初中数学几何知识点详解与练习册

初中数学几何知识点详解与练习册第一章几何初步：点、线、角几何的殿堂，从认识最基本的图形元素开始。1.1点、线、面、体*知识点详解：*点（Point）：点是构成图形的最基本元素，它没有大小，通常用大写字母表示，如点A、点B。*线（Line）：线是由无数个点组成的，它有长度，但没有宽度和厚度。线分为直线、射线和线段。*射线（Ray）：由线段的一端无限延长所形成的图形，只有一个端点。*线段（LineSegment）：直线上两点间的部分，有两个端点，它的长度是可以度量的。两点之间，线段最短。*面（Plane）：面由线运动而成，它有长度和宽度，但没有厚度。面分为平面和曲面。我们初中阶段主要研究平面图形。*体（Solid）：体由面围成，它有长、宽、高。我们生活在三维的立体世界中，但几何入门先从二维的平面图形开始。*关系：点动成线，线动成面，面动成体。*核心例题解析：*例1：下列说法正确的是（）A.延长直线AB到CB.画射线OB=5cmC.线段AB和线段BA是同一条线段D.射线OA与射线AO是同一条射线*解析：直线本身是无限延伸的，不能延长，A错误；射线一端无限延伸，无法度量长度，B错误；线段有两个端点，线段AB和线段BA端点相同，是同一条线段，C正确；射线OA的端点是O，向A方向延伸，射线AO的端点是A，向O方向延伸，不是同一条射线，D错误。故答案选C。*基础练习：1.判断下列说法是否正确：(1)经过三点一定能画出一条直线。(2)线段是直线的一部分。(3)角的两边是两条线段。1.2角*知识点详解：*角（Angle）：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。*角的度量：角的度量单位是度（°）、分（′）、秒（″）。1°=60′，1′=60″。*角的表示方法：*用三个大写字母表示，如∠AOB（顶点O在中间）。*用一个大写字母表示（顶点处只有一个角时），如∠O。*用一个数字表示，如∠1。*用一个希腊字母表示，如∠α。*角的分类：*锐角（AcuteAngle）：大于0°且小于90°的角。*直角（RightAngle）：等于90°的角。*钝角（ObtuseAngle）：大于90°且小于180°的角。*周角（RoundAngle）：等于360°的角（一边旋转一周与另一边重合）。*角的比较与运算：*叠合法：将两个角的顶点及一条边重合，比较另一条边的位置。*度量法：用量角器量出角的度数，再比较大小。*角的和、差、倍、分运算与代数运算类似。*余角与补角：*补角（SupplementaryAngle）：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。*性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。*角平分线（AngleBisector）：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。*核心例题解析：*例2：已知∠α的补角是它的3倍，求∠α的度数。*解析：设∠α的度数为x°，则它的补角为(180-x)°。根据题意，得180-x=3x。解方程得4x=180，x=45。所以∠α的度数为45°。*基础练习：1.一个角的余角是35°，则这个角的度数是多少？它的补角是多少？2.如图，OC是∠AOB的平分线，若∠AOC=30°，则∠AOB是多少度？∠BOC是多少度？（请自行在草稿纸上画出示意图）第二章相交线与平行线当直线不再孤立，它们之间的位置关系便产生了丰富的几何性质。2.1相交线*知识点详解：*相交（Intersection）：两条直线有且只有一个公共点时，称这两条直线相交。*对顶角（VerticalAngles）：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角。对顶角相等。*邻补角（AdjacentSupplementaryAngles）：两条直线相交后所得的有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角。邻补角互补（和为180°）。*垂线（PerpendicularLine）：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。*性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。*垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。*点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。*核心例题解析：*例3：如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD=35°，求∠AOC的度数。*解析：因为OE⊥AB，所以∠AOE=90°（垂直定义）。又因为点A、O、B在同一直线上，所以∠AOD+∠DOB=180°。而∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°（平角定义），即90°+35°+∠DOB=180°，所以∠DOB=55°。因为∠AOC与∠DOB是对顶角，所以∠AOC=∠DOB=55°（对顶角相等）。*基础练习：1.如图，直线a、b相交于点O，若∠1=50°，则∠2、∠3、∠4的度数分别是多少？2.判断题：从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。（）2.2平行线及其判定*知识点详解：*平行线（ParallelLines）：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。通常用符号“∥”表示，如AB∥CD。*平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。*平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（如果a∥b，b∥c，那么a∥c）*同位角、内错角、同旁内角：（请结合“三线八角”模型理解，即两条直线被第三条直线所截）*同位角（CorrespondingAngles）：在截线的同侧，被截两直线的同一方。*内错角（AlternateInteriorAngles）：在截线的两侧，被截两直线之间。*同旁内角（ConsecutiveInteriorAngles）：在截线的同侧，被截两直线之间。*平行线的判定方法：1.定义法（不常用）：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线。2.同位角相等，两直线平行。3.内错角相等，两直线平行。4.同旁内角互补，两直线平行。5.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。6.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。*核心例题解析：*例4：如图，已知∠1=∠2，∠3=100°，求∠4的度数，并说明理由。（提示：先判断哪两条直线平行）*解析：因为∠1=∠2（已知），且∠1和∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角，所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。因为a∥b，所以∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）。又因为∠3=100°（已知），所以∠4=180°-∠3=180°-100°=80°。*基础练习：1.如图，直线AB、CD被直线EF所截，若∠1=∠2，则哪两条直线平行？为什么？2.如图，若∠A+∠D=180°，可以判断哪两条直线平行？依据是什么？2.3平行线的性质*知识点详解：两条平行线被第三条直线所截，具有以下性质：1.两直线平行，同位角相等。2.两直线平行，内错角相等。3.两直线平行，同旁内角互补。*平行线的性质与判定的区别与联系：*区别：判定是由角的数量关系（相等或互补）得到线的位置关系（平行）；性质是由线的位置关系（平行）得到角的数量关系（相等或互补）。*联系：它们都以两条直线被第三条直线所截为前提；它们的条件和结论是互逆的。*核心例题解析：*例5：如图，AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，求∠E的度数。（提示：过点E作AB的平行线或延长AE与CD相交构造三角形）*解析：（方法一：构造辅助线）过点E作EF∥AB。因为AB∥CD（已知），EF∥AB（所作），所以EF∥CD（平行公理的推论）。因为EF∥AB，所以∠A=∠AEF=70°（两直线平行，内错角相等）。因为EF∥CD，所以∠C=∠CEF=40°（两直线平行，内错角相等）。所以∠E=∠AEF-∠CEF=70°-40°=30°。（方法二：延长AE交CD于点F）因为AB∥CD，所以∠A=∠AFC=70°（两直线平行，内错角相等）。在△EFC中，∠AFC是外角，等于∠C+∠E，即70°=40°+∠E，所以∠E=30°。*基础练习：1.如图，AB∥CD，∠1=65°，则∠2的度数是多少？∠3的度数是多少？2.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度可能是（）A.第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B.第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C.第一次向左拐40°，第二次向左拐140°D.第一次向右拐40°，第二次向右拐40°第三章三角形三角形是最简单的多边形，也是研究更复杂图形的基础。3.1三角形的边与角*知识点详解：*三角形（Triangle）：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。*三角形的基本元素：三条边、三个内角、三个顶点。*三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。*三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。*三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。*三角形的外角（ExteriorAngle）：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。*三角形外角的性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。3.三角形的外角和等于360°。*三角形的分类：*按角分：*锐角三角形（三个角都是锐角）*直角三角形（有一个角是直角，直角所对的边叫斜边，另两边叫直角边）*钝角三角形（有一个角是钝角）*按边分：*不等边三角形（三条边都不相等）*等腰三角形（有两条边相等，相等的边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角）*等边三角形（三条边都相等，也叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形）*等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形。*核心例题解析：*例6：下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，4，8(2)5，6，11(3)5，6，10*解析：(1)因为3+4=7<8，不满足三角形两边之和大