工程力学(1)(Ⅰ)静力学实例分析31

静力学工程实例分析例1屋架如图a所示。A处为固定铰链支座，B处为滚动支座，搁在光滑的水平面上。已知屋架自重在屋架的AC边上承受了垂直于它的均匀分布的风力，单位长度上承受的力为q。试画出屋架的受力图。解:(1)取屋架为研究对象，除去约束并画出其简图。(2)画主动力。有屋架的重力和均布的风力q。(3)画约束反力。因A处为固定铰文，其约束反力通过铰链中心A，但方向不能确定，可用两个大小未知的正交分力和表示。B处为滚动支座，约束反力垂直向上，用表示。屋架的受力图如图b所示。例2图a所示的平面构架，由杆AB、DE及DB铰接而成。A为滚动支座，E为固定铰链。钢绳一端拴在K处，另一端绕过定滑轮I和动滑轮II后拴在销钉B上。物重为，各杆及滑轮的自重不计。(1)试分别画出各杆、各滑轮、销钉B以及整个系统的受力图;(2)画出销钉B与滑轮I一起的受力图;(3)画出杆AB、滑轮I、II、钢绳和重物作为一个系统时的受力图。解:(1)取杆BD为研究对象(B处为没有销钉的孔)。由于杆BD为二力杆，故在铰链中心D、B处分别受、两力的作用，其中为销钉给孔B的约束反力，其受力图如图b所示。(2)取杆AB为研究对象(B处仍为没有销钉的孔)。A处受有滚动支座的约束反力的作用;C为铰链约束，其约束反力可用两个正交分力、表示；B处受有销钉给孔B的约束反力，亦可用两个正交分力、表示，方向暂先假设如图。杆AB的受力图如图1-23c所示。(3)取杆DE为研究对象。其上共有D、K、C、E四处受力，D处受二力杆给它的约束反力(=-);K处受钢绳的拉力，铰链C受到反作用力与(=-，=-);E为固定铰链，其约束反力可用两个正交分力与表示。杆D也的受力图如图1-23d所示。(4)取轮I为研究对象(B处为没有销钉的孔)。其上受有两段钢绳的拉力、(=-)外，还有销钉B对孔B的约束反力,及，其受力图如图1e所示(亦可根据三力平衡汇交定理，确定铰链B处约束反力的方向，如图中虚线所示)。(5)取轮II为研究对象，其上受三段钢绳拉力、及，其中=-。轮II的受力图如图1-23f所示。(6)单独取销钉B为研究对象，它与杆DB、AB、轮I及钢绳等四个物体连接，因此这四个物体对销钉都有力作用。二力杆DB对它的约束反力为(=-);杆AB对它的约束反力为、(=-、=-);轮I给销钉B的约束反力为与(=-、=-);另外还受到钢绳对销钉B的拉力(=-)。其受力图如图g所示。(7)当取整体为研究对象时，可把整个系统刚化为刚体;其上铰链B、C、D及钢绳各处均受到成对的内力，故可不画。系统的外力除主动力P外，还有约束反力与、。其受力图如图h所示。(8)当取销钉B与滑轮I一起为研究对象时，销钉B与滑轮I之间的作用与反作用力为内力，可不画。其上除受三绳拉力、及外，还受到二力杆BD及杆AB在B处对它的约束反力及、。其受力图如图i所示。(9)当取杆AB、滑轮I、II以及重物、钢绳(包括销钉B)一起为研究对象时，此时可将此系统刚化为一个刚体。这样，销钉B与轮I、杆AB、钢绳之间的作用与反作用力，都是作用在同一刚体上的成对内力，可不画。系统上的外力有主动力，约束反力、及、外，还有K处的钢绳拉力。其受力图如图所示。此题较难，是由于销钉B与四个物体连接，销钉B与每个连接物体之间都有作用与反作用关系，故销钉B上受到的力较多，因此必须明确其上每一个力的施力物体。必须注意:当分析各物体在B处的受力时，应根据求解需要，将销钉单独画出或将它属于某一个物体。因为各研究对象在B处是否包括销钉，其受力图是不同的，如图1-23e与图1-23i。以后凡遇到销钉与三个以上物体连接时，都应注意上述问题。读者还可以分析当杆DB包括销钉B或杆AB包括销钉B为研究对象时的受力图，并与图1-23b或图1-23c比较，且说明各力之间的作用力与反作用力关系。例3图a所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为=21kN·m，OA=r=O.5m。图示位置时OA与OB垂直,α=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩，及铰链O、B处的约束反力。解:先取圆轮为研究对象，其上受有矩为，的力偶及光滑导槽对销子A的作用力心和铰链O处约束反力Fo的作用。由于力偶必须由力偶来平衡，因而与必定组成一力偶;力偶矩方向与相反，由此定出指向如图b。而与等值且反向。由力偶平衡条件=0，-rsinα=0解得=(a)再以摇杆BC为研究对象，其上作用有矩为的力偶及力'与，如图2-23c所示。同理，'与必组成力偶，由平衡条件=0,-+'=0其中'=。将式(a)代人式(b)，得=4=8kN·m与组成力偶，与'组成力偶，则有====8kN方向如图2-23b、c所示。=0

例4重力坝受力情形如图3-7a所示。设=450kN,=200kN，=300kN，=70kN。求力系的合力的大小和方向余弦、合力与基线OA的交点到点O的距离x以及合力作用线方程。解:(1)先将力系向点O简化，求得其主矢'和主矩Mo(图3-7b)。由图3-7a，有θ=∠ACB=arctan=16.7°主矢'在x、y轴上的投影为:'==-cosθ=232.9kN'==---sinθ=-670.1kN主矢'的大小为'==709.4kN主矢'的方向余弦为cos(',i)==0.3283cos(',j)==-0.9446则有∠(',i)=±70.84°∠(',j)=180°±19.16°故主矢'在第四象限内，与x轴的夹角为-70.48°力系对点O的主矩为Mo=()=-3-1.5-3.9=-2355kN·m(2)合力的大小和方向与主矢'相同。其作用线位置的x值可根据和力矩定理求得图c，即Mo=Mo()=Mo()+Mo()其中Mo()=0故Mo=Mo()=·x解得例5塔式起重机如图3-14所示。机架重=700kN作用线通过塔架的中心。最大起重量=200kN，最大悬臂长为l2m，轨道AB的间距为4m。平衡荷重，到机身中心线距离为6m。试问：(1)保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重应为多少?(2)当平衡荷重=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力?解:(1)要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的所有力满足平衡条件。起重机所受的力有:载荷的重力，机架的重力，平衡荷重,以及轨道的约束反力和。当满载时，为使起重机不绕点B翻倒，这些力必须满足平衡方程(F)=0。在临界情况下，=0。这时求出的值是所允许的最小值。(F)=O,(6+2)+2-(12-2)=0=(10-2)=75kN当空载时,=0。为使起重机不绕点A翻倒，所受的力必须满足平衡方程散(F)=0。在临界情况下，=0。这时求出的值是所允许的最大值。(F)=O,(6-2)-2=0==350kN起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不会翻倒，平衡荷重应在这两者之间，即75kN<<350kN(2)取=180kN,求满载时，作用于轮子的约束反力和。此时，起重机在力、、以及、的作用下平衡。根据平面平行力系平衡方程，有:(F)=0，(6-2)-·2-(12+2)+·4=0(a)=0,---++=O(b)由式(a)解得

==870kN代人式(b)得=2lOkN我们利用多余的不独立方程乏(F)=0，来校验以上计算结果是否正确。取(F)=0，(6+2)+·2-(12-2)-·4=0求得==210结果相同，说明计算无误。例6图a所示为曲轴冲床简图抽轮I、连杆AB和冲头B组成。A、B两处为铰链连接。OA=R,AB=l。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置飞冲压力为F时系统处于平衡状态。求:(1)作用在轮I上的力偶之矩M的大小;(2)轴承O处的约束反力;(3)连杆AB受的力;(4)冲头给导轨的侧压力。解:(1)首先以冲头为研究对象。冲头受冲压阻力F、导轨反力以及连杆(二力杆)的作用力作用，受力如图3-17b所示，为一平面汇交力系。设连杆与铅直线间的夹角为α,按图示坐标轴列平衡方程=O,-sinα=0(a)=O，F-cosα=0(b)由式(b)得=为正值说明假设的的方向是对的，即连杆受压力(图3-17c)。代入式(a)得=Ftanα=F冲头对导轨的侧压力的大小等于。(2)再以轮I为研究对象。轮I受平面任意力系作用，包括矩为M的力偶，连杆作用力以及轴承的反力、(图3-17d)。按图示坐标轴列平衡方程(F)=O，cosα·R-M=0(c)=0,+sinα=0(d)=0,+cosα=0(e)由式(c)得M=FR由式(d)得=-sinα=-由式(e)得=-cosα=-F负号说明，、的方向与图示假设的方向相反。此题也可先取整个系统为研究对象，再取冲头为研究对象，列平衡方程求解。请读者自解，并作比较。例7齿轮传动机构如图3-19a所示。齿轮I的半径为r,自重。齿轮II的半径为R=2r，其上固结一半径为「的塔轮III，轮II与III共重=2。齿轮压力角为α=20°，被提升的物体C重为P=2O。求:(1)保持物C匀速上升时，作用于轮1上力偶的矩M;(2)光滑轴承A、B的约束反力。解:先取轮II、III及重物C为研究对象，受力如图3-1gb所示。齿轮间的啮合力可沿节圆的切向及径向分解为圆周力F和径向力。列平衡方程=0，-二0=0，-P-F-=0(F)=0,-FR=O由以上三式及压力角定义tanα=,且α=20°解出F==lO,=Ftanα=3.64==3.64,=++F=32再取轮I为研究对象，受力如图3-19c所示。列方程=O,+'=0=0,+F'-=0(F)=0，M-F'r=0解得=-'=-3.64，=-F'=-9,M=F'r=10r例8图a所示为钢结构拱架，拱架由两个相同的钢架Ac和BC用铰链C连接，拱脚A、B用铰链固结于地基，吊车梁艾承在钢架的突出部分D、E上。设两钢架各重为P=60kN;吊车梁重为=20kN，其作用线通过点C;载荷为=10kN;风力F=10kN。尺寸如图所示。D、E两点在力P的作用线上。求固定铰支座A和B的约束反力。解:(1)选整个拱架为研究对象。拱架在主动力P、、、F和铰链A、B的约束反力、、、作用下平衡，受力如图a所示。列出平衡方程，有:(F)=0,12-5F-2P-4-6=o(a)=0,F+-=0(b)=0,+--2P=0(c)以上三个方程包含四个末知数，欲求得全部解答，必须再补充一个独立的方程。(2)选右边钢架为研究对象，其上受有左边钢架和吊车梁对它的作用力、和的作用。另外还有重力P和铰链B处的约束反力、功的作用，如图b所示。于是可列出三个独立的平衡方程。为了减少方程中的未如量数目，采用力矩方程，即(F)=0,6-lO-4(P+)=O(d)这时又出现了一个未知数。为求得该力的大小，可再考虑吊车梁的平衡。(3)选吊车梁为研究对象，吊车梁在、和支座约束反力'、'的作用下平衡，如图c所示。为求得'可列如下方程(F)=0,8'-4-2=0(e)由式(e)解得'=12.5kN由式(a)求得'=77.5kN将和的值代入式(d)得=17.5kN代入式(b)得=7.5kN代入式(c)得=72.5kN例9在图a中，已知重力P，DC=CE=AC=CB=2l;定滑轮半径为R，动滑轮半径为r,且R=2r=l,θ=45°。试求:A、E支座的约束反力及BD杆所受的力。解:应根据已知与待求量，选取适当的系统为研究对象，并列适当的平衡方程;尽量能使一个方程解出一个未知量。先取整体为研究对象，其受力图如图3-2la所示。列平衡方程。(F)=0··2l+Pl=0(a)=0cos45°+=0(b)=0sin45°+-P=0(c)由式(a)解得=P将上式代入式(b)、(c)=P-sin45°=为求BD杆所受的力，应取包含此力的物体或系统为研究对象。从前面的各受力图中可知，取杆DCE为研究对象最为方便，杆DCE的受力图如图3-2lb所示。列平衡方程(F)=0·cos45°·2l+·l-·2l(d)其中=，=;代人上式，得=例10在图a中，皮带的拉力=2，曲柄上作用有铅垂力=20OON。已知皮带轮的直径D=400mm，曲柄长R=300mm,皮带1和皮带2与铅垂线间夹角分别为α和β,α=30°,β=60°(参见图b)，其它尺寸如图所示。求皮带拉力和轴承反力。解:以整个轴为研究对象。在轴上作用的力有:皮带拉力、;作用在曲柄上的力;轴承反力、、和。轴受空间任意力系作用，选坐标轴如图所示，列出平衡方程:=0，sin30°+sin60°++=0=0，0=0=0,-cos30°-cos60°-++=0=0,cos30°×2OO+cos6O°×200-×200+×400=0=0，-(-)=0=0,sin30°×200+sin60°×200-×400=0又有=2联立上述方程，解得=300ON,=600ON=-1004N,=9397N=3348N，=-1799N此题中，平衡方程=0成为恒等式，独立的平衡方程只有5个;在题设条件=2之下，才能解出上述6个末如量。例11车床主轴如图a所示。已知车刀对工件的切削力为:径向切削力=4.25kN，纵向切削力=6.8kN,主切削力(切向)=17kN，方向如图所示。与几分别为作用在直齿轮C上的切向力和径向力，且=0.36。齿轮C的节圆半径为R=5Omm,被切削1件的半径为r=30mm。卡盘及工件等自重不计，其余尺寸如图(单位为mm)。求:(1)齿轮啮合力及;(2)径向轴承A和止推轴承B的约柬反力;(3)三爪卡盘E在O处对工件的约束反力。解:先取主轴、卡盘、齿轮以及工件系统为研究对象，受力如图a所示，为一空间任意力系。取坐标系Axyz如图所示，列平衡方程:=0，-+-=0=0，-=0=0,+++=0=0，-(488+76)-76+388=0=0，R-r=0=0，(488+76)-76-30+388=0又，按题意有=0.36以上共有七个方程，可解出全部7个未知量，即=10.2kN,=3.67kN=15.64kN,=-31.87kN=-1.19kN,=6.8kN,=11.2kN再取工件为研究对象，其上除受3个切削力外，还受到卡盘(空间插人端约束)对工件的6个约束反力、、、、、，如图所示。取坐标轴系Oxyz如图，列平衡方程=0，-=0=0，-=0=0，-=0=0,+1OO=0=0,-30=0=0，+1OO-30=0求解上述方程，得=4.25kN,=6.8kN,=-17kN=-1.7kN·m，=0.51kN·m，=-0.22kN·m空间任意力系有6个独立的平衡方程，可求解6个未知量，但其平衡方程不局限于式(4-32)所示的形式。为使解题简便，每个方程中最好只包含一个未知量。为此，我们在选投影轴时应尽量与其余末知力垂直;在选取矩的轴时应尽量与其余的未知力平行或相交。投影轴不必相互垂直，取矩的轴也不必与投影轴重合，力矩方程的数目可取3个至6个。现举例如下。

已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆B上滑动，并带动摇杆B绕固定轴摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离比O=l。试求：当曲柄在水平位置时摇杆的角速度。解：选取曲柄端点A为动点，把动参考系x'y'固定在摇杆B上。点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，绝对速度的大小和方向都是已知的，它的大小等于rω，而方向与曲柄OA垂直；相对运动是沿B方向的直线运动，相对速度的方向是已知的，即沿B；牵连运动则是摇杆绕轴的摆动，牵连速度是杆B上与点A重合的那一点的速度，它的方向垂直于B，也是已知的。共计有四个要素已知。由于的大小和方向都已知，因此，这是一个速度分解的问题。如图所示做出速度平行四边形。由其中的直角三角形可求得又所以设摇杆在此瞬时的角速度为，则其中由此得出此瞬时摇杆的角速度为

::例二::...

已知：如图所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。试求：在图示位置时，杆AB的速度。解：因为杆AB作平移，各点速度相同，因此只要求出其上任一点的速度即可。选取杆AB的端点A为动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。点A的绝对运动是直线运动，绝对速度方向沿AB；相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，相对速度方向沿凸轮圆周的切线；牵连运动则是凸轮绕O轴的转动，牵连速度为凸轮上与杆端A点重合的那一点的速度，它的方向垂直于OA，它的大小为。根据速度合成定理，己知四个要素，即可做出速度平行四边形，如图所示。由三角关系求得杆的绝对速度为

::例三::...

已知：矿砂从传送带A落到另一传送带B上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度为，方向与铅直线成角。传送带B水平传动速度。试求：矿砂相对于传送带B的速度。解：选矿砂M为动点，动参考系固定在传送带B上。矿砂相对地面的速度为绝对速度；牵连速度应为动参考系上与动点相重合的那一点的速度。可设想动参考系为无限大，由于它作平移，各点速度都等于。于是等于动点M的牵连速度。由速度合成定理知，三种速度形成平行四边形，绝对速度必须是对角线，因此做出的速度平行四边形如图所示。根据几何关系求得与间的夹角为

::例四::...

已知：圆盘半径为R，以角速度绕水平轴CD转动，支承CD的框架又以角速度绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。试求：当连线OM在水平位置时，圆盘边缘上的点M的绝对速度。解：选点M为动点，动参考系与框架固结。点M的相对运动是以O为圆心，在铅直平面内的圆周运动，相对速度垂直于OM，方向朝下，大小为点M的牵连速度为动参考系上与动点M相重合的那一点的速度，是绕z轴以角速度转动的动参考系上该点的速度，因此速度矢在水平面内，垂直于半径OM。于是垂直。根据点的速度合成定理得式中的β为与铅直线间的夹角。返回

::科氏加速度::...

科氏加速度是1832年由科利奥里发现的，因而命名为科利奥里加速度，简称科氏加速度。科氏加速度在自然现象中是有所表现的。地球绕地轴转动，地球上物体相对于地球运动，这都是牵连运动为转动的合成运动。地球自转角速度很小，一般情况下其自转的影响可略去不计；但是在某些情况下，却必须给予考虑。例如，在北半球，河水向北流动时，河水的科氏加速度'向西，即指向左侧，如图所示。由动力学可知，有向左的加速度，河水必受有右岸对水的向左的作用力。根据作用与反作用定律，河水必对右岸有反作用力。北半球的江河，其右岸都受有较明显的冲刷，这是地理学中的一项规律。

::例一::...

已知：空气压缩机的工作轮以角速度ω绕垂直于图面的O轴匀速转动，空气以相对速度沿弯曲的叶片匀速流动，如图所示。如曲线AB在点C的曲率半径为ρ，通过点C的法线与半径间所夹的角为φ，CO=r。试求：气体微团在点C的绝对加速度。解：取气体微团为动点，动参考系固定在工作轮上，定参考系固定于地面。因动参考系作转动，故气体微团在点C的绝对加速度为相对、牵连和科氏加速度三项的合成。现分别求这三项加速度。：等于动参考系上的点C的加速度。因工作轮匀速转动，故只有向心加速度，即方向如图所示。：由于气体微团相对于叶片作匀速曲线运动，故只有法向加速度，即方向如图所示。：由可确定在图示平面内，并与垂直，指向如图所示。它的大小为根据加速度合成定理：将其投影到Ox'轴和Oy'轴，得于是，绝对加速度的大小可按下式求得的方向可由其方向余弦确定。

::例二::...

已知：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆B上滑动，并带动摇杆B绕固定轴摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离比O=l。试求：摇杆B在如图所示位置时的角加速度。解：动点和动参考系选择同§8-2节例一。因为动参考系作转动，因此加速度合成定理为由于，欲求摇杆B的角加速度a，只需求出即可。现在分别分析上式中的各项：：因为动点的绝对运动是以O为圆心的匀速圆周运动，故只有法向加速度，方向如图所示，大小为：摇杆上与动点相重合的那一点的加速度。摇杆摆动，其上点A的切向加速度为垂直于A，假设指向如图；法向加速度为，它的大小为方向如图所示。在§8-2节例一中已求得，故有：因相对轨迹为直线，故沿A，大小未知。：由知由§8-2节例一知于是有方向如图所示。为了求得，应将加速度合成定理向x'轴投影：即或解得式中，故为负值。负号表示真实方向与图中假设的指向相反。摇杆B的角加速度负号表示与图示方向相反，α的真实转向应为逆时针转向。

::例三::...

已知：如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度转动。套筒A可沿BC杆滑动，BC=DE，且BD=CE=l。试求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：由于DBCE为平行四边形，因而杆BC作平移。以套筒A为动点，绝对速度=r。以杆BC为动系，牵连速度等于B点速度。其速度合成关系如上图所示。由图示几何关系解出因而杆BD的角速度ω方向如图，大小为动系BC为曲线平移，牵连加速度与B点加速度相同，应分解为和两项。由加速度合成定理，有其中而和为未知量，暂设和的指向如图下图。将式（1）两端向y轴投影，得解出解得为正，表明所设指向正确。动系平移，点B的加速度等于牵连加速度，因而杆BD的角加速度方向如图，值为

::例四::...

已知：如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度ω绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运动，且O，A，B共线。凸轮上与点A接触点为A'，图示瞬时凸轮上的A'的曲率半径为，点A'的法线与OA的夹角为θ，OA＝l。试求：该瞬时杆AB的速度和加速度。解：如果取凸轮上的点A'作为动点，动系固结在杆AB上，所看到的相对运动轨迹是不清楚的。因此取杆AB上的点A为动点，动系固结在凸轮上。绝对运动是点A的直线运动，牵连运动是凸轮绕O轴的定轴转动，相对运动是点A沿凸轮轮缘的运动。各速度矢的方向如图上图所示，由点的速度合成定理=+其中=ωl可求得绝对运动是直线运动，因此沿直线AB方向；牵连运动是匀速定轴转动，因此指向点O；相对加速度由切向加速度和法向加速度组成。其中由于牵连运动为转动，因此有科氏加速度，大小为各加速度方向如下图所示。点的加速度合成定理为

向η轴投影有解得

::例五::...

已知：圆盘半径R=50mm，以匀角速度绕水平轴CD转动，同时框架和CD轴一起以匀角速度绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所示。试求：圆盘上1和2两点的绝对加速度。解：首先计算点1的加速度。取圆盘上的点1为动点，动参考系与框架固结，则动参考系绕AB轴转动。应用加速度合成定理，有：是动参考系上与动点相重合的那一点的加速度。动参考系是无限大体，其上与动点相重合的点以O为圆心在水平面内作匀速圆周运动，因此这点只有法向加速度，它的大小为方向如图所示。：动点的相对运动以O为圆心，在铅直平面内作匀速圆周运动，因此也只有法向加速度，它的大小为方向如图所示。：由确定的大小为于是点1的绝对加速