2025-2026学年《11.4直角三角形》同步测试题鲁教版（五四制）七年级下学期数学 含答案

/2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.4直角三角形》同步自主达标测试题一、单选题（满分24分）1．下列命题中，其逆命题是假命题的是（

）A．直角三角形的两个锐角互余 B．对顶角相等C．等边三角形的每个内角都是60° D．全等三角形的对应边相等2．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（

A．AB=3，BC=4，AC=5C．∠A−∠B3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，那么这个等腰三角形底角的度数为（

）A．24° B．66° C．66°或24° D．66°或42°4．如图，在等边△ABC中，E为AC的中点，过点E作DE⊥AB于点D，交BC的延长线于点F，过点F作FG⊥AC，交AC的延长线于点G，若ADA．10 B．8 C．6 D．45．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90∘，AB=3A．144 B．72 C．48 D．246．如图，小杰想测量旗杆的高度AB，他站在点C处，利用无人机在点E处测得ED=EC，当小杰走到点D位置时，测得∠EDC=60°，若EC=6米，AD=1米，旗杆AB与地面A．8米 B．9米 C．10米 D．11米7．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是400m/min，甲客轮用30min到达A处，乙客轮用40min到达B处．若A，B两处的直线距离为20000A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°8．一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下（OG⊥AD），支持力N的方向与斜面垂直ON⊥AB，摩擦力f的方向与斜面平行OC∥AB．若摩擦力f与重力G方向的夹角A．30° B．35° C．40° D．45°二、填空题（满分24分）9．命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是_____________．10．如图，已知∠A=∠D=90°，若以“HL”判定11．如图，已知AC=BD,∠ABC12．如图，在△ABC中，已知AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则13．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2，则∠1+∠2=_____．14．如图，在△ABC中，BC=25，AC=20，AB=15，∠ABC与∠ACB的平分线交于点15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交边AC于E，且AD16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、①DC=BC；②△ADF≌△ABE；③EF三、解答题（满分72分）17．（6分）如图，在△ABC中，AB=15，AC=17，∠ABC>90°，点D在AC边上，将△ABD沿着BD折叠得(1)用尺规作出△EBD(2)若∠ABD=30°，CE=8，连接BE18．（6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E(1)求证：△ADF(2)若D为AB中点，AC=10，BE=3，求19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A(1)求证：∠C(2)求证：AC=20．（8分）将Rt△ABC与Rt△DAE按如图所示的方式摆放，延长DE交BC于点F，连接AF，其中∠ACB(1)证明：AE=(2)若AE=5，AD=13，求21．（8分）如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC=80cm，BC=60(1)判断支架AC，BC是否垂直；(2)求点C到AB的距离22．（8分）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄C，河边原有两个观景台A，B，其中AB=BC，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台D（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得AC=3km，(1)通过计算说明，CD是从村庄C到渭河边最短的路线；(2)求原来的路线BC的长．23．（8分）某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，小华和小明分别提交了绿化地引水灌溉方案的设计．如图，AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8小华设计的铺设管道方案：从水源点G处直接铺设管道引水分别到浇灌点E，F．小明设计的铺设管道方案：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．社区管理人员在绿化地施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量A，C两点之间的距离，就确定了∠ABC(1)施工人员测量出A，C两点之间的距离为________m；(2)若建造绿化地每平方米的费用为100元，求建造绿化地的总费用；(3)若∠EGF=90°，EF=1024．（10分）【探究感悟】（1）如图1，△ABD，△AEC都是等边三角形，求证：【迁移应用】（2）如图2，若△ABD是等边三角形，AB=AM，AC平分∠①求∠C②试判断AN、BC、BM之间的数量关系，并证明．25．（10分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=AC,点D在直线AB上，连接(1)发现问题：如图1，①当点D在AB边上时，线段BE和线段AD的数量关系是，位置关系是．②线段AB，BD，BE之间的数量关系是．(2)探究问题：如图2，点D在B右侧．上述①②结论是否仍然成立，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，∠DCE=∠DBE答案1．解：A．原命题的逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意，B．原命题的逆命题为相等的角是对顶角，该逆命题是假命题，故该选项符合题意，C．原命题的逆命题为每个内角都是60°的三角形是等边三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意，D．原命题的逆命题为对应边相等的三角形是全等三角形，该逆命题是真命题，故该选项不符合题意．2．B【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，以及三角形的内角和为180°．用勾股定理的逆定理，即可判断A、B；根据三角形的内角和即可判断C、D．【详解】解：A、∵32∴△ABCB、设AB=2∵2k∴△ABCC、∵∠A−∠B∴∠A+∠B∴△ABCD、设∠A=x解得：x=30°∴∠C∴△ABC故选：B．3．C【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的外角的定义及性质，等边对等角，直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，需分△ABC为锐角三角形和△【详解】解：设等腰三角形ABC中，AB=AC，作腰AC上的高BD，垂足为则BD⊥AC，∵BD与AB的夹角为42°，即∠ABD∴在Rt△ABD中，当△ABC点D在AC上，∠BAD∴底角∠ABC当△ABC点D在AC的延长线上，∠ABD∴∠DAB∴底角∠ABC综上，底角为66°或24°，故选：C．4．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，直角三角形两锐角互余，先由等边三角形的性质得AB=BC=AC，∠ACB=∠A=∠B=60°，结合DE⊥AB以及直角三角形的两个锐角互余得∠AED【详解】解：∵△ABC∴AB=∵DE⊥∴∠ADE∴∠AED=90°−60°=30°，∵AD=2∴AE=2∵点E为AC的中点，∴CE=∵∠CEF∴CF=∵FG⊥∴∠G∵∠FCG∴∠CFG∴CG=∴AG=故选：A．5．D【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．连接AC，根据Rt△ABC，用勾股定理求出AC的长度，再用勾股定理的逆定理，证△ACD是直角三角形，根据四边形ABCD的面积等于Rt【详解】解：如图，连接AC，∵∠ABC=90°∴AC又∵CD∴C∴△ACD∴四边形ABCD的面积为S=故选：D．6．C【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，30°直角三角形的性质，直角三角形的锐角互余，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用．先证明△DCE为等边三角形，然后推出∠B=30°【详解】解：∵∠EDC=60°，∴△DCE∴∠D∵EC=6∴CD=6∵AD=1∴AC=∵AB⊥∴∠B∴BC=2故选：C．7．C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出∠AOB=90°，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于斜边根据速度和时间计算甲、乙行驶路程，利用勾股定理逆定理判断两路线垂直，再根据甲的方向推导乙的可能方向.【详解】∵甲行驶路程：400×30＝12000m乙行驶路程：400×40＝16000m又∵120002+16000∴120002∴△OAB为直角三角形，且∠∵甲航行方向为北偏东30°，∴乙航行方向与甲垂直，可能为北偏西60°或南偏东60°，选项中南偏东60°对应C，∴乙客轮航行方向可能为南偏东60°.故C．8．A【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，延长NO交AD于点E，构造直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系．【详解】解：如下图所示，延长NO交AD于点E，∵ON⊥AB∴ON∴∠COE∵∠1=120°，∴∠EOG∵OG∴∠OGE∴∠EOG∴∠OEG又∵ON∴∠2+∠OEG∴∠2=30°．故选：A．9．如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等【分析】本题考查命题与定理，关键掌握三角形全等的判定定理及性质．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个三角形全等，结论是：那么这两个三角形的对应边相等，∴其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等．故如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等．10．AB=DC【分析】根据两直角三角形全等的判定定理：即在一对直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等．题干已经有公共边—斜边，由此即可得出需要添加的条件是直角边对应相等．本题考查了根据证明三角形全等，掌握判定三角形全等是解题的关键．【详解】解：根据题意，得BC是公共边，且为斜边，根据“HL”判定三角形全等，缺少的是对应相等的直角边，由Rt△故应该添加的条件是AB=DC或故AB=DC或11．25°/25度【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB=25°，根据已知条件证明【详解】解：∵∠ABC∴∠ACB在Rt△ABC和AC=∴Rt△∴∠DBC故25°．12．30【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理；延长AD到E，使DE=AD，连接BE，先运用SAS证明△ADC≌△EDB【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接在△ADC与△AD=∴△ADC∴AC=∴S△在△ABE中，AB∴AB∴∠BAE∴S△故30．13．45°【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题．【详解】解：如图所示，作AC∥DE，连接

则∠1=∠3，设每个小正方形的边长为a，则AB=5a，BC∵AB2∴△ABC是等腰直角三角形，∠∴∠BAC∴∠3+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°，故45°．14．45°/45度【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由AC2+AB【详解】解：∵BC=25，AC=20，∴AC∴△ABC是直角三角形，∠∴∠ABC∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点∴∠ACD=1∴∠ABD故45°．15．3【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长AD、BC交于点F，由BD⊥AD且BD平分∠ABC，证得△AFC≌△BEC，可得AD=FD，再根据∠FAC+∠AED【详解】解：如图，延长AD、BC交于点∵BD⊥AD且BD平分∴∠ABD=∠FBD∵BD∴△ADB∴AD=∵∠FAC+∠AED=90°∴∠在△AFC和△∠FAC∴△AFC∴AF∴AD故3．16．①③④【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．连接AC，由AB⊥CB、AD⊥CD可得∠ABC=∠ADC=90°，进而可证得△ABC≌△ADC，于是可得DC=BC，故结论①正确；根据已知条件不能推出△ADF≌△ABE，故结论②错误；延长EB到G，使BG=DF，连接AG，利用SAS可证得△ADF【详解】解：如图，连接AC，∵AB⊥CB，∴∠ABC在Rt△ABC和AB=∴Rt△∴DC=根据已知条件不能推出△ADF如图，延长EB到G，使BG=DF，连接∵AB⊥CB，∴∠ADF在△ADF和△AD=∴△ADF∴AF=AG，∠DFA∵∠EAF=70°，∴∠DAF∴∠EAG∴∠EAF在△EAF和△AF=∴△EAF∴EF∵△EAF∵∠AEF∴AE平分∠FEB综上所述，正确的结论有①③④，故①③④．17．(1)图见解析；(2)∠BEC【分析】本题考查作图—作三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，翻折变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题．（1）分别以D，B为圆心，AD，BA为半径作弧，两弧交于点E，连接DE，BE，AE，CE即可；（2）证明△ABE是等边三角形，求得∠AEB=60°，AB=AE，利用勾股定理的逆定理证明△【详解】（1）解：如图，△EBD（2）∵△ABD沿着BD折叠得△∴△ABD∴∠ABD=∠EBD∵∠ABD∴∠ABE∴△ABE∴∠AEB=60°，∵AE=15，AC=17，AE2=225，A∵225+64=289，∴AE∴△AEC是直角三角形，∠∴∠BEC18．(1)见解析(2)DE【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关性质与勾股定理．（1）利用等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余，证明∠F（2）利用勾股定理在Rt△BDE中求解，先求出BD的长度，再计算【详解】（1）证明：∵AB=∴∠B∵DE⊥∴∠DEB在Rt△BDE中，在Rt△FEC中，∵∠B∴∠BDE又∵∠BDE∴∠ADF∴AD=∴△ADF（2）解：∵AB=AC=10，D∴BD在Rt△BDE中，BD=5由勾股定理得：DE=5答：DE的长为4．19．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF【详解】（1）证明：∵AB=∴△ABE又∵D为BE的中点，∴AD⊥在Rt△ABC和Rt△∴∠C（2）证明：∵AF∥∴∠EAF∵AB=∴∠ABE∴∠EAF∵EF∴∠BAC∵AB∴△BAC∴AC=20．(1)见解析(2)10【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．（1）利用HL证明△AEF（2）先利用勾股定理求得DE=12，证明△AED设CF=x，在【详解】（1）证明：∵BC=BF∴EF=CF，又AF=∴△AEF∴AE=（2）解：在Rt△ADE中AE∴DE∵AB∴BE∵∠AED=∠ACB=90°∴△∴BC设CF=x，则EF在Rt△BEF则8解得x∴CF的长为10321．(1)AC⊥(2)48【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可；（2）过C作CD⊥AB于【详解】（1）解：AC⊥理由：∵AC=80cm，CB=60∴AC2+∴AC∴∠ACB∴△ABC∴AC⊥（2）解：如图，过C作CD⊥AB于∵S△∴80×60=100×CD，解得CD即点C到AB的距离为48cm22．(1)见解析(2)原来的路线BC的长为2.5【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由勾股定理逆定理得出△ACD是直角三角形，即CD（2）设AB=BC=xkm，则在Rt△BCD【详解】（1）解：在△ACD中，AC=3km，CD∴CD2∴CD∴△ACD是直角三角形，即CD∴CD是从村庄C（2）解：设AB=在Rt△BCD中，BC=xkm由勾股定理，得BC2=解这个方程，得x=2.5∴原来的路线BC的长为2.5km23．(1)15(2)11400元(3)小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元【分析】（1）运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．（2）运用勾股逆定理进行列式计算，可得∠DAC（3）先计算出FG=6m，则可计算出小华的方法费用为6+8×50=700（元），利用等面积法计算出GH【详解】（1）解：当测量AC=15m时，∴∠ABC（2）解：如图，连接AC，∵AD∴∠DAC∴S△DAC∴四边形ABCD的面积=60+54=114m∴建造绿化地的总费用为100×114=11400（元）．（3）解：∵∠EGF=90°，EF=10∴FG∵GH∴S∴GH∴小华设计的铺设管道方案所需的费用为6+8×50=700（元），小明设计的铺设管道方案所需的费用为10+∵700<740．答：小华设计的方案所需费用较少，且铺设管道所需的最少费用为700元．24．（1）见解析；（2）①60°；②3BC【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和