人教版七年级数学下册期末复习专项训练 专题12 期末易错题(22大题型60题)

专题12期末易错题（22大题型60题）

一．平方根（共1小题）1．如果一个数的平方根是2x+1和x﹣7，那么这个数是25．【答案】25．【解答】解：∵一个数的平方根是2x+1和x﹣7．∴2x+1+x﹣7＝0．∴x＝2．∴2x+1＝5，x﹣7＝﹣5．这个正数是：（±5）2＝25．故答案为：25．二．算术平方根（共4小题）2．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（）A．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，64=∵8是有理数，∴取其立方根可得到，38∵2是有理数，∴取其算术平方根可得到2，∵2是无理数，∴y=2故选：A．3．16的算术平方根是（）A．2 B．4 C．±2 D．±4【答案】A【解答】解：16=故选：A．4．观察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+15=【答案】n+【解答】解：1+13=（1+1）12+14=（2+1）13+15=（3+1）1…n+1故答案为：n+15．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．（1）求这个正数是多少？（2）m+5的平方根又是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．即：（m+3）+（2m﹣15）＝0解得m＝4．则这个正数是（m+3）2＝49．（2）m+5=3，则它的平方根是±3三．立方根（共1小题）6．已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．（1）求a，b，c的值；（2）求a+b+c的平方根和立方根．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵a+1的算术平方根是1，∴a+1＝1，解得a＝0；∵﹣27的立方根是b﹣12，∴b﹣12＝﹣3，∴b＝9；∵c﹣3的平方根是±2，∴c﹣3＝4，∴c＝7．（2）由（1）知，a＝0，b＝9，c＝7，∴a+b+c＝0+9+7＝16，∴a+b+c的平方根是±4；∴a+b+c的立方根是316四．实数与数轴（共1小题）7．如图，周长为14的长方形ABCD，其顶点A、B在数轴上，且点A对应的数为﹣1，CD＝6，若将长方形ABCD沿着数轴向右做无滑动的翻滚，经过2023次翻滚后到达数轴上的点P，则P点所对应的数为7083．【答案】7083【解答】解：长方形的周长是14，长为6，则宽为1，点A对应﹣1，点B对应5．翻滚1次到达数轴上的点对应6，翻滚2次到达数轴上的点对应12；翻滚3次到达数轴上的点对应13，翻滚4次到达数轴上的点对应19；翻滚5次到达数轴上的点对应20，翻滚6次到达数轴上的点对应26；…翻滚2021次到达数轴上的点对应7076，翻滚1次到达数轴上的点对应7082；翻滚2023次到达数轴上的点对应7083，故点P对应的数是7083．故答案为：7083．五．估算无理数的大小（共2小题）8．对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数，称[a]为a的根整数，例如：（1）仿照以上方法计算：[4]=2；[26（2）若[x]=1，写出满足题意的x的整数值如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次[10（3）对100连续求根整数，3次之后结果为1．（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，∴5＜26∴[4]=[2]＝2，[故答案为：2，5；（2）∵12＝1，22＝4，且[x∴x＝1，2，3，故答案为：1，2，3；（3）第一次：[100]＝10，第二次：[10]＝3，第三次：[3]＝1，故答案为：3；（4）最大的正整数是255，理由是：∵[225]＝15，[15]＝3，[3]＝1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵[256]＝16，[16]＝4，[4]＝2，[2]＝1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；故答案为：255．9．根据下表回答问题：x1616.116.216.316.416.516.616.716.8x2256259.21262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24x340964173.2814251.5284330.7474410.9444492.1254574.2964657.4634741.632（1）272.25的平方根是±16.5；4251.528的立方根是16.2；（2）27889=167；2.6244=1.62；3（3）设270的整数部分为a，求﹣4a的立方根．【答案】（1）±16.5，16.2；（2）167，1.62，168；（3）﹣4．【解答】解：（1）272.25的平方根是：±16.5；4251.528的立方根是：16.2；故答案为：±16.5，16.2；（2）∵278.89=∴27889=∵262.44=∴2.6244=∵34741.632∴34741632故答案为：167，1.62，168；（3）∵256＜∴16＜270∴a＝16，﹣4a＝﹣64，∴﹣4a的立方根为﹣4．六．实数的运算（共1小题）10．已知实数a，b，定义运算：a※b=ab(a＞b，且a≠0)ba(a≤b，且a≠0)，若a※（【答案】3或±1【解答】解：∵a＞a﹣3，a※（a﹣3）＝1，根据题中的新定义得：aa﹣3＝1，∴a﹣3＝0或a＝1或a＝﹣1，∴a＝3或±1．故答案为：3或±1．七．二元一次方程的解（共2小题）11．若x=ay=b是方程3x+y＝1的一个解，则9a+3b+4＝7【答案】7【解答】解：把x=ay=b代入方程3x+y3a+b＝1，所以9a+3b+4＝3（3a+b）+4＝3×1+4＝7，即9a+3b+4的值为7．12．关于x、y的方程2x+ay＝7仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为5或3．【答案】5或3【解答】解：2x+ay＝7，ay＝7﹣2x，①当x＝1时，7﹣2x＝5，∴ay＝5，∴a＝1，y＝5（舍）或a＝5，y＝1，②当x＝2时，7﹣2x＝3，∴ay＝3，∴a＝1，y＝3（舍）或a＝3，y＝1，③当x＝3时，7﹣2x＝1，∴ay＝1，∴a＝1，y＝1（舍），综上，满足条件的正整数a的值为5或3，故答案为：5或3．八．二元一次方程组的解（共3小题）13．若关于x，y的二元一次方程组4x+2y=5k−42x+4y=5的解满足x+y＝1，则kA．0 B．1 C．2 D．﹣1【答案】B【解答】解：4x+2y=5k−4①2x+4y=5②方法一：①+②得，6x+6y＝5k+1，∴x+y=5k+1解得k＝1；方法二：①×2﹣②，得6x＝10k﹣13，解得x=10k−136将③代入②，得10k−133+4解得y=14−5k∴原二元一次方程组是解为x=10k−13∵x+y＝1，∴10k−136∴k＝1．故选：B．14．已知关于x，y的方程组mx+ny=2tx−7y=8小华正确地解得x=3y=−2小玲看错了t得到的解为x=−1y=2，则m+t−【答案】﹣1．【解答】解：将x=3y=−2和x=−1y=2分别代入方程mx+得到关于m和n的二元一次方程组3m−2n=2−m+2n=2解得m=2n=2将x=3y=−2代入tx﹣7y得到关于t的一元一次方程3t+14＝8，解得t＝﹣2，∴m+t−12n＝2﹣2故答案为：﹣1．15．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．（1）解方程组3x−2y=−13x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为x=1y=2（2）如何解方程组3(m+5)−2(n+3)=−13(m+5)+2(n+3)=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为m=−4n=−1由此请你解决下列问题：若关于m，n的方程组am+bn=72m−bn=−2的值与3m+n=5am−bn=−1有相同的解，求a、【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）方程组的解为：x=1y=2；故应填：x=1（2）设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为组3x−2y=−13x+2y=7，由（1）可得：x=1y=2，所以可解得m=−4n=−1由方程组am+bn=72m−bn=−2的值与3m+n=5am−bn=−1有相同的解可得方程组am+bn=7am−bn=−1把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，把m＝1代入am＝3得：a＝3，把n＝2代入bn＝4得：b＝2，所以a＝3，b＝2．九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）16．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（）A．x+y=1902×8x=22y B．x+y=190C．2y+x=1908x=22y D．【答案】A【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190；根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y．列方程组为x+y=1902×8x=22y故选：A．十．二元一次方程组的应用（共1小题）17．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分周长和是28．【答案】28【解答】解：设小长方形卡片的长为m，宽为n，则右上小长方形周长为2×（8﹣m+7﹣m）＝30﹣4m，左下小长方形周长为2×（m+7﹣2n），∴两块阴影部分周长和＝44﹣2（m+2n）∵8＝m+2n，∴两块阴影部分周长和＝44﹣16＝28故答案为：28．十一．三元一次方程组的应用（共1小题）18．问题提出已知实数x，y满足3x−y=5①2x+3y=7②，求7x+5y本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下面问题：（1）已知方程组3x+2y=5x+y=3，则2x+y的值为2问题探究（2）请说明在关于x，y的方程组2x−2y=4a−1x+2y=2−a中，无论a取何值，x+y问题解决（3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？【答案】（1）2；（2）答案见解析；（3）购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元．【解答】解：（1）3x+2y=5①x+y=3②∴①﹣②得，2x+y＝2．故答案为：2．（2）2x−2y=4a−1①x+2y=2−a②∴①+②得，3x＝3a+1，∴x=3a+1把x=3a+13代入3a+13+2y＝2﹣∴y=5−6a∴x+y=3a+1∴无论a取何值，x+y的值始终不变．（3）由题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元，则x+2y+2z=135①3x+y+z=105②∴①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420，∴2x+2y+2z＝150．答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元．十二．不等式的性质（共2小题）19．已知a＜b，下列不等式成立的是（）A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2【答案】C【解答】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，B选项没有乘以同一个负数，故B错误；C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b∴m﹣a＞m﹣b，故C正确；D、∵m2≥0，a＜b∴am2≤bm2，故D错误；故选：C．20．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y【答案】D【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．故选：D．十三．解一元一次不等式（共3小题）21．若关于x的方程x−23=m+1A．m＜0 B．m＜−73 C．m＞−73【答案】B【解答】解：x−232（x﹣2）＝3（m+1），2x﹣4＝3m+3，2x＝3m+3+4，2x＝3m+7，x=3m+7由题意得：3m+723m+7＜0，3m＜﹣7，m＜−7故选：B．22．若关于x，y的方程组3x+2y=k−12x−3y=2的解使4x+7y＞2，则k的取值范围是k＞3【答案】k＞3【解答】解：3x+2y=k−1①由①×2﹣②×3，并解得y=2k−813由①×3+②×2，得13x＝3k+1，解得x=3k+113把③④代入4x+7y＞2，得4×3k+113+不等式的两边同时除以2，得2×3k+113+不等式是两边同时乘以13，得2×（3k+1）+7×（k﹣4）＞13，去括号，得13k﹣26＞13，移项，得13k＞39，不等式的两边同时除以13，得k＞3；故答案为：k＞3．或①×2﹣②得到：4x+7y＝2k﹣4，由题意2k﹣4＞2，∴k＞3．23．定义一种运算：a☆b=a(a≥b)b(a＜b)，那么不等式2x☆（x+3）＞1的解集是x【答案】x＞﹣2．【解答】解：分两种情况：当2x≥x+3时，即x≥3时，∵2x☆（x+3）＞1，∴2x＞1，∴x＞1综上所述：x≥3；当2x＜x+3时，即x＜3时，∵2x☆（x+3）＞1，∴x+3＞1，∴x＞1﹣3，∴x＞﹣2，综上所述：﹣2＜x＜3，∴不等式2x☆（x+3）＞1的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．十四．一元一次不等式的应用（共3小题）24．某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．【答案】见试题解答内容【解答】解：设有宿舍x间．住宿生人数4x+21人．由题意得4x+21＜55，∴x＜8.51≤4x+21﹣7（x﹣1）＜7解得7＜x≤9．∴7＜x＜8.5．因为宿舍间数只能是整数，所以宿舍是8间．当宿舍8间时，住宿生53人，答：住宿生53人．25．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50﹣x）台，由题意，得1000x+2000（50﹣x）≤77000解得：x≥23．∴该公司至少购进甲型显示器23台．（2）依题意可列不等式：x≤50﹣x，解得：x≤25．∴23≤x≤25．∵x为整数，∴x＝23，24，25．∴购买方案有：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台．26．为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设原计划篮球买x个，足球买y个，根据题意得：x+y=60100x+80y=5600解得：x=40y=20答：原计划篮球买40个，足球买20个．（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，解得：a≤24.5，答：篮球最多能买24个．十五．解一元一次不等式组（共3小题）27．若不等式组1＜x≤2x＞k有解，则kA．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2【答案】A【解答】解：因为不等式组1＜x≤2x＞k由同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，如图当k≥2时，无解，当1＜k＜2时，有解，当k≤1时，有解，∴若不等式组有解，则k＜2．故选：A．28．规定[x]为不小于x的最小整数，例如[3.8]＝4，[﹣3.5]＝﹣3，若[2x+1]＝5，[2﹣3x]＝﹣3，则x的取值范围为（）A．32≤x＜2 B．32≤x≤53【答案】D【解答】解：∵[2x+1]＝5，[2﹣3x]＝﹣3，∴4＜2x+1≤5−4＜2−3x≤−3解得：53≤故选：D．29．若关于x的不等式组x+5≤2x＜a的解集为x≤﹣3，则a的取值范围为a＞﹣3【答案】a＞﹣3．【解答】解：由题意，解不等式x+5≤2得，x≤﹣3，又∵x＜a，且原不等式组的解集为x≤﹣3，∴a＞﹣3．故答案为：a＞﹣3．十六．一元一次不等式组的整数解（共1小题）30．已知关于x的不等式组2a+3x＞03a−2x≥0恰有3个整数解，则aA．23≤a≤32 B．43≤a≤【答案】B【解答】解：由于不等式组有解，则−2a∵|3a∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组−2≤−2a若三个整数解为0，1，2，则2≤3解得43故选：B．十七．一元一次不等式组的应用（共3小题）31．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（）A．1＜x≤3 B．2＜x≤3 C．3≤x＜5 D．2≤x＜5【答案】B【解答】解：由题意得，2x−1≤5①2(2x−1)−1＞5②解不等式①得x≤3，解不等式②得，x＞2，∴x的取值范围是2＜x≤3．故选：B．32．好街坊橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）电饭煲200250电压锅160200（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压锅的利润的34（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据题意得：x+y=30200x+160y=5520解得：x=18y=12∴18×（250﹣200）+12×（200﹣160）＝1380（元）．答：橱具店在该买卖中赚了1380元．（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，根据题意得：200a+160(50−a)≤8850(250−200)a≥(200−160)(50−a)×解得：1834≤a≤21又∵a为正整数，∴a可取19，20，21．故有三种方案：①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台．（3）设橱具店赚钱数额为w元，w＝（250﹣200）a+（50﹣a）（200﹣160）＝10a+2000，∵10＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝21时，w有最大值，即购进电饭煲21台、电压锅29台时，橱具店赚钱最多．33．根据以下信息，按要求完成下列任务．图书采购创意探究项目项目背景2025年12月19日，“石榴花开声聚同心”——云南省第四届经典诵读大会初选在玉溪市红塔山水小学圆满落幕．本次活动以铸牢中华民族共同体意识为主线，吸引全市小学至社会组百余选手齐聚红塔山水，用诵读传递经典力量．学校需要采购甲、乙两种图书作为活动奖品用于赠书与签书环节．项目要求运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性，发展模型观念．素材展示素材1购买2本甲图书与购买3本乙图书需要的费用相等；素材2购买1本甲图书与购买1本乙图书共需100元；素材3该校计划购买甲、乙两种图书共40本，甲图书和乙图书均需购买，购买甲图书的数量不少于购买乙图书数量的2倍，投入的经费不能超过2200元．问题解决任务1确定单价通过建立合适的数学模型，计算购买1本甲图书和1本乙图书分别需要多少元．任务2优化方案确定最节省费用的购买方案．【答案】（1）购买1本甲图书60元，购买1本乙图书40元；（2）当购买甲图书27本、乙图书13本时，购买的总费用W最节省．【解答】解：（1）由题意，设购买1本甲图书和1本乙图书分别需要x，y元，∴2x=3yx+y=100∴x＝60，y＝40．答：购买1本甲图书60元，购买1本乙图书40元；（2）设购买甲图书的数量为n本，则购买乙图书的数量为（40﹣n）本，∴购买的总费用W＝60n+40（40﹣n）＝20n+1600．又由题意得：n≥2(40−n)，∴262∵W＝20n+1600，且20＞0，∴W随n的增大而增大，又∵n是整数，∴当n＝27，即40﹣n＝13时，购买的总费用W最节省．答：当购买甲图书27本、乙图书13本时，购买的总费用W最节省．十八．点的坐标（共7小题）34．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（）A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4）【答案】A【解答】解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，所以点M的坐标为（4，﹣6）．故选：A．35．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（）A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1）【答案】D【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等，∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|，∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7），解得a＝5或a＝3，所以，点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）．故选：D．36．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2022秒瓢虫在（）处．A．（3，﹣2） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣2） D．（1，1）【答案】D【解答】解：∵A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴C矩形ABCD＝2（AB+AD）＝14，∵14÷2＝7（秒），∴瓢虫爬行一周需要7秒，∴2022÷7＝288……6，∴6×2＝12，∴12﹣3﹣4﹣3＝2，∴第2022秒瓢虫在（1，1）处．故选：D．37．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是（9，12）．【答案】（9，12）【解答】解：依题意得A1点坐标为（3，0），A2点坐标为（3，0+6）即（3，6），A3点坐标为（3﹣9，6）即（﹣6，6），A4点坐标为（﹣6，6﹣12）即（﹣6，﹣6），A5点坐标为（﹣6+15，﹣6）即（9，﹣6），∴A6点坐标为（9，12）．38．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．【答案】（5，0）【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．39．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶智慧点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣5，﹣7）．（2）若点B（2，﹣3）的“a阶智慧点”在第三象限，求a的整数解．（3）若点C（m+2，1﹣3m）的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值．【答案】（1）（﹣5，﹣7）．（2）1．（3）14或1【解答】解：（1）点A（﹣1，﹣2）的“3阶智慧点”的坐标为（﹣3﹣2，﹣1﹣6），即坐标为（﹣5，﹣7）．故答案为：（﹣5，﹣7）．（2）∵点B（2，﹣3），∴点B的“a阶智慧点”为（2a﹣3，2﹣3a）．又∵（2a﹣3，2﹣3a）在第三象限，∴2a−3＜02−3a＜0解得23∵a取整数，∴a＝1；（3）∵点C（m+2，1﹣3m），∴点C的“﹣5阶智慧点”为（﹣8m﹣9，16m﹣3）．∵点C的“﹣5阶智慧点”到x轴的距离为1，∴|16m﹣3|＝1，∴16m﹣3＝1或16m﹣3＝﹣1．解得m=14或40．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（mx+y，x+my）（其中m为常数且m≠0），则称点B是点A的“m级关联点”．例如：点C（2，3）的“4级关联点”D的坐标为（4×2+3，2+4×3），即D（11，14）．（1）点E（1，2）的“3级关联点”F的坐标为（5，7）；（2）若G（2，﹣1）的“m级关联点”坐标为H（9，n），求m+n的值；（3）若点P（a﹣1，3a）的“﹣2级关联点”Q位于坐标轴上，求点Q的坐标．【答案】（1）（5，7）；（2）2；（3）（95【解答】解：（1）3×1+2＝5，1+3×2＝7，∴F的坐标为（5，7）．故答案为：（5，7）．（2）根据题意，得2m−1=92−m=n解得m=5n=−3m+n＝5﹣3＝2．（3）根据题意，得﹣2（a﹣1）+3a＝a+2，a﹣1﹣2×3a＝﹣5a﹣1，∴Q（a+2，﹣5a﹣1），当Q位于x轴上时：﹣5a﹣1＝0，解得a=−1a+2=−15+∴Q（95当Q位于y轴上时：a+2＝0，解得a＝﹣2，﹣5a﹣1＝﹣5×（﹣2）﹣1＝9，∴Q（0，9）．综上，点Q的坐标为（95十九．坐标与图形性质（共1小题）41．已知点M（3，﹣2），它与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且MN＝4，那么点N的坐标是（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）．【答案】（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）【解答】解：∵点M（3，﹣2），MN∥x轴，∴点N的纵坐标y＝﹣2，点N在点M的左边时，点N的横坐标为3﹣4＝﹣1，点N在点M的右边时，点N的横坐标为3+4＝7，所以，点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）或（7，﹣2）．二十．平行线的性质（共15小题）42．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（）A．105° B．120° C．130° D．145°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝25°．由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．故选：A．43．如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（）A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180°【答案】B【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在△BGC中，∠1＝60°﹣α，∵∠β＝∠2+∠γ，∴∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴60°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝60°．故选：B．44．如图，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，∠EPF＝90°，∠BEP＝∠GEP，则∠1与∠2的数量关系为（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝2∠2 C．∠1＝3∠2 D．∠1＝4∠2【答案】B【解答】解：如图，过P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH，∴∠2＝∠FPH，∠BEP＝∠EPH，∴∠BEP+∠2＝∠EPF＝90°，∴∠BEP＝90°﹣∠2．又∵∠BEP＝∠GEP，∴∠1＝180°﹣2∠BEP＝180°﹣2（90°﹣∠2）＝2∠2，即∠1＝2∠2．故选：B．45．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列四个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】B【解答】解：当点G在点F右侧时，如图示：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF=12∠AEF，∠FEH=1∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH=12（∠AEF+∠FEG）=12（180°﹣∠BEG）∴2α+β＝180°，故④是正确的；当点G在M和F之间时，如图：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF=12∠AEF，∠FEH=1∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH=12∠AEF−12∠FEG=12（180°﹣∠BEF）−12∴2α＝β，故①是正确的．故选：B．46．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180° C．2∠E+∠F＝360° D．2∠E﹣∠F＝180°【答案】C【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE=12∠ABF，∠CDE=1∴∠BED＝∠BEM+∠DEM=12（∠ABF+∠∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED=12（360°﹣∠整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．47．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC．上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝104°，则∠BEG的度数为（）A．38° B．37.5° C．37° D．40°【答案】A【解答】解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB，∴∠AFE＝2∠FEB，∵∠FEH的角平分线为EG，∴∠GEH＝∠FEG，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∵∠DEH＝104°，∴∠CEH＝∠FAE＝76°，∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，∴76°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，∴∠GEH﹣∠FEB＝38°，∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝38°．故选：A．48．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝（x+y）度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝（12）n﹣1（x+y）【答案】（1）（x+y）；（2）（12）n﹣1（x+y【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴∠BEP同理可证：∠EP以此类推：P3=(12)故答案为：（x+y），（12）n﹣1（x+y49．如图，在两条笔直且平行的景观道AB，CD上放置P，Q两盏激光灯．其中光线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至边PA便立即回转，并不断往返旋转；光线QC按顺时针方向以每秒3°的速度旋转至边QD就停止旋转，此时光线PB也停止旋转．若光线QC先转4秒，光线PB才开始转动，当PB1∥QC1时，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．【答案】6或43.5．【解答】解：当PB1∥QC1，则∠PB1Q＝∠CQC1，如图：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠CQC1＝∠BPB1．设光线PB旋转时间为t秒，∴4×3+3t＝5t．∴t＝6．当PB1∥QC1，则∠CQC1＝∠PB1C，如图：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠BPB1＝∠CQC1．设光线PB旋转时间为t秒，此时光线PB由PA处返回，∴∠APB1＝5t°﹣180°．∴∠BPB1＝180°﹣∠APB1＝180°﹣（5t°﹣180°）＝360°﹣5t°．∴360﹣5t＝4×3+3t．∴t＝43.5．综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．故答案为：6或43.5．50．将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．在这个过程中，当运动时间为0.5或1.5或3.5或4.5或5秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）．【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5．【解答】解：当DE∥AB时，如图1，此时∠ABE＝∠E＝30°，∴∠CBE＝15°，t＝15°÷30°＝0.5；当BD∥AC时，如图2，此时∠DBC＝45°，t＝45°÷30°＝1.5；当DE∥AC时，如图3，此时，∠EBC＝60°+45°＝105°，t＝105°÷30°＝3.5；当BE∥AC时，如图4，此时∠EBC＝90°+45°＝135°，∴t＝135°÷30°＝4.5；当DE∥BC时，如图5，此时∠EBC＝90°+60°＝150°，t＝150°÷30°＝5，故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5．51．如图，图1是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的∠CFE的度数是102°．【答案】102°．【解答】解：图1中：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE＝26°，∴∠EFC＝180°﹣∠BFE＝154°，图2中：由折叠得：∠EFC＝154°，∵∠BFE＝26°，∴∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝128°，图3中：由折叠得：∠BFC＝128°，∵∠BFE＝26°，∴∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝102°，故答案为：102°．52．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为110度；（直接写出答案）（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．故答案为：110．（2）∠APC＝α+β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α＝∠APE，β＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA＝α﹣β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA＝β﹣α．53．在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”．【概念理解】（1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是∠3；【初步认识】（2）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．①如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，求∠BEG的大小．【问题解决】②如图2，连接EF．若H为平面内一动点（点H不在直线AB，CD，EF上），∠EFH与∠FEH两个角的平分线交于点M．若∠BEH＝m°，∠DFH＝n°，∠N是∠EMF的“2系数补角”，直接写出∠N的大小的所有情况（用含m和n的代数式表示）．【答案】（1）∠3；（2）∠BEG＝26°；（3）14（m+n）﹣45°或45°−14（m+n）或45°−14（m﹣n）或45°−【解答】解：（1）由题意，∵∠P＝90°，∠3＝30°，∴∠P+3∠3＝180°，∴∠P的“3系数补角”是∠3，故答案为：∠3；（2）①过点G作MG∥AB，∵AB∥CD，MG∥AB，∴MG∥CD，∴∠MGF＝∠DFG＝50°．∵MG∥AB，∴∠MGE＝∠BEG，∴∠EGF＝50°﹣∠BEG．∵∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，∴∠EGF+6∠BEG＝180°，∴（50°﹣∠BEG）+6∠BEG＝180°，即∠BEG＝26°；（3）由题可得，点H可能存在6个位置，所以分6种情况讨论，①当点H在AB上方，EF左侧时，如图，过H作HG∥AB∥CD，∴∠GHF＝∠DFH＝n°，∠GHE＝∠BEH＝m°，∴∠EHF＝∠GHE﹣∠GHF＝m°﹣n°，∵FM和EM分别是角平分线，∴∠EMF＝180°﹣（∠MFE+∠MEF）＝180°−12（∠HFE+∠＝180°−12（180°﹣∠＝90°+12＝90°+∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，∴∠EMF+2∠N＝180°，∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14②当点H在AB和CD之间，EF左侧时，如图，同理可得∠H＝360°﹣m°﹣n°，∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝270°∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，∴∠EMF+2∠N＝180°，∴∠N=180°−∠EMF2=14③当点H在CD下方，EF左侧时，如图，同理可得∠H＝n°﹣m°，∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝90°∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，∴∠EMF+2∠N＝180°，∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14④当点H在AB上方，EF右侧时，如图，同理可得∠H＝n°﹣m°，∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝90°∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，∴∠EMF+2∠N＝180°，∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14⑤当点H在AB和CD之间，EF右侧时，如图，同理可得∠H＝m°+n°，∴∠EMF＝90°+12∠EHF＝90°∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，∴∠EMF+2∠N＝180°，∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14⑥当点H在CD下方，EF右侧时，如图，同理可得∠EHF＝m°﹣n°，∴∠EMF＝90°+12∠EHF∵∠N是∠EMF的“2系数补角”，∴∠EMF+2∠N＝180°，∴∠N=180°−∠EMF2=45°−14综上所述，∠N的度数为14（m+n）﹣45°或45°−14（m+n）或45°−14（m﹣n）或45°−54．如图，已知PM∥AN，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D．（1）求∠BPD的度数；（2）当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数；（3）在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例．【答案】（1）70°；（2）35°；（3）∠PCA＝2∠PDA，理由见解答过程．【解答】解：（1）∵PM∥AN，∴∠A+∠APM＝180°，∵∠A＝40°，∴∠APM＝140°，∵PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，∴∠BPC=12∠APC，∠DPC=1∴∠BPD＝∠BPC+∠DPC=12（∠APC+∠MPC）（2）∵PM∥AN，∴∠PBA＝∠BPM，∵∠PBA＝∠APD，∴∠BPM＝∠APD，∴∠APB＝∠MPD，由（1）得：∠APM＝140°，∠BPD＝70°，∴∠APB＝∠MPD=1（3）存在，∠PCA＝2∠PDA，理由如下：∵PM∥AN，∴∠ACP＝∠CPM，∠PDA＝∠DPM，∵PD平分∠MPC，∴∠CPM＝2∠DPM，∴∠PCA＝2∠PDA．55．汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）a＝3b＝1；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，求A灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，①用含t的代数式表示∠BCA＝（180﹣2t）°；②过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，探究∠BAC与∠BCD有怎样的数量关系．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0，∴a−3b=0，解得a=3，故答案为：3，1；（2）设灯A转动x秒时，两灯光第一次互相平行，由平行线性质，易知：3x＝x+30，解得x＝15；（3）①易知∠BCA＝∠NAC+∠PBC，经过t秒，∠PBC＝t°，∠MAC＝3t°，∴∠BCA＝∠NAC+∠PBC＝180°﹣∠MAC+∠PBC＝180°﹣3t°+t°＝（180﹣2t）°，故答案为：（180﹣2t）°；②显然点C一定在AB的右侧，3t＞135，即t＞45，∵∠BAN＝45°，∴∠BAC＝45°﹣∠CAN＝45°﹣（180﹣3t）°＝3（t﹣45）°，∵CD⊥AC，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t°）＝2（t﹣45）°，∴∠BAC∠BCD56．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α．（1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由．（2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由．（3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∴∠FEG+∠EGH＝180°，∴EF∥GH；（2）β＝2α﹣180°，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，∴∠2＝∠MEB，∴∠MEG＝2∠2，同理可得，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°；（3）90°+m或150°．理由如下：①当n＝3时，如图所示：∵∠BEG＝∠1＝m，∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m），∵EF∥HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，则∠GHK＝120°，则∠GHC＝30°，由△GCH内角和，得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如图所示：根据三角形外角定义，得∠G＝γ﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，∠G＝γ﹣60°＝90°，则γ＝150°．综上所述：γ的度数为：90°+m或150°．二十一．平行线的判定与性质（共3小题）57．已知，DE平分∠ADB交射线BC于点E，∠BDE＝∠BED．（1）如图1，求证：AD∥BC；（2）如图2，点F是射线DA上一点，过点F作FG∥BD交射线BC于点G，点N是FG上一点，连接NE，求证：∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DN，点P为BD延长线上一点，DM平分∠BDE交BE于点M，若DN平分∠PDM，DE⊥EN，∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，求∠EDN的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答；（3）∠EDN的度数为45°．【解答】（1）证明：∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∵∠BDE＝∠BED，∴∠ADE＝∠BED，∴AD∥BE；（2）证明：过点E作EH∥BD，∴∠DEH＝∠BDE，∵∠BDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DEH，∵BD∥FG，∴EH∥FG，∴∠HEN＝∠ENG，∵∠DEN＝∠DEH+∠HEN，∴∠DEN＝∠ADE+∠ENG；（3）解：设∠BDM＝2x，∵DM平分∠BDE，∴∠BDM＝∠MDE＝2x，∴∠ADE＝∠BDE＝2∠BDM＝4x，∴∠ADB＝2∠BDE＝8x，∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠ADB＝180°﹣8x，∵DE⊥EN，∴∠DEN＝90°，由（2）得：∠DEN＝∠ADE+∠ENG，∴∠ENG＝∠DEN﹣∠ADE＝90°﹣4x，∵DN平分∠PDM，∴∠MDN=12∠PDM=12（180°﹣∠BDM）=1∴∠EDN＝∠MDN﹣∠MDE＝90°﹣x﹣2x＝90°﹣3x，∴∠DNE＝90°﹣∠EDN＝3x，∠FDN＝∠ADE﹣∠EDN＝4x﹣（90°﹣3x）＝7x﹣90°，∵∠DBC﹣∠DNE＝∠FDN，∴180°﹣8x﹣3x＝7x﹣90°，解得：x＝15°，∴∠EDN＝90°﹣3x＝45°，∴∠EDN的度数为45°．58．如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧）．若∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠E