第5节　空间直线、平面的垂直

数学数学高考总复习索引索引01知识诊断自测索引文字语言符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内两条相交直线那么该直线与此平面垂直两条相交直线性质定理垂直于同一个平面的两条直索引索引若有①O彐l;②OAcα,OBcβ;③OATl,OBTl,则二面角α-l-β的平面角是7AOB._____________索引索引索引文字语言符号表示性质定理两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直索引常用结论与微点提醒索引诊断自测诊断自测概念思考辨析+教材经典改编(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(×)解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直索引索引A.α丄7,β丄7B.α∩β=a,b丄a,bcβ因为α∩β=a,b丄a,bcβ,所以β可以绕交线a任意旋转,又a丄β,所以b丄β,又bcα,所以α丄β,故D正确.索引翻折后竖立在桌面上,则折痕AD所在直线与桌面α所成的由题意可知AD丄BD,AD丄CD,BD∩CD＝D,BD,CDc平面α,索引索引考点一直线与平面垂直的判定与性质索引(2)M,N分别为B1D1与C1D上的点,且MN丄B1D1,MN丄C所以C1D聂AB1,又因为MN丄B1D1,AB1∩B1D1＝B1,AB1,B1D1C平面AB1D1,又A1C丄AB1.且AB1∩B1D1＝B1,AB1,B1D1C平面AB1D1,索引感悟提升索引AB,BPc平面ABP,∴AD丄平面ABP.索引＋PB2＝AP2,又∵BC∩PB＝B,且BC,PBC平面PBC,索引三垂线定理及逆定理平面α的射影,acα,则a丄PO⇋a丄AO.索引索引索引(2)如图,ABCD为直角梯形,7DAB＝7ABC＝90°,AD＝2AB＝2BC,PAT平面ABCD.求证:PCTCD.7ABC＝90°,AB＝BC,由勾股定理得AC＝2AB,同理CD＝2AB,即AC2＋CD2＝4AB2＝AD2,所以ACT又PAT平面ABCD,PC是平面ABCD的一条斜线,AC是PC在平面ABCD上的射影,且ACTCD,由三垂线定理知PCTCD.索引考点二平面与平面垂直的判定与性质例2(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,A1CT平面ABC,7ACB＝90°.(1)证明:平面ACC1A1T平面BB1C1C;因为A1CT平面ABC,BCc平面ABC,所以A1CTBC,7ACB＝90°,所以BCTAC,索引又A1C∩AC＝C,A1C,ACc平面ACC1A1,又BCc平面BB1C1C,索引如图,过点A1作A1HTCC1,交CC1于点H,由(1)知平面ACC1A1T平面BB1C1C,A1Hc平面ACC1A1,所以A1HT平面BB1C1C,7A1CB＝7ACB＝90°,索引又AA1＝2,7ACA1＝90°,索引感悟提升(1)面面垂直的定义;(2)面面垂直的判定定理(a丄β,acα→α丄β).索引又∵BCc平面A1BC,索引(2)若平面A1BC丄平面A1ABB1,求证:A又平面A1BC∩平面AA1B1B＝A1B,ADc平面AA1B1B,∴AD丄平面A1BC,又BCc平面A1BC,∴AD丄BC,又∵AA1丄BC,ADc平面AA1B1B,AA1c平面AA1B1B,AA1∩AD＝A,∴BC丄平面AA1B1B,ABc平面AA1B1B,索引考点三平行、垂直关系的综合应用AD,PB的中点.求证:(1)PE丄BC;所以PE丄BC.索引平面PAD∩平面ABCD＝AD,ABc平面ABCD,又PDc平面PAD,所以AB丄PD.又PDc平面PCD,索引2又因为EF4平面PCD,DGc平面PCD,所以EF聂平面PCD.索引感悟提升索引(1)求证:AE聂平面B1FC;且AF聂BB1,AF＝BB1,所以DF聂AE,AE4平面B1FC,DFc平面B1FC,所以AE聂平面B1FC.索引且BB1∩BC＝B,BB1,BCc平面BCC1B1,所以AE丄平面BCC1B1,B1Cc平面BCC1B1,所以AE丄B1C,索引A.若m聂α,ncα,则m聂nB.若m丄α,m丄β,则α丄βC.若m聂α,m丄β,则α丄βD.若mcα,α丄β,则m丄β若mcα,α丄β,则m聂β或m与β相交或mcβ,D错误.B.平面ABD丄平面BDC因为ACc平面ABC,所以平面ABC丄平面BDE.又由于ACc平面ADC,所以平面ADC丄平面BDE.故选C.4.如图,在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,7BAC＝90°,BC1TAC,则C1在底面ABCA)B.直线BC上连接AC1(图略),由ACTAB,ACTBC1,AB∩BC1＝B,AB,BC1C平面ABC1,得ACT平面ABC1.∵ACC平面ABC,∴平面ABC1T平面ABC.AB.2C.22D.32∴AC1＝BC1＝2,AC＋BC＝AB2,∴V三棱锥C1-ABC＝V三棱锥C-ABC1＝CC1·S△ABC1=×2×1＝,∴V三棱柱ABC-A1B1C1＝3V三棱锥C1-ABC＝3×=2.又A1CC平面ACC1A,又C1D,BDC平面C1BD,C1D∩BD＝D,A1B4平面ACD1,D1Cc平面ACD1,得A1B聂平面ACD1,假设A1B丄β,因为ACcβ,所以A1B丄AC,又A1B丄BC,AC,BCc平面ABCD,AC∩BC＝C,棱DD1和线段BC1上的动点,则满足与DD1垂直的直线MN(D)丄平面ABCD,且DEc平面ABCD,对于B,因为AB丄CE,AB丄ED,且CE∩ED＝E,CE,EDc平面CDE,因为ED∩CE＝E,ED,CEc平面CDE,所以AB丄平面CDE.A.AC丄BB1B.AC聂平面D1E1ED因为BB1C平面PBF,所以DE聂AC,又DEc平面PDE,AC4平面PDE,因为DEc平面D1E1ED,根据勾股定理PA＝PB＝PD2＋BD2＝2,而PA2＋PB2＝AB2＝4,故AP丄PB,依题意知l丄AB,l丄AC,AB∩AC＝A,AB,ACc平面ABC,又m丄BC,m丄AC,BC∩AC＝C,BC,ACc平面ABC,故m丄平面ABC,∴l聂m. 解析即有PC丄平面MBD,而PCC平面PCD,解析②假设AB丄CD,∵AB丄AD,CD∩AD＝D,CD,ADc平面ACD,③假设AD丄BC,∵CD丄BC,AD∩CD＝D,AD,CDc平面ACD,ABCD为菱形,E为CD的中点.因为PA丄平面ABCD,BDc平面AB