数值分析期末复习

Chapter1误差

误差限计算、有效数字分析

・纳对谟弟

相对识是如为准确fiX.v•为LV的一个近似他称有效数字

%为准确值，/为x的一个近似值，称耳,）=亨=宁

）

6=/-x为近似侬•的相对误覆可简为为仁.若X•作为X的近似值，其绝对误差的绝对便不

为近似值X•的绝对误差，筒称误差，可得记为E.

超过某一位数字的半个单位,而该位数字到X的第

）一位丰零数字共有〃他则称用*,近如时具有，位

|e，）|=|x*-x\<£（x*）W|=

为近似值V.的相对误蒙限有奴贯字，商称X.有”位有效数字.

数值，（一）称为、.的、绝对误差限或误差黑I

Chapter2插值法

差值条件（唯一性）

1、拉格朗日差值

a）插值生函数

b）差值余项

4（.0=*■.%）…（X_x-）（xx,“）•Yx-七）

2.2拉格朗曰插值2.2.2拉格朗H插值多项式

其中/为常数.由％Q=1可得

2.2.1基函数利用拉格朗日基函数构造次数不超乎，的多项式

A=----------------------=J［（M+M3+…+J'"/.（x）=i>MM

考虑显饰单、最基本的插值问题.（¥一.%）••<»-MTXM-毛“）…（巧-项）

求〃次插值多项式/小）（XM,…⑷.可知其满足一、.A1

（A：-A-.）-（A：-X^X-V）—（A：-X.）

使共满足捕｛ft条件---------------------------------------------------------------

（»-X.）…（巧一阳7）（项-X,）称为拉格朗H插优多项式由插伊多项苴件廉一性,

{::；：；（7=0.1.•••./»）得W.（.v）

«•*）（i=0,l,-,n）_AX~XJ

H特别地.当〃=1时又叫线性插值.其几何意义为

可知，除、点外，其余都是的军点，故可设

过两点的U（线.当〃=2时又叫帼物（灰）插ffi,其几

称之为拉格明日基南效•都是〃次多顶式.

,2=.■<«一.%）••—*,T）3f.i八•4A"）何意义为过三点的抛物找.

例1已知『=4/.=4.与=9,用线性插值(即一次插例2求过点(1.2),(1,0),(3,6),(%3)的拗物线插值(即

这是因为若取4f由插价多项式的唯

ffi多项式原后的近似能.三次插值多项式).

一性有

解以勺=-1,项=1,«,=3,.口=4以为节点的基的数

*ff.=2o;=4基函数分别为：

■分别为：

=/,*=0,1,…,”/,(V)±^=-：(*-9储1(刈N入1)....."-“一*，…

•()"(-l-IX-l-3X-l-4)

I4-y3y—4s

插值多项苴为

/[(*)=(*+1乂*-3乂*-4)=_L(X+1乂、-3)(.v-4)

新别当k删,就得到

A(X)J'4(X)+JM(X>2x^(x-9)+3xl(x-4)1(1+巾1-3乂1-4)12

%(x)=l■,、(.v+lX.v-lX-v-4)1,■、,.、，.、

：/(.v)=J——展——---(.v♦IX-v-1R.V-4)

=-1(V-9)+1(A-4)(=1(.V+6))2(3+1M3-1X3-4)8

所以④♦匕⑺邛=2.6小)=箔貂爵积=白”收F…)

s

2.23插值余项

则位格朝日的三次插值多项式为

被断误差凡0)=/(X)-/“(X)也称加次1可0«国＜*插

=M(*)♦八4(*)+M3+M(x)位多式的余项.以F为拉格朗口余项定理.例3fi/(x)Ltr点-2.x,-15.x,4.求/(x)

=(2)x^(*OU3X.v4)«0x^(x»lX-v3Xv4)的携物福航参本式JL计算/(3曲近《X饮并8计课总

定理2设/Cv)在区间|。回上存在”+1阶导数.

解n=/<2)=CJ，I=/QS)=a4./=/(4)=a25

.V；G[a"](NJ，-"")为"+1个互异节点.财对任何2

+(»?(*+DCKTND+3K*+IMsTKD物值多康太为

.vGM.R.有

…J(x-iXx-4)

^U-IM.r-5X.v-0+^(X41X.K-1MX-4)-3(匚-2。)'a"而方HF

W=f(x)-L„(x)尸’⑷

»J(.v<IRxIXx3)

3(4-2X42.S)

J2

(=.v-4.v+3)其中叫.G)=FK*-*,)«e(。⑼且与a•有关):

1^OiOSv-a42&v41.1S

例4给定点数表在区划KU”上la的三席导数的上限船。。叱

于是7(3)8：^(3)=0325

X10li1213

可徽躺计式

因为/"(.')=-=，・%=max|n-v)Hr(2)1=：Im23025852397W52.48490724a到9

X4皿1I8

故|/Jj(.v)|S^|(x-2X.v-2.5M.v-4)|用二次势值计算lnll.25的近似值,并估计误洛U

JL(H.25>i—ai.tf-WX!US-llX1U5-12)|<*-0«0?

J

斛取节点0=10,4=11,玄=12,作二次狒位在

si^|(.v-2Xx-2.5X.t-4)|

福11.科⑴㈤】曦黑耳以MM

6o实际上,1曲.252420368,

逮(3)|=/(3)-*3)|4；41(3-2乂3-283-4)|

6o

2.420426|R2(11.25)1=0.000058.

=0.03125

2、牛顿插值

构造差商表

例2tft尸尔k，M=1,1・5,2,25,3,用三次标值多项

性质4若人.\）在M，〃上存在《阶导致,（1节点恒⑺0.4107511.116QX(140)式求人1.2）及42・8）的近似值.

•a28OO(.vU40XVQ.5S)解相应的函数值及差分表如下:

.ve\aj>\，则至少存在一点关[a,〃满足下式

B故/(0.596)*V,(a596)—0.632010

J巧/Cvj一小星分二阶差分三防空分N阶皎分

X/1・均•项•必・&1=<>・1970

/f,MvEv，…,x.J----------12.71828

/»!可的过前四点的三次牛谊扬依参呼!式1.76341

JVJ(.V)=\2(x)♦0.1970(x-0.40)(x-O.SSM.v-0.65)1.S4.481691.143%

例1/（工户一心开本一10,求川,2,…网及川2…,10].2.903470.74210

故/(0.S96)«.V3(0.596)0.631914s27.289061.886060.48146

解/内伏尸一6・8!,/[1Z…网",/J.q=0.0344可初V.N幽裁断误箱4.793431.22356

2.512.182493.10962

号：

/%户，I”)1*O.W44(.v-0.40MA-0.55X.V-0.65R.K-0,80)|7.90305

0,/|U…,10|=0.20.08554

展(0.496)|・0-Mxl0Y3

芭一阶处分二阶总分三阶处分四中总分5/(A)一阶加分二阶*分三防*分四阶2分

2.718联12.71828

11.76341

1.763411.54.481691.14396

134.4816S1.143962.903470.74210

2.903470.7421027.289061.886060.48146

27.28<MM1£86060.481464.793431.22356

4.793431.223562.512.182493.10962

2412.U24)3.109627.90305

7.90305320.U8SM

320,08554

求/(2对用牛顿屈插公式Ji由243+OA褥=4M

求力1.2)用牛帔前插公式.且由1.2-1M&,得D.4

/(X8)*M(24J)求人1切财

=2.71828♦LT^Mlx(U+:U4x((U-1)&10962

2!2aO8SM♦7.90305x(-A4)+,(-<L4)x(-114+1)

21

+^^?a4x(a4-ixa4-2)xwwaz4^^«Q4)x(0.4HXA4«2)=15.7680872

3、埃尔米特推值

构造三次埃尔米特插值多项式如下

由«0(*1)=^(-'|)=0

2.5埃尔米特（Hermite）插值定理3满足条件式）=叫。=°」）

的三次埃尔米特猫做多项式存在旦唯一.可将它写成ao(.v)=|a♦*(.r-.VoJK.r-Aj)

2.5.1三次埃尔米特插值多项式

构造三次埃尔米特输值多项式如下：

设）R.v）是区间M，6|上的实函数.由.(.％)=1,得a=--------j

.W..K1是A］上相异两点.旦.v°V.q.H,（x）=>-,«,（.*）+y,a,（.v）4"自（K）+mRg(玉

尸«v）在巧上胎由教值和一阶5?数值分冽为j♦可（巧）

褊函故依再由/(.%)=0.得6=-------------y.所以

（/=0.1）和"，产/Ivj（/-O.l），求三次多项式兄使其

滴足:%・“*1-Vo-V|

三二马尸

〃式巧）=><%。）1000a0(v)[1+23](

(/=0.1)¥厂*0*0-*1

砥巧）=*»,

0100同理(将工0<>.Vj)

Po(-v)0010

〃，8淋为三次埃尔米特插依专项式.a,(A)

0001

PiCr)-v0

同样由自(％)A(V1)-ZCC'1)=O,可令

%(*)="4(.0=。-右)(^^了

xx〃与f

2r»-*i可得满足条件的二•次埃尔米特插值多项式为

A(-v)=C(.V-.VOX-V-.V1)

*•-*!*i--**〃式*）=r.a（v）+川％。）♦"4&（*）+"小⑸

再由用(z>)=l，得9=一--0

r即

a.(x)ll+2/G)%(x)A(x)(x-x.M；(x)=疝+2—+机2=］（衿

JL2七-玉玉-玉X.F&-玉

AU)=U-.vaX^).a,(*)=[1+4(*)W(x)fit(*)=3-巧)4’⑺

*•*i

+%+叫■尸

A)(N)JI(M为以(%.4)4'.”)插位点的LaRranRe

A(V)=(-V-AlX七3)'•Sf玉一天

ATa_ATA

一次基函数.

误差估计

252例2已知mR\i2及其一阶朴数的数据见下表用埃尔"式X）吟*219）（x-U4『+亲（"有心-同

定理4设在包含“、芮的区间|a四内存在四阶米特插值公式计算12时的近似值讲估计其截断误差.

导数，四时有余项,战（、田*由+捻^-⑼叱以

KQ）=/（力孙加"（劣*-N）"-N）!

褥7125*//,（125）=11.18035

（兴（。⑼且与南关）由小）■.蒜

设""剧则当—•卬时，

7%"可求得腐(125)|=—^——二--田

।13s416.7

余项有如下估计式（误差限）

13192

隔⑹s卷〃<-:w0.000012

38412P11

4、分段低次推值

例3构造函数A'Alm•在1S0O上的数表,应如何

6।I

选取步坳才能使利用数表进行分段插值时误差不卜6・

超过0.5X10、

欲使

解/-(V)=一士.=max|/-(.v)|=1.

I/(.V)-〃(.v)区—max/*J)(.v)|=-5»-xlOJ

xlixilt।八,、'I642

欲使：:

尸(刈4V黑(刈=54x联得M2板x1(T*

即进行分段三次埃尔米特插值时M取力42Gxi0」

得"GxlO」

误差不超过O.5X1(H。

即进行分段线性插假时，应取力S2X10，，谡差不

超过0.5X104.

5、三次样条推值(概念)

2.7三次样条插值

2.7.1问题的提出

定义给定区间［a句的一个划分aaxt<xt<...<x,=b,

gl，…/卜如果由显义“满足，

⑴S(v,)=y,(/=O,l...jr);

(2)在每个小区间(KM”../-I)上是次数不超

过3的多项式；

(3)在触个内节耻(/=巾.."1)上具有争连续朴叱

则称$代)为关乎上述划分的一个三次多项式样条

由数，简称三次样条.

Chapter3函数逼近与曲线拟合(送分)

1、最小二乘法写出法方程

例已知一组观测数据如表所示，试用最小二乘

代入法方程

法求一个多项苴拟合这组数据.

（X1+（£.%）5+（2W）a=2乂

X012345

i-1f-1/-IJ-1

y521123（Z1*.）a♦+（O）4,+（Z*：》a,-2X.y,

，Tf-11-11-1

解作做点图如右，（XX；）a,+（Z.v?）oi+（Zx：）G=Z-v'y-解之可得

从右图可以看出这些a0=4,7143,0,=-2.7857,a,=0.5000

点接近一条拗物线，因此o+15C]+5“=14

设所求公式为故所求拟合多项式为

代入数抠用15co+55<i+2250=30

（）

凡0=《+0tX+府Px=4.7143-2.7857*+0.5000/.

55c（,+22K】+97M=122

例7已知力1实验数据如下，求它的拟合曲找.5J.V）%+。渣・这4.〃1•/（3）1・6。）》•故

4

（%外）=泗=&,

.（%，）■力叫4“7,

（斡，*）（*，M）工叫工22,

•（A/）・允5"・U5.工

依，卬£小；74,

解根据所给数据,在

坐标纸卜加JH各点.见图.得法方程工霁二工

从图中弄到各点在一条向

线附近.故可选择线性璃

数做拟合曲段,即令解得”=2.77必=1.13.于是所求拟合曲线为

$；（*）=277,1.13M

2、范式计算（向量、矩阵）

定义2（向后的瓶数）如果向量、C心（或。）的某个

实值的数V。•月国|,满足条件：

若给定实效＜，＞户0（#=1,…称为权函数，则在R-

例1R"的内积，&v.7feR-,.v^tv^vj,.vy.y

上可定义加权内枳为（1）卜||20（卜||=0当且仅与卡=0）（正定性），

=6”xJ»r，则其内积定义为

（.v・j）・£%w；（B）

（”）=£引，,（12）（2）||av||=|a|IM，对任何aeA（或《eO（齐次性），

相应的向SP-范数为（5）心士＞15|国||+|川（二用不等式卜

由此导出的向量2前数为

则称“\尸腐|是小（或。）上的f向量前数（或模）.

1

|矶=、1&2=（£■）’由（3）可推出不等或

不难脸证（13）给出的3”满足内积定义的4条.当科=1

时.（13）就是（12）.

下面给出几种常用的向量瓶数.设.t不'”••.、・万.

1.ke=p曾.、•1.向量的。范数(最大范数)例6计京向量.E1」23)T的各种范数.

解1.乩mam|-2j}=3.

.

二向后的他数

2-IM12.凡=1+|-2|+3=6,

1I

3.国工=(x,炉-.向量的欧氏范数工此="+卜邛+3，=而

定义3设卜叫为"中响量序列..人十.记

•向荣的p粒数(Oqxm)a"rxi阳.…4.唯r.•，….v/)r.

容易证明前三种舌数是的p燕敷特殊情况,其中如果丝果**7(/-1,2,-,"X

1北,刑卜。则称“收敛无v..记为lim-v'*1：X*.

Chapter4数值积分与数值微分

1、梯形公式、辛普森公式

当，口2时，柯构斯系数为

当”・1时.柯特斯系数为U"=；£(，-1)(，-2)〃=

<•；"-»>»-|(«

例如，用区间k〃两端点的函数值“。)与人。)的

竹匠？"2.6

算术平均值作为N9的近似值，可导出求积公式c；"=；f"­)〃=；.

4为6

/=f/(x)dV=y[/(Q)+/®]这时的牛顿柯特斯公式为一阶求枳公式.胱是我们相应的牛蛔柯特斯公立为二阶求枳公式，就是务W

所熟W的梆形公式，

UP森⑸mgon)公式(乂称为摄物形求枳公式)，即