2026年山东济宁市邹城市初中学业水平考试（模拟）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年山东济宁市邹城市初中学业水平考试（模拟）数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，点A、B表示的数分别为a、b.下列式子中，正确的是(

)．

A.a<−b B.a−b>0 C.a+b>0 D.ab>02.盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人，寓意天地人和．如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是(

)

A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同

C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同3.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据达175000000000用科学记数法表示为(

)A.1.75×103 B.1.75×10124.下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.5.下列运算正确的是(

)A.a6÷a2=a3 B.6.中国书法是一门古老的艺术，它伴随着中华文明的发展而发展，被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”.如图，这是正面分别用楷书、行书、楷书、隶书写有“马”字的四张卡片，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的概率是(

)

A.112 B.18 C.167.如图，在▵AOB中，AO=AB，点B在x轴上，点C，点D分别为OA、OB的中点，连接CD，点E为CD上任意一点，连接AE、BE，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A，若▵ABE的面积为4，则k的值为(

)

A.−4 B.−8 C.−6 D.18.如图，在▵ABC中，∠C=90∘①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点③作射线AP交BC于点D；④分别以A，D为圆心，以大于12AD的长为半径画弧，两弧相交于点G，⑤作直线GH，分别交AC,AB于点E，F．依据以上作图，若AF=3，CE=1，则▵ACD的面积是(

)

A.2 B.22 C.49.如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE=13BC，点P沿BD从点B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，PE+PC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为10，则最高点N的纵坐标a的值为(    )．A.6 B.3+10 C.3+10.定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”.若二次函数y=x2−2x+c(c为常数)在−1<x<3的图象上存在两个“和谐点”，则cA.4<c<7 B.4<c<254 C.0<c<7 二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。11.若m，n互为倒数，且满足mn+1=3，则m=

．12.将2a2−18因式分解后的结果为

13.如图，在⊙O中，OA=2，∠C=45∘，则图中阴影部分的面积为

．

14.定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割(sec)，锐角A的正割记作secA.已知在Rt▵ABC中，∠C=90∘，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE=90∘，DE=CE15.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE=4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB=5，CF=2，则线段EP的长是

．

三、计算题：本大题共1小题，共8分。16.按要求完成下列各题：(1)计算：13(2)解不等式组：5x−1≤3x+1四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板ABCD上裁剪出一对“仿古三角旗”(阴影部分)，其中点E，F分别在AD，BC上，连结EF交AC于点G．【数学理解】(1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出▵AEG∽▵CFG的证明过程．(2)若AB=2BF=4DE，CG=5，求AG的长．18.(本小题8分)综合与实践：【问题情境】2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，林老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．【信息收集】信息一信息二线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需400元；若买15个玩偶和15个徽章共需450元．2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买60元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折．(1)【问题探究】线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？(2)【问题解决】林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共40个，请你帮林老师算一算，购买玩偶的数量在什么范围内时，方式一更划算？19.(本小题16分)

人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩(单位：分)进行了统计分析：(1)【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：

.(请填写序号)①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩；②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩；③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩；④分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%

学生的竞赛成绩．【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A

，B

，C

，D

四组进行整理如表：组别ABCD成绩(a/

分)60≤a<7070≤a<8080≤a<9090≤a≤100【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图．

(2)【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：①抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图；②抽取的样本数据中位数所在组别是_____组；(3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是

度；(4)若竞赛成绩80分以上(含80分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数．20.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，延长AB至点F，使得EF=AE.过点A作⊙O的切线，交FC延长线于点H，连结AD．

(1)求证：四边形ADCH是平行四边形．(2)若⊙O半径为5，AH=8，求BF的长．21.(本小题10分)如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头P的仰角∠APN

、俯角∠BPN

都为15∘

，摄像头高度OP=150cm

，识别的最远水平距离OQ=120cm

(1)小玲站在离摄像头水平距离80cm

的点M处，恰好能被识别(头的顶部恰好在仰角线AP

处)，请问小玲的身高约为多少厘米？(2)身高145cm

的小婷，头部高度为16cm

，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．(结果精确到0.1cm

.参考数据：sin15∘≈0.26

，cos1522.(本小题12分)

已知二次函数y=ax2−2ax+1

(a≠0

(1)求该函数图象的对称轴；(2)若a>0

，当−1≤x≤2

时，y

的最大值为5

，求函数的解析式；(3)已知Mx1,m

，Nx2,m

为该函数图象上两点，当4≤x223.(本小题20分)综合与探究【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”．【示例】如图1，在四边形ABCD

中，∠ABC=∠ACD=90∘

，AC

平分∠BAD

，则四边形ABCD

为“旋直四边形”，AC

(1)【概念辨析】用分别含有30​∘

或45∘

的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有

(2)【问题解决】如图1，在“旋直四边形ABCD

”中，∠ABC=∠ACD=90∘

，AC

为“旋直分割线”.求证：(AD−AB

(3)【拓展应用】如图2，四边形ABCD

是矩形，CE⊥AC

，∠EAC=∠CAD

，AE

与BC

交于点F

.若S▵ACE−S▵ACD=

(4)如图3，在▱ABCD

中，AB=1

，AD=4

，cosB=13

，点E

是平面内一点，点F

是AD

边上一点，若四边形ABEF

是“旋直四边形”，AE

是“旋直分割线”，EF

与BC

交于点G

，求

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】2

12.【答案】2a+313.【答案】π−2

14.【答案】215.【答案】1316.【答案】【小题1】解：1=3+=4−2【小题2】解：5x−1≤3解不等式①：展开得5x−1≤3x+3

移项合并同类项得2x≤4解得x≤2解不等式②：两边同乘6去分母得22x−1展开得4x−2−15x−3<6

合并同类项得−11x<11解得x>−1因此不等式组的解集为−1<x≤2，所有整数解为0,1,2

17.【答案】【小题1】解：∵在菱形ABCD中，AD/​/BC，∴▵AEG∽▵CFG，【小题2】解：∵AB=2BF=4DE，∴BF=12AB又∵在菱形ABCD中，AD=AB=BC，∴AE=AD−DE=AB−1CF=BC−BF=AB−1由(1)得：▵AEG∽▵CFG，∴AG∴AG∴AG=15

18.【答案】【小题1】解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，由题意，得10x+20y=400解得x=20y=10答：玩偶的销售单价是20元，徽章的销售单价是10元；【小题2】解：设购买玩偶m个，则购买徽章40−m个，由题意，按照方案一购买需：60+20m+1040−m×0.8=8m+380(按照方案二购买需：20m+1040−m×0.9=9m+360(元当8m+380<9m+360时，解得m>20，∵购买玩偶和徽章共40个，∴当20<m≤40时，方案一更划算．

19.【答案】【小题1】④【小题2】①总样本容量为57÷38%=150，因此A组的人数=150−(57+45+28)=20，补全频数分布直方图如下：，故答案为：150；②样本容量150，那么中位数为第75，76人成绩的平均数，由于A组人数20人，B组人数57人，∴抽取的样本数据中位数所在组别是B组；故答案为：B；【小题3】108【小题4】1500×45+28150=730(答：估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数是730人．

20.【答案】【小题1】证明：连接AC，∵CD⊥OB，EF=AE，∴CD垂直平分AF，∴AC=CF，∴∠F=∠CAF，∵CD⊥OB，∴BC∴∠CAF=∠DAF，∴∠DAF=∠F，∴AD//CF，∵AH是⊙O的切线，∴∠HAF=90∴∠HAF=∠CEF=90∴HA//CD，∴四边形ADCH是平行四边形；【小题2】解：连接OC，则OC=OA=OB=5，由(1)知四边形ADCH是平行四边形，∴CD=AH=8，∵CD⊥OB，∴CE=4，∴OE=∴AE=OA+OE=8,BE=OB−OE=2，∵AE=EF，∴EF=8，∴BF=EF−BE=6．

21.【答案】【小题1】解：如图，过M作OQ

的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F，由题意得，∠POQ=∠OPF=∠FMO=90∘∴

四边形POMF

是矩形，∴PF=OM=80cm

，MF=OP=150cm

，在Rt△PEF

中，tan∠EPF=EFPF

，∴EF=PF⋅tan15∴ME=MF+EF=150+21.6≈171.6cm

答：小玲的身高约是171.6

厘米；【小题2】解：小婷能被摄像头识别，理由如下：如图，过Q作OQ

的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，由(1)可知，四边形POQH

是矩形，∴PH=OQ=120cm

，QH=OP=150cm∵

在Rt▵PCH

中，tan∠CPH=CHPH

，∴CH=PH⋅tan15同理GH=PH⋅tan∠GPH=PH⋅∴GQ=QH−GH=150−32.4=117.6cm

，CQ=QH+CH=150+32.4=182.4cm∴

小婷头部以下的高度为：145−16=129cm

∵129cm>117.6cm

，且小婷身高145cm<182.4cm

，∴

小婷整个头部都在摄像头视角范围内，∴

小婷能被摄像头识别．

22.【答案】【小题1】解：对称轴为直线x=−−2a2a【小题2】解：∵a>0

，图象开口向上，对称轴为直线x=1

，当−1≤x≤2

时，越远离对称轴函数值越大，∴

当x=−1

时，y

的最大值为5，∴5=a+2a+1

，a=43∴y=43【小题3】解：∵

点M(x1,m)

和N(x2∴

这两点关于抛物线的对称轴对称，由(1)可知，对称轴为直线x=1

，∵4≤x2∴x1设点M

，N

到对称轴的距离为d

(d>0

)，则有：x∴∵4≤x2∴4≤2d≤6

，解得d

的取值范围为：2≤d≤3

，将x2=1+d

代入函数解析式求mm=a(1+d=a(1+2d+=a+2ad+a=a=a(∵

当2≤d≤3

时，m≥4

恒成立，分情况讨论：①当a>0

时：抛物线开口向上，在2≤d≤3

范围内，m=a(d2−1)+1

随∴

当d=2

时，m

取得最小值，要使m≥4

恒成立，只需mmin≥4(223a+1≥4

，3a≥3

，a≥1此时满足a>0

的条件；②当a<0

时：抛物线开口向下，在2≤d≤3

范围内，m=a(d2−1)+1

随∴

当d=3

时，m

取得最小值，要使m≥4

恒成立，只需mmin≥4(8a+1≥48a≥3a≥这与前提条件a<0

矛盾，故此时无解(舍去)；综上所述，a

的取值范围是a≥1

．

23.【答案】【小题1】②【小题2】证明：方法1：如图，过点C

作CE⊥AD

于点E

，∵AC

为“旋直分割线”，即AC

平分∠BAD

，∴∠CAB=∠CAE

，又∵∠B=∠AEC=90∘

，AC=AC∴▵CAB≌▵CAEAAS

∴BC=CE

，AB=AE

，∴DE=AD−AE=AD−AB

，在Rt▵CDE

中，DE2∴(AD−AB)2方法2：如图，延长DC

交AB

延长线于点F

，∵AC

为“旋直分割线”，即AC

平分∠BAD

，∴∠CAB=∠CAD

，又∵∠ACD=∠ACF=90∘

，AC=AC∴▵ACD≌▵ACFASA

∴CD=CF

，AD=AF

，∴BF=AF−AB=AD−AB

，∵在Rt▵BCF

中，BF2∴(AD−AB)2【小题3】解：方法1：如图，过点C

作CH⊥AE

于点H

，则∠AHC=90∘∵

四边形ABCD

是矩形，∴∠B=∠D=90∘

，AB=CD

，AD/​/BC∵∠D=∠AHC=90∘

，∠EAC=∠CAD

，AC=AC∴▵ADC≌▵AHCAAS

∴CH=CD=AB

，S▵ACD=∴S▵ACE∴S▵CEH∴EH=12∵AD//BC

，∴∠3=∠1=∠2

，∴AF=CF

，又∵∠B=∠CHF=90∘

，∠AFB=∠CFH∴▵ABF≌▵CHFAAS

∴BF=FH

，又∵∠3+∠FCE=90∘

，∠2+∠E=90∴∠FCE=∠E

，∴FC=FE

，设HE=a

，则BF=FH=2a

，EF=FC=AF=3a

，BC=5a

，∴AB=A∴ABAD方法2：如图，延长EC

交AD

延长线于点M

，∵∠ACE=∠ACM=90∘

，∠1=∠2

，AC=AC

∴▵ACE≌▵ACMASA

∴CE=CM

，S▵ACE=∴S▵ACE∴12∵

矩形ABCD

，∴AB=CD

，AD=BC

，AD/​/BC

，∴∠EFC=∠EAM

，∠ECF=∠M

，DM=12∴△ECF∽△EMA

，设DM=a

，则BF=2a

，∴CFAM∴CFCF+2a+a∴CF=3a

，AD=BC=2a+3a=5a

，∵∠ADC=∠CDM=90∘

，∠MCD+∠ACD=∠1+∠ACD=90∴∠1=∠MCD

，∴▵MDC∽▵CDA

，∴DMCD∴aCD∴CD=∴ABAD【小题4】解：①当AE

平分∠FAB

时，“旋直四边形ABEF

”如图所示，则∠ABE=∠AEF=90∘作FM⊥BE

，EN⊥AD

，垂足分别为M

、N

，则FM//AB

．∵

在▱ABCD

中，AB=1

，AD=4

，∴AB=CD=1

，AD/​/BC

，AD=BC=4

，∵∠ENA=∠EBA=90∘

，∠NAE=∠BAE

，AE=AE∴▵AEN≌▵AEBAAS

∴AN=AB=1

，∠NEA=∠BEA

，∵∠FEN+∠N