人教版八年级数学下册期末复习 专题03 多边形 平行四边形9考点18题型3易错4方法(期末复习知识清单)

专题03多边形和平行四边形 一、四边形及其内角和与外角和1.定义:在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形;2.相关概念：（1）边：组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.（2）对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线；（3）内角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角.（4）外角：四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.3.四边形的内角和与外角和四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°.四边形具有不稳定性.二、多边形及相关概念★1、多边形的定义：在平面内，由n（n≥3）条线段首尾依次相接，组成的图形叫做多边形.如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.★2、相关概念(1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.(2)外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.(3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.▲n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n(n−3)2（n≥3，且n三、多边形的内角和★1、多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）★2、多边形内角和公式的常见应用(1)已知多边形的边数，求内角和；(2)已知多边形的内角和，求边数；(3)求正n边形每个内角的度数，其公式为(n−2)×(4)已知n边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数．★3、多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°.四、多边形的外角角和★1、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°．【注意】（1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.（2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.（3）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．★2、常见应用（1）已知外角度数求正多边形的边数；（2）已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为360°五、平行四边形的概念◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”，读作:“平行四边形ABCD”.【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序．◆3、几何语言：(双重含义)∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC（性质）六、平行四边形的性质定理●●平行四边形的性质：◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD◆4、对称性平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．七、两条平行线间的距离◆1、定义：两条平行线线之间的距离.◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离.八、平行四边形的判定★1、平行四边形的判定方法类别判定方法图形几何语言边定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.∴AB∥CD，AD∥BC，∵四边形ABCD是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.角两组对角分别相等的四边形是平行四边形.∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形.对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵AO=CO，DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形.★2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法.★3、平行四边形性质与判定的联系与区别区别：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.九、三角形的中位线◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.几何语言：在△ABC中，∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.几何语言：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，且DE=12BC◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.◆5、三角形的中线与中位线相同点：都是与中点有关的线段.不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.题型一多边形相关概念【例1】（25-26七年级上·全国·期末）下列图形不是凸多边形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了凸多边形的概念，根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形．【详解】解：根据凸多边形的概念，可知图形不是凸多边形的是．故选：D．【变式1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（

）A．各角都相等的多边形是正多边形 B．各边都相等的多边形是正多边形C．多边形的内角与相邻的外角互为补角 D．五边形一共有两条对角线【答案】C【分析】本题考查了多边形的定义和性质，熟练掌握多边形的定义和性质是解题关键．根据各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，可判断A、B选项；根据多边形内角和外角的关系，可判断C选项；根据n边形有nn−3【详解】解：A、各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意；B、各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意；C、多边形的内角与相邻的外角互为补角，原说法正确，符合题意；D、五边形一共有5×5−3故选：C．【变式2】（22-23七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（

）A．三角形是边数最少的多边形B．等边三角形和长方形都是正多边形C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条【答案】B【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键．【详解】解：A．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确；B．长方形不是正多边形，该选项说法错误；C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角，该选项说法确；D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，该选项说法正确；故选：B．【变式3】（21-22八年级下·全国·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______．【答案】①⑤⑥①⑥/⑥①【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键．根据多边形的定义进行判断即可．【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥．故答案为：①⑤⑥；①⑥．题型二多边形的对角线【例2】（21-22七年级上·陕西西安·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】B【分析】n边形从一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成(n−2)个三角形，且从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，先根据分成的三角形个数求出多边形边数，再计算对角线条数即可.【详解】解：设这个多边形有n条边，∵从n边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成(n−2)个三角形，∴n−2=4，解得n=6，即这个多边形是六边形，又∵从n边形的一个顶点出发可作(n−3)条对角线，∴从这个多边形的一个顶点出发对角线有6−3=3条.【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点最多能引出n−3条对角线求解即可．【详解】解：从该九边形的一个顶点最多能引出9−3=6条对角线，故选：A．【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（

）A．9条 B．10条 C．11条 D．12条【答案】A【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数−3，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画4−3=1条对角线，五边形从一个顶点出发，可以画5−3=2条对角线，六边形从一个顶点出发，可以画6−3=3条对角线，…，∴n边形从一个顶点出发，可以画n−3条对角线，∴十二边形从一个顶点出发，可以画12−3=9条对角线，故选：A．【变式3】（23-24七年级上·陕西西安·期末）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________．【答案】18【分析】从n边形的一个顶点出发有n−3条对角线．【详解】解：设该正多边形的边数是n，∵从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，∴n−3=15，解得n=18，∴该正多边形的边数是18．题型三多边形的内角和【例3】如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，A．60° B．55° C．50° D．45°【答案】A【分析】多边形内角和=n−2⋅180°(n≥3且n为整数）．先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得【详解】解：在五边形ABCDE中，内角和为5−2×180°=540°∵∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，在△CDP中，∠P=180°−∠PDC+∠PCD【变式1】如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（

）A．720° B．900° C．1080° D．1440°【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式n−2×180°【详解】解：正八边形的内角和为8−2×180°=6×180°=1080°【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题．设多边形边数为n，利用多边形内角和公式列出方程，可求出边数，再根据外角和定理即可求外角．【详解】解：设多边形边数为n，∵四边形内角和为360°，多边形的内角和比四边形的内角和多720°，∴多边形内角和为360°+720°=1080°，∴n−2×180°=1080°解得：n=8∴外角为360°÷8=45°．故选：B【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是___________边形．【答案】九【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】设这个多边形的边数是n，则有n−2⋅180°=1260°化简得n−2=7，解得n=9，∴这个多边形是九边形．故答案为：九．题型四正多边形的角的计算问题【例4】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如果一个正多边形的边数增加2，那么它的内角和增加（

）A．90° B．180° C．270° D．360°【答案】D【分析】本题考查了多边形内角和公式．根据多边形内角和公式，计算边数增加2后的内角和的差值即可．【详解】解：设原多边形边数为n，则原内角和为n−2×180°∵边数增加2，∴新边数为n+2，新内角和为n+2−2∴内角和增加量=n×180°−n−2故选：D．【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个多边形的边数是（

）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正n边形的每个内角的度数为n−2⋅180°n，是解题的关键．根据正n边形的每个内角的度数为【详解】解：设该正多边形的边数为n，由题意得n−2×180°=120°×n解得n=6，故选：B．【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，正五边形ABCDE中，边AE，CD的延长线交于点F，则∠F的度数为（

）

A．30° B．36° C．37.5° D．40°【答案】B【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，三角形内角和等知识．由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果．【详解】解：在五边形ABCDE中，∠DEF=∠EDF=360°÷5=72°，∴∠F=180°−∠DEF−∠EDF=36°；故选：B．【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图所示为用镜子拼成的正八边形，点B为AF上一点，现从点B射出一束光线，经过两次反射后，到达AG边上的E点，若∠ABC=65°，则∠AED=（

）A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】A【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理．设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得∠DCH、∠CDJ、∠BCD和∠CDE的数量关系，再利用多边形CHIJD是五边形，求出∠BCD与∠CDE的度数和，再求出∠CKD的度数，然后求出答案即可．【详解】解：如图，设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K，∵八边形是正八边形，∴∠CHI=∠HIJ=∠IJD=∠BAE=8−2设∠BCD=x，∠CDE=y，由光的反射定理可知：∠DCH=1∠CDJ=1∵多边形CHIJD是五边形，∴∠CHI+∠HIJ+∠IJD+∠DCH+∠CDJ=540°，即3×135°+90°−1化简得：x+y=90°，∴∠CKD=180°−x+y∴∠BKE=90°，∵多边形AEKB是四边形，∠ABC=65°，∴∠AED=360°−∠BKE+∠BAE+∠ABC故选：A．题型五多（少）算一个角问题【例5】（22-23八年级上·广西钦州·期末）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】D【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：180(n−2)=2020+x，由n为整数即可确定x的值．【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由题意得：180(n−2)=2020+x，∴n=13+40+x由于n为整数，x为正数且小于180，∴40+x=180，则x=140，故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角．【变式1】（23-24八年级下·四川达州·期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（

）A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形【答案】B【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论．【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，则：（n-2）•180+x=1960，∴x=2320-180n．∵0°＜x＜180°，∴0＜2320-180n＜180，解得11∵n为正整数，∴n=12．故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____．【答案】105°/105度【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数．【详解】解：∵1155°÷180°=6⋯⋯75°，又∵少加了一个内角，∴多边形的边数是：6+1+2=9，∴他们在求九边形的内角和，∴180°−75°=105°，少加的内角为105°，故答案为：105°．【变式3】（23-24七年级下·河南南阳·期末）看图回答问题：(1)内角和为2018°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？(3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？【答案】(1)见解析(2)13边形的内角和(3)能，这个外角为38°【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是n−2⋅180°（1）n边形的内角和是n−2⋅180°（2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得2018°−180°<n−2180°<2018°，进行求解即可，注意（3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用2018°减去求出的结果，计算即可．【详解】（1）∵2018°不是180°的整数倍，∴小明说不可能．（2）设这个多边形的边数为n，由题意，得2018°−180°<n−2解得1219∵n为整数，∴n=13．∴小华求的是13边形的内角和．（3）∵当n=13时，13−2×180°=1980°2018°−1980°=38°，∴这个外角为38°．题型六多边形截角问题【例6】（22-23七年级下·北京通州·期末）一个多边形剪去一个角后（剪痕不过任何一个其它顶点），内角和为1980°，则原多边形的边数为（

）A．11 B．12 C．13 D．11或12【答案】B【分析】根据题意可知，该多边形减去一个角后边长增加了1，据此根据多边形内角和公式进行求解即可．【详解】解：设原多边形边数为n，由题意得，180n+1−2解得n=12，故选B．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，正确理解题意截去一个角后边数增加1是解题的关键．【变式1】（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为540°，则原多边形边数为（

）A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6【答案】D【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答．【详解】解：设新多边形边数为n，∵新多边形内角和为540°，∴(n−2)×180°=540°，解得n=5，若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：

∴原多边形边数为4或5或6，故选：D．【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键.【变式2】（22-23八年级下·山东济南·期末）剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是（

）A．540° B．360° C．270° D．180°【答案】C【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．【详解】解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，当截线为经过长方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形，内角和为180°；当截线为经过长方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形，内角和360°；当截线为只经过长方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为540°．∴C不符合题意；故选C【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，解决本题的关键是理解剪掉多边形的一个角的含义．【变式3】（23-24八年级上·山东济宁·阶段检测）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______．【答案】6或7或8【分析】设原多边形为n边形，则当n多边形截去一个角后，可形成(n−1)或n或(n+1)边形，根据多边形的内角和定理列式计算可求解．【详解】解：设原多边形为n边形，则当n多边形截去一个角后，可形成(n−1)或n或(n+1)边形，∴(n−1−2)×180°=900°或(n−2)×180°=900°或(n+1−2)×180°=900°，解得n=8或7或6，故答案为：8或7或6．【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，判定n边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论．题型七四边形外角和的实际问题【例7】（24-25九年级上·云南昆明·期末）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数是（

）A．180° B．360° C．450° D．540°【答案】B【分析】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．多边形的外角和等于360度，依此即可求解．【详解】解：由多边形的外角和等于360度，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．故选：B．【变式1】如图，小明从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（A．100m B．90m C．54m【答案】C【分析】本题考查了正多边形外角和问题，有理数乘法的应用，掌握正多边形的外角和为360°是解题关键．由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，再根据正多边形的外角和，得出小明所走过的图形是正十八边形，即可求解．【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，∵正多边形的外角和为360°，且每个外角都为20°，∴正多边形的边数为360°÷20°=18，即小明所走过的图形是正十八边形，∴路程为18×3=54m故选：C．【变式2】如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．【详解】解：如图，直线l、m相交于点A，则∠A=60°，∵正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等，∴∠1=∠2=180°−60°∴n=360°故选：B．【变式3】一机器人以0.2m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为_____s．【答案】240【分析】本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了360°，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周．【详解】解：依据题中的图形，可知机器人一共转了360°，∵360°÷45°=8，∴机器人一共行走6×8=48m∴该机器人从开始到停止所需时间为48÷0.2=240s题型八多边形内角和外角和的综合【例8】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，求这个多边形的边数为_________．【答案】9【分析】根据题意设边数为n，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意列方程得：180n−2化简得：n−2=6+1，解得：n=9．【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β=_____．【答案】150°【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为180°n−2【详解】解：如图，由多边形内角和、外角和定理可知∠A=180°4−24∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，∴∠1+∠2=360°−90°−120°=150°．∵∠1=α，∠2=β，∴α+β=∠1+∠2=150°．故答案为150°．【变式2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的13(1)求这个外角的度数．(2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过1000°，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由．【答案】(1)45°(2)嘉嘉的猜想正确，理由见解析【分析】本题主要考查多边形的内角和定理，外角和的性质，掌握内角和的计算，外角和的性质是解题的关键．（1）设与这个外角相邻的内角为x°，由此列式求解即可；（2）由（1）可得，这个正多边形的每个外角都相等，且都等于45°，则有这个正多边形的边数为360°÷45°=8，再根据多边形内角和定理即可求解．【详解】（1）解：设与这个外角相邻的内角为x°，则这个外角为13根据题意，得x°+1解得，x=135，∴1∴这个外角的度数为45°．（2）解：正确，理由如下，这个正多边形的每个外角都相等，且都等于45°，∵正多边形的外角和为360°，∴这个正多边形的边数为360°÷45°=8，∴正多边形的内角和为8−2×180°=1080°>1000°∴嘉嘉的猜想正确．【变式3】（25-26八年级下·山东德州·月考）如图，四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F．(1)若BF∥CD，∠ABC=80°，求(2)已知四边形ABCD中，∠A=110°，∠D=120°，求∠F的度数．【答案】(1)50°(2)25°【分析】（1）根据平角的定义和角平分线的定义求出∠EBF的度数，再由平行线的性质可得答案；（2）根据四边形内角和为360度推出∠ABC=130°−∠BCD，由平角的定义和角平分线的性质得到∠EBF=1【详解】（1）解：∵∠ABC=80°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ABE=100°，∵BF平分∠ABE，∴∠EBF=1∵BF∥∴∠BCD=∠EBF=50°；（2）解：∵四边形ABCD中，∠A=110°，∠D=120°，∴∠ABC+∠BCD=360°−∠A−∠D=130°，∴∠ABC=130°−∠BCD，∴∠ABE=180°−∠ABC=180°−130°−∠BCD∵四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F，∴∠EBF=1∵∠EBF=∠F+∠BCF，∴∠F=25°．题型九利用平行四边形的性质求线段长【例9】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点M．若AB=5，BC=8则MD的长为（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出等腰三角形，进而求出DM的长度．根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出AB=AM，从而得到DM的长度．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠MBC．又∵AD∥∴∠AMB=∠MBC，∴∠ABM=∠AMB，∴AB=AM，∵AB=5，∴AM=5，∵DM=AD−AM=8−5=3．故选：A．【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB=6，EF=2，则BC的长为（A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】分别可证△ABF、△CED为等腰三角形，得到AF、DE的长，进而得到AE、FD，再根据AD=AE+EF+FD计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD=BC，又BF、CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，∴∠ABF=∠FBC，∠DCE=∠ECB．又AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC=∠ABF，△ABF是等腰三角形，即AF=AB=6．同理可证△CED是等腰三角形．∴DE=DC=AB=6．又∵EF=2，∴AE=FD=4．∴AD=AE+EF+FD=4+2+4=10．∴BC=10．【变式2】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知AB=5cm,△COB的周长比△AOB的周长多2 cmA．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是牢记平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，再由△COB的周长比△AOB的周长多2 cm，可以求出BC，根据AD=BC【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD=BC．∵△COB的周长比△AOB的周长多2 cm∴OB+OC+BC−OB+OA+AB=BC−AB=2∵AB=5cm∴BC=AB+2=5+2=7cm∴AD=BC=7cm故选：C【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在边AD上，∠ABE=60°，过点B作BH⊥AD于点H．若BH=1，则线段CD的长度是（

）A．22 B．6 C．6−2【答案】C【分析】利用平行四边形的性质和AD=BD，求出∠BAD=75°，利用30°以及勾股定理求解CD长度.【详解】解：设∠ADB=x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC=∠ABC=105°，∴∠CBD=∠ADB=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=1∴x+12180°−x即∠ADB=30°，∴∠BAD=75°．∵BH⊥AD，BH=1，∴BD=2．根据勾股定理，得DH=B则AH=AD−DH=BD−DH=2−3∴CD=AB=B故选：C.识点.题型十利用平行四边形的性质求角度【例10】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，点E，F在▱ABCD的对角线AC上，AE=EF=CD=DE，∠ADE=21°，则∠BCD=（

）A．42° B．53° C．59° D．63°【答案】D【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出∠DAE,∠DCE的度数，平行线的性质，得到∠ACB=∠DAE，再利用角的和差关系进行求解即可．【详解】解：∵AE=EF=CD=DE，∠ADE=21°，∴∠DAE=∠ADE=21°，∠ECD=∠DEC=∠ADE+∠EAD=42°，∵▱ABCD，∴AD∥BC，∴∠ACB=∠DAE=21°，∴∠BCD=∠ACB+∠DCE=63°；故选D．【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在▱ABCD中，∠B+∠D=126°，则∠A的度数是（

）A．116° B．117° C．118° D．120【答案】B【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出∠B=63°，再根据“邻角互补”的性质，计算出∠A=180°−63°=117°．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∵∠B+∠D=126°，∴∠B=∠D=63°，∠A+∠B=180°，∴∠A=180°−63°=117°．【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1首次经过顶点C时，此时旋转角∠ABA1的度数等于42°，则A．42° B．68° C．69° D．84°【答案】C【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质．由旋转的性质得出BC=BC1,∠AB【详解】解：∵将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A∴BC=BC∴∠BCC∴∠A=69°，故选：C．【变式3】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，▱ABCD中，∠ADC=120°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF=（

）A．60° B．30° C．70° D．50°【答案】A【分析】根据平行四边形的性质可得∠C=180°−∠ADC=60°，由BE⊥DC，DF⊥BC可得∠BEC=90°，∠DFB=90°，由直角三角形两锐角互余可得∠EBC=90°−∠C=30°，∠BHF=90°−∠EBC=60°．本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ADC+∠C=180°，∵∠ADC=120°，∴∠C=180°−∠ADC=60°，∵BE⊥DC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=90°−∠C=30°，∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°，∴∠BHF=90°−∠EBC=60°．故选：A．题型十一利用平行四边形的性质求周长【例11】如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14．△AOD的周长是（

）A．16 B．32 C．21 D．24【答案】C【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出AD、OA、OD的长，即可求出△AOD的周长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10，OA=12AC∵AC=8，BD=14，∴OA=4，OD=7．∴△AOD的周长=OA+OD+AD=4+7+10=21．【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧交于点M和点N，作直线MN，分别交边AD，BC于点E、F，连接AF，若△ABF的周长为15，则平行四边形ABCD的周长为（A．12 B．20 C．24 D．30【答案】D【分析】本题考查了尺规作图，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图知，MN垂直平分AC，可得AF=CF，通过△ABF的周长为15，结合线段的等量代换可得AB+BC=15，从而根据平行四边形的性质即可得解．【详解】解：由作图知，MN垂直平分AC，∴AF=CF，∵△ABF的周长为15，∴AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=15，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∴▱ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=2AB+2BC=2AB+BC故选：D．【变式2】如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AB≠AD，AC、BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．【答案】D【分析】主要考查了平行四边形的性质、中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．根据线段垂直平分线的性质可知BE=DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．【详解】解：根据平行四边形的性质得：OB=OD，∵EO⊥BD，∴EO为BD的垂直平分线，根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE=DE，∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=1故选：D．【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=22，则平行四边形ABCDA．2 B．42 C．4 【答案】D【分析】先证明△AEB、△AFD是等腰直角三角形，再利用勾股定理求得AB=2AE，【详解】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AEB=∠AFC=∠AFD=90°，∴∠C=360°−∠AEC−∠AFC−∠EAF=360°−90°−90°−45°=135°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B=∠D=180°−∠C=180°−135°=45°，∵∠AEB=∠AFD=90°，∴△AEB、△AFD是等腰直角三角形，∴AE=BE，AF=FD，∴AB=AAD=A∴平行四边形ABCD的周长=2AB+AD题型十二利用平行四边形的性质求面积【例12】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．48【答案】D．【分析】设BC＝x，由平行四边形的周长表示出CD，再根据平行四边形的面积列式求出x，然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x＝12，即可得出结论．【详解】解：设BC＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD的周长为40，∴BC+CD＝20，∴CD＝20﹣x，∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF，∴4x＝6（20﹣x），解得：x＝12，∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48．故选：D．【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，CE=2ED，AE与BD交于点O，若△DOE的面积为2cm2，则S△AOBA．2cm2 B．3cm2 C．【答案】D【分析】先利用平行四边形性质得到对边平行且相等，证明△DOE与△BOA相似，再结合线段比例关系得到相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△AOB的面积．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠OAB=∠OED∴△DOE∽△BOA．∵CE=2ED，∴CD=CE+ED=3ED．∴AB=3ED．∴ABED∴S△AOB∵S△DOE∴S△AOB【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在▱ABCD中，点E是CD中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，点G在边AB上，且AG=3BG，连接CG，若△CEF的面积为2，则四边形AGCE的面积为（

）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积；根据题意证明△ADE≌△CFE，从而得到S△AEC=S△ADE=2，S△ABC=4【详解】解：如图所示，连接AC，∵在▱ABCD中，点E是CD中点，∴DE=CE，AD∥BC，∴∠DAE=∠CFE，又∵∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△CFEAAS∴S△ADE=S∴S△AEC=S∵AG=3BG，∴AGAB∴S△AGC∴S四边形故选：A．【变式3】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，当F恰好为BC的中点时，▱ABCD的面积为（A．30 B．60 C．67 D．【答案】D【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到AD∥BC,AD=BC=8，由折叠得∠DAC=∠FAC，证明∠FCA=∠FAC，推出AF=CF=BF，进而得出∠ABD=90°，求得AC的长，根据平行四边形的面积公式求面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC=8，∴∠FCA=∠DAC，由折叠得∠DAC=∠FAC，∴∠FCA=∠FAC，∴AF=CF，∵F为BC的中点，∴BF=CF，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA，∴∠FAB+∠FBA+∠FAC+∠FCA=180°，∴∠FAB+∠FAC=90°∴∠BAC=90°，∵AB=6，∴AC=B∴平行四边形ABCD的面积为AB⋅AC=127故选：D．题型十三利用平行四边形的性质证明【例13】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，与BD相交于点O，点M、N分别为OA、OC的中点，连接BM、DN．(1)求证：△AMB≌△CND；(2)若BD=2AB，且AB=5，DN=4，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据平行四边形的性质AB=CD，AB∥CD，AO=CO，平行线的性质可得出∠BAC=∠DCA，结合线段中点的定义可得出AM=CN，然后根据（2）根据三线合一的性质得出BM⊥AO，由（1）中△AMB≌△CND得出BM=4，根据勾股定理求出AM=3，最后根据线段中点定义和平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AO=CO，∴∠BAC=∠DCA，∵点M、N分别为OA、OC的中点，∴AM=12AO∴AM=CN，又AB=CD，∠BAM=∠DCN，∴△AMB≌△CNDSAS（2）解：∵BD=2AB，BD=2BO，∴BO=AB，又M是AO的中点，∴BM⊥AO，∵△AMB≌△CND，DN=4，∴BM=DN=4，又AB=5，∴AM=A又AM=12AO∴CO=AO=6，∴AC=AO+CO=12．【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE且交BC于点F．(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)若∠CED=50°，求∠B的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)∠B=80°．【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）由平行四边形性质可得AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，通过平行线性质可得∠CED=∠BCE，∠AFB=∠BCE，则有∠AFB=∠CED，然后通过“AAS”证明全等即可；（2）由（1）得∠CED=∠BCE，∠B=∠D，根据角平分线定义可得∠ECD=∠BCE=50°，最后三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠CED=∠BCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠BCE，∴∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠B=∠D∠AFB=∠CED∴△ABF≌△CDEAAS（2）解：由（1）得：∠CED=∠BCE，∠B=∠D，∴∠CED=∠BCE=50°，∵CE平分∠BCD，∴∠ECD=∠BCE=50°，∴∠D=180°−∠CED−∠ECD=180°−50°−50°=80°，∴∠B=∠D=80°．【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE交BC于点G，连接OG、CF．(1)求证：AE∥CF；(2)当AG⊥BC，OG⊥AC时，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析(2)45【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）由平行四边形的性质推出OA=OC，OB=OD，判定△AOE≅△COF，得到∠OAE=∠OCF，即可证明AE∥CF；（2）判定OG垂直平分AC，推出AG=CG，因此△AGC是等腰直角三角形，得到∠ACB=45°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E、F分别为OB、OD的中点，∴OE=12OB∴OE=OF，∵∠AOE=∠COF，OA=OC，∴△AOE≅△COF，∴∠OAE=∠OCF，∴AE∥CF；（2）解：∵AG⊥BC，∴∠AGC=90°，由（1）知OA=OC，∵OG⊥AC，∴OG垂直平分AC，∴AG=CG，∴△AGC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°．【变式3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，EF过点O且垂直于AD．(1)求证：OE=OF；(2)若S△AOB=3，AD=3，则AD与(3)若▱ABCD的周长是24，OE=2，则四边形ABFE的周长为____________．【答案】(1)见解析(2)4(3)16【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明△AOE≌（1）先由平行四边形的性质得到AO=CO，AD∥BC，则∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，即可证明△AOE≌（2）由三角形面积公式可得OE=OF=2，据此求解即可；（3）由（1）的结论知OE=OF=2，AE=CF，再利用四边形周长公式即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，∴AO=CO，AD∥∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，∴△AOE≌∴OE=OF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，∴BO=DO，∴S△AOD∵EF过点O且垂直于AD，∴12∵AD=3，∴OE=2，∵OE=OF，∴EF=4，即AD与BC之间的距离为4，故答案为：4；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长是24，∴AB+BC=1∵△AOE≌∴AE=CF，由（1）的结论知OE=OF=2，∴四边形ABFE的周长为AB+BF+AE+EF=AB+BC+EF=12+4=16，故答案为：16．题型十四两平行线间的距离【例14】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且a∥b，则直线a，b之间的距离是（

）A．线段AB B．线段CDC．线段AB的长度 D．线段CD的长度【答案】D【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案．【详解】解：∵a∥b，CD⊥b，∴线段的CD长度是直线a，b之间的距离，故选：D．【变式1】（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，直线a∥b∥c，AB⊥a,AB⊥b．若a与b的距离是5cm，b与c距离是2cm，则a与c的距离是（

A．2cm B．3cm C．5cm 【答案】B【分析】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．据AB=5cm,BC=2cm，可得AC=3cm，进而得出a与【详解】解：∵a与b的距离是5cm，b与c的距离是2cm，AB⊥a,AB⊥b∴AB=5cm∴AC=3cm即a与c的距离为3cm故选：B.【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C，DA．AC B．AE C．AD D．BE【答案】C【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键．【详解】解：∵∠ADE=90°，∴AD⊥l∵l1∥l2，点A在l1∴AD的长度是l1到l故选：C．【变式3】（23-24七年级下·湖南永州·期末）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是4cm，直线b与c之间的距离是2cm，那么直线a与c的距离是【答案】6cm或【分析】本题考查平行线间的距离，分直线c在直线a,b之间，和直线c在直线a,b的外侧，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：当直线c在直线a,b之间时，直线a与c的距离是4−2=2cm当直线c在直线a,b的外侧时，直线a与c的距离是4+2=6cm故答案为：6cm或2题型十五添加条件判定是平行四边形【例15】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件①DE=BF；②∠ADE=∠CBF；③AF=CE；④∠AEB=∠CFD中，添加一个条件，使四边形A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键．连接BD，交AC于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答．【详解】解：连接BD，交AC于点O，如图∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO，AO=CO，AD∥①当DE=BF时，不能证明对角线互相平分，不符合题意；②当∠ADE=∠CBF时，∵AD∥∴∠ADO=∠CBO，∴∠ADO−∠ADE=∠CBO−∠CBF，∴∠ODE=∠OBF，∵∠DOE=∠BOF，∴△DOE≌∴OE=OF，∵BO=DO，∴四边形DEBF是平行四边形，故②符合题意；③当AF=CE时，∵AO=CO，∴AO+OF=CO+OE，即OE=OF，∵BO=DO，∴四边形DEBF是平行四边形，故③符合题意；④当∠AEB=∠CFD时，∵∠BEO=180°−∠AEB,∠DFO=180°−∠CFD，∴∠BEO=∠DFO，∵BO=DO，∠DOF=∠BOE，∴△DOF≌∴OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故④符合题意；综上所述，②③④符合题意，故选：D．【变式1】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,AO=CO，若再添加一个条件，可判定四边形ABCD为平行四边形．请从①AD=CB；②AB=CD；③BO=DO这三个条件中选取一个作为添加条件．你选择的条件是______．（填序号）

【答案】③【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论．【详解】解：选择③BO=DO，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD为平行四边形；而选择①或②都只有一组对边相等，也无法证明三角形全等得其他边、角的关系，故选择③能判定四边形ABCD为平行四边形．故答案为：③．【变式2】（24-25八年级下·河南·期末）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在OB和OD上．请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，并说明理由．(1)添加的一个条件是：______；(2)说明理由．【答案】(1)BE=DF，答案不唯一(2)见解析【分析】（1）从对角线的角度思考，添加条件即可；（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．【详解】（1）解：从对角线的角度思考，可以添加BE=DF，故答案为：BE=DF．不唯一（2）证明：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

∴OA=OC,OB=OD，又∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式3】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AF=CE．(1)求证：△ABE≌(2)连接EF．请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形．（不需要说明理由）【答案】(1)见解析(2)添加AF=BE（答案不唯一）【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，结合已知条件可得DF=BE，即可证明△ABE≌（2）添加AF=BE，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∵AF=CE，∴AD−AF=BC−CE即DF=BE，在△ABE与△CDF中，AB=CD∠B=∠D∴△ABE≌（2）添加AF=BE（答案不唯一）如图所示，连接EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即当AF=BE时，四边形ABEF是平行四边形．题型十六平行四边形判定的证明【例16】如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM∥CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，【答案】见解析【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质和对顶角相等推出∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD，据此证明△AEB≌△CFDAAS【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF；∵AM∥CN，∴∠AEB=∠NFE，又∵∠NFE=∠CFD，∴∠AEB=∠CFD，∴△AEB≌△CFDAAS∴BE=DF．【变式1】如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且DE=BF，EF、BD相交于点O，求证：OE=OF．【答案】见解析【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠ODE=∠OBF在△ODE和△OBF中∠ODE=∠OBF∴△ODE≌△OBF∴OE=OF【变式2】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF.【答案】见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过此题可以发现：证明两条线段相等，除了通过证明全等三角形的方法，也可通过特殊四边形的性质进行证明．要证明BE=DF，可以证明它们所在的两个三角形全等，也可以通过证明四边形BEDF是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等进行证明．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴DE=12AD∴DE=BF，DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF．【变式3】如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF，AC与BD相交于点O，求证：BE=DF．【答案】见解析【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出AB=CD，AB∥CD，得到∠BAE=∠DCF，判定△ABE≌△CDF(SAS)，推出【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF(SAS∴BE=DF．题型十七平行四边形与平面直角坐标系的综合【例17】如图，在直角坐标系中，▱ABCD的顶点B、C、D的坐标分别是−5,0，0,0，2,3，则顶点A的坐标是（

）A．−2,3 B．−3,2 C．−2,2 D．−3,3【答案】D【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC=5，再求出AE=3，即可得出答案．【详解】解：如图，∵▱ABCD的顶点B、C、D的坐标分别是−5,0，0,0，2,3，∴AD=BC=5，DE=2，∴AE=5−2=3．AD∥∵点O、点B在x轴上，∴点A与点D的纵坐标相等，都为3，∴顶点A的坐标−3,3．【变式1】如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(−2,−2)，(2,−2)，将平行四边形ABCD绕点A顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（

）A．(−3,1) B．(0,−3) C．(0,−4) D．(4,1)【答案】B【分析】根据平行四边形的性质得出点D的坐标，进而利用旋转的性质得出规律解答即可．本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．【详解】解：平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0,1)，(−2,−2)，(2,−2)，∴D(4,1)，当旋转90°时，第一次时，D(0,−3)；第二次时，D(−4,1)；第三次时，D(0,5)；第四次时，D(4,1)；∵2025÷4=506...1∴第2025次旋转结束时，点D的坐标为D(0,−3)，故选：B．【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B的坐标分别为4,1，3,2，则点C的坐标为（

）A．−1,1 B．1,1 C．−1,2 【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质可得OC=AB，OA=BC，设Ca,b【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC=AB，OA=BC，设Ca,b∵点A，B的坐标分别为4,1，3,2，∴a−02解得：a=−1b=1或a=∵点C在第二象限，∴a=−1b=1∴C−1,1故选：A．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标依次为A0,4，B−3,0，将线段移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段CD，则四边形ABDC的周长为（

）A．34 B．35 C．36 D．37【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标平移，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据A0，4，B−3，0，求出AB=OA2+OB【详解】解：∵A0,4，B∴OA=4，OB=3，∴AB=O过点D作DE⊥x轴于点E，∵将线段AB向右平移12个单位，再向上平移5个单位，得到对应线段CD，∴DE=5，BE=12，∴BD=D∵线段AB平移后得到线段CD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD的周长=2AB+BD故选：C．题型十八利用三角形的中位线计算【例18】（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，点D、E、F分别是AC、BC、AB的中点，连接DE，DF，则四边形BEDF的周长是（

）A．5 B．7 C．8 D．10【答案】D【分析】利用三角形的中位线，得到DE=BF=12AB=2【详解】解：∵点D、E、F分别是AC、BC、AB的中点，AB=4，BC=6，∴DE，DF是△ABC的中位线，BF=12AB=2∴DE=12AB=2∴四边形BEDF的周长为BF+DE+DF+BE=2+2+3+3=10．【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB=10，AC=18，则MN的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】延长BN交AC于点D，证明△ABN≌△ADNASA，得出AD=AB=10，从而可得CD=8【详解】解：如图：延长BN交AC于点D，∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠DAN，∵BN⊥AN，∴∠ANB=∠AND=90°，∵AN=AN，∴△ABN≌△ADNASA∴AD=AB=10，∴CD=AC−AD=8，∵点M是BC边上的中点，∴MN为△BCD的中位线，∴MN=1【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=6，BC=9，则EF的长为（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】C【分析】由三角形中位线定理可得DE∥BC，DE=12BC=4.5，BD=AD，由平行线的性质可得∠DFB=∠CBF，由角平分线定义得到∠DBF=∠CBF，因此∠DFB=∠DBF，可得DF=BD，求出BD=12【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC∴∠DFB=∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠CBF，∴∠DFB=∠DBF，∴DF=BD，∵AB=6，∴BD=1∴DF=3，∵BC=9，∴DE=1∴EF=DE−DF=4.5−3=1.5．【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，M为AD上一点，且BM⊥CM，点P，Q分别为BM，CM的中点，连接AP，PQ，DQ．若AP=4，A．24 B．12 C．17 D．22【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAM=∠CDM=90°,AD=BC，∵点P，Q分别为BM，CM的中点，∴PM=BP=AP=4，MQ=CQ=DQ=3，∵BM⊥CM，∴∠PMQ=90°，由勾股定理得PQ=P∴AD=2PQ=10，∴四边形APQD的周长为AP+PQ+DQ+AD=4+5+3+10=22．题型一平行四边形中的多结论判断问题【例1】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AD=2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S平行四边形ABCD=AC⋅CD；④SA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据平行四边形的性质结合∠ADC=60°，得出AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，进而得出∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，然后根据角平分线的定义，得出∠BAE=∠DAE，再利用等量代换，得出∠BAE=∠AEB=60°，进而得出△ABE为等边三角形，再由等边三角形的性质结合题意，得出EC=AE=BE，再根据等边对等角，得出∠EAC=∠ECA，然后再利用邻补角互补，得出∠AEC的度数，进而得出∠EAC=∠ECA=30°，再利用两直线平行，内错角相等，得出∠CAD=30°，即可判断①；然后根据角的关系，得出∠BAC=90°，再根据直角三角形的边的关系，得出BO>AB，再根据等量代换，得出OD>AB，即可判断②；再根据平行四边形面积公式，得出S▱ABCD=AB⋅AC，再根据等量代换，得出S▱ABCD=AC⋅CD，即可判断③；再根据EC=BE，AO=OC，得出EO是△BCD的中位线，然后根据三角形中位线平行于第三边且等于它的一半，得出EO:CD=1:2，EO∥CD，可得出S△BEO:S△BCD=1:4，然后再结合题意，推出S四边形【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠AEB=60°，∴△ABE为等边三角形，∴AB=BE=AE，∵BC=AD=2AB，∴EC=AE=BE，∴∠EAC=∠ECA，∴∠AEC=180°−60°=120°，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，∴∠BAC=90°，∴BO>AB，∴OD>AB，故②错误；∴S▱ABCD∵EC=BE，AO=OC，∴EO是△BCD的中位线，∴EO:CD=1:2，EO∥CD，∴S△BEO∴S四边形∴S四边形∵S△AOD∴S四边形∵AO=OC，BE=EC，∴AB=2OE，∵AD=2AB，∴OE=1综上可得：①、③、④、⑤正确．故选：D.【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线与三角形的面积问题、等知识，熟练掌握相关性质是解本题的关键．【变式1】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE,BF相交于点H，BF,AD的延长线相交于点G．下列结论：①DB=2BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤【答案】B【分析】①由题意可知△BDE是等腰直角三角形，故此可得到DB=2BE；②由∠HBE=∠CBF，∠HEB=∠CFB证明即可；③先证明△BHE≌△DEC，从而得到BH=DC，然后由平行四边形的性质可知AB=BH；④根据BC=AD，BE=DE，即可得【详解】解：∵DE⊥BC，∴∠∵∠∴∠∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DB=2∵DE⊥BC，BF⊥CD，∴∠∴∠DHF+∠∴∠∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∵∠∴∠在△BHE和△DCE中，∠HBE=∴△BHE≌△DCE(ASA∴BH=DC，EH=EC，∵AB=CD，∴AB=BH，故③正确，符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∵BE=DE，∴DE+EC=BE+EC=BC=AD；故④正确，符合题意；根据已知不能推出DG=HE，故⑤错误，不符合题意；综上，正确的有①②③④，故选：B