八年级数学下学期期末模拟考试卷01(新教材人教版)

-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教2024八年级下册第十九-二十四章。第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列各式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（

）A． B． C． D．3．菱形的一条对角线是，周长是，则菱形面积为（

）A． B． C． D．4．对于一次函数，下列结论错误的是（

）A．y随x的增大而增大 B．当时，C．直线与直线平行 D．函数的图象不经过第三象限5．为选拔兴趣小组成员，现将筛选出名同学的成绩整理如下：．后因实际需求新增一位同学，其成绩数据也被纳入到原来小组的成绩数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（

）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数6．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（

）A．小球在斜面上的最大速度为B．所在直线的函数解析式为C．小球从斜面底端到停止所用的时间为D．小球在水平面上运动的总路程为7．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是（）A． B．C． D．8．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（

）A．32 B．28 C．24 D．89．小明的骑行路线如图所示，他从地出发，1小时后到达地，若他骑行的速度保持不变，则他从地骑行至地所需时间为（

）A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时10．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（

）A．的最大值为9，最小值为2 B．的最大值为9，最小值为3C．的最大值为，最小值为3 D．的最大值为，最小值为1第二部分（非选择题共90分）填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．计算的结果为_______．12．函数的自变量x的取值范围是_______．13．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________．14．若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______．15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________．三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（7分）规定一种新运算：，．(1)计算：______；(2)求的值．17．（7分）某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟；(2)整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟；(3)当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间．18．（8分）年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，．八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表：年级平均数中位数众数七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中________，________，________；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）；(3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？19．（9分）郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品．(1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价；(2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价；(3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？20．（10分）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．【模型应用】(1)代数式的最小值为；(2)变式训练：利用图3，求代数式的最小值；【模型拓展】(3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．21．（10分）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号）(2)【类比学习】如图1，若，，则________；(3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明．(4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长．22．（11分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为．(1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．(2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．23．（13分）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为．(1)求的值．(2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．(3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教2024八年级下册第十九-二十四章。第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列各式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【详解】解：A、是最简二次根式；B、的被开方数含有分母，不是最简二次根式；C、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式；D、的被开方数含小数即分母，不是最简二次根式.综上．2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一计算验证即可．【详解】解：A选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故A不符合题意；B选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意；C选项，最长边为，，，，能构成直角三角形，故C符合题意；D选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．3．菱形的一条对角线是，周长是，则菱形面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用菱形四条边相等、对角线互相垂直平分的性质，先求出菱形边长，再结合勾股定理求出另一条对角线的长度，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积．【详解】解：∵菱形周长为，菱形四条边相等，∴菱形的边长为∵菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为，∴该对角线的一半长为由勾股定理，得另一条对角线的一半长为，∴另一条对角线长为∵菱形面积等于两条对角线乘积的一半，∴．4．对于一次函数，下列结论错误的是（

）A．y随x的增大而增大 B．当时，C．直线与直线平行 D．函数的图象不经过第三象限【答案】A【分析】根据一次函数中和的意义，逐一判断选项即可找出错误结论．【详解】解：对于一次函数，可得，．A选项：∵，∴随的增大而减小，原结论错误，符合题意；B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意；C选项：直线与直线的相等，截距不同，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意；D选项：∵，，∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意．5．为选拔兴趣小组成员，现将筛选出名同学的成绩整理如下：．后因实际需求新增一位同学，其成绩数据也被纳入到原来小组的成绩数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（

）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数【答案】D【分析】根据统计量的概念，分别分析新增一个数据后各统计量的变化，即可得到结论.【详解】解：原数据从小到大排序为，共个数据.分析中位数：∵原数据共个，中位数是第个和第个数据的平均数，∴原中位数为.新增个数据后，总数据变为个，中位数是排序后的第个数据.若新增数据小于，排序后第个数据为；若新增数据大于等于，排序后第个数据仍为，因此中位数一定不变；分析其他选项：A新增数据不确定，若新增数据不等于原平均数，平均数会发生改变，因此平均数不一定不变；B原众数为，若新增一个，此时和都出现次，因此众数不一定不变；C方差是描述数据波动大小的量，新增数据后，原数据的平均数和离散程度通常会发生改变，所以方差不一定保持不变，不符合要求；故答案选：D.6．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（

）A．小球在斜面上的最大速度为B．所在直线的函数解析式为C．小球从斜面底端到停止所用的时间为D．小球在水平面上运动的总路程为【答案】C【分析】根据待定系数法求出直线解析式，然后求出点的坐标，即可判断选项A；根据待定系数法求出直线的解析式，即可判断选项B；当时，，解得，即可判断选项C，根据提示计算即可判断选项D．【详解】解：设所在直线的函数表达式为，把代入，，，当时，，即点坐标为，小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，但不符合题意；设所在直线的函数表达式为，得，解得，所在直线的函数表达式为，故选项B正确，但不符合题意；当时，，解得，，该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意；小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，但不符合题意．7．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据动点在正方形各边上的运动状态，分段讨论的底与高的变化情况，从而确定面积与路径长的函数关系，进而判断图象．【详解】解：由题意可知，正方形边长为4，周长为16．当时，点在边上运动，此时三点共线，的面积；当时，点在边上运动，的底，高为，，此时随的增大而增大；当时，点在边上运动，的底，高为正方形边长4，，此时保持不变；当时，点在边上运动，的底，高为，，此时随的增大而减小；综上所述，图象应为先平（在轴上），再上升，再平（），最后下降．故选B．8．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（

）A．32 B．28 C．24 D．8【答案】A【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果．【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数，对比题中给出的方差，可得数据个数，这组数据的平均数，∴这组数据的总和为．9．小明的骑行路线如图所示，他从地出发，1小时后到达地，若他骑行的速度保持不变，则他从地骑行至地所需时间为（

）A．1小时 B．小时 C．2小时 D．小时【答案】C【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及路程、速度、时间之间的关系．解题的关键在于通过构造直角三角形，利用角度关系求出线段与的数量关系．【详解】解：设与轴交于点轴，由图可知，，在中，，在中，骑行速度保持不变，时间与路程成正比从地到地用时1小时，从地到地所需时间为2小时．10．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（

）A．的最大值为9，最小值为2 B．的最大值为9，最小值为3C．的最大值为，最小值为3 D．的最大值为，最小值为1【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值．【详解】解：如图，取的中点，，，，，，即存在最大值为9，根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时．故选：B．第二部分（非选择题共90分）填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．计算的结果为_______．【答案】9【详解】解：．12．函数的自变量x的取值范围是_______．【答案】且【分析】根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义，列出不等式求解自变量的取值范围即可．【详解】解：由题意可得，解不等式，得，解不等式，得，∴且．13．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________．【答案】/0.125【分析】根据题意求出正方形的面积，利用勾股定理求出与，同理找出后面等腰直角三角形的斜边与的关系，最后直接代入求值．【详解】解：∵正方形的边长为2，∴正方形的面积，由题意知：三角形是等腰直角三角形，且，∴，即，，同理可得，，根据规律可知：，∴．14．若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______．【答案】【分析】先根据平均数的定义求出，再根据方差的公式计算即可得出结果．【详解】解：∵一组数据：3，，0，，的平均数是1，∴，解得：，∴．15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________．【答案】【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标．【详解】解：对于直线，令，得，，；令，得，，．，．，，为等腰直角三角形，．，．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则．在中，，，为等腰直角三角形，．，又，．在和中：，，，．，，，，点的坐标为．设直线的解析式为，把，代入得：，解得，直线的解析式为．令，得，，点的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（7分）规定一种新运算：，．(1)计算：______；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）解：；（2）解：．17．（7分）某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟；(2)整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟；(3)当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间．【答案】(1)，；(2)；(3)分钟或分钟或分钟．【分析】（1）根据函数图象进行回答即可；（2）根据图象可知至分钟速度最快；（3）分别求出在不同时段的速度，再根据题意列方程解答即可．【详解】（1）解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了：（分钟）；（2）解：当时，速度为（米/分钟），当时，速度为（米/分钟），当时，速度为，当时，速度为（米/分钟），，故整个送快递的过程中，小李的最快速度是米/分钟；（3）解：设小李从家出发分钟时，离派送点的距离是米，当时，，得，当时，，得，当时，，得，即小李出发分钟或分钟或分钟时，离派送点的距离是米．18．（8分）年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，．八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表：年级平均数中位数众数七年级八年级根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中________，________，________；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）；(3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？【答案】(1)；；(2)见解析(3)人【分析】（1）从扇形统计图中，读取信息，根据中位数和众数的确定方法求出的值，根据百分比的计算，求出；（2）利用中位数作决策即可；（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．【详解】（1）解：由扇形统计图可得，组的人数为：（人）；组的人数为：（人）；由题意可得，组的人数为：（人），∴组的人数为：（人）；把组的数据从小到大排列为：，，，，，，七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第个数据是，第个数据是，∴；∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是，∴；∵七年级组的人数为：（人），∴，∴．（2）解：该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好，理由：∵该校七、八年级学生阅读知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，∴该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好．（3）解：由题意可得，七年级等级的人数为人；把八年级名学生竞赛成绩从小到大排列可得满足等级的人数为人，∴；答：我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有人．19．（9分）郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品．(1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价；(2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价；(3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)A款进价为40元，B款进价为25元；(2)A款售价为60元，B款售价为50元；(3)购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元．【分析】（1）设B款进价为x元，则A款进价为元，根据题意列一元一次方程，据此计算即可求解；（2）设B款售价为y元，则A款售价为元，根据题意列出分式方程，据此计算即可求解；（3）设购进A款m个，则购进B款个，先求得，再求得总利润W关于m的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设B款进价为x元，则A款进价为元，根据题意：，解得，，答：A款进价为40元，B款进价为25元；（2）解：设B款售价为y元，则A款售价为元，根据题意列方程：，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：A款售价为60元，B款售价为50元；（3）解：设购进A款m个，则购进B款个，根据条件“购进A款的个数不少于B款的一半”：得，解得：，总利润W的表达式：，∵，∴W随m的增大而减小，∴当时：最大利润：元，个答：购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元．20．（10分）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．【模型应用】(1)代数式的最小值为；(2)变式训练：利用图3，求代数式的最小值；【模型拓展】(3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值．【答案】(1)13(2)(3)【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．【详解】（1）解：，，，根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有，∴，∴的最小值是13，故答案为13；（2）如图，由，，∴，∴的最小值是；（3）解：构造于，如图所示：设，则，，，，，，∴方程的解是．21．（10分）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号）(2)【类比学习】如图1，若，，则________；(3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明．(4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长．【答案】(1)③④(2)(3)，证明见解析(4)【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求．（2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算．（3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系．（4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算．【详解】（1）解：①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形．（2）解：；（3）解：数量关系：，证明如下：设对角线、交于点，由勾股定理：