北师大版初中数学九年级上册：用树状图或表格求概率教案

北师大版初中数学九年级上册：用树状图或表格求概率教案

一、设计思想与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，立足于发展学生的核心素养，特别是数据观念、模型观念、应用意识和创新意识。课程设计遵循“以学生发展为本”的理念，贯彻“问题情境—建立模型—求解验证—应用拓展”的数学教学基本模式。

概率论是研究随机现象规律的数学分支，其思想方法渗透到现代社会的方方面面。对于初中生而言，从定性感知“可能性”到定量刻画“概率”，是一次重要的数学思维飞跃。树状图和表格作为枚举所有等可能结果的基本工具，是学生系统学习概率计算的逻辑起点和关键枢纽，其本质是帮助学生有序、不重不漏地列出样本空间，从而将复杂的随机问题转化为可计数、可计算的古典概型问题。

本设计强调知识的生成过程而非结论的机械记忆。通过创设真实、有意义且富有认知冲突的问题情境，引导学生亲身经历“为何需要工具（列表、画树）—如何构建工具—如何运用工具—如何优化工具”的完整探究历程。在教学过程中，注重渗透分类讨论、有序思考、数形结合、模型构建等数学思想方法，培养学生思维的严谨性与条理性。同时，通过跨学科联系（如遗传学、决策分析）和数字化工具（如概率模拟软件）的适度整合，拓宽学生视野，展现数学的广泛应用价值，促进深度学习的发生。

二、教学内容分析

本节内容隶属于“统计与概率”领域中的“随机事件的概率”部分。在北师大版九年级上册教材中，它承接了“认识概率”之后，是学生首次系统学习概率的计算方法，并为后续学习“用频率估计概率”以及高中阶段的概率知识奠定坚实的理论基础和思维基础。

核心知识点包括：

1.古典概型的条件回顾：有限个等可能的结果。

2.枚举法的局限与工具引入的必要性：当等可能结果较多或事件过程为多步骤时，系统化工具的价值凸显。

3.树状图法：适用于涉及多个步骤、且每一步有多种可能性的随机试验。它能清晰展示事件发生的所有可能路径（样本点），强调过程的时序性与层次性。

4.列表法（也称表格法）：特别适用于涉及两个因素（如两次摸球、掷两枚骰子）的随机试验。它以二维表格的形式呈现所有等可能的组合结果，直观且易于计算涉及两个因素的事件概率。

5.方法的比较与选择：引导学生根据具体问题的特征（步骤数、因素数），灵活、恰当地选择工具，并理解两种方法的内在联系（列表可视为压缩的二维树状图）。

教学重点：掌握用树状图或列表法计算简单随机事件的概率。

教学难点：1.如何正确、规范地构造树状图或表格，确保列出所有等可能结果且不重不漏。2.在复杂情境中识别等可能的基本事件，并正确计算出目标事件所包含的结果数。3.理解并区分“放回”与“不放回”对样本空间造成的本质影响。

三、学情分析

九年级的学生已具备以下认知基础：

1.知识基础：了解了概率的古典定义（P(A)=m/n），能计算一步试验的简单概率（如掷一枚均匀骰子出现偶数点的概率）；掌握了基本的枚举法。

2.能力基础：具备一定的逻辑思维能力和分类讨论的意识，能够进行简单的有序思考。

3.经验基础：在生活中对“可能性”有丰富的感性认识。

然而，学生可能面临以下学习障碍：

1.思维障碍：从“无序”列举到“有序、系统”构建的思维跃迁存在困难。在面对多步骤问题时，容易遗漏或重复计数。

2.理解障碍：对“等可能性”这一前提条件理解不深，容易忽略问题背景（如“放回”与“不放回”）对等可能性的影响。

3.工具选择障碍：对于何时用树状图、何时用列表法感到困惑，可能机械记忆而非基于问题结构进行判断。

针对以上分析，本设计将通过阶梯式的问题链、合作探究活动以及正误辨析环节，搭建思维脚手架，引导学生突破难点。

四、教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握用树状图或列表法计算随机事件概率的一般步骤。

2.3.能根据具体问题的特征，灵活选择树状图或列表法，有序、不重不漏地列出所有等可能结果。

3.4.能准确计算涉及两步及两步以上古典概型事件的概率，并能区分“放回”与“不放回”抽样对概率计算的影响。

5.过程与方法：

1.6.经历从实际问题抽象为数学模型的过程，体会树状图和表格作为分析工具的形成必要性。

2.7.通过动手画图、列表、对比分析等数学活动，发展有条理地思考问题的能力和归纳概括能力。

3.8.在解决问题的过程中，体验分类讨论、数形结合、模型思想等数学思想方法的应用。

9.情感、态度与价值观：

1.10.通过探究活动，感受数学工具的力量和系统性思维的价值，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.11.体会概率在生活、科学决策中的广泛应用，形成用数学的眼光观察现实世界的意识。

3.12.在小组合作与交流中，养成严谨求实的科学态度和乐于分享的合作精神。

五、教学重难点及突破策略

1.教学重点：用树状图或列表法计算古典概型的概率。

1.2.突破策略：通过“问题驱动，对比生成”的方式，让学生在解决具体问题的过程中，亲身经历方法的建构、应用与优化。设计从简单到复杂的例题序列，通过反复操作强化步骤规范性。

3.教学难点：规范、完整地列出所有等可能结果；理解“放回”与“不放回”的本质区别。

1.4.突破策略：

1.2.5.针对“规范列舉”：采用“师生共析—示范板书—学生模仿—同伴互评—错例辨析”五步法。强调树状图分支的“等可能性”标注和表格的行列标题。利用数字化工具（如动态几何软件）进行过程模拟，可视化呈现所有可能路径，辅助理解。

2.3.6.针对“放回与不放回”：设计对比鲜明的成组问题（如同一情境下的两种抽取方式），引导学生分别用两种工具求解，并对比其样本空间和概率结果的差异。从“后续选择的可能性是否受前面结果影响”这一本质进行讨论，深化理解。

六、教学准备

1.教师：多媒体课件（含GeoGebra或类似软件的模拟动画）、实物投影仪、导学案。

2.学生：直尺、铅笔、课堂练习本。

3.教学环境：具备分组讨论条件的教室。

七、教学过程

(一)创设情境，温故知新，引发认知冲突(预计时间：8分钟)

1.情境导入：

师：同学们，学校即将举办“数学游园会”，我们班需要设计一个有趣的抽奖游戏。老师这里有一个不透明的袋子，里面装有三个除颜色外完全相同的小球，两个红色（R1，R2），一个白色（W）。游戏规则是：参与者从中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，摇匀后再摸一次。如果两次摸到的颜色相同，即可获奖。请问，获奖的概率是多少？

2.温故与尝试：

师：这是一个什么类型的概率问题？

生：古典概型，因为每个小球被摸到的可能性相同。

师：概率公式是什么？

生：P(获奖)=满足条件的结果数/所有等可能的结果数。

师：好，现在请同学们先独立思考，尝试用我们以前学过的方法来算一算这个概率。

（学生静思1-2分钟，教师巡视，可能发现部分学生尝试无序列举，如：RR，RW，WR，WW，但发现WW不可能，于是得到P=1/3；也可能有学生列举不全或重复）

3.暴露冲突，引出课题：

师：我看到同学们得到了不同的答案。谁来说说你的思考和结果？

（学生A可能回答1/3，学生B可能回答1/4或其他）

师：看来，当试验步骤增多、情况稍复杂时，仅仅依靠直觉或无序的列举，容易出错。我们需要一种更系统、更可靠的工具，来帮助我们清晰、完整、不重不漏地找出所有可能的结果。今天，我们就来学习两种强大的“概率分析地图”——树状图和表格法。

(二)探究新知，构建模型，掌握方法本质(预计时间：22分钟)

1.探究一：初识树状图——刻画过程的“地图”

1.2.问题聚焦：回到摸球游戏（放回）。如何系统展示两次摸球的所有可能？

2.3.引导构建：

师：我们把两次摸球看作两个步骤。第一步，从袋中摸一球，有几种可能？

生：3种，可能是R1，R2，W。

师：我们可以用一根“树干”代表开始，然后分出三个“树枝”，分别代表这三种结果。（课件动态演示第一步树状图的生长）

师：关键在第二步。因为我们是“放回”的，所以无论第一步摸到什么，第二步摸球时，袋子里依然是哪三个球？

生：还是R1，R2，W。

师：也就是说，从第一步的每一个结果出发，第二步又都分别有3种可能。我们在第一步的每一个分支末端，再分别画出三个分支。（课件继续动态演示，生成完整的树状图）

3.4.形成认知：

师：看，这像一棵倒长的树，我们称之为“树状图”或“树形图”。它清晰地显示了事件发生的先后步骤和每一步的所有选择。现在，请同学们数一数，从“树根”到最末端的“树叶”，一共有多少条不同的路径？

生：9条。

师：每一条路径代表一种等可能的结果吗？比如“R1->R2”和“R2->R1”是同一个结果吗？

生：是等可能的。它们不是同一个结果，因为第一次摸到的球不同。

师：非常好！这说明在树状图中，我们要区分球的编号（或个体），即使颜色相同，只要是不同的个体，就是不同的基本结果。这保证了“等可能性”。

4.5.规范书写与计算：

教师在黑板上规范画出树状图，并强调：

a.标明步骤（第一次、第二次）。

b.在分支上写明可能结果。

c.在末端写出最终结果（有序数对形式，如(R1，R1)）。

d.计算所有等可能结果数n=9。

师：现在，请同学们在树状图上找出“两次颜色相同”的结果有哪些？

生：(R1，R1)，(R1，R2)，(R2，R1)，(R2，R2)，(W，W)。但(R1，R2)和(R2，R1)颜色相同吗？

师：问得好！我们关注的是“颜色”，而不是“具体哪个红球”。所以，“两次都是红色”包含了哪几种具体路径？

生：包含(R1，R1)，(R1，R2)，(R2，R1)，(R2，R2)这四种。

师：再加上(W，W)。所以满足条件的结果有5种。因此，P(获奖)=5/9。

请学生整理计算步骤。

6.探究二：认识表格法——呈现组合的“矩阵”

1.7.变式问题：如果游戏规则不变，但我们不想区分两个红球（即只关心颜色），是否有一种更简洁的表示方法？

2.8.引导构建：

师：当试验涉及两个“因素”（第一次摸球的颜色，第二次摸球的颜色），且每个因素有若干种情况时，表格法常常很有效。我们画一个表格：行表示第一次的可能结果，列表示第二次的可能结果。

（教师引导，师生共同完成表格：第一行、第一列分别写上“红”、“白”。表格内部格子填写对应组合：(红，红)，(红，白)，(白，红)，(白，白)）

师：这个表格列出了所有可能的颜色组合。注意，这里的“红”代表“摸到红球”这个事件，它包含了摸到R1或R2两种情况。那么，表格中的四个结果还是等可能的吗？

3.9.深化理解（关键点）：

生：看起来是4个结果，但(红，红)出现的可能性应该比(白，白)大。

师：精彩！为什么？

生：因为红球有两个，白球只有一个。当我们不区分红球个体时，“第一次摸到红”包含2种具体情形，“第一次摸到白”包含1种。所以简单用这个颜色表格，四个结果不是等可能的。

师：太棒了！这揭示了古典概型计算概率的一个根本前提：必须基于等可能的基本事件。当我们用表格法时，必须确保行和列所代表的结果是等可能的。在这个问题中，因为红球有两个，直接以“颜色”为基本事件构造表格，会破坏等可能性。那怎么办呢？

生：还是要像树状图一样，区分开R1和R2。

师：正确。我们可以构造区分个体的表格。（展示表格：行和列均标为R1，R2，W，得到9个等可能的格子，其中“两次同色”的格子有5个，结果一致）。

师：那么，表格法何时可以直接使用“合并后”的类别（如颜色）呢？

生：当每个类别所包含的个体数相同时？比如袋子是两红两白，那么“红”和“白”作为基本事件才是等可能的。

师：非常好的思考！这触及了问题的本质。通常，为了保险起见，我们建议在列表时，优先使用最原始的、等可能的基本事件（如区分个体）。

10.探究三：对比辨析，感悟异同——方法的选择

1.11.对比活动：引导学生从“适用情境”、“直观性”、“优点”、“局限性”等方面，对比树状图和表格法。

2.12.初步归纳（学生发言，教师提炼）：

1.3.13.树状图：适合描述多步骤（两步或以上）的随机过程。过程直观，层次分明。但步骤太多时，图形会变得复杂。

2.4.14.表格法：特别适合涉及两个因素（如两次抽取、掷两枚骰子）的试验。所有结果一目了然，便于查找。但对于三步或以上的试验，构建多维表格不便。

3.5.15.内在联系：对于两步试验，完整的树状图“压扁”后，其末端结果与表格中的格子是一一对应的。表格可以看作是树状图结果的一种矩阵化呈现。

6.16.选择策略：面对一个问题，先判断试验的步骤数或因素数。两步试验，两种方法皆可，常根据个人偏好或问题特点选择；三步及以上，通常优先选用树状图。

(三)应用迁移，分层深化，突破核心难点(预计时间：12分钟)

本环节设计三个层次的问题，旨在巩固方法，并重点突破“不放回”这一难点。

1.基础应用（巩固规范）：

问题1：掷一枚均匀的硬币两次（或先后掷两枚相同的硬币）。求恰好一次正面朝上、一次反面朝上的概率。

（学生独立完成，分别用树状图和表格法求解。教师巡视，关注学生是否规范标注“正”、“反”，以及是否理解“先后掷两枚相同硬币”与“掷一枚硬币两次”在本问题中的概率模型相同。展示规范解答，强调步骤书写。）

2.核心突破（辨析“放回”与“不放回”）：

问题2：回到最初的摸球游戏（袋中两红一白），现在改变规则：第一次摸出后不放回，再从剩下的球中摸第二个。其他规则不变。获奖概率还是5/9吗？

1.3.任务：请以小组为单位，合作完成：

a.用树状图分析新规则下的所有等可能结果。

b.计算新的获奖概率。

c.对比“放回”与“不放回”的树状图有何根本区别？概率结果为何不同？

2.4.探究与汇报：

学生小组合作画图。教师关键点拨：在“不放回”条件下，第一步摸走一个球后，第二步的可选范围发生了什么变化？（减少一个球，且具体减少哪一个取决于第一步的结果）。这会导致树状图第二步的分支结构与第一步相互依赖。

小组代表展示树状图（应显示第二步分支数从第一步的每个节点处开始分别是2）。计算得所有等可能结果数为6，两次同色的结果有（R1，R2），(R2，R1)，(W？不，白球只有一个，无法在不放回情况下两次摸到白)，所以只有2种。P(获奖)=2/6=1/3。

3.5.本质提炼：

师：通过对比，我们发现，“放回”使得各步骤相互独立，第二步的样本空间与第一步结果无关；“不放回”使得各步骤相互影响，第二步的样本空间依赖于第一步的结果。这是导致概率不同的根本原因。画树状图时，一定要根据题意，确定每一步有多少种可能，这是解题的关键。

6.综合拓展（方法选择与跨学科联系）：

问题3（适度挑战）：小明要去参加演讲比赛，他有蓝、灰两件上衣，黑、白、米色三条裤子。他随机选择一件上衣和一条裤子穿上。求他恰好穿上蓝色上衣和黑色裤子的概率；求他上衣和裤子颜色搭配一致（同为深色或浅色）的概率。（假设蓝色、黑色为深色，灰色、白色、米色为浅色）

1.7.引导分析：这是一个几步试验？用树状图还是表格方便？

生：可以理解为一步试验（同时选），但涉及两个因素（上衣、裤子）。用表格法非常直观。

2.8.学生求解：构建2行3列的表格，行是上衣（蓝、灰），列是裤子（黑、白、米）。得到6个等可能结果。P(蓝上黑裤)=1/6。P(搭配一致)=？深色搭配：蓝上黑裤（1种）；浅色搭配：灰上配白或米裤（2种）。共3种，P=3/6=1/2。

3.9.价值延伸：这实际上是概率在简单决策（着装搭配）中的应用。在生物学中，分析遗传杂交后代基因型比例，使用的也是类似的棋盘法（庞氏表），其本质就是列表法。

(四)系统建构，反思总结，提升思维高度(预计时间：6分钟)

1.知识框图建构（师生共同梳理，形成板书核心）：

求古典概型概率（两步及以上）

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需要系统分析工具

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树状图法表格（列表）法

（多步骤过程）（两因素试验）

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关键：厘清步骤关键：确定行列

与每一步可能的等可能事件

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注意：放回→独立注意：避免误用

不放回→依赖合并非等可能事件

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核心：有序、不重不漏地列出

所有等可能的基本结果

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计算：P(A)=目标结果数/总结果数

2.思想方法反思：

师：回顾本节课的探索之旅，我们运用了哪些重要的数学思想方法来解决问题？

生：模型思想（把实际问题抽象成树状图或表格模型）；分类讨论思想（分层、分步骤考虑）；数形结合思想（用图形和表格直观表示抽象的可能结果）；有序思想（避免混乱）。

师：我们经历了怎样的学习过程？

生：从遇到困难（列举混乱）→寻找新工具→学习使用工具→比较工具→灵活运用工具解决更复杂问题。

3.情感态度升华：

师：数学工具的价值在于让我们的思维更清晰、更严谨。树状图和表格，就像我们探索随机世界的地图和罗盘。希望大家不仅能掌握这两种方法，更能体会到这种系统化、结构化思考问题的力量，并将其应用到更广阔的学习和生活中去。

(五)分层作业设计(预计时间：课后完成)

A组（基础巩固，全员必做）：

1.教材对应章节的基础练习题。重点练习规范画树状图或列表。

2.一个盒子中装有2个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同。从中随机摸出一球，记下颜色后放回，摇匀后再摸出一球。用树状图求两次都摸到黑球的概率。若第一次摸出后不放回，概率又是多少？

B组（能力提升，多数选做）：

1.小颖有两件不同的上衣和三条不同的裙子，她随机取一件上衣和一条裙子进行搭配。用表格法列出所有搭配方案，并计算恰好是某件特定上衣和某条特定裙子搭配的概率。

2.同时掷两枚均匀的骰子，计算点数和为8的概率。思考：用列表法方便还是树状图方便？为什么？（此题涉及结果较多，引导学生优化列表，感受工具的实用性）。

C组（拓展探究，学有余力选做）：

1.（跨学科联系）查阅资料，了解孟德尔豌豆杂交实验中，如何用类似表格法（庞氏表）分析子二代高茎与矮茎的比例（3：1）。尝试用概率知识