人教版七年级数学下册期末复习专项训练 专题08 平面直角坐标系的压轴题(6大压轴题型)

专题08平面直角坐标系的压轴题（6大压轴题型）

题型1坐标系中的动点问题(不含函数）题型4根据点坐标特征规律题型2根据规律正确找到周期题型5点的坐标，观察出点与横坐标存在平方关系题型3规律型中点的坐标以及长方形的性质题型6根据横纵坐标特征找出规律题型一坐标系中的动点问题(不含函数）1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，；(1)直接写出坐标：点C（），点D（）．(2)分别是线段，上的动点，点从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？(3)点P是直线上一个动点，连接，当点P在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系．【答案】(1)；(2)秒(3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，【分析】（1）根据点的平移规律求解即可．（2）根据轴得出、两点纵坐标相等这一关系，再结合两点的运动速度和初始坐标列出方程求解．（3）需要分三种情况讨论点在直线上的位置，然后根据三角形外角的性质得出与、的数量关系．【详解】（1）解：已知点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到点，则点的横坐标为，纵坐标为，即，点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到点，则点的横坐标为，纵坐标为，即．故答案为：．（2）解：设运动时间为秒，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，因为是向下运动，所以点的纵坐标为，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，因为是向上运动，所以点的纵坐标为，当轴时，、两点纵坐标相等，即，移项可得，合并同类项得，两边同时除以，解得．（3）解：当点在线段上时，过点作，如图，因为，所以，可得，，所以．当点在的延长线上时，过点作，因为，所以，可得，，此时．当点在的延长线上时，过点作，因为，所以，可得，，此时．2．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动．(1)________，________，点B的坐标为__________；(2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；(3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．(4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间．【答案】(1)，点B的坐标为(2)(3)点P移动的时间为或(4)点P移动的时间为或【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解．（2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解．（3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解．（4）求出边上的高为2时即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴，∴，∴点B的坐标为；（2）点P移动时，运动路程为个单位，∵，，∴点P在上，距离点C两个单位长度，且；（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或，当运动到时，时间为，当运动到时，时间为，∴点P移动的时间为或；（4）∵点B的坐标为，∴，∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2，∴或，∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为，当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为，∴点P移动的时间为或．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解．3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．点C的坐标满足，连接和．按要求解相关点的坐标：(1)求点C的坐标；(2)若x轴上有一点D使得的面积为6，求点D的坐标；(3)平移线段得到线段（点C对应点P，点A对应点Q），且点P在线段上，当的面积为8时，求点Q的坐标．【答案】(1)(2)或(3)点Q的坐标为【分析】（1）利用非负数的性质即可求解；（2）设点D的坐标为，则得，由面积关系即可求解；（3）设点P的坐标为，过点C作轴于点E，由求得，利用平移的性质即可求得点Q的坐标．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，即点C的坐标为；（2）解：设点D的坐标为，则得，∵的面积为6，∴，即，解得：或，∴点D的坐标为或；（3）解：设点P的坐标为，则，如图，过点C作轴于点E，∵，∴，，∴，∵，∴，即，∴，∴点P的坐标为，∵线段平移得到线段，∴平移为向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，∴点Q的坐标为．【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标平移，非负数的性质，割补法求面积等知识，注意数形结合．4．如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．(1)请直接写出点A、B、C和D的坐标；(2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？【答案】(1)，，，(2)【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元一次方程的应用，点的坐标，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先根据，得出，故，，再结合线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，则，，即可作答．（2）先表达，再结合，，得出轴，即，根据的面积是12平方单位，列式，解得，即可作答．【详解】（1）解：∵，∴，∴∴∴∴，，∵线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，∴，，（2）即：，；解：由题意得：，，由（1）得，，∴轴，即，则三角形的面积，∵的面积是12平方单位，∴，解得，即当秒时，的面积是12平方单位5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过点A作x轴的平行线l，与y轴交于点C，且．(1)求点A到x轴的距离；(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线l向左移动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动．若某一时刻以C，O，P，Q为顶点的四边形的面积为6，求此时点P的坐标．【答案】(1)4(2)或【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是利用直角坐标系中点的坐标及三角形面积公式即可求解．（1）根据题目给出的和的方程式，结合图象求出和的坐标；（2）分析点和点的运动过程，确定它们的位置关系，分三种情况进行讨论：，，，根据四边形的面积建立方程求解时间，进而得到的坐标．【详解】（1）解：，且，即，，即，，到轴的距离为4；（2）解：点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动，点的坐标为，，当时，、、、，将四边形分成两个三角形，即和，，，四边形的面积为：，，，；当时，、、、，四边形是梯形，（不满足），故不存在；当时，、、、，将四边形看作梯形，，，综上所述：或．6．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根．(1)直接写出：______，______，______；(2)将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点①在图中的平面直角坐标系中，画出平移后的线段，并直接写出点D的坐标；②若点N在y轴上，且三角形的面积是12，求点N的坐标．【答案】(1)；5；(2)①见解析；点D的坐标为②点N的坐标为或【分析】（1）由非负数的性质可得，，则，由立方根的定义可得（2）①根据平移的性质作图，即可得出答案．②设点N的坐标为，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案．本题考查作图-平移变换、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：算术平方根、立方根，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】（1）解：，，，，是64的立方根，故答案为：；5；（2）解：①由得，，，线段向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到线段，如图，线段即为所求．点D的坐标为②设点N的坐标为，三角形的面积是12，，解得或1，点N的坐标为或题型二根据规律正确找到周期7．如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，半圆，半圆，半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了坐标平面内点的坐标规律探索，找到规律是解题的关键；点P每运动完一个半圆需要的时间为（秒），其横坐标增加4，而，则点P运动到半圆后，继续运动1秒到半圆的最高点，而此圆在x轴上方，此时最高点纵坐标为2，横坐标为，即可得此时的坐标．【详解】解：由题意知，点P每运动完一个半圆需要的时间为（秒），其横坐标增加4，∵，∴点P运动到半圆后，继续运动1秒到半圆的最高点，∵半圆在x轴上方，∴最高点纵坐标为2，横坐标为，∴点的坐标是；故选：B．8．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按点点点点的线路移动，照此规律移动到点，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意总结出点的坐标变换规律是解题的关键．根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可．【详解】解：由题意得：，，，，，，，以此类推，可知，每运动4次为一个循环，照此规律移动到点，则点的横坐标始终是n，即，纵坐标为，0，2，0循环，，则点的横坐标为2025，纵坐标为，即，故选：B．9．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了点的坐标规律，分析前几次的点的坐标，可得次一循环，进而得出次后点的坐标，即可求解．【详解】解：第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，……每次后纵坐标为，横坐标加2∴经过次运动横坐标为经过次运动纵坐标为∴经过第次运动后，动点的坐标是，故选：B．题型三规律型中点的坐标以及长方形的性质 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了坐标规律探索，找到规律是解题的关键．根据题意可得，从一圈的长度为10，据此分析即可得细线另一端在绕四边形第203圈后的第5个单位长度的位置，从而求得细线另一端所在位置的点的坐标．【详解】解：，，，，，，，，绕四边形一周的细线长度为，，细线另一端在绕四边形第203圈的第5个单位长度的位置，即点的坐标为．故选：D．11．在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着长方形边线循环爬行，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为，当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，由已知点的坐标可得，，点坐标为，即得从一圈的长度为，进而由解答即可求解，由已知点的坐标找到变化规律是解题的关键．【详解】解：∵点坐标为，点坐标为，点坐标为，∴，，点坐标为，∴从一圈的长度为，∵，∴当蚂蚁爬了个单位时，它所处位置的坐标为，故选：．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为：，动点从点位置出发，沿着路线不停地运动，若点的运动速度为每秒2个单位长度，则第秒时，点的坐标为_________．【答案】【分析】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是根据规律找出第秒时点P的位置．由题意正方形的边长为2，周长为8，得移动一圈是4秒，因为余1，可以推出点P在第秒时，移动到B处，由此即可解决问题．【详解】解：∵，，，，，，∵P的移动速度为每秒2个单位长度，点P沿移动一圈时间为：（秒），∵，点P在第秒时，移动到点B处，∴此时；故答案为：．题型四根据点坐标特征规律 13．如图，一个机器人从点O出发，向正东方向走到达点；再向正北方向走到达点；再向正西方向走到达点；再向正南方向走到达点；再向正东方向走到达点；……按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查点的坐标规律探究，先写出前几个点的坐标，进而推出，进行求解即可．【详解】解：由题意可知：，∴，∵，∴点的坐标为；故选B．14．如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查坐标系中点的坐标规律探究．解题的关键是找到点的横纵坐标的数字规律．先确定点在第四象限，根据第四象限各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可．【详解】解：，则在第四象限，由题意，第四象限的点为，，，，，．故选：C．15．如图，在一个单位为1的方格纸上，，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为（）

A． B．1 C．2 D．0【答案】C【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，，，，可知当时，的横坐标为2，由，可判断的横坐标为2，然后作答即可．【详解】解：由题意知，，，，∴当时，的横坐标为2，∵，∴的横坐标为2，故选：C．题型五点的坐标，观察出点与横坐标存在平方关系16．在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐标依次为，…，根据规律，第2024个整数点坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，故可得当为奇数时，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可．【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，如：第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，……当为奇数时，第个点的坐标为，当正方形最右下角点横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，∵，为奇数，∴第个点的坐标为，∴退1个点，得到第个点是．故选：D．17．如图，一个点按，的规律运动，每次运动一个单位长度，则点的坐标是______．【答案】【分析】本题考查了坐标规律探究，根据的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上，得出横坐标为，而，据此，即可求解，由点的移动确定其位置及坐标的变化规律是解题的关键．【详解】解：∵，，，，，，，，∴，，，，；∴的下标偶数的平方在轴的正半轴上，奇数的平方在轴的负半轴上，∴的横坐标为，∵，∴，解得：，∴，∴，故答案为：．18．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解．【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则，∴，相加得：，．∵，∴运动了1980秒时它到点；方向向左，又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．故到2024秒，需由再向左运动秒，，∴2024秒时，这个粒子所处位置为故选：A．题型六根据横纵坐标特征找出规律19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得，第120个点的坐标为A． B． C． D．【答案】C【分析】经过观察每个列的数的个数是有规律的分别有1，2，3，4…，n个，而且奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，这样就不难找到第120个点的位置，进而可以写出它的坐标．【详解】把第一个点作为第一列，和作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，，第列有个数．则列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为，则第120个数一定在第15列，由上到下是第15个数．因而第120个点的坐标是．答案：C．【点睛】本题考查了点与坐标的关系，需要细心观察才能找到规律，通过此类题目的训练可以提高分析问题的能力以及归纳能力，属于常考题型．20．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标______．【答案】【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，仔细观察点的坐标变化规律，利用规律求解即可．【详解】解：观察点的跳动规律，奇数次跳动时，横坐标是为跳动次数），纵坐标是．当时，横坐标为，纵坐标为，所以的坐标为．故答案为：．21．如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴有一点，点先向上平移1个单位至，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标为__________．【答案】【分析】本题考查了坐标与图形的变化—平移，学会探究规律的方法是解题的关键．根据题意得出前若干个点的坐标进而即可得到进而即可解答．【详解】解：∵，，……，∴，∵，∴∴．故答案为：．22．如图，爱好编程的小明编了一个“步步高升”程序，已知点A在平面直角坐标系中按规律跳到．已知，，，，，，…以此类推，则的坐标为______．【答案】【分析】本题考查了坐标系中点的坐标规律，解题的关键是找到点的坐标变化规律，根据已知点的坐标规律分别表示出偶数点和奇数点的坐标的规律，然后求得点的坐标即可．【详解】解：观察偶数项的坐标规律，，可得，奇数项的横坐标为n，纵坐标为前一个偶数的纵坐标加2，为偶数，的坐标为，故答案为：．1．现有一点A按照如图所示的指令从原点开始运动，每次运动1个单位长度后就立即改变方向，第一次运动到点，第二次运动到点，…，第次运动到点，则点运动到时点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查点的坐标规律探究，解题的关键是找到规律，正确推理运算．根据图象可得移动8次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．【详解】解：，，，，，，，，，，，，…∵，∴时点的坐标为，即，故选：A．2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，找准首次变化点的坐标以及变化规律是解题的关键．依次分析每次变化后横坐标和纵坐标的取值，找出规律即可求解．【详解】解：由运动规律可知，每运动一次都向右移动了一个单位，因此第2023次运动后的横坐标为2023，观察纵坐标可知，从第一次运动到的点开始，依次为1，0，2，0四个数循环，由可知第2023次运动后的纵坐标为2，经过第2023次运动后，动点P的坐标是．故选：B．3．如图，长方形的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查规律型：点的坐标，由图可知，矩形的周长为12，则甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为（秒），即甲、乙两个物体相遇点依次为，，，...，可知相遇点每3次为一个循环，由，求解作答即可．【详解】解：由图可知，矩形的周长为12，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为（秒），∴甲、乙两个物体相遇点依次为，，，…，∴相遇点每3次为一个循环，∵，∴第2025次相遇地点的坐标是，故选：C．4．如图，，都是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，．．．的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了点的坐标规律，找到变化规律是解题的关键．观察图形可以看出每个为一组，再根据纵坐标变化找到规律即可解．【详解】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角顶点的纵坐标的绝对值等于斜边长度的一半为斜边的一半，∴，，，∵，∴点在第一象限，横坐标是，纵坐标是，∴的坐标为．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点……，按这样的运动规律，点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了点的坐标的规律探究，根据点的运动，找到规律解答即可．【详解】根据题意，点每运动奇数次，纵坐标加一；点每运动偶数次，横坐标与偶数次相同，点的横坐标与的横坐标相同，等于运动的次数，即；点的纵坐标是奇数次加一的结果，到中运动次数为奇数的有：，且的纵坐标为，的纵坐标为，；故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键．探索出点的坐标规律，根据规律进行解题．【详解】解：纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，纵坐标是的点有个，……，一般地，纵坐标为的点有个，且这个点的横坐标从左往右依次是，，……，，，，……，；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；∵，当纵坐标是时，这样的点共有个，且点是从右往左方向，∴最左边