江苏省洪泽中学等六校2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题

第页，共页江苏省洪泽中学等六校2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1.已知集合，，则（

）A． B． C． D．2.函数的定义域为（

）A． B． C． D．3.设a，b∈R，则“”是“且”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.为培养学生的兴趣爱好，丰富学生的课余生活，某校团委开设了70个社团供学生自由选择.现已知甲､乙两位同学均准备从“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”这三个社团中选择一个报名，则这两位同学的不同报名方案种数为（

）A．6 B．8 C．9 D．125.已知函数，，以下说法中错误的是（

）A．的值域为 B．在上单调递增C．的对称轴为 D．方程有且只有1个根6.已知，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．6 D．97.已知，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．8.我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（

）A． B． C．7 D．二、多选题（本大题共4小题）9.若，则下列说法中正确的是（

）A．当n为奇数时，b的n次方根为a B．当n为奇数时，C．当n为偶数时，b的n次方根为a D．当n为偶数时，10.给出以下四个命题，其中为真命题的是（

）A．函数y=与函数y=·表示同一个函数B．若函数的定义域为，则函数的定义域为C．若函数是奇函数，则函数也是奇函数D．函数在上是单调增函数11.已知，，则下列表达式正确的是（

）A．， B．的最小值为3C．的最小值为8 D．的最小值为412.若函数为上的单调函数，且满足对任意，都有，则的值可能为（

）A．4 B．6 C．7 D．10三、填空题（本大题共3小题）13.若，则的取值范围为.14.若一个18位整数的25次方根仍是一个整数，则这个25次方根是.（参考数据：，）15.已知，不等式的解集为P，若，则a的取值范围为.四、双空题（本大题共1小题）16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则[f(2)]＝；函数y＝[f(x)]的值域是．五、解答题（本大题共6小题）17.求下列各式的值.(1)；(2).18.已知集合A={x|-1<x≤a，a>0}，B={y|y=|x|，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}.(1)若a=1，求B∩C；(2)若C⊆B，求实数a的取值范围.19.已知命题p：≥x-1，命题q：x2-3ax+2a2<0，其中a∈R且a≠0.(1)若p为真，求x的取值范围；(2)若p是q的充分条件，求a的取值范围.20.某问题的题干如下：“已知定义在R上的函数满足：①对任意，均有；②当时，；③.”某同学提出一种解题思路，构造，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.(1)求的解析式；(2)若方程恰有3个实数根，求实数m的取值范围.21.新能源汽车具有节约燃油能源､减少废气排放､有效保护环境等优点.据统计，截至2022年9月底，我国新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的3.65%.小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车（不作它用），根据市场调查，此汽车使用年的总支出为万元，每年的收入为5.25万元.(1)此汽车从第几年起开始实现盈利？(2)此汽车使用多少年报废最合算？（①利润=收入-支出；②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数）22.已知函数f（x）=.(1)若对任意x∈[2，4]，不等式f2（x）+p·f（x）+1≥0恒成立，求实数p的取值范围；(2)若函数F（x）=f（x-3）+，是否存在实数m､n（m<n），使得F（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]？若存在，求出m､n的值；若不存在，说明理由.

参考答案1.【答案】C【分析】根据交集的含义即可得到答案.【详解】根据交集的含义可得.故选：C.2.【答案】D【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.【详解】因为，所以，解得，故，所以的定义域为.故选：D.3.【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念，不等式的性质即可得解.【详解】当“且”成立时，“”一定会成立，当“”成立时，但“且”不成立，例如时，所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B.4.【答案】C【分析】利用列举法即可得解.【详解】不妨记“创客空间”、“春柳文学社”、“舞龙协会”分别为，则这两位同学的报名方案有，共9种.故选：C.5.【答案】A【分析】对分段函数进行分类讨论得，作出图像，一一代入选项进行判断即可.【详解】当时，，当时，，当时，，故，作出图像如图所示：由图得显然其值域为，故A错误，当时，，其单调递增，故B正确，由图得其对称轴为，故C正确，当时，，解得，不合题意，舍去，当时，，解得，符合题意，当时，，无解，舍去，故D正确，故选：A.6.【答案】A【分析】直接利用基本不等式即可得解.【详解】因为，，所以，即，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.7.【答案】B【分析】分类讨论、与三种情况，由题设不等式与分段函数得到关于的不等式，解之即可得到所求.【详解】因为，当时，，故由得，解得，故；当时，，故由得，整理得，解得，故；当时，，故由得，解得，故；综上：，即的解集为.故选：B.8.【答案】B【分析】根据题意得，则得到，解出即可.【详解】由题意,令,则,整理得，解得，，，故选：B.9.【答案】ABD【分析】根据数的次方根的相关定义与运算一一进行判断即可.【详解】当为奇数时，的次方根只有1个，为，即，故AB正确，当为偶数时，由于，所以的次方根有2个，为.所以C错误，即，故D正确.故选：ABD.10.【答案】BC【分析】通过具体函数求解定义域即可判断A，抽象函数求定义域即可判断B，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C，利用反比例函数单调性即可判断D.【详解】对A选项，，，或，故其定义域为，而后者，，解得，其定义域为，定义域不同，故函数不同，所以A错误；对B选项，，所以函数的定义域为，故B正确；对C选项，设，根据为奇函数，则定义域关于原点对称，且，故其为奇函数，C正确，对D选项，反比例函数在,上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故D错误.故选：BC.11.【答案】ACD【分析】对A，通过用表示以及用表示，即可求出范围，对B，对等式变形得，利用乘“1”法即可得到最值，对C直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可求出最小值，对D通过多变量变单变量结合基本不等式即可求出最值.【详解】对A选项，，即，则，则，且解得，，则则，且，解得，故A正确；对B选项，，两边同除得，则，当且仅当，且，即时等号成立，故B错误；对C选项，，，解得，故，当且仅当，且，即时等号成立，故C正确；对D选项，由A选项代入得，当且仅当，，即时，此时时，等号成立，故D正确.故选：ACD.12.【答案】CD【分析】由的单调性及可得，从而得到关于的方程，解之可得到的解析式，进而得到的值.【详解】因为为上的单调函数，且满足对任意，都有，所以，则，且，故，解得或，当时，，则；当时，，则；综上：的值可能为或.故选：CD.13.【答案】【分析】利用不等式的性质逐步计算即可.【详解】因为，所以，则，又因为，所以，故的取值范围为.故答案为：.14.【答案】5【分析】首先假设这个数为，根据数的表示特点，则得到，再利用对数运算和题目所给的约分值，得到，即可得到整数.【详解】设这个18位整数为（为整数），则，取10为底的对数有，即，即，又，，所以，为整数，，故答案为：5.15.【答案】【分析】将代入分式不等式得到相反结论，同时注意分母为0的情况，解出即可.【详解】或,解得或,故答案为：.16.【答案】

1

；{1，2，3}【分析】根据题意，结合新定义的函数概念，即可求解.【详解】因为，所以；，因，所以，所以，[x]表示不超过x的最大整数，所以.故答案为：1；{1，2，3}17.【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用指数幂运算法则计算即可；（2）利用对数运算法则计算即可.【详解】（1）原式；（2）原式.18.【答案】(1){x|0≤x≤1}(2)0<a≤1【分析】（1）根据集合交集的定义进行求解即可；（2）根据子集的性质，分类讨论进行求解即可.【详解】（1）当a=1时，A={x|-1<x≤1}，则B={y|y=|x|，x∈A}={x|0≤x≤1}，C={z|z=x2，x∈A}={x|0≤x≤1}，因此B∩C={x|0≤x≤1}；（2）①当0<a<1时，得B={x|0≤x<1}，C={x|0≤x<1}，满足C⊆B，故0<a<1；②当a≥1时，得B={y|y=|x|，x∈A}={x|0≤x≤a}，C={z|z=x2，x∈A}={x|0≤x≤a2}，因为C⊆B，所以a2≤a，解得0≤a≤1，故a=1；综上，0<a≤1.19.【答案】(1)2≤x≤3；(2)【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可；（2）根据充分条件的性质进行求解即可.【详解】（1）对命题p而言，当p为真时，即≥x-1，因为x≥，所以x-1>0，所以3x-5≥x2-2x+1，即x2-5x+6≤0，所以2≤x≤3；（2）对命题q而言，因为x2-3ax+2a2<0，a≠0，所以（x-a）（x-2a）<0；当时，有，因为p是q的充分条件，所以有，当时，有，因为p是q的充分条件，所以有，综上所述：a的取值范围.20.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】（1）因为，代入①得，，所以，故，又由③得，，所以b=3；因此，经检验，，满足题干所给条件，所以；（2）因为方程恰有3个实数根，显然0为其一个实数根，所以方程恰有2个非0实数根，即方程恰有2个实数根，且两根非，由可得，，又由均不是此方程的根，则，所以，m的取值范围为.21.【答案】(1)第3年起开始盈利(2)使用6年报废最合算【分析】（1）表达出，，由，解出答案；（2）设汽车使用n年的年平均利润为z万元，表达出，利用基本不等式求出最值，得到此汽车使用6年报废最合算.【详解】（1）设此汽车使用n年的总利润为y万元，则，，由得，，解得，所以从第3年起开始盈利；（2）设此汽车使用n年的年平均利润为z万元，则因为，由基本不等式得：，所以，当且仅当，即时取等号，答：所以此汽车使用6年报废最合算.22.【答案】(1)p≥-(2)不存在，理由见解析【分析】（1）恒成立问题：分离参数求最值，应用换元法转化成新函数，再用定义法研究函数的单调性（或对勾函数），从而研究函数的最值，即可得结果.（2）先研究的单调性来确定F（m）=m，F（n）=n，转化为研究在[3，+∞）上有两不等根，整理后转化为一元二次方程根的个数，由来确定是否成立.【详解】（1）因为对任意，恒成立，所以，令，则，方法1：且则∵且，∴，，∴，∴在上单调递减，∴∴.方法2：由对勾函数可画的草图，如图所示，∴在上单调递减，∴∴.（2）不存在实数m