的性质（有界

P51（例1）习题1-6:1,2,4

性、最大值和最小

P51（例1）习题1一6：1,2,4

值定理、介值定

第七节：无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高理），并会应用这

无穷小的比阶无穷小、k阶无穷小），重要的等价无穷小（尤些性质.

较（重要）其重要，一定要烂熟于心）以及它们的重要性质10.了解连续函

和确定方法（定理1,2的证明理解）数的性质和初等

P57（例1）P58（例5）习题1一7:全做函数的连续性，理

P57（例1）P58（例5）习题1—7：全做解闭区间上连续

函数的性质（有•界

第八节：函数的连续性，间断点的定义与分类（第一类间

性、最大值和最小

函数的连续断点与第二类间断点），判断函数的连续性（连

值定理、介值定

性与间断点续性的四则运算法则，复合函数的连续性，反

理），并会应用这

（重要，基函数的连续性）和间断点的类型。

些性质.

本必考小题）例1一例5习题1—8：1,2,3,4,5（重点）

10.了解连续函数

函数的连续例1一例5习题1—8:1,2,3,4,5（重点）

的性质和初等函

性与间断点例1一例5习题1—8：1,2,3,4,5（重点）

数的连续性，理解

（重要，基本

闭区间上连续函

必考小题）

数的性质（有界

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性（包括和，性、最大值和最小

连续函数的差,积,商的连续性,反函数与复合函数的连续值定理、介值定

运算与初等性,初等函数的连续性）（定理3,4的证明不用理），并会应用这

函数的连续看）些性质.

性（了解）例4一例8习题1—9：1,2,3,4,5,6（重点）

例4一例8习题1—9:1,2,3,4,5,6（重点）

例4一例8习题1-9：1,,23,4,5,6（重点）

第十节：理解闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值

闭区间上连最小值定理,零点定理与介值定理（零点定理对

续函数的性于证明根的存在是非常重要的一种方法）.（一致

质（重要，不连续性不用看）例1—例2

单独考大题，习题1一10：1,2,3,5（要会用5题的结论）

但考大题特习题1—10:1,2,3,5（要会用5题的结论）

别是证明题习题1—10：1,2,3,5（要会用5题的结论）

会用到）

闭区间上连

续函数的性

质（重要，不

单独考大题，

但考大题特

别是证明题

会用到）

|总复习题二;除了7,8,9以外均做，

3,5,11,14（重点）

［本章测试题一检验自己是否对本章的复习合格

自我小结（合格成绩为80分以上），如果合格继续向前复

习，如果不合格总结自己的薄弱点还要针对性

的对本章的内容进行复习或者到总部答疑。

第二章导数与微分（6天）（小题的必考章节）

学习内容复习知识点与对应习题大纲要求

第一节：导数的定义、几何意义、物理意义（数三不1.理解导数和微分的

导数的概念作要求，可不看，数三要知道导数的经济意概念，理解导数与微分

（重要）义：边际与弹性），单侧与双侧可导的关系，的关系，理解导数的几

可导与连续之间的关系（非常重要，经常会何意义，会求平面曲线

出现在选择题中），函数的可导性，导函数，的切线方程和法线方

奇偶函数与周期函数的导数的性质，按照定程，了解导数的物理意

义求导及其适用的情形，利用导数定义求极义，会用导数描述一些

限.会求平面曲线的切线方程和法线方程.物理量，理解函数的可

（导数定义年年必考）例1一例.导性与连续性之间的

习题2—1：3,4,5,6,7,8,11,15,16,17,关系.

18,19,（重点）20

习题2—1:3,4,5,6,7,8,11,15,16,17,

18,19,（重点）20

习题2—1：3,4,5,6,7,8,11,15,16,17,

18,19,（重点）20

第二节：复合函数求导法、求初等函数的导数和多层复2.掌握导数的四

函数的求导合函数的导数，由复合函数求导法处导出的则运算法则和复合函

法则微分法则，（累、指数函数求导法，反函数求数的求导法则，掌握

（考小题）导法），分段函数求导法（基本求导法则与求基本初等函数的导数

导公式要非常熟）（定理3的证明不用看，公式.了解微分的四

例1,17不用做，定理2的证明理解，例则运算法则和一阶微

6,7,8重点做）分形式的不变性，会

习题2—2：除2,3,4,12不用做，其余全做，求函数的微分.

13,14重点做3.了解高阶导数的概

习题2—2:除2,3,4,12不用做，其余全做，念，会求简单函数的

13,14重点做高阶导数.

习题2—2：除2,3,4,12不用做，其余全做，4.会求分段函数的导

13,14重点做数，会求隐函数和由

参数方程所确定的函

第二下：高阶导数和N阶导数的求法（归纳法，分解

数以及反函数的导数.

局阶导数法，用莱布尼兹法则）（用泰勒展开式求高阶

4.会求分段函数的导

（重要，考导）

数，会求隐函数和由

的可能性很例1一例7习题2—3：5,6,7,11不用做，其

参数方程所确定的函

大）余全做，4,12重点做

数以及反函数的导数.

（重要，考例1一例7习题2—3:5,6,7,11不用做，

4.会求分段函数的导

的可能性很其余全做，4,12重点做

数，会求隐函数和由

大）例1一例7习题2—3：5,6,7,11不用做，

参数方程所确定的函

其余全做，4,12重点做

数以及反函数的导数.

第四节：由参数方程确定的函数的求导法（数三不用

隐函数及由看），变限积分的求导法，隐函数的求导法

参数方程所（相关变化率不用看）例1一例10

确定的函数习题2—4：9,10,11,12均不用做，数三

的导数（考5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做

小题）习题2—4:9,10,11,12均不用做，数三

5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做

习题2—4：9,10,11,12均不用做，数三

5,6,7,8也可以不做，其余全做，4重点做

第五节：函数微分的定义，微分运算法则，微分几何

函数的微分意义（微分在近似计算中的应用不用看，考纲

（考小题）不作要求）

例1一例6习题2—5：5,6,7,8,9,10,11,12

均不用做，其余全做

例1一例6习题2—5:5,6,7,8,9,10,11,12

均不用做，其余全做

例1一例6习题2—5：5,6,7,8,9,10,11,12

均不用做，其余全做

自我小结总复习题二：4,10,15,16,17,18均不用做，

其余全做，2,3,6,7,14重点做，数三不用做

12,13

第二章测试题

第三章微分中值定理与导数的应用(8天)考大题难题经典章节

学习内容复习知识点与对应习题大纲要求

第一节：微分中值定理及其应用(费马定理及其几何意1.理解并会用罗

微分中值定义，罗尔定理及其儿何意义，拉格朗日定理尔(Rolle)定理、拉

理(最重要,及其几何意义、柯西定理及其几何意义)(四格朗日(Lagrange)

与中值定理个定理要会证明，及其重要)中值定理和泰勒

应用有关的例1,习题3—1：除了13,15不用做，其余全(Taylor)定理，了

证明题)部重点做解并会用柯西

微分中值定例1,习题3—1:除了13,15不用做，其余全(Cauchy)中值定

理(最重要,部重点做理.

与中值定理例1,习题3—1：除了13,15不用做，其余全2.掌握用洛必达

应用有关的部重点做法则求未定式极限

证明题)的方法.

3.理解函数的极

第一节：洛洛比达法则及其应用(洛比达法则要会证明，

值概念，掌握用导

必达法则重要)

数判断函数的单调

(重要，基例1一例10,习题3—2：全做，1,3,4重点做

性和求函数极值的

本必考)例1一例10,习题3—2:全做，1,3,4重点做

方法，掌握函数最

第三节例1—例10,习题3—2：全做，1,3,4重点做

大值和最小值的求

蓊四需一―

泰勒中值定理，麦克劳林展开式法及其简单应用.

泰勒公式(可不看公式的证明)4.会用导数判断函

(掌握其应例1一例3习题3—3:8,9不用做，其余全做数图形的凹凸性，

用)10(1)(2)(3)重点做会求函数图形的拐

点以及水平、铅直

第五节：求函数的单调性、凹凸性区间、极值点、拐点、

和斜渐近线，会描

函数的单调渐近线(选择题及大题会用到)例1—例12

绘函数的图形.

性与曲线的习题3—4：3(1)(2)(5),5(1)(2),8

5.了解曲率和曲率

凹凸区间(1)(2),9(1)(3)(5),10(2)不

半径的概念，会计

(考小题)用做,其余全做，3,4,5,6,余，15重点做

算曲率和曲率半

习题3—4:3(1)(2)(5),5(1)(2),

径.

8(1)(2),9(1)(3)(5),10(2)不

5.了解曲率和曲

用做，其余全做，3,4,5,6,13,15重点做

率半径的概念，会

习题3—4：3(1)(2)(5),5(1)(2),

计算曲率和曲率半

8(1)(2),9(1)(3)(5),10(2)不

径.

用做,其余全做，3,4,5,6,余，15重点做

5.了解曲率和曲率

函数的极值(二个必要条件，两个充分条件)，

第五节：半径的概念，会计

函数极值与最大最小值问题.函数性的最值和应用性的最算曲率和曲率半

最大值最小值问题，与最值问题有关的综合题径.

值(考小题例5,6,7不用看习题3-5:1(2)(3)(6)

为主)(9)8,9,10,11,12,13,14,15,16均不用做，

其余全做

例5,6,7不用看习题3-5:1(2)(3)(6)

(9)8,9,10,11,12,13,14,15,16均不用做，

其余全做

第六节：简单了解利用导数作函数图形（一段出选择题

函数图形的及判断图形题），对其中的渐进线和间断点要

描绘（重要）熟练掌握，一元函数的最值问题（三种情形）。

例1一例3习题3—6:2—5

例1一例3习题3—6：2-5

第七节：曲率、曲率的计算公式，与曲率相关的问题

曲率（数三（弧微分、曲率中心计算公式、渐屈线、渐伸

不作要求，线不用看）

仅数一、数例1一例3,习题3—7:1—6

;二要求）例1一例3,习题3—7：1—6

曲率（数三

不作要求，

仅数一、数

二要求）

第八节：方

程近似解

（不用看）

第九节

总复习题三：数一、数二全做，数三15不用］

自我小结

做；其中2（2）,3,7,8,9,10,（3）（4）,

（3）,12,17,18,20重点做

第三章测试题总结

____________

复习知识点与对应习题大纲要求

第四章不

定积分（7

天）（重要,

本章数二考

大题可能性

更大）

学习内容

第一节：不定原函数与不定积分的概念与基本性质(它们各1.理解原函数概

积分的概念与自的定义，之间的关系，求不定积分与求微念，理解不定积

性质(重要)分或导数的关系)，基本的积分公式，原函数分的概念.

的存在性，原函数的几何意义和力学意义(数2.掌握不定积分

三不作要求)的基本公式，掌

例1一例16习题4—1：1,2,3,4,6握不定积分换元

例1一例16习题4一1:1,2,3,4,6积分法与分部积

例1一例16习题4—1：1,2,3,4,6分法.

3.会求有理函

第二节：换元不定积分的换元积分法，第二类换元法

数、三角函数有理

积分法(重要，例1一例27

式及简单无理函

第二类换元积习题4—2：1,2(1)(2)(3)(8)(9)

数的积分.

分法更为重'(10)(13)(25)均不用做，其余全做

3.会求有理函数、

要)习题4一2:1,2(1)(2)(3)(8)(9)

三角函数有理式

(10)(13)(25)均不用做，其余全做

及简单无理函数

习题4—2：1,2(1)(2)(3)(8)(9)

的积分.

(10)(13)(25)均不用做，其余全做

第三节：分部不定积分的分部积分法

积分法例1一例10习题4—3:1-24

(考研必考)例1一例10习题4—3：1-24

第四节：有理有理函数积分法，可化为有理函数的积分，

函数积分例1一例8习题4一4:1-24

(重要)不定积分计算

总复习题四：1一40

第五节:积分

表的使用

(不用看)

自我小结总结本章

复习知识点与对应习题大纲要求

第五章定

积分(6天)

(重要，考

研必考)

学习内容

第一节：定定积分的概念与性质(可积存在定理)(定积1.理解原函数概

积分的概念分的7个性质理解及熟练应用，性质7积分念，理解定积分的

与性质(理中值定理要会证明)概念.

解)(定积分近似计算不用看)2,掌握定积分的基

习题5—1：1,2,3,6,8,9,10均不用做，其本公式，掌握定积

余全做，5,11,12重点做分的性质及定积分

习题5—1:1,2,3,6,8,9,10均不用做，其中值定理，掌握换

余全做,5,11,12重点做元积分法与分部积

习题5—1：1,2,3,6,8,9,10均不用做，其分法.

余全做，5,11,12重点做3.会求有理函数、

三角函数有理式及

第二节：微微积分的基本公式积分上限函数及其导数

简单无理函数的积

积分基本公.(极其重要，要会证明)牛顿-莱布尼兹

分.

式(重要)公式(重要，要会证明)

4.理解积分上限的

例5不用做，例6极其重要，记住结论习

函数，会求它的导

题5—2：6(1)(2)(4)(5)(6)(7),7,8

数，掌握牛顿一莱

均不用做，其余全做，2数三不做，9(2),

布尼茨公式.

10,11,12,13重点做

5.了解广义反常积

例5不用做，例6极其重要，记住结论习

分的概念，会计算

题5—2:6(1)(2)(4)(5)(6)(7),7,8

广义反常积分.

均不用做，其余全做，2数三不做，9(2),

5.了解广义反常积

10,11,12,13重点做

分的概念，会计算广

例5不用做，例6极其重要，记住结论习

义反常积分.

题5—2：6(1)(2)(4)(5)(6)(7),7,8

5.了解广义反常积

均不用做，其余全做，2数三不做，9(2),

分的概念，会计算广

10,11,12,13重点做

义反常积分.

第三节：定积定积分的换元法与分部积分法

分的换元积例1一例10例5,例6,例7,例12经典例

分法与分部题，记住结论

积分法(重习题5—3：1(1)(2)(3)(6)(12)

要，分部积(14)(15)(16),7(1)(3)(8)(9)

分法更为重不用做，其余全做，重点做1(4)(7)(17)

要)(18)(25)(26),2,6,7(7)(10)(12)

(13)

不用做，其余全做，重点做1(4)(7)(17)

(18)(25)(26),2,6,7(7)(10)(12)

(13)

第四节：反反常积分无界函数反常积分与无穷限反常

常积分(考小积分例1一例5

题)习题：5-4：全做，3题结论记住

第五节习题：5—4:全做，3题结论记住

习题：5-4：全做，3题结论记住

第五节:反总复习题五：1(3),2(3)(4)(5),15,16

常积分的审不用做，其余全做，重点做3,5,7,8,9,10

敛法（不用(1)(2)(3)(8)(9)(10),13,14,17

看）

自我小结总结本章

第六章定积分的应用（4天）（考小题为主）

学习内容复习知识点与对应习题大纲要求

第一节：定定积分元素法1.掌握用定积分表

积分的元素达和计算一些几何

法（理解）量与物理量（平面

图形的面积、平面

曲线的弧长、旋转

第二节：定一元函数积分学的几何应用（求平面曲线的弧

体的体积及侧面

积分在儿何长与曲率（仅数一看），求平面图形的面积，

积、平行截面面积

学上的应用求旋转体的体积，求平行截面为已知的立体

为己知的立体体

（面积最重体积（数三不作要求），求旋转面的面积定积

积、功、引力、压

要）分的几何应用相关计算

力、质心等）及函

定积分应用的一些计算习题6-2:数一全

数的平均值等.

做；数二、数三21-30不用做

定积分应用的一些计算习题6—2：数一全

做；数二、数三21-30不用做

第三节：定定积分的物理应用（用定积分求引力，用定积

积分在物理分求液体静压力，用定积分求功）。综合题目

学上的应用的求解。（数三不用看，数一数二了解）

（数三不用|例1一例5习题6—3:数一、数二做

看，数一数总复习题六：数一全做；数二6不用做；数三

二了解）只做3,4,5

（数三不用总复习题六：数一全做；数二6不用做；数三

看，数一数只做3,4,5

二了解）总复习题六：数一全做；数二6不用做；数三

只做3,4,5

自我小结总结本章

第

七章

复习知识点与对应习题大纲要求

分

常

微

方

程9

天}K

章对数

二相对

重要

，

必考章

节

,昭

学习

,

特解

件和

始条

、初

通解

解、

阶、

及其

方程

微分

方

：微分

及其

方程

微分

1.了解