《高等数学》教学教案157

第1章函数、极限与连续授课序号01教学基本指标教学课题第1章第1节函数课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点反函数、复合函数教学难点反三角函数参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题大纲要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。教学基本内容一．预备知识1.集合（1）集合的定义：一般说来，由一些确定的不同的研究对象构成的整体称为集合.构成集合的对象，称为集合的元素.（2）集合的表示.（3）集合的元素的性质：确定性、互异性、无序性.（4）高等数学中常用数集及其记法.2．区间与邻域（1）有限区间与无限区间及其记法.（2）邻域：集合表示开区间，称之为点的邻域，记作称为邻域中心，称为邻域半径.（3）去心邻域：集合，表示，称之为点的去心邻域，记作3．映射（1）定义：设是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对中每个元素按照法则,在中有唯一确定的元素与之对应,则称为从到的映射,记作,其中称为元素(在映射下)的像,并记作,即,而元素称为元素(在映射下)的一个原像；集合称为映射的定义域,记作，即.中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记为,或,即.（2）满射、单射和双射设是从集合到集合的映射,若,即中任一元素都是中某元素的像,则称为到上的满射；若对中任意两个不同元素,它们的像,则称为到的单射；若映射既是单射,又是满射,则称为双射(或一一映射).（3）逆映射与复合映射设是到的单射,则由定义,对每个,有唯一的,适合,于是,我们可定义一个从到的新映射,即,对每个,规定,其中满足.这个映射称为的逆映射,记作,其定义域,值域.设有两个映射，其中.则由映射和可以定出一个从到Z的对应法则,它将每个映射成.显然,这个对应法则确定了一个从到Z的映射,这个映射称为映射和构成的复合映射,记作,即,.二．函数1.函数定义（1）设是一个给定的非空数集.若对任意的，按照一定法则，总有唯一确定的数值与之对应，则称是的函数，记为.数集称为函数的定义域，为自变量，为因变量.函数值的全体称为函数的值域.（2）函数的两要素：定义域与对应法则是确定函数的两要素，两要素可以作为判断两个函数是否相同的标准.（3）两函数相等2.常见的分段函数在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同数学式子来表示的函数称为分段函数.(1)绝对值函数(2)符号函数(3)取整函数(4)狄利克雷函数3.函数的性质及四则运算（1）函数的有界性：有上界、有下界、有界定理：函数在其定义域上有界的充分必要条件是它在定义域上既有上界又有下界.（2）函数的单调性严格单调增加和严格单调减少的函数统称为严格单调函数.一般情况下，若不单独说明，本书所指单调增加(减少)即为严格单调增加(减少).（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性（5）函数的四则运算4.反函数（1）定义：设函数(是定义域，是值域)．若对于任意一个，中都有唯一确定的与之对应，这时是以为定义域的的函数，称它为的反函数，记作．习惯上往往用字母表示自变量，字母表示函数．为了与习惯一致，将反函数的变量对调字母，改写成．今后凡不特别说明，函数的反函数均记为形式．在同一直角坐标系下，与反函数的图形关于直线对称．（2）定理：单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的．（3）介绍反三角函数.5.复合函数（1）定义:设有函数链，，且，则称为由式(1.1)，(1.2)确定的复合函数,称为中间变量.这个新函数称做由和复合而成的复合函数，称为内层函数，称为外层函数，称为中间变量．（2）复合函数不仅可以由两个函数经过复合而成，也可以由多个函数相继进行复合而成．6.初等函数（1）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数．（2）初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成的并能用一个式子表示的函数，称为初等函数．（3）双曲函数与反双曲函数三.例题讲解例1.确定函数的定义域.例2.某河道的一个断面图形，其深度与一岸边点到测量点的距离之间的对应关系如图1.3中曲线所示.图1.3这里深度与测距的函数关系是用图形表示的，定义域.例3.确定函数的定义域并作出图形.例4.求函数.例5.某城市制定每户用水收费（含用水费和污水处理费）标准（参见下表）：用水量不超出10立方的部分超出10立方的部分收费（元/立方）1.302.00污水处理费（元/立方）0.300.80那么每户用水量（立方）和应交水费（元）之间的函数关系是怎样的呢？例6.某工厂生产某型号车床，年产量为台，分若干批进行生产，每批生产准备费为元.设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存为批量的一半.设每年每台库存费为元.显然生产批量大则库存费高；生产批量少则批量增多，因而生产准备费高.为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.授课序号02教学基本指标教学课题第1章第2节极限的概念与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点数列极限与函数极限的概念与性质教学难点数列极限与函数极限的概念参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。教学基本内容一．数列极限的概念1.数列定义2.数列极限的定义（1）对于数列，当无限增大()时，若无限趋近于一个确定的常数，则称为趋于无穷大时数列的极限（或称数列收敛于），记作或；此时，也称数列的极限存在；否则，称数列的极限不存在（或称数列是发散的）.（2）(定义)设为一数列，是常数，如果对，，使得对于满足的一切，总有则称为数列的极限（或称数列收敛于），记作或.（3）数列极限的几何意义：任意给定正数，当时，所有的点都落在内，只有有限个（至多只有个）落在其外.二．数列极限的性质1.(唯一性)收敛数列的极限是唯一的.2.(有界性)收敛数列是有界的.注(1)定理1.3中的显然不是唯一的，重要的是它的存在性.(2)有界性是数列收敛的必要条件，例如，数列有界但不收敛.(3)无界数列必定发散.3.（保序性）若使得当时，有注：（1）若，使得当时，（或），则（或）.（2）（保号性）若（或），则，使得当时，（或）.三．子列1.定义：在数列中任意抽取无限多项，保持这些项在原数列中的先后次序不变，这样得到的新数列称为数列的子数列，简称子列.2.定理：（收敛数列与子列的关系）若数列收敛于，则其任意子数列也收敛于.注：该定理的逆否命题常用来证明数列发散，常见情形如下：(1)若数列有两个子数列分别收敛于不同的极限值，则数列发散；(2)若数列有一个发散的子数列，则数列发散.四．函数极限的概念1.自变量趋于无穷大时函数的极限（1）定义:(描述性定义)设函数，在时有定义，当的绝对值无限增大（）时，若函数的值无限趋近于一个确定的常数，则称常数为时函数的极限．记作或．此时也称极限存在，否则称极限不存在．（2）定义:(定义)设函数在大于某一正数时有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则称常数为时函数的极限．记作或．（3）极限的几何意义：任意给定正数，作直线与，总能找到一个，当时，函数的图像全部落在这两条直线之间.（4）定理：极限存在的充分必要条件是与都存在且相等，即.2.自变量趋向有限值时函数的极限（1）定义：(描述性定义)设函数在点的某一去心邻域有定义，当无限地趋近于(但)时，若函数无限地趋近于一个确定的常数，则称为当时函数的极限．记作或．这时也称极限存在，否则称极限不存在．（2）定义：(定义)设函数在点的某一去心邻域有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，则称常数为当时函数的极限．记作：或．（3）极限的几何意义：任意给定正数，作直线与，总能找到点的一个邻域，使得当时，函数的图像全部落在这两条直线之间.（4）定义：设函数在点的左邻域有定义，如果自变量从小于的一侧趋近于时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称为当时函数的左极限，记作：或或.（5）定义：(定义)设函数在点的左邻域有定义，如果存在常数.对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，有，则．（6）定义：设函数在点的右邻域有定义，如果自变量从大于的一侧趋近于时，函数无限趋近于一个确定的常数，则称为当时函数的右极限，记作：或或.(7)定义：(定义)设函数在点的右邻域有定义，如果存在常数.对于任意给定的正数（不论它有多小），总存在正数，使得当满足不等式时，有，则．（8）定理：极限存在且等于的充分必要条件是左极限与右极限都存在且等于.即.五．函数极限的性质（以为例说明）1.(唯一性)若极限存在,则极限是唯一的.2．(局部有界性)若存在,则在的某去心邻域内有界.3.(局部保序性)设与都存在,且在某去心邻域内有,则.4．(局部保号性)若,则对一切，有或5．定理：(海涅定理)设函数在点的某一去心邻域有定义，则的充要条件是对任何收敛于的数列，都有.注海涅定理的否命题常用于证明函数在点的极限不存在，常见情形如下：(1)若存在以为极限的两个数列与，使得与都存在，但，则不存在；(2)若存在以为极限的数列，使得不存在，则不存在.六．例题讲解例1.已知，证明数列的极限为1.例2.已知，证明例3.设证明等比数列的极限是0.例4.考察极限与是否存在？例5.考察极限是否存在？例6.考察下列函数当时，极限是否存在？(1)(2)例7.讨论当时，函数的变化趋势.授课序号03教学基本指标教学课题第1章第3节极限的运算法则课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点四则运算法则、复合函数的极限、夹逼准则、两个重要极限教学难点复合函数的极限、夹逼准则参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求1.掌握极限的性质及四则运算法则。2.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。教学基本内容一．极限的四则运算法则定理：如果与都存在，且，则（1）存在，且有（2）存在，且有（3）若，则存在，且有推论设存在，且，则（1）若是常数，则存在，且有（2）若为正整数，则存在，且有二．复合函数的极限定理：设，，且在点的某去心邻域内，则由和复合而成的函数的极限存在，且三．极限存在准则1.定理：（数列极限的夹逼准则）如果数列及满足下列条件：(1)；(2)则数列的极限存在，且2.定理：（函数极限的夹逼准则）设函数在的某去心邻域（或）内有定义，且满足下列条件：(1)当（或）时，有成立；(2)则存在，且3.定理：(单调有界原理)单调有界数列必有极限.四．两个重要极限1.重要极限I2.重要极限II五．例题讲解例1．求例2．求例3．求.例4.求例5.求例6.求极限.例7.求例8.设(1)证明存在；(2)求例9.求例10.求（为非零常数）.例11.求例12.求极限例13.求极限例14.(信息传播规律)信息传播是现实生活中普遍存在的现象，日新月异发展的信息媒介给信息传播提供了温床，使得信息给人类生活及认知带来了更多的影响.在传播学中有这样一个规律：在一定的状况下，信息的传播可以用下面的函数关系来表示：，其中表示时刻人群中知道该信息的人数比例，、均为正数.通过，我们知道时刻人群中知道此信息的人数比例为，这就从数学理论上解释了信息传播的威力.例如，在“SARS病毒”时期人们抢购板蓝根药物、白醋、口罩等，甲流感病毒袭来时人们“抢购大蒜”的疯潮，日本发生核辐射泄漏后的惊动，在日本掀起了一场“抢盐”的疯狂行为.很显然信息传播会呈现出这样一个规律：随着时间的慢慢推移，最终所有的人都将会知道这个信息.授课序号04教学基本指标教学课题第1章第4节无穷小与无穷大课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点无穷小与无穷大的定义，无穷小阶的比较教学难点无穷小阶的比较参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学基本内容一．无穷小1.定义：如果，则称函数为当时的无穷小.在定义中，可将成以及可定义不同变化过程中的无穷小.注(1)一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关外，还与自变量的变化趋势有关．(2)无穷小不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种变化趋势下，函数的绝对值趋近于0的变量.特别地，常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小.2.定理：的充分必要条件是，其中是的无穷小，即.3.无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积是无穷小；（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；（4）常数与无穷小的乘积是无穷小．二．无穷大1.定义：当时，如果函数的绝对值无限增大，则称当时为无穷大，记作.在定义中，将换成以及可定义不同变化过程中的无穷大.注(1)无穷大是变量，它不是很大的数，不要将无穷大与很大的数(如)混淆；(2)无穷大是没有极限的变量，但无极限的变量不一定是无穷大.(3)无穷大一定无界，但无界函数不一定是无穷大.(4)无穷大分为正无穷大与负无穷大.2.无穷小量与无穷大量的关系定理：设函数在点的某一去心邻域有定义，当时，(1)若是无穷大，则是无穷小；(2)若是无穷小，且，则是无穷大.三．无穷小阶的比较1.定义：设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且，（1）如果则称是比高阶的无穷小，记作；；（2）如果则称是比低阶的无穷小；（3）如果，则称与是同阶的无穷小；（4）如果，则称与是等价的无穷小，记作；等价无穷小具有自反性和传递性；（5）如果，则称是关于的阶的无穷小.注并非任何两个无穷小都能进行比较.2.等价无穷小代换定理：若是同一自变量变化过程中的无穷小，且，，存在，则.注(1)该定理说明在求极限的过程中，可以把积或商中的无穷小用与之等价的无穷小替换，从而达到简化运算的目的.但须注意，在加减运算中一般不能使用等价无穷小代换.(2)当时,常用的等价无穷小有：；；；（，且为常数）.定理1.20与是等价无穷小的充要条件为四．例题讲解例1.求极限例2.求例3.求极限例4.求极限例5.设时与为等价无穷小，求的值.授课序号05教学基本指标教学课题第1章第5节函数的连续性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的连续性、函数的间断点教学难点函数的间断点的判别参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学基本内容一．函数连续的概念1.定义：设变量从它的一个初值变到终值，终值与初值的差称为变量的增量，记为，即.2.定义：（1）设函数在点的某邻域内有定义，如果当自变量有增量时，函数相应的有增量若，则称函数在点处连续，为的连续点.（2）设函数在点的某邻域内有定义，若，则称在点处连续.（3）设函数在点的某邻域有定义，如果对于任意正数，总存在正数，使得当满足不等式时，有，则称函数在点处连续.3.定义：如果函数在开区间内每一点都连续，则称在内连续；如果函数在开区间内每一点都连续，且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称在闭区间上连续，并称是的连续区间.注(1)在左端点右连续是指满足(2)在右端点左连续是指满足.4.定理：函数在点处连续的充分必要条件是函数在点处既左连续又右连续.二．函数的间断点1.定义：如果函数在点处不连续，则称函数在点处间断，点称为的间断点.2.在点的左右极限和都存在的间断点为第一类间断点.它包含两种类型：可去间断点与跳跃间断点.3.称和中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.三．连续函数的性质1.定理：连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数.2.定理：设函数在区间上是单调的连续函数，则它的反函数是区间上的单调连续函数.3.定理：设函数在点连续，函数在点连续，则复合函数在点连续.4.基本初等函数在其定义域内连续.5.由初等函数的定义及连续函数的运算性质知，初等函数在其定义区间内都是连续的.四．闭区间上连续函数的性质1.定理：（最大值与最小值定理）如果函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上一定有最大值与最小值.2.推论：（有界性定理）闭区间上的连续函数一定在该区间上有界.3.定理：（介值定理）如果函数在闭区间上连续，和分别为在上的最小值与最大值.则对介于与之间的任一实数（即），至少存在一点使得4.推论：（零点定理）如果函数在闭区间上连续，且与异号，则至少存在一点，使得五．例题讲解例1.证明函数在任意点处都是连续的.例2.试证函数在处连续.例3.讨论函数在点处的连续性.例4.讨论函数在点处的连续性.例5.求函数的间断点并判断其类型.例6.求.例7.证明：方程在区间内各有一个实根.例8.证明：函数在区间内至少存在一点，使授课序号06教学基本指标教学课题第1章第6节函数极限的建模应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数极限的建模应用教学难点如何根据实际问题构建数学模型参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求会根据实际问题构建数学模型教学基本内容例题讲解例1．降水量预测问题提出为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度与当年灌溉面积.现有连续10年的实测资料，如表1.8所示．表1.8年序最大积雪深度灌溉面积(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为，可以灌溉土地多少公顷？例2.利润问题问题提出某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表1.9所示：表1.9销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？例3.汽车限制模型问题提出某城市今年年末汽车保有量为辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的倍，且每年新增汽车量相同.为保护城市环境，要求该城市保有量不超过量，那么每年新增汽车应不超过多少辆？例4.餐厅就餐模型问题提出某校有，两个餐厅供名学生就餐，有资料表明，每次就餐选餐厅的学生在下次就餐时选餐厅的几率为，而每次就餐选餐厅的学生在下次就餐时选餐厅的几率为.试判断随着时间的推移，在，两个餐厅就餐的学生人数分别大约稳定在多少人.*例5.选择函数的拟合问题问题提出某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表1.10：表1.10身高(cm)60708090100110120130140150160170体重(kg)6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的倍为偏胖，低于倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为，体重为的在校男生的体重是否正常？注依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．

第2章导数与微分授课序号01教学基本指标教学课题第2章第1节导数的概念课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点导数的概念，可导与连续的关系教学难点用定义求导数参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题大纲要求理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。教学基本内容一．导数的概念1.两个经典引例引例1平面曲线的切线斜率问题引例2变速直线运动的瞬时速度问题2.函数在一点处的导数与导函数（1）定义:设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处有增量时，相应函数的增量为．如果当时，极限存在，则称函数在处可导，并把这个极限值称为函数在处的导数，记作：，，，，即．当时，这个比值的极限不存在，则称函数在处不可导．（2）定义:如果函数在内每一点都可导，即在内每一点的导数都存在，则称在内可导．此时对区间内的任一点，都对应着的一个确定的导数值，也就确定了一个函数关系，这个函数称为原来函数的导函数（简称为导数），记为，即.3.单侧导数（1）定义：左导数右导数（2）定理：（单侧导数与导数的关系）函数在处可导的充要条件是左右导数都存在且相等．4.函数在区间内可导（1）若在内的每一点都可导，则称在开区间内可导．（2）若在内可导，且在处右导数以及在处左导数都存在，称在上可导．5．函数的改变量、平均变化率和瞬时变化率的关系6．用导数表示实际量——变化率模型（1）应用模型1（加速度）由引例2知，若物体的位移函数为，则物体在时刻的瞬时速度为．因为加速度是速度关于时间的变化率，而物体在到时间段的平均加速度为，于是物体在时刻的加速度为．（2）应用模型2（电流强度）带电粒子（电子、离子等）的有序运动形成电流，通过某处的电荷量与所需时间之比称为电流强度，简称电流．若在时间段内通过导线横截面的电荷为，则在时间段的平均电流为，时刻的电流为．二．导数的几何意义1.就是曲线在点处切线的斜率，这就是导数的几何意义.2.若函数在处可导，则曲线在点处的切线方程为，当时，该点的法线方程为.三．可导与连续的关系定理:如果函数在处可导，则在处连续．四.例题讲解例1.求函数的导数（其中为常数）．例2.（1）求函数的导数.（2）求函数的导数.例3.求函数的导数.例4.求的导数．例5.设函数在点可导，且，求．例6.若在点处连续，且存在，证明：在点可导．例7.求函数的不可导的点的个数．例8.过曲线上的一点作切线，如果切线与直线平行，求出切点坐标．例9.设曲线与在原点相切，求．例10.判断分段函数在点是否可导．例11.讨论函数在点处的连续性、可导性，并求．例12.讨论函数在点处可导性.授课序号02教学基本指标教学课题第2章第2节函数的求导法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的和差积商的求导法则、反函数以及复合函数的求导法则、高阶导数教学难点反函数的导数、复合函数的导数参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求1.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。2.了解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数。3.会求分段函数的一阶、二阶导数。4.会求反函数的导数。教学基本内容一．函数和、差、积、商的求导法则定理:设函数在点处可导，则函数在点处也可导，且（1）;（2）,特别地，（为常数）;（3）,特别地有.二．反函数求导法则定理:（反函数求导法则）若函数在区间内单调可导且，则它的反函数在相应区间内也单调可导，且有或.三．基本初等函数的求导公式.1．，为常数；2．；3．；4．；5.；6.；7.；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．.四．复合函数求导法则1.定理：如果函数在点可导，函数在对应点处可导，则复合函数在点处也可导，且，或.2.复合函数的链式求导法则可以推广至多个中间变量的情况．五．高阶导数1.二阶导数的定义：.2.高阶导数：3.高阶导数的运算法则（1）若函数在点处具有阶导数，则、为常数)在点点处具有阶导数，且，.（2）函数在点处具有阶导数,，此公式称为莱布尼茨公式.六．例题讲解例1.设，求，．例2.设，求．例3.设，求．同理可推得．例4.设，求．同理可推得．例5.证明．例6.证明．特别地，当时，．例7.求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）.例8.求下列双曲函数的导数．（1）双曲正弦；（2）双曲余弦；（3）双曲正切．例9.求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）.例10.求下列函数的导数．（1）；（2）．例11.已知可导，求下列函数的导数．（1）；（2）．例12.（钢棒长度的变化率）假设某钢棒的长度（cm）取决于气温（℃），而气温又取决于时间（），如果气温每升高1℃，钢棒长度增加2cm，每隔1小时，气温上升3℃，问钢棒长度关于时间的增加有多快？例13.（设备供应商服务范围的增速）某设备供应商在一个圆形区域内提供服务，并且在其服务半径达到5千米时，其服务半径以每年2千米的速度在扩展，问此时该供应商的服务范围以多快的速度在增长？例14.设，求．例15．（刹车问题）某一汽车厂在测试汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的路程（）与时间（s）满足．假设汽车作直线运动，求汽车在时的速度和加速度．例16.求下列函数的阶导数．（1）；（2）.例17.求函数的阶导数.例18.已知，求.例19.已知，求.授课序号03教学基本指标教学课题第2章第3节隐函数及由参数方程确定的函数的求导课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点隐函数求导、对数求导法、参数方程求导教学难点隐函数求导、参数方程求导参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。教学基本内容一．隐函数的导数1.隐函数概念：如果变量和满足一个方程，在一定条件下，当在某区间内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的唯一的值存在，则称方程在区间内确定了一个隐函数．2.隐函数的导数：把方程中的看作是的函数，利用复合函数求导法则，方程两端同时对求导，然后解出．二．对数求导法1.对数求导法：就是先在的两边同取对数，然后借助隐函数求导法，方程两边同时对求导，再整理出的导数．2.幂指函数的导数：（），（1）如果、都可导，则可利用对数求导法求出幂指函数的导数．通过方程两边同取对数，将幂指函数转换成隐函数再求导．（2）利用公式变形成复合函数后再求导．三．由参数方程确定的函数的导数1.都是可导函数，有反函数，函数由参数方程给出，其中为参数，则=.2.如果都具有二阶导数，且，则有.四．例题讲解例1.求由方程所确定的隐函数的导数．例2.求由方程所确定的隐函数，在处的导数．例3.求由方程所确定的隐函数的二阶导数．例4.求函数的导数．例5.已知函数，求．例6.求（）的导数．例7.设求，．例8.（圆的切线方程）某工厂生产一批圆形零件，该零件外部所在圆的参数方程为，现需要沿着零件外部所在圆的切线方向对零件进行加工打磨，求该圆形零件外部圆在处的切线方程．授课序号04教学基本指标教学课题第2章第4节函数的微分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的微分、一阶微分形式的不变性教学难点一阶微分形式的不变性参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求1.理解微分的概念，理解导数与微分的关系。2.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。教学基本内容一．函数的微分1.微分的概念：设函数在的某邻域内有定义，，如果函数的增量，可表示为，其中是不依赖于的常数，是比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，而称为在点处的微分，记为，即.2.定理：（可微与可导的关系）函数在点处可微的充分必要条件是该函数在点处可导，且．3.区间上可微：如果函数对于区间内每一点处都可微，则称函数在区间上可微.4.微分的几何意义：曲线在点处的横坐标有改变量时，点处切线纵坐标的改变量为．二．微分的计算1.基本初等函数的微分公式2.微分的四则运算法则设，都是可微函数，则（1）；（2）；（3）（C为常数）；（4）．3.复合函数的微分法则（1）设都可导，则复合函数的微分为.（2）一阶微分的形式不变性．三．微分的应用1.求函数改变量的近似值：函数在点处可导，且很小时，．2.作近似计算：或.四．例题讲解例1.求函数当时的微分．例2.求下列函数的微分或给定点处的微分．（1），求；（2），求；（3），求及．例3.（受热金属球体积的改变量）半径为10cm的实心金属球受热后，半径伸长了0.05cm，求体积增大的近似值．例4.利用微分近似计算．

第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01教学基本指标教学课题第3章第1节微分中值定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的应用教学难点如何选取适当函数，利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理证明有关问题参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题大纲要求理解并会用罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理。教学基本内容一．罗尔定理1.定理:（罗尔定理）设函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3），则至少存在一点，使得．2.几何意义：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除两端点外，处处都存在不垂直于轴的切线，则其中至少存在一条水平切线．3.代数意义：当可导时，在函数的两个等值点之间至少存在方程的一个根．注(1)定理中的不唯一，定理只表明的存在性；(2)定理的条件是结论成立的充分条件而非必要条件．即条件满足时结论一定成立，若条件不满足，结论可能成立也可能不成立.二．拉格朗日中值定理1.定理：（拉格朗日中值定理）设函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，则至少存在一点，使得.注：（1）拉格朗日中值公式.（2）证明中辅助函数的构造是不唯一的，比如取；（3）拉格朗日中值定理的几何意义：在一段连续曲线上，若除两端点外处处都存在不垂直于轴的切线，则其中至少有一条切线平行于端点连线；(4)拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的一种推广，而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例；2.两个推论（1）设在区间内可导,且，则在内是常值函数．（2）若在区间上，则在上有（是常数）．3.有限增量公式：=.三．柯西中值定理1.定理：（柯西中值定理）设函数、满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，且,则在内至少存在一点，使得．2.柯西中值定理的几何意义：设曲线由参数方程表示，过点与的弦的斜率为，又，在开区间内可导，且,则参数方程所确定的函数的导数为，因此，定理的结论是说在开区间内至少存在一点，使曲线上对应处的点的切线与割线平行．3.拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例.四．例题讲解例1.设，不求导数证明方程有三个实根．例2.证明：方程有且仅有一个小于的正实根.例3.已知函数在上连续，在内可导，且，证明至少存在一点，使得．例4.设，求在上满足拉格朗日中值定理的值．例5.对任意的，证明.例6.利用拉格朗日中值定理证明：当时，.例7.(区间测速)交通管理中测汽车的车速是否超速，一般采用区间测速的方法，假设时间点采集到汽车的位移为，时间点采集到汽车的位移为，可以据此算出平均速度为.比如算出来平均速度为70km/h，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为70km/h；变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于70km/h的情况．如果这段路限速60km/h，那么根据汽车的平均速度为70km/h，就可以判定路程中必然至少有一个点超速．显然是用拉格朗日中值定理解决的一个实际问题．例8.对函数及在区间上验证柯西中值定理的正确性．例9.设函数在上连续，在区间内可导，证明：至少存在一点，使得.授课序号02教学基本指标教学课题第3章第2节洛必达法则课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点用洛必达法则求未定式极限的方法教学难点用洛必达法则求未定式极限参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求掌握用洛必达法则求未定式极限的方法教学基本内容一．“”型未定式1.定理:（洛必达法则I）设、在的某一去心邻域内有定义，如果(1)，；(2)、在的某邻域内可导，且；(3)存在或无穷大，那么.2.如果还是“”型未定式，且函数与满足洛必达法则I中应满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即有，依此类推，直到求出所要求的极限．3．洛必达法则I中，极限过程若换成，以及，，情形的型未定式，结论仍然成立．二．“”型未定式1.定理：（洛必达法则II）设、在的某一去心邻域内有定义，如果，；、在的某邻域内可导，且；存在或无穷大，那么.2.如果还是“”型未定式，且函数与满足洛必达法则II中应满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即有，依此类推，直到求出所要求的极限．3.洛必达法则II中，极限过程若换成，以及，，情形的“”型未定式，结论仍然成立．三．其它类型的未定式1．“”型未定式设，，则（型）,或（型）.2．“”型未定式：可以通过通分化简等方式转化为“”型或“”型未定式．3．“”型未定式：可以通过取对数进行转化,，无论是上述三种类型中的哪一种，均为“”型未定式.四．小结利用洛必达法则求未定式的极限，总结如下：1.洛必达法则只能适用于“”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则．2.只要条件具备，可以连续使用洛必达法则．3.洛必达法则可以和其它求未定式的方法结合使用．4.洛必达法则的条件是充分的，但不必要．在某些特殊情况下洛必达法则可能失效，此时应寻求其他解法.五．例题讲解例1.计算．例2.计算．例3.计算．例4.设在点附近连续，求极限．例5.计算(1);(2).例6.计算．例7.计算．例8.计算．例9.计算．例10.计算．例11.计算．例12.计算.授课序号03教学基本指标教学课题第3章第3节泰勒中值定理课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点将函数展开成泰勒展式，利用泰勒公式求极限教学难点利用泰勒公式求极限参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求理解并会用泰勒定理.教学基本内容一．泰勒中值定理1.定理：(泰勒中值定理)如果在含有的某内具有直到阶导数，则对任意，有，，其中介于与之间．2.泰勒多项式：次多项式称为函数在处的阶泰勒多项式，其系数称为在处泰勒系数.3.泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.4.称为阶带有佩亚诺型余项的泰勒公式．二．麦克劳林公式1.定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任意，称为函数的阶带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.2.带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式为．三．几个重要初等函数的麦克劳林公式例1.求函数的阶麦克劳林公式．例2.求函数的阶麦克劳林公式．另外几个常用函数的麦克劳林公式:（1），其中．（2），其中．（3），其中；（4），其中，，．四．泰勒公式的应用1.泰勒公式间接展开法：利用已知函数的麦克劳林公式，可以间接的写出某些复杂函数的泰勒公式或麦克劳林公式.2.利用泰勒公式求极限：带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式应用于求极限运算中，可以简化运算，它是求某些未定式极限的重要工具.3.求高阶导数值：若函数在点处的泰勒公式可以使用间接展开法得到，则根据泰勒公式的唯一性，可以确定函数在点处的各阶导数值.4.近似计算.五．例题讲解例3.求函数的带有佩亚诺型余项的阶麦克劳林公式．例4.求函数在处的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式．例5.求极限．例6.设，试求.例7.求无理数的近似值，使误差不超过．授课序号04教学基本指标教学课题第3章第4节函数的单调性、极值与最值课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的单调性判别、极值与最值的求法教学难点极值与最值的求法参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。教学基本内容一．函数的单调性1.定理：设函数在区间上可导，对一切有（1），则函数在上单调增加；（2），则函数在上单调减少．2．讨论函数单调性的步骤如下：(1)确定的定义域；(2)求，并求出单调区间所有可能的分界点(包括的驻点、不存在的点、的间断点)，并根据分界点把定义域分成相应的区间；(3)判断一阶导数在各区间内的符号，从而判断函数在各区间中的单调性.二．函数的极值1．极值的定义定义：设在点的某邻域内有定义，若对于内异于的点都满足：（1），则称为函数的极大值，称作极大值点；（2），则称为函数的极小值，称作极小值点．函数的极大值和极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称作极值点．2．极值的判别法定理：（极值的必要条件）若可导函数在点取得极值，则点一定是其驻点，即．对于定理3.9，需要说明两点：定理：（极值存在的第一充分条件）设函数在处连续，在的某邻域内可导，如果满足：（1）当时，；当时，，则在处取得极大值；（2）当时，；当时，，则在处取得极小值；（3）当在点左右邻近取值时，的符号不发生改变，则在点处不取得极值．注：求函数极值的步骤：（1）确定函数的连续区间（初等函数即为定义域）；（2）求导数并求出函数的驻点和导数不存在的点；（3）利用极值存在的第一充分条件依次判断这些点是否是函数的极值点；（4）求出各极值点处的函数值，即得的全部极值．定理：（极值存在的第二充分条件）设函数在点处二阶可导，且，则（1）若，则是的极大值；（2）若，则是的极小值；（3）当时，有可能是极值也有可能不是极值．三．函数的最值1．闭区间上函数的最值（1）设函数在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的性质（最值定理），在上一定存在最值．而且，如果函数的最值是在区间内部取得的话，那么其最值点也一定是函数的极值点；当然，函数的最值点也可能取在区间的端点上．（2）步骤来求给定闭区间上函数的最值：（i）在给定区间上求出函数所有可能极值点：驻点和导数不存在的点；（ii）求出函数在所有驻点、导数不存在的点和区间端点的函数值；（iii）比较这些函数值的大小，最大者即函数在该区间的最大值，最小者即最小值．2．实际应用中的最值（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点，而最值又存在，则可以直接确定该驻点就是最值点，即为相应的最值．四．例题讲解例1.讨论函数的单调增减区间．例2.判断函数的单调性.例3.设确定的单调区间.例4.证明：当时，．例5.求函数的极值．例6.求函数的极值．例7.求函数在区间上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）．图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？例10.面积最大问题将一长为的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05教学基本指标教学课题第3章第5节函数的凹凸性及函数作图课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的凹凸性、拐点，函数作图教学难点函数的凹凸性的判别与拐点的求法参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。教学基本内容一．曲线的凹凸性与拐点1.定义：设函数在区间上连续，如果对上任意两点和，总有，则称在区间上的图形是凹的（或下凸的）；如果总有，则称在区间上的图形是凸的（或下凸的）.2.定义：设函数在开区间内可导,如果在该区间内的曲线位于其上任何一点切线的上方，则称该曲线在内是凹的，区间称为凹区间；反之，如果的曲线位于其上任一点切线的下方，则称该曲线在内是凸的，区间称为凸区间．曲线上凹凸区间的分界点称为曲线的拐点．注：拐点是位于曲线上而不是坐标轴上的点，因此应表示为，而仅是拐点的横坐标，若要表示拐点，必须算出相应的纵坐标．3.定理：设函数在上连续，在内二阶可导，那么（1）若对，，则在上的图形是凹的；（2）若对，，则在上的图形是凸的．4．求函数的凹凸区间和拐点的步骤：（1）确定函数的连续区间（初等函数即为定义域）；（2）求出函数二阶导数，并解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，划分连续区间；（3）依次判断每个区间上二阶导数的符号，确定每个区间的凹凸性，并进一步求出拐点坐标．二．曲线的渐近线1.定义：如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．2．水平渐近线如果曲线的定义域是无限区间，且有或，则直线为曲线的渐近线，称为水平渐近线．3．铅直渐近线设曲线在点的一个去心邻域(或左邻域，或右邻域)中有定义，如果或，则直线称为曲线的铅直渐近线．4．斜渐近线如果，则称直线是曲线的斜渐近线，其中，.三．函数作图利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：1．求出函数的定义域，确定图形的范围；2．讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性；3．计算函数的一阶导数和二阶导数；4．求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大，从左到右插入定义域内，得到若干个子区间；5．列表讨论函数在各个子区间内的单调性、凹凸性、极值点和拐点；6．确定函数图形的水平、铅直渐近线，确定图形的变化趋势；7．求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等，有时还要求出一些辅助点的函数值，然后根据(5)中的表格描点绘图．四．例题讲解例1．判定曲线的凹凸性．例2．讨论曲线的凹凸区间和拐点．例3．求曲线的拐点．例4．问曲线是否有拐点？例5．求反正切曲线的水平渐近线．例6．求曲线的水平渐近线．例7．求曲线的铅直渐近线．例8．求曲线的渐近线．例9．求曲线的渐近线.例10．作出函数的图形.例11．作出函数的图形．授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。教学基本内容一．弧微分1.光滑曲线：设函数在区间内具有连续导数，则曲线在内的每点处有能连续转动的切线，称曲线为光滑曲线.2.弧微分：函数关于的微分，或者称为弧微分公式.二．曲率1.定义：称为曲线在点处的曲率，即=.2.计算公式：设曲线的方程为,且具有二阶导数，.三．曲率半径与曲率圆1.曲率圆与曲率半径的定义：设曲线在点处的曲率（即），在点处作曲线的法线，法线指向曲线凹的一侧.在此侧的法线上取一点，使，以为圆心，为半径作圆，称这个圆为曲线在点处的曲率圆，它的半径称为曲率半径，圆心称为曲率中心.图3.212.曲率圆与曲线在点处有相同的切线与曲率，且在点的邻近有相同的弯曲方向，从而曲率圆与曲线所对应的函数在点有相同的函数值、一阶导数值和二阶导数值.3.在工程设计中，一般可用曲率圆在点附近的一段弧来近似代替曲线弧.三．例题讲解例1.求直线的曲率.例2.求半径为的圆的曲率.例3.求曲线在极小值点处的曲率.例4.在车床加工中，用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，其方程为（单位：）,应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果.

第4章不定积分授课序号01教学基本指标教学课题第4章第1节不定积分的概念与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点原函数与不定积分的概念教学难点原函数的概念参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题大纲要求1．理解原函数概念，理解不定积分的概念。2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质教学基本内容一．原函数1.定义：设是定义在区间上的函数，若对任意的，都有，或，则称是在区间上的一个原函数．2.定理：（原函数存在定理）若函数在区间上连续，则在该区间上一定存在可导函数，使得对任意都有，即区间上的连续函数一定有原函数．3.若是在区间上的一个原函数，即=，则也是在区间上的原函数．即一个函数如果存在原函数，则其原函数有无穷多个.4.定理：设函数是在区间上的一个原函数，那么在区间上的任意一个原函数可以表示为，其中是任意常数．二．不定积分的概念定义：如果是在区间上的一个原函数，则在区间上带有任意常数的原函数称为在区间上的不定积分，记作，即=，其中，称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，任意常数称为积分常数．三．不定积分的几何意义对于确定的常数，表示坐标平面上一条确定的曲线；当取不同的值时，表示一簇曲线．由可知，的不定积分是一簇曲线，这些曲线都可以通过一条曲线向上或向下平移而得到，它们在具有相同横坐标的点处有互相平行的切线．四．不定积分的性质性质1.(1)=，或=；(2)，或.性质2.（为非零常数）.性质3..五．基本积分公式表1．（为常数）；2．（）；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．.六．例题讲解例1.求不定积分(1)；（2）．例2.若池塘结冰的速度由给出，其中是自结冰起到时刻冰的厚度，是正常数，求结冰厚度关于时间的函数．例3.已知某曲线经过点，并且该曲线在任意一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试求该曲线的方程．例4.距离地面处，一质点以初速度铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律．例5.求．例6.求．例7.求．例8.求．例9.求．例10.求．例11.求.例12.求．例13.求．例14.求．例15.求例16.设，且，求.授课序号02教学基本指标教学课题第4章第2节换元积分法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点第一换元积分法与第二换元积分法教学难点第二换元积分法参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求掌握换元积分法教学基本内容一．第一换元积分法1.定理：（第一换元积分法）设有原函数，且是可导函数，则，该公式称为第一换元公式．2.几种常用的凑微分求解的积分形式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）二．第二换元积分法1.定理：（第二换元积分法）设是单调的可导函数，且，又设的一个原函数为，则=,该公式称为第二换元公式．2.常用的第二换元积分法：（1）含有根式时，令；（2）同时含有根式和根式（）时，令，其中是的最小公倍数；（3）含有根式时，令；（4）含有根式时，令；（5）含有根式时，令；（6）当被积函数的分母次幂较高时，还有经常用倒代换.三．例题讲解例1.求．例2.求．例3.求．例4.求．例5.求，．例6.求．例7.求，．例8.求，．例9.求，．例10.求．例11.求．例12.求．例13.求．例14.求.例15．求（1）；（2）．例16．求．例17．求．例18．求．例19．求．例20．求．例21．求.例22．求.四．基本积分公式表14.；15.；16.；17.；18.；19.；20.；21.;22..授课序号03教学基本指标教学课题第4章第3节分部积分法课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点教学难点参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求掌握分部积分法教学基本内容一．分部积分法1．定理：设在区间上都有连续的导数，则有，简记为，或，称为分部积分公式．2．分部积分法应用的基本步骤可归纳为：=．3．分部积分法的关键是合理选取与，一般来说有下列结论：（1）形如，取，．（2）形如或，取，或．（3）形如，取，．（4）形如，，或，取为反三角函数，．（5）形如，，取或，；也可以取，或．二．例题讲解例1.求.例2.求．例3.求．例4.求．例5.求．例6.求．例7.求．例8求．例9.建立递推公式.授课序号04教学基本指标教学课题第4章第4节有理函数的积分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分教学难点有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.教学基本内容一．有理函数的积分1.有理函数的相关概念（1）两个多项式函数的商称为有理函数，也称为有理分式.有理分式的一般表达式为，其中为自然数；，，，,及，，，都是实数，并且,.（2）在有理分式中，当时，称之为真分式；当时，称之为假分式．根据多项式的除法，任意一个假分式都可以化为一个多项式和一个真分式的和，因此有理函数的积分可以转化为多项式或真分式的积分，多项式的积分比较简单，所以只需要讨论真分式的积分.2.真分式的积分（1）任一多项式在实数范围内都可分解为一次因式和二次质因式的乘积；（2）分解原理：分母在实数范围内能分解成如下形式,其中，则真分式可以被分解为如下最简分式的和，,(*)其中等为待定常数，利用待定系数法可以将所有的系数确定.若不计求和次序时，分解式(4.3)是唯一的.3.假设真分式能够分解成如式(*)的分解式，则真分式的积分最终归结为如下面两种部分分式的积分：（1）；（2）.二．三角有理函数的积分1.所谓三角有理函数，是指由、与常数经过有限次的四则运算构成的函数，记作.2.三角函数有理式的积分（1）若满足条件，则令.（2）若满足条件，则令.（3）若满足条件，则令.（4）利用积化和差公式，，．（5）利用降幂公式：，．（6）利用万能代换：令，则．三．例题讲解例1.求.例2.求.例3.求.例4.求.例5.求.例6.求.例7.求.例8.求.例9.求.最后指出，虽然理论上可以证明，初等函数在其定义区间内都有原函数，但是其原函数不一定都是初等函数，有些函数的不定积分不能用初等函数表示.例如，.对这些积分，形式上很简单的积分，已经证明是积不出来的.

第5章定积分及其应用授课序号01教学基本指标教学课题第5章第1节定积分的概念与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点定积分的定义与性质教学难点用定积分的定义求定积分参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题大纲要求1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理.教学基本内容一．定积分的概念1．两个实际问题引例1曲边梯形的面积问题设函数在区间上非负连续，由曲线，直线,以及轴所围成图形称为曲边梯形，求曲边梯形的面积.引例2速直线运动路程问题设有一质点沿某直线作变速直线运动，其速度随时间变化的规律是，求该质点在时间到这段时间间隔内走过的路程．二．定积分的概念1.定义：设函数在区间上有界，在内任意插入个分点，将区间分成个小区间（），每个小区间的长度记为（），在每个小区间上任取一点，作乘积，再求和，记（），取时上述和式的极限，如果该极限存在，则称函数在区间上可积，此极限值为函数在区间上的定积分，记作，即，其中称为被积函数，称为积分变量，称为被积表达式，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限，称为在上的积分和．2.定理：(i)函数在闭区间上连续，则函数在区间上可积；(ii)函数在闭区间上除有有限个第一类间断点外处处连续，则在区间上可积．三．定积分的几何意义1.当函数在上非负时，表示由，直线和轴所围成的曲边梯形的面积.2.当函数在上非正时，的值是一个负值，表示由，直线和轴所围成的曲边梯形（在轴的下方）的面积的相反数．3.当函数在区间上有正有负时，定积分表示由，直线和轴所围成的图形各部分面积的代数和．四．定积分的性质性质1．=.性质2（是常数）．性质3（区间可加性）设是三个任意的实数，则.性质4（保序性）若在区间上有，则．推论1若在区间上有，则．推论2若在区间上可积，则在区间上可积，且．性质5（估值定理）设和分别是函数在区间上的最大值和最小值，则．性质6（定积分中值定理）设函数在区间上连续，则在区间上至少存在一点，使得．五．例题讲解例1.计算定积分．例2.用定义求定积分．例3.不计算定积分的值，比较下列定积分的大小．（1）与；（2）与.例4.估计定积分的值．授课序号02教学基本指标教学课题第5章第2节微积分基本公式课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点换元积分法、分部积分法、积分上限函数及其导数、牛顿－莱布尼兹公式教学难点换元积分法、分部积分法、积分上限函数及其导数、牛顿－莱布尼兹公式参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求1．掌握换元积分法与分部积分法。2．理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼兹公式。教学基本内容一．积分上限函数1.设函数在区间上连续，对任意，有在上连续，因此函数在上可积,则定积分的值由积分上限在区间上的取值决定，因此积分定义了一个在区间上的函数,称为积分上限函数,记作,.2.定理：设函数在区间上连续，则积分上限函数在区间上可导，且.3.注：（1）；（2）；（3）；（4）；二．微积分基本公式定理：设函数在区间上连续，且是在该区间上的一个原函数，则，称为牛顿━莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.三．定积分的换元积分法定理：如果函数在区间上连续，函数满足条件（1）当(或)时,,（2）在区间（或）上有连续的导数,且，（3），,则有定积分换元公式.四．定积分的分部积分法定理：设在上具有连续的导数，则.简记为，这就是定积分的分部积分公式．五．例题讲解例1.求函数的导数（1）；（2）．例2.求极限．例3.求积分上限函数的导数．例4.求定积分（1）；（2）．例5．求定积分．例6.设求的值，使．例7.一辆汽车正以10的速度匀速直线行驶，突然发现一障碍物，于是以-1的加速度减速，求汽车完全停止前所行驶的路程．例8.求定积分．例9.求定积分．例10.证明：．例11.求定积分.例12.设函数在区间（）上连续，试证：(1);(2)例13.计算下列定积分（1）；（2）．例14.求定积分例15.求定积分．例16.某工厂排出大量废气，造成了严重污染，于是工厂通过减产来控制废气的排放量，若第年废气的排放量为，求该厂在到年间排出的废气总量．例17.求定积分（为非负整数），并用所求结果计算.授课序号03教学基本指标教学课题第5章第3节广义积分课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点无穷区间上的广义积分与瑕积分的计算教学难点无穷区间上的广义积分与瑕积分的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学基本内容一．无穷区间上的广义积分1.定义：设函数在区间上连续，任取，如果极限存在，则称该极限值为函数在无穷区间上的广义积分，记作，即，此时,也称广义积分收敛；若极限不存在，则称广义积分发散．2.函数在上的广义积分，即，若右端极限存在,则称广义积分收敛;否则,则称广义积分发散．3.函数在上的广义积分，即,其中是任意的常数，是小于的任意数，是大于的任意数．此广义积分只有当上述等式中两极限同时存在时才是收敛的，如果有一个极限不存在，则称该广义积分是发散的．4.设是的一个原函数，记，，则,,.这时无穷限的广义积分的收敛与发散就取决于极限是否存在．二．无界函数的广义积分1.定义：如果函数在点的任一邻域内都无界，则称点为函数的瑕点．2.定义：设函数在区间上连续，点为的瑕点．取，如果极限存在，则称此极限为函数在区间上的广义积分，记作，这时称广义积分收敛；如果上述极限不存在，称广义积分发散．，这时称广义积分收敛；如果上述极限不存在，称广义积分发散．4.设函数在区间上除点（）外连续，点为的瑕点．如果两个广义积分和都收敛，则定义，这时称广义积分收敛；否则，就称广义积分发散．5.如果是在上的原函数，是瑕点，则有.6.若是瑕点，则有．三．例题讲解例1.求由轴，轴以及曲线所围的，延伸到无穷远处的图形的面积.例2.讨论广义积分的敛散性．例3.讨论广义积分（）的敛散性．例4.计算广义积分．例5.在电力需求的电涌时间，消耗电能的速度可以近似地表示为，求当时的总电量．例6.计算广义积分．例7.讨论广义积分的敛散性．例8.讨论的敛散性．例9.证明：广义积分，当时是收敛；当≥时发散．授课序号04教学基本指标教学课题第5章第4节定积分的应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积教学难点计算变力做功、引力、压力等参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学基本内容一．微元法一般地，当实际问题中的所求量满足以下两个要求：(1)是一个与变量的变化区间有关的量，且对于区间具有可加性,既如果将分成若干小区间,则相应的分成许多部分量,而等于所有部分量的和；(2)部分量的近似值可表示为，其中是[]上任意取定的一点，是[]的长度.则量就能用定积分表示.一般的,量表示成定积分的具体方法步骤是：（1）根据实际问题建立适当的坐标系，选取一个变量(例如)作为积分变量，并确定它的变化区间；（2）在区间内任取代表小区间，将相应于该小区间的部分量的近似表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，称为量的微元，记作，即，与相差一个比高阶的无穷小()；（3）以所求量的积分元素为积分表达式在区间上作定积分，即，这种简化了的求定积分的方法称为微元法或元素法．二．定积分在几何上的应用1．平面图形的面积(1)直角坐标系中平面图形的面积（i）由曲线,和直线,围成图形的面积，其中函数，在区间上连续.（ii）由曲线,和直线,（）围成图形的面积为：．（2）极坐标中的平面图形的面积由曲线及射线，所围图形的面积.2.体积（1）旋转体的体积（i）设一旋转体由连续曲线,直线,及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积公式．（ii）由连续曲线,直线,及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体，其体积公式为．（iii）设一旋转体由连续曲线,直线（）,及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成，则其体积为.（2）平行截面面积为已知的立体体积设立体在过点,且垂直于轴的两个平行平面之间，并设过任意一点的截面面积为，这里