人教版七年级数学下册期末复习 专题03 平面直角坐标系(期末复习知识清单)

专题03平面直角坐标系平面直角坐标

1.基本概念

平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴，取向右方向为正方向；纵轴为y轴，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。2.四个象限

x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。3.点坐标（1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。（2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。（3）点到轴及原点的距离：点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。

4.象限第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数

5.坐标与图形性质（1）一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。（2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。（3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。（4）y轴上的点，横坐标都为0。（5）x轴上的点，纵坐标都为0。图形在坐标系中的平移在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）判断点所在象限【例1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标是−1,−5，则点P在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限+,+，第二象限−,+，第三象限−,−，第四象限+,−，据此即可求解．【详解】解：∵−1<0，−5<0，∴点P在第三象限，故选：C．【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（

）A．(−3,3) B．(−3,−3) C．(3,3) D．(3,−3)【答案】D【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：(+,+)，第二象限：(−,+)，第三象限：(−,−)，第四象限：(+,−)，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．平面直角坐标系中，第四象限的点坐标符号为(+,−)，即横坐标为正，纵坐标为负．【详解】解：第四象限的点需满足x>0且y<0．选项A：(−3,3)，x<0,y>0，在第二象限；选项B：(−3,−3)，x<0,y<0，在第三象限；选项C：(3,3)，x>0,y>0，在第一象限；选项D：(3,−3)，x>0,y<0，在第四象限；故选：D．【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）若点M的坐标为−2,1，则点M在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，横坐标是负数，纵坐标是正数，是点在第二象限的条件．【详解】解：∵−2<0，1>0，∴点M−2,1故选：B．

求点到坐标轴的距离【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（

）A．−5,3 B．−3,5 C．5,−3 D．3,−5【答案】A【分析】本题考查了坐标与图形，确定点的坐标．由点A所在的象限确定点A的横坐标与纵坐标的符号，再由点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，即可确定点A的两个坐标，从而可得答案．【详解】解：∵点A在第二象限，∴x<0，∵点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，∴y=3，∴点A的坐标为−5,3；故选：A．【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中点A3,−5到x轴的距离是（

A．3 B．−3 C．5 D．−5【答案】C【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟知点到坐标轴的距离公式是解题的关键．根据点到坐标轴距离的公式进行计算即可．【详解】解：由题意知，点A3,−5到x轴的距离为：−5故选：C．【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）已知点M3a−2,a+2，若点M到两坐标轴的距离相等，求a的值（

A．1 B．2 C．0或2 D．1或2【答案】C【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此可得|3a−2|=|a+2|即3a−2=a+2或3a−2+a+2=0，解方程即可得到答案．【详解】解：由题可得|3a−2|=|a+2|∴3a−2=a+2或3a−2+a+2=0，解得a=0或2，故选：C．坐标与图形综合【例3】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知点P1−3a,a+4(1)若点Q的坐标为4,5，且直线PQ∥x轴，求出点P的坐标；(2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标．【答案】(1)(−2,5)(2)(−6.5,6.5)【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．（1）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案．（2）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可．【详解】（1）解：点Q的坐标为(4,5)，直线PQ∥x轴，∴a+4=5，∴a=1，∴1−3a=−2，∴点P的坐标为(−2,5)；（2）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，∴−1−3a∴a=2.5，∴1−3a=−6.5,a+4=6.5，则点P的坐标为(−6.5,6.5)．【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，A0(1)求△ABC的面积；(2)已知P为x轴上一点，若S△ABP=S【答案】(1)6(2)P(7,0)或P(−5,0)【分析】（1）利用分割法计算即可．（2）设P(m,0)，则S△ABP本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，A0，2，B（2）解：设P(m,0)，则S△ABP又S△ABP根据题意，得12解得m=7或m=−5，故点P(7,0)或P(−5,0)．【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期末）已知点P的坐标为3m−6,m+1，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．(1)点P在x轴上；(2)点P到y轴的距离为2；(3)点P在过点A−1，2【答案】(1)−9,0(2)2,113(3)−3,2【分析】本题考查平面直角坐标系，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是理解题意，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点．（1）根据点P在x轴上得出m+1=0，求出m=−1即可得出答案；（2）点P到y轴距离为2，则3m+6=2，求出m（3）根据PA∥x轴，得出m+1=2，求出【详解】（1）解：∵点P3m−6,m+1在x∴m+1=0，解得：m=−1，∴3m−6=−9，∴点P−9,0（2）解：∵点P到y轴距离为2，∴3m−6=2解得：m=83或∴当m=83时，m+1=113；当m=4∴P2,113（3）解：∵A−1，2∴m+1=2，解得：m=1，∴3m−6=−3，∴点P−3,2实际问题中用坐标表示位置【例4】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）慧慧和敏敏对着下列示意图，描述了超市的位置（图中小正方形的边长代表100m）．慧慧说：“超市的坐标是200,200(1)根据慧慧和敏敏所说，直接在图中建立平面直角坐标系，并标出原点和坐标轴；(2)写出学校、少年宫的坐标；(3)写出超市到少年宫的距离；(4)乐乐说：“公园、图书馆、超市在同一条直线上．”你同意他的说法吗？如果公园与图书馆的直线距离约为280m【答案】(1)见解析(2)−100,−400；200,−400(3)600(4)同意，见解析，东北方向上，且距离为280【分析】（1）根据超市的坐标是200,200，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系解答即可．（2）根据坐标系，直接写出学校、少年宫的坐标即可；（3）超市的坐标是200,200，少年宫的坐标是200,−400，两地距离为200−−400（4）根据公园、图书馆、超市点坐标即可判定都在一三象限的象限角的平分线上，即可写出图书馆相对于公园的位置．本题考查了坐标系的建立，平移的应用，写出点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键．【详解】（1）解：超市的坐标是200,200，向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度即可得到原点，建立坐标系如下：（2）解：根据前面建立的坐标，得学校的坐标为−100,−400，少年宫的坐标为200,−400．（3）解：根据题意，得超市的坐标是200,200，少年宫的坐标是200,−400，故两地距离为200−−400（4）解：同意，∵超市的坐标是200,200，图书馆的坐标是−100,−100，公园的坐标是−300,−300，∴都在一三象限的象限角的平分线上，由此可以判定，图书馆在公园的东北方向上，且距离为280m【变式1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图是县城部分标志性建筑，如果分别用有序数对1,−1和−2,2表示宝福院塔和桂花屋．(1)请画出平面直角坐标系，此时以___________为坐标原点（填建筑物名称）；(2)请用有序数对表示：兴隆大桥（

，

），博物馆（

，

）；(3)假设一个单位表示100m，王庆从兴隆大桥以150【答案】(1)见解析，琴江廊桥(2)兴隆大桥0,5，博物馆−2,6(3)需要4分钟【分析】本题考查了平面直角坐标系的实际应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据1,−1和−2,2表示宝福院塔和桂花屋，可得坐标原点是琴江廊桥，进而建系即可．（2）由（1）的平面直角坐标系可知，兴隆大桥0,5，博物馆−2,6．（3）根据长征公园−6,5，兴隆大桥0,5，可得长征公园距离兴隆大桥600米，结合速度为150m【详解】（1）解：∵有序数对1,−1和−2,2表示宝福院塔和桂花屋，∴坐标原点是琴江廊桥，故平面直角坐标系如下图：（2）解：由（1）的平面直角坐标系可知，兴隆大桥0,5，博物馆−2,6；（3）解：∵长征公园−6,5，兴隆大桥0,5∴长征公园距离兴隆大桥600米，∵速度为150m∴时间为：600÷150=4（分钟），答：需要4分钟．【变式2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图是延长县的三个旅游景点的大概位置，若将其放在平面直角坐标系中，翠屏山所在位置的点坐标为2,−1，延长民俗博物馆所在位置的点坐标为1,1，则翠屏广场所在位置的点坐标为（

）A．1,3 B．2,3 C．3,2 D．3,3【答案】C【分析】本题考查运用直角坐标系确定点的位置，根据题目中“翠屏山”与“延长民俗博物馆”的坐标，在图中确定坐标系，然后再确定“翠屏广场”的位置即可．【详解】解：∵翠屏山所在位置的点坐标为2,−1，延长民俗博物馆所在位置的点坐标为1,1，确定直角坐标系如图，∴翠屏广场所在位置的点坐标为3,2，故选：C．用方向角和距离确定物体的位置【例5】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图，用方向和距离描述小明家相对学校的位置，下列选项正确的是（

）A．东偏北55°，2km B．东北方向，2km C．北偏东35°，2km D．北偏东55°【答案】D【分析】本题考查了方向角和距离确定位置，根据方向角的定义求解即可．【详解】解：90°−35°=55°，则小明家在学校北偏东55°，2km，或者小明家在学校东偏北35°，2故选：D．【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，一艘船在A处遇险后向相距100海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船A相对于救生船B的位置，下列描述最准确的是（

）A．南偏西65°方向上的100海里处 B．北偏东65°方向上的100海里处C．南偏西25°方向上的100海里处 D．北偏东25°方向上的100海里处【答案】C【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键．直接根据题意得出AB的长以及∠ABC的度数，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：∠ABC=90°−65°=25°，AB=100海里，故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西25°方向上的100海里处，故选：C．【变式2】（24-25七年级上·广东珠海·期末）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘故障船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船点O为中心的等距线(图中所示的同心圆，单位：海里)及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（

）

A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西150°方向航行4海里C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向南偏东60°方向航行4海里【答案】C【分析】本题考查了用方向角和距离确定物体的位置，理解确定位置需要两个元素是解答本题的关键．根据图形解答即可．【详解】解：应该将搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里．故选C．求点沿x轴、y轴平移后的坐标【例6】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）将点A2,−3向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的点的坐标是（

A．−1,1 B．−1,−7 C．5,−7 D．5,1【答案】A【分析】此题考查了坐标系中点的平移，根据点的平移规律，向上平移改变y坐标，向左平移改变x坐标，依次计算即可．【详解】点A2,−3向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的点的坐标是−1,1故选：A．【变式1】（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点A−1, 4先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点BA．−5, 5 B．−5, 3 C．【答案】D【分析】本题考查了点的平移．直接根据题意作答即可．【详解】解：将点A−1, 4先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点B的坐标是−1+4,故选：D．已知图形的平移求点的坐标【例7】（24-25七年级下·四川泸州·期末）线段CD是由线段AB平移得到的，点A−3,4的对应点为C1,1，则点B−2,−1的对应点DA．−6,−4 B．−6,2 C．2,−4 D．2,−2【答案】C【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．先根据A、C确定出平移规律，然后列式计算求出点D的横坐标与纵坐标即可得解．【详解】解：∵点A(−3,4)平移的对应点为C1,1∴平移规律为向右平移4个单位，向下平移3个单位，∴点D的横坐标为−2+4=2，纵坐标为−1−3=−4，∴点B−2,−1的对应点D的坐标为2,−4故选：C．【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，平移线段AB，使点A移到点C，点B移到点D，若A，B，C三点的坐标分别为4,7，【答案】−9,−4【分析】根据A4,7本题考查了坐标的平移，根据坐标确定平移方式，再确定平移坐标是解题的关键．【详解】解：根据A4,7故点B−4,−1平移后的坐标为D故答案为：−9,−4．坐标系中的平移【例8】（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中，O为原点，点A0,2(1)如图①，三角形ABC的面积为_____．(2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D．①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、_____；②点P0,m是一动点，若三角形PAD的面积等于三角形ABC的面积，直接写出点P【答案】(1)3(2)①3,3,4,5,6,3；②点P【分析】本题考查平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”，属于中考常考题型．（1）利用三角形面积公式求解即可；（2）①利用平移变换的坐标变换规律求解即可；②根据两三角形面积相等，构建方程求解即可．【详解】（1）解：∵A(0,2)，B(−1,0)，C(2,0)，∴OA=2，OB=1，OC=2，∴BC=1+2=3，∴△ABC的面积=1故答案为：3；（2）解：①∵将点B(−1,0)向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D．∴点D的坐标为−1+4,0+3，即点D3,3同理：∵A(0,2)，C(2,0)，∴点E的坐标为4,5，点F的坐标为6,3故答案为：3,3；4,5；6,3．②∵A(0,2)，D3,3，P∴S∴1解得：m=0或m=4，∴点P坐标0,0或0,4．【变式1】（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为0,a，点B坐标为a−1,b，且a−3+(1)a=，b=，点B的坐标为．(2)点C在第一象限内，AC∥x轴，将线段AB进行适当的平移得到线段DC，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD．若△ACD的面积为16，求线段【答案】(1)3，−1，(2,−1)(2)8【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，坐标和图形的性质，三角形的面积，平移的性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键．（1）由非负数的性质可求出a=3，b=−1，则可得出答案；（2）由（1）可知A0,3，由平移可知点B的对应点为点C，点B的纵坐标为−1，可得点D与点A的纵坐标之差为4，得点D到AC【详解】（1）解：∵a−3+a+3b2=0，且∴a−3=0，a+3b=0，∴a=3，b=−1，则点B的坐标为(2,−1)，故答案为：3，−1，(2,−1)；（2）由（1）可知A0,3∵AC∥∴点C纵坐标为3，由平移可知点B的对应点为点C，∵点B的纵坐标为−1，∴点C与点B的纵坐标之差为3−−1∴点D与点A的纵坐标之差为4，∵AC∥∴点D到AC的距离为4，∵S△ACD∴AC=8．点坐标规律探索【例9】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A−1,0，点A第一次向上平移1个单位至点A1−1,1，接着又向右平移1个单位至点A20,1，然后再向上平移1个单位至点A30,2A．1010,1011 B．1011,1012 C．1011,1013 D．1012,1013【答案】C【分析】本题考查点坐标规律的应用，熟练掌握类比法及点坐标的基础知识，是解题关键．分别对点的横坐标和纵坐标的变化规律进行探讨，当n为奇数时，Ann−32，n+1【详解】A−1,0，AA20,1，A41,2，A62,3，A83,4，…，观察发现，当n为奇数时，An当n为偶数时，An∴点A2025的坐标是1011,1013故选：C．【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，点Px,y经过某种变换后得到点P′−y−1,x+1，我们把点P′−y−1,x+1叫作点Px,y的青蓝点，已知P1的青蓝点为P2，点P2的青蓝点为P3，点P3的青蓝点为P4，⋯，这样依次得到点P1，P2，PA．2,1 B．−2,3 C．−4,−1 D．0,3【答案】A【分析】本题为新定义问题，根据新定义进行计算，发现其中规律是解题关键．根据“青蓝点”的定义求出P1，P2，P3【详解】解：∵把点P′−y−1,x+1叫作点Px,y的青蓝点，已知P1的青蓝点为P2，点P2的青蓝点为∴P2−1−1,2+1，即∴P3−3−1,−2+1，即同理可得P40,−3，∴点的坐标每4个一个循环，∵2025÷4=506……1，∴P2025的坐标与P1的坐标相同，即故选：A．【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点A10,−1，A21,−1，A31,0，A．7,−1 B．7,0 C．8,0 D．8,1【答案】A【分析】本题考查了坐标类规律探索，由图可得，动点从原点O出发，按向下→向右→向上→向上→向右→向下的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6，再分析A21,−1，A83,−1，【详解】解：动点从原点O出发，按向下→向右→向上→向上→向右→向下的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6，∵20÷6=3…2，结合图象可得A21,−1，A8∴A6n−4令6n−4=20，解得n=4，∴2n−1=7，∴点A20的坐标是7,−1故选：A．【变式3】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点A2,0同时出发，沿长方形BCDE的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第520次相遇地点的坐标是（

A．1,−1 B．−1,1 C．−1,−1 D．2,0【答案】B【分析】本题考查点的坐标规律．由图可知，长