北师版八年级数学下册期末专项训练 专题10 期末真题压轴百练通关

专题10期末真题压轴百练通关（70题12大压轴题型）选填小压轴解答压轴题型1多结论问题题型7等腰（直角）三角形中的旋转综合题题型2多解问题题型8特殊三角形中的新定义型问题题型3最值问题题型9不等式与不等式组中的新定义型问题题型4含参数问题题型10分式与分式方程中的规律与新定义型问题题型5规律问题题型11平行四边形与中位线的综合题题型6动点问题题型12平行四边形中的折叠与新定义型问题题型一多结论问题（共5小题）1．（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图，中，，的角平分线、相交于点P，延长至F，沿着折叠与重合，交于点H，则下列结论：；；；，其中正确的有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】①利用直角三角形两锐角和为，结合角平分线定义，得，由三角形外角或内角和定理，推出．②由折叠性质得，故，，计算得，即．③在的基础上，利用同角的余角相等得，结合、，由证得．④延长交于，先由证得，再证得，最终得．【详解】解：中，，，的角平分线、相交于点，，，，，故①正确；∵沿着折叠与重合，交于点H，∴，，∴，∴，故②正确；，，，，在和中，，故③正确；延长交于点，则，，，在和中，，，在和中，，，，故④正确．2．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，已知是等边三角形，，E是上的点，，与交于点F，则下列结论正确的有（

）①连接，则垂直平分线段；

②是等边三角形；③若，则；

④若，则．A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】B【分析】如图，连接，由是等边三角形得，从而得点、都在线段的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得，，即可判断②正确，三角形的外角性质得，从而判断③错误，先找到，又由和都是等边三角形，，，得，，从而有，即可判断④正确．【详解】解：如图，连接，∵是等边三角形，∴，，∵，∴点、都在线段的垂直平分线上，∴垂直平分线段，故①正确；∵，∴，，∴是等边三角形，故②正确；∵，，∴，∵，∴，故③错误；∵垂直平分，，，∴，∵，∴，∴，∵和都是等边三角形，，，∴，，∴，故④正确；综上，正确的结论有①②④．3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图1，将长方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被长方形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．有下列说法：①点的坐标为；②长方形的面积为；③；④．其中正确的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图可知，平移秒时，直线经过点，此时直线的解析式为，利用解析式求出此时点的坐标；当直线运动秒时，解析式为，此时直线经过点，利用解析式求出点的坐标，可得的长度，利用长方形的面积公式求出长方形的面积；运动秒时经过点，此时直线的解析式为，利用解析式求出直线与的交点坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度；直线运动秒时经过点，此时直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出的值．【详解】解：由图可知，平移秒时，直线经过点，直线平移秒时的解析式为，即，，点的纵坐标是，当时，可得：，解得：，点的坐标是，故①正确；由图可知当时，直线经过点，当时，直线的解析式为，即，点的纵坐标为，可得：，解得：，点的坐标为，，，长方形的面积为，故②错误；由图可知，当时，直线经过点，当时，直线的解析式是，即，当时，可得：，解得：，即直线与的交点坐标为，点的坐标是，点的坐标是，，，故③正确；由图可知，当运动秒时，直线经过点，当运动秒时，直线的解析式为，点的坐标为，点的坐标是，把点的坐标代入，可得：，解得：，故④错误．综上所述，正确的有个.故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、从函数图象获取信息的能力、勾股定理、坐标与图形性质．4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别在边，上，线段经过点，下列结论：；；；．其中错误结论的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的对边平行、对角相等可知、正确；因为与有交点，所以错误，故错误；因为是平行四边形的对角线，所以，利用可证，所以可知，从而可证，故正确．【详解】解：四边形是平行四边形，，故正确；与相交于点，与不平行，故错误；四边形是平行四边形，，故正确；四边形是平行四边形，是的对角线，，，，点是的中点，，在和中，，，，，，故正确．综上所述，错误结论的个数为.故选：A．5．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，平分交于点．且，连接，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明是等边三角形，，再利用30度的直角三角形的性质一一判断即可．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，平分，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，故①正确，，，，故②正确，，，故④错误，假设，则垂直平分线段，推出，推出，与题目条件矛盾，故③错误．故选：B．题型二多解问题（共5小题）6．（25-26八年级上·全国·期末）当______时，关于的方程无解．【答案】或1或6【分析】此题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．【详解】解：由原方程得：，整理得：（i）当，即时，原方程无解；（ii）当，原方程有增根，当时，，即；当时，，即，即当，或时原方程无解，故答案为：，或．7．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，．点P在边上（不与B、C重合），过点P分别作于点E，交于点F．若为直角三角形，则的长度为_________．【答案】6或【分析】分两种情况讨论：①当点与点重合时，此时，根据三线合一性质即可求出的长度；②当时，作于点，作于点，连接，利用等面积法求出，设，利用勾股定理表示出，再证明，得到，列出方程求出的值即可．【详解】解：①如图，当点与点重合时，∵，∴，∴为直角三角形，∵，，∴；②当时，如图，作于点，作于点，连接，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，设，则，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∴；∴综上所述，的长度为6或．8．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知点为轴上一点，且为等腰三角形，直线的表达式为，则的值为___________．【答案】或2或或【分析】本题主要考查等腰三角形的分类讨论、一次函数的斜率，根据等腰三角形的边长进行分类讨论是解题的关键．首先设，根据，，三种情况进行讨论求解点C的坐标，即可求出直线的表达式的斜率．【详解】解：由题意得：，设，∵为等腰三角形，①当时，，解得：（与点B重合，舍去）或，∴，∵，∴将，，代入中，得，解得：，∴；②当时，，解得：或，当时，∴将，，代入中，得，解得：，，当时，∴将，，代入中，得，解得：，∴；③当时，，解得∴，∴将，，代入中，得，解得：，；故答案为：或或2或．9．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______．【答案】或【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可．【详解】解∶∵，，∴，∵，∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，当F在M的右侧时，，又，∴，∴；当F在M的左侧时，，又，∴，∴；综上，当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或，故答案为：或．10．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在中，，，，P是边上一动点（不与点A、B重合），将沿翻折，点B的对应点为点D，若与直线所夹的锐角为，则的长为________．【答案】3或【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折的性质、等边三角形的判定，根据题意准确画出示意图是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质可得，再分两种情况讨论：当或时，利用直角三角形和等边三角形的性质求出的长，再利用线段的和差即可求解．【详解】解：∵，，∴，，∵与直线所夹的锐角为，∴或；当时，如图，由翻折的性质得，，∴，∴，∴；当时，如图，由翻折的性质得，，∴，∴是等边三角形，∴，∴；综上，的长为3或．故答案为：3或．题型三最值问题（共5小题）11．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为__________．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形，勾股定理；连接，根据三角形中位线定理可得，可得时，和取最小值，然后求出的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接，∵点E，F分别是，的中点，∴，∴当取最小值时，可取得最小值，∴当时，和取最小值，∵在中，，∴，∴当时，，此时，∴，∴，即的最小值是，故答案为：．12．（25-26八年级上·广西百色·期末）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______．【答案】【分析】本题考查等边三角形的性质及最短路径问题．关键是利用垂直平分线的对称性将转化为，再根据“两点之间线段最短”确定的最小值为的长度，最后结合等边三角形高的性质求出的长度．【详解】解：如图，连接．∵是等边三角形，是边上的高，∴垂直平分，∴点关于的对称点为点，∴，∴．根据两点之间线段最短，当为与的交点时，取得最小值，最小值为的长度．又∵是的中点，是等边三角形，∴是边上的高，∴，故的最小值为．故答案为：．13．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，等边的边长为2，于点D，E为射线上一点，以为边在左侧作等边，则的最小值为_________．【答案】【分析】本题考查旋转的性质及垂线段最短，连接，利用“手拉手”模型得出全等，得出点F的运动轨迹即可解决问题．【详解】解：连接，∵和是等边三角形，∴，∴，即，∴，∴．又∵，∴，∴，则点F在过点A且与夹角为的射线上．过点D作射线的垂线，垂足为M，∵，且，∴，即的最小值为．故答案为：．14．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_________．【答案】14【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理、平移的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作A关于的对称点，将线段沿射线平移的长度，得到，连接、、、，根据轴对称的性质和平移的性质可推出，再由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，最后利用勾股定理得到即可解答．【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接、，则，，∵正方形的边长为6，∴，，，∴点、、三点共线，即，∵，，∴将线段沿射线平移的长度，得到，连接、，此时，，∴，∵，，∴当、、三点共线时，取得最小值，此时，取得最小值，最小值为，在中，，，∴，∴的最小值为．故答案为：14．15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，点，分别是线段，上的动点（点不与点重合），且，连接，，则的最小值为___．【答案】【分析】先运用勾股逆定理得出，再证明，故，当点与点重合时，则的值最小，且为，根据平行线之间距离处处相等则，，结合等面积法进行计算，根据勾股定理得，，即可作答．【详解】解：在的下方，作，且，连接交于点，如图所示：∵在中，，，，∴，∵，∴，∵，，∴，则，∴，当点与点重合时，则的值最小，且为，过点C作直线交于点H，再过点F作直线于点N，如图所示：则，∴，∵，∴，即，∵，，∴（平行线之间距离处处相等），同理得，依题意，，则，∴，在中，，∴，即，在中，，即的值最小值为，故答案为：．题型四含参数问题（共5小题）16．（24-25七年级下·河北沧州·期末）若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有______个．【答案】2【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组的步骤和解集的意义．求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可．【详解】解：解不等式①得，，∵不等式组无解，∴，满足条件的正整数n有：1,2，共2个，故答案为：2．17．（24-25七年级下·青海玉树·期末）已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是______．【答案】0【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及根据解集求参数，重点在于理解“同大取大”等不等式组解集的确定原则．分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集来确定参数a的值．【详解】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，不等式组的解集为，当时，，则，时，，则a无解．，故答案为：18．（24-25七年级下·山东济南·期末）若关于x的不等式组的解集为，则m满足的条件是_____．【答案】【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，解出不等式，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可求解．【详解】解：解不等式1得：，∵不等式组的解集为，∴，故答案为：．19．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知关于x的不等式组，下列三个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是．其中正确的结论的序号是______．【答案】①【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、根据不等式组的解求参数等知识点，根据不等式组的解集情况求参数成为解题的关键．先解出不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集逐个判断即可．【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，若它的解集是，，解得：，故①正确，当时，，则该不等式组无解；故②错误；若它的整数解仅有个，即，的取值范围是，故③错误；故答案为：①．20．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的积为________．【答案】0【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定m的取值范围．根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，然后代入原分式方程验证即可得结论．【详解】解：解不等式，得．解不等式，得．不等式组的解集为．不等式组有且只有4个整数解，．解得．，解得．关于的分式方程的解为非负数，，解得．是分式方程的增根，此时，无意义，舍去．且．符合题意的整数m的值，，0．当m的值为时，．解得∶，是非负数，符合题意．当m的值为时，．解得∶，是非负数，符合题意．．当m的值为0时，．解得∶，是非负数，符合题意．．符合题意的整数m的值为，，0．符合条件的所有整数m的积是．故答案为∶0题型五规律问题（共5小题）21．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段的旋转方向和速度，以及点的运动路线，可确定点的坐标每秒为一个循环周期，进而通过计算秒在周期中的位置，求出此时点的坐标．【详解】解：第秒时，，此时在轴的负半轴上，，第秒时，，此时在轴的负半轴上，，第秒时，，此时在轴的正半轴上，，第秒时，，此时在x轴的正半轴上，，第秒时，，此时在轴的负半轴上，，第秒时，，此时在x轴的负半轴上，，第秒时，，此时在轴的正半轴上，，第秒时，，此时在x轴的正半轴上，，即点的坐标每秒一个循环，，第秒时，，此时在轴的负半轴上，，故选：．22．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，根据勾股定理，先求得前几个的坐标，观察图形，即可得出的横坐标为，纵坐标为，即可求解．【详解】解：点∴的横坐标为6，且，的横坐标为，……∴的横坐标为，纵坐标为点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是，故选：C．23．（25-26九年级上·广西来宾·期末）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案．【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，，第二次旋转后，在第二象限，，第三次旋转后，在x轴负半轴，，第四次旋转后，在第三象限，,第五次旋转后，在第四象限，，第六次旋转后，在x轴正半轴，，……，每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴，而，在x轴负半轴上，且，∴点的坐标为．24．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________．【答案】【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键．根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解．【详解】正方形绕点逆时针旋转，，每旋转次回到原来位置，余，点的坐标与点的坐标相同，已知点，则点，旋转后点，再旋转后点，点的坐标为．故答案是．25．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，一个图形向右平移个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换后得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是______．【答案】【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，等腰直角三角形的性质，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，，推出，根据，求出点的坐标即可．【详解】解：过点作轴，∵为斜边为1的等腰直角三角形，∴，∴，∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，∴，同理：，，，，，∴，∵，∴，即：．故答案为：．题型六动点问题（共5小题）26．（24-25八年级下·河南·期末）在中，，，点P是边上一动点，连接，M为的中点，N为的中点，连接，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点作于点，由三角形中位线定理可知，当最小时，有最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，此时点与重合，证明是等腰直角三角形，求出，即可求解．【详解】解：如图，连接，过点作于点，M为的中点，N为的中点，是的中位线，，当最小时，有最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，此时点与重合，，是等腰直角三角形，，，，的最小值为1，的最小值为，故选：D．27．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，是等边三角形，点是线段上的动点，过点作于，延长交的延长线于点，有以下结论：①；②；③；④过点作于，动点在运动过程中，的值始终不变．其中正确的结论个数有（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、角直角三角形的性质、三角形内角和定理的应用及三角形外角的性质，勾股定理，熟知以上知识点是正确解答此题的关键．由是等边三角形，可得，进而得，可判断①正确；由三角形外角的性质及等腰三角形的判定可判断②正确；假设，则可得出点D是中点，与点是线段上的动点矛盾，可判断③不正确；用勾股定理得出，，即可得出，可判断④正确；从而可得答案．【详解】解：①是等边三角形，，，，，，故①正确；②，，，故②正确；③若，则，，此时，点D是中点，点是线段上的动点，故③不正确；④过点作于，如图，，，，中，，即，，同理可得，，即动点在运动过程中，的值始终不变．故④正确；综上所述，正确的说法有3个，故答案为：B．28．（24-25八年级下·贵州黔南·期末）如图，在中，，，，E，F分别是边，的中点，动点P从点E处出发，按逆时针方向，沿，，匀速运动到点F处停止．设的面积为S，动点P运动的路径总长为x，则能表示S与的对应关系的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】此题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，三角形的面积公式以及一次函数的图象．分P在上、上、上三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：在中，，，，∵点E，F分别是边AB，CD的中点，∴，，当P在上时，时，过点P作于点H，则，，∵，∴，∴，∴此时图象是与y轴交于的线段；当P在上时，时，过点B作于点M，则，∵，，∴，∴，∴此时图象是平行于x轴的线段；当P在上时，时，过点P作于点N，则，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴此时图象是一条过的线段；观察四个选项，只有选项B符合题意，故选：B．29．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，点是轴上的动点，当以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时点的坐标为____________．【答案】或或【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论求出点的坐标．【详解】解：点是直线上的动点，设点的坐标为，则，，如下图所示，当，时，，可得：或，由，可得：，即点的坐标为，由，可得：，，即点的坐标为；如下图所示，当，时，过点作，则，，，整理可得：或(无解，舍去)，由，可得，，点的坐标是；综上所述，点的坐标是或或．30．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________．【答案】22【分析】此题主要考查点的移动距离及函数图象的关系，理解题意，确定关键点的对应关系是解题关键．作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，结合运动轨迹及运动图象得出，然后利用等腰三角形的性质得出，结合勾股定理求出平行四边形的高，即可求解面积．【详解】解：如图所示，作，垂足为E，在下图中标注点M、N，且，当点P从点A运动到点B时，对应于线段，∴，当点P从点B运动到点D时，对应于曲线，∴，∴，当点P到点D时，对应于图中的点N，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴平行四边形的面积为：，故答案为：，．题型七等腰（直角）三角形中的旋转综合题（共5小题）31．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，和都是等腰直角三角形，．(1)猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是_______，位置关系是______________；(2)探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗?说明理由；(3)拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是_______________．【答案】(1)，；(2)成立，见解析；(3)或．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论；（2）先由旋转的旋转得出，进而判断出，得出，，与交于M，与交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论；（3）分两种情况，①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论；②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，，利用线段的加减即可得出结论．【详解】（1）和都是等腰直角三角形，，，，，点在上，点在上，且，，故：，；（2）成立；如图2，与交于M，与交于N，由题意可知：，，，在与中：，，，又，，在中，，，，所以结论成立；（3）①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，；②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，是等腰直角三角形，且，，，，在中，，，，综上，的长为或，故答案为:或．32．（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为．(1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°；(2)如图②，当点在上时，若，求的度数；(3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值．【答案】(1)110(2)30°(3)最大值：；最小值：【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹．（1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可；（2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解；（3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值．【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角，则，故答案为：；（2）解：根据旋转的性质可得，，，∴，∵，∴，由题意可得，，即，解得，∴；（3）解：连接，如图：由旋转的性质可得，，，由勾股定理可得，，∵点为的中点，∴，∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值为，的最小值为．33．（22-23八年级上·福建漳州·期末）在中，，．(1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，．①求证：；②若，，求的长．(2)如图2，若点E在外，且，将绕点C逆时针旋转，得到，连接交于点G，射线与射线相交于点H．求证：．【答案】(1)①见解析；②(2)见解析．【分析】（1）①由可得，易证；②由①可知，，可求得，，在中，运用勾股定理可求解；（2）如图，连接，同①可证，结合已知，，，，可求得，根据等角对等边可得证．【详解】（1）①证明：，，即，在与中，；②，，，，，，，，，，在中，；（2）（2）如图，连接，，，即，又，，，，，，，，．34．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践问题情境以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为．操作计算（1）当°时，；当°时，．（2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由．拓展探究（3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由．【答案】（1）45，75（2）或（3）【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键．（1）当时，有则，当时，，即可解答；（2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐一分析，即可解答；（3）令与的交点为M，与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答．【详解】解：（1）当时，如图，有∴．当时，如图，有∴．故答案为：45，75．（2）①当时，如图，有，∵，，∴，解得，∴．②当时，如图，有，，∴，，∴即，解得．③当时，如图，有，，∴，，∴解得（不符合题意，舍去）．综上所述，的值为或．（3）不变化，理由如下：令与的交点为M，与的交点为N，如图∵，∴，同理可得：，∴，∵，∴，解得．35．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图1，已知点是等边内一点，且，，．(1)求的度数；以下是甲，乙，丙三位同学的谈话：甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点B逆时针旋转60°或绕点C顺时针旋转60°；乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转；丙：我是将进行旋转．请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数；(2)若改成，，，的度数＝______°，点到的距离为______；类比迁移：(3)如图2，已知，，，，，，求的度数．【答案】(1)(2)，4.(3)【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．（2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离；（3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出．【详解】（1）解：（1）选择甲：如图1，作，且，连接，，则是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，，，，；乙：如图2，同理可得，，，；丙：如图3同理可得，，，；（2）同理（1）可得：，∴，如图4，过点作的垂线，垂足为，∴，∴，故答案为：，4.（3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，∴，，，∴，，∴，∴题型八特殊三角形中的新定义型问题（共5小题）36．（24-25八年级下·江西上饶·期末）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段．(1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）；(2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长；(3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________．【答案】(1)是(2)5(3)2或1或【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．（1）根据等直分割线的定义判断即可；（2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答；（3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可.【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形证明：如图：是的垂直平分线，，则是等腰三角形，是直角三角形是的一条等直分割线段；∴直角三角形一定是等直三角形，故答案为：是；（2）是的等直分割线段是等腰三角形设：，则在中，根据勾股定理得解得；（3）在中，，，是的等直分割线段，①若，时，如图1，∴，∴，∴，②若，时，如图2，∴，，∴，∴，∴，∴，③若，时，如图3，∴④若，时，如图4，∴，∴，∴，∴，∴，综上所述：的长可以为或或.故答案为：或或.37．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：在中，若，，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：(1)如图1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，．求的度数．(2)如图2所示，在中，，且．求证：为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在上找一点使得，再作．①探索的形状并说明理由．②请你帮助小明完成证明过程．【答案】(1)；(2)①等腰三角形，理由见解析；②见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到是等腰直角三角形，由此即可求解；（2）①根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，结合题意得到，根据三角形的定义即可求解；②根据等腰三角形的性质得到，，在中，，在中，，由此得到，结合“类勾股三角形”的定义即可求解．【详解】（1）解：，，，，是类勾股三角形，，，是等腰直角三角形，；（2）解：①等腰三角形，理由如下：，，，，，是等腰三角形②由①得，，，，，在中，，在中，，，，是“类勾股三角形”．38．（21-22七年级下·四川达州·期末）【阅读理解】定义：在同一平面内，点​分别在射线​上，过点​垂直​的直线与过点​垂直​的直线交于点​，则我们把​称为​的“边垂角”．【迁移运用】(1)如图1，​分别是​的两条高，两条高交于点​，根据定义，我们知道​是​的“边垂角”或​是​的“边垂角”，​的“边垂角”是____(2)若​是​的“边垂角”，则​与​的数量关系是____(3)若​是​的“边垂角”，且​．①如图2，​交​于点​，点​关于直线​对称点为点​，连接​，​，且​，求证：​，②如图3，若​，求四边形​的面积．【答案】(1)(2)相等或互补(3)①见解析；②【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；（3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论；②连接，过点作与延长交于点，证明得，根据等腰三角形的判定与性质求出，然后根据求解即可．【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况①如图，是的“边垂角”，，，，，②如图，是的“边垂角”，，，，，综上所述，与的数量关系是或；（3）解：①延长交于点，是的“边垂角”，∴，∴，，，，在和中，∵，，，，，，，∴，在和中，，，，，，点关于直线对称点为点，，；②连接，过点作与延长交于点，是的“边垂角”，∴，∴，∵，，，，，，在和中，，，，∴，∴．过点作于点，∴，，∴．39．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅……(1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）．①顶角为的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是的直角三角形．(2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接．①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论；②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数．【答案】(1)②③；(2)①见解析；②或或19°或．【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键．（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解；（2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形，则两个底角均为，，顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”；若一个三角形是等腰直角三角形，则三个角分别为，，，，等腰直角三角形是“倍角三角形”；若一个三角形是有一个角为的直角三角形，则另两个角分别为，，，有一个的直角三角形是“倍角三角形”，故答案为：②③．（2）①证明：，，∵将沿边所在的直线翻折得到，，，，，，是“倍角三角形”；②解：由①可得，如图，∵是等腰三角形，∴，∵是“倍角三角形”，或或或，当时，，；当时，，；当时，∵∴，，；当时，∵，，．综上所述：或或19°或．40．（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．【定义理解】（1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个）（2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”；【定义运用】（3）如图2，已知是直角三角形，，①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______．②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______．【问题拓展】（4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度．【答案】（1）钝角；（2）见解析；（3）①，②或；（4）或【分析】本题主要考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；（1）根据“类直角三角形”的定义、三角形内角和可进行求解；（2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；（3）①由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解；②由题意易得或，则有或，然后根据三角形内角和可进行求解；（4）由题意可分当时，当时，进而分类进行求解即可．【详解】解：（1）设三角形的第三个内角为，由三角形内角和可知：，∵该三角形是“类直角三角形”，∴，∴，∴，即，∴该三角形一定是钝角三角形，故答案为钝角；（2）证明：∵，是边上的中线，∴，∴．∵平分，∴，∴是“类直角三角形”．（3）解：①如图，∵，，∴，∵是“类直角三角形”，∴，由于，所以不成立，∴，∴；故答案为．②如图，∵，，∴，∵是“类直角三角形”，∴或，∴或，∴或；故答案为或．（4）解：如图，∵，，，∴，∵是“类直角三角形”，∴或，情形一：当时，过点E作于点F，如图所示：∵，∴，∴点在的角平分线上，∵，，∴，方法一：，∴，∴，∴．方法二：设，则，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，解得：，∴；情形二：当时，方法一：在上面找一点，连接，使得，延长至，使得，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，，∴，∴，∴；方法二：作点关于的对称点，连接、，并延长交于点．∵，，∴，∴，设，则，∵点、点关于对称，∴，，∴，∴，即，∴，利用等积法可得：，∴，在中，，设，在中，，∴，在中，．题型九不等式与不等式组中的新定义型问题（共5小题）41．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）定义，的新运算：(，为常数)．已知，．(1)求的值；(2)若满足，求整数的值．【答案】(1)(2)整数的值为，【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，根据新运算的定义得出关于、的二元一次方程组是解题的关键．（1）根据新运算的定义结合，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据新运算的定义代入数据即可得出结论；（2）根据新运算得出不等式组，解不等式组即可．【详解】（1）解：∵，，∴解得：∴，∴.（2）由题意得，解得：.∴整数的值为，.42．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）定义运算：．已知，．(1)直接写出：，；(2)若关于的不等式组无解，求的取值范围；(3)若的解集为，求不等式：的解集．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法．（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值；（2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围；（3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．【详解】（1）解：把，代入，得：，解得：；故答案为：，；（2）根据题意得；解得：∵关于的不等式组无解，∴；（3）根据题意得，整理得：，此不等式解集为，，且，整理得：，所求不等式化简得：，即，把代入得：，解得：，∴解得：．43．（21-22七年级下·四川资阳·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”．(1)在不等式：，，中，不等式的“云不等式”是（填序号）；(2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围；(3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分别求出三个不等式的解集，判断与有没有公共整数解即可；（2）求出两个不等式的解集，根据两个不等式不是“云不等式”列出关于m的不等式，即可求解；（3）求出当时，不等式的解集，进而列出关于a的不等式，即可求解．【详解】（1）解：解不等式，得，与有公共整数解2，是的“云不等式”；不等式与有公共整数解2，是的“云不等式”；解不等式，得，与没有公共整数解，不是的“云不等式”；（2）解：解不等式，得，解不等式，得，∵关于的不等式不是的“云不等式”，∴与没有公共整数解，分两种情况：当与没有公共解时，可得，解得；当与有公共解，但公共解里没有整数时，则，（为任意一整数）则即，解得：，∵为整数，∴不存在，使得，即此种情况不成立；综上可得，的取值范围为；（3）解：当时，即时，不等式即的解集为，不等式的解集为，∵关于的不等式与不等式互为“云不等式”，∴，即，此时两个不等式至少存在整数解1，∴．44．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”．(1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”；(2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；(3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．（1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解；（2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解；（3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解．【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是，不等式组是不等式组的“相斥不等式组”．故答案为：．（2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，或．或．（3）由题意，是的“相容不等式组”，．．的整数解为，且和的整数解相同，．．．综上所述：．45．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题：(1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号）(2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？【答案】(1)①②(2)【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键．（1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案；（2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案．【详解】（1）解：①，解得；②，解得；③，解得；，解不等式①得；解不等式②得；原不等式组的解集为；、在范围内；不在范围内，不等式组的“关联方程”是①②，故答案为：①②；（2）解：，解得；解不等式①得；解不等式②得；不等式组的解集为；关于x的方程是不等式组的“关联方程”，，解得．题型十分式与分式方程中的规律与新定义型问题（共5小题）46．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如．(1)求的值；(2)计算．(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程：（1）根据列式计算即可；（2）根据及分式的混合运算法则计算；（3）将变形为分式方程，解方程即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，，，，，，，，检验：当时，，∴原分式方程的解是．47．（25-26八年级上·广东广州·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“阶分式”．例如，分式与互为“阶分式”．(1)分式与互为“阶分式”(2)若正数，互为倒数，求证：分式与互为“阶分式”；(3)若分式与互为“阶分式”（其中，为正数），求的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】本题考查了分式的混合运算，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）理解题意，列式，然后结合分式减法法则计算，即可作答．（2）结合倒数的性质，得，再分别化简，，则，即可作答．（3）结合“阶分式”的定义得，整理，即，又因为为正数，得，故，即可作答．【详解】（1）解：依题意，，∴分式与互为“阶分式”；（2）解：∵正数，互为倒数，∴，∴，，则，故分式与互为“阶分式”；（3）解：与互为“阶分式”，．．，∴即．∴，又为正数，∴，∴，．48．（24-25七年级下·山东济南·期末）观察下列各式：；；；请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题：(1)________；(2)请你按利用发现的规律计算：；(3)利用上面规律解方程：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类．（1）根据已知条件中的等式，找出规律即可；（2）按照（1）中的规律进行计算即可；（3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：原式；（3）解：，，，解得：，经检验，是原方程的解，原方程的解是．49．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①；②；③．(2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值；(3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．【答案】(1)①③；(2)，；(3)是，理由见解析．【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；（2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可；（3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．【详解】（1）解：，是整式，①是“巧分式”；，不是整式，②不是“巧分式”；，是整式，③是“巧分式”；（2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，，，∴，解得：；（3）解：分式的“巧整式”为．，；，又是整式，是“巧分式”．50．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．(1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；(2)将假分式分别化为带分式；(3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值．【答案】(1)假分式(2)，(3)【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键：（1）根据新定义进行判断即可；（2）根据题干给定的方法，进行求解即可；（3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，分式是假分式；（2）解：；．（3）解：，若使原分式的值为整数，则的值为整数，或，∴，∴符合条件的负整数的值为．题型十一平行四边形与中位线的综合题（共5小题）51．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）证明是的中位线，得出，，再推出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）先求出、的长，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后由平行四边形的性质和三角形面积公式即可得出结论．【详解】（1）证明：、分别是、的中点，是的中位线，，，延长至点，使得，，，四边形是平行四边形；（2）解：点是的中点，，由（1）得：，，，是直角三角形，由（1）得：四边形是平行四边形，四边形的面积．52．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知平行四边形相交于点O，延长到点E，使，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)连接，交于点F，连接，则与的关系为______．【答案】(1)见解析(2)且【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证；（2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，,再由，可得，即．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形是平行四边形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴是的中位线，∴，∵，∴，∴．故答案为：且．53．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点D，点E，F分别是的中点，点O是的中点，的延长线交线段于点G，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由三角形中位线定理得，则，再证，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，进而由平行四边形的性质即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵点E，F分别是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∵点O是的中点，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形．（2）解：∵，∴，∵E是的中点，∴，在中，，∴，∴，∴，解得，∴，由（1）可知，四边形是平行四边形，∴．54．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明．（2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点．①求证：四边形为平行四边形；②若，求的长．【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解；（2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案．【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下：∵，∴，在和中，，∴，∴．同理：，∴，即对角线互相平分，∴四边形为平行四边形；（2）①证明：∵点D、E分别为，的中点，∴是的中位线，∴，且，∵点G、F分别为的中点，∴是的中位线，∴，且，∴，且，∴四边形是平行四边形；②解：∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵点D为的中点，∴，∵，∵点G为的中点，∴．55．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F．【初步尝试】（1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由；【深入探究】（2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G，①猜想与的数量关系，并说明理由；②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）．【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形．（2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形，得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得．②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下，∵四边形是平行四边形，∴，∵点E是的中点，∴，∵，∴是的中位线，∴，∵，，∴四边形是平行四边形．（2）①解：；理由如下：如图，作交于点K，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵四边形、是平行四边形，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴．②如图，延长交的延长线于点R，∵点P为中点，，∴，，又，∴，∴，，∴，作交的延长线于点L，作于点Q，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，∴的面积为．题型十二平行四边形中的折叠与新定义型问题（共5小题）56．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论．【实践探究】（1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由；【拓展应用】（2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长．【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）【分析】（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明；（2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而．【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：∵四边形是平行四边形，∴，∵点为中点，∴，由翻折得：，∴是的中位线，∴，即，∴四边形是平行四边形；（2）过点E作于点H，∵四边形是平行四边形，∴，由翻折得：，∵，∴，∵点为的中点，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴．57．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是的对角线，是经过的中点的直线，且与分别交于点．(1)连接，如图1，求证：四边形是平行四边形；(2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交于点．①如图2，求证：；②连接，如图3，判断和之间位置的关系并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②，证明见解析．【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）由平行四边形性质证明可得，再结合即可证明结论；（2）①由（1）得，如图：延长和且交于点，由平行四边形的性质可得，由折叠的性质可得，进而证明结论；②如图：过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可证明结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，在和中，，，，四边形是平行四边形．（2）解：①证明：由（1）得，如图：延长和且交于点，四边形是平行四边形，，．由折叠可知，，，．②解：，证明如下：如图：过点作，交于点，．由折叠可知．，，，，．由（1）可知，，，四边形是平行四边形，．58．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．

(1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形；(2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长；(3)当点落在的边上时，求点之间的距离．【答案】(1)见解析；(2)；(3)4或或．【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理．（1）先证，再由已知平行四边形即可；（2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，结合勾股定理即可计算；（3）分情况：当点落在边上时，如图2；当点落在边上时，如图3，连结交于点；当点落在边上时，如图4，连结交于点，分别求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，在平行四边形中，，∴四边形为平行四边形；（2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，

在中，∵∴由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，即，解得，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，由平行四边形的中心对称性，得;（3）当点落在边上时，如图2，

由折叠可知，，，∵∴在平行四边形中，，∴四边形是平行四边形∴在中，∴∴当点落在边上时，如图3，连结交于点由平行四边形的中心对称性，得，由翻折，得，∴，∴，在中，∴由勾股定理，得当点落在边上时，如图4，连结交于点，由折叠可知，则垂直平分，由轴对称性可知垂直平分，

∴点与点重合过点作的垂线交于点，在中，，，由勾股定理，得．综上所述，点之间的距离为4或或．59．（23-24八年级下·广东佛山·期末）综合探究综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．问题初探：（1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由；迁移探究（2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由；拓展探索（3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由【答案】（1），见解析（2），见解析（3），见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质：（1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论；（2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论；（3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论．【详解】（1）解：，理由：是对角线的交点，，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合，，，，，在中，，，，在和中，，，，，，即，，，，；（3）解：，分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（2）得，在中，，，纸片沿过点O的线段折叠，，，，由（1）得，，，，设，，，，，在和中，，，，，，，．60．（23-24八年级下·广东惠州·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．【性质探究】如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的两条结论，；【问题解决】如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”；【拓展应用】如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点，（1）试探索与的数量关系，并说明理由．（2）若，则的最小值是．【答案】性质探究：，；问题解决：证明见详解；拓展应用：（1），理由见详解；（2）【分析】性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且、、、分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；拓展应用：（1）如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论；（2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、，连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，再结合（1）的结论即可求得答案．【详解】性质探究：①，②；理由如下：如图1，四边形是“中方四边形”，是正方形且、、、分别是、、、的中点，，，，，，，，，故答案为：，；问题解决：如图2，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，四边形各边中点分别为、、、，、、、分别是、、、的中位线，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，四边形和四边形都是正方形，，，，又，，即，在和中，，，，，又，，，是菱形，，．又，，，，又，，，菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”；拓展应用：（1），理由如下：如图3，分别作、的中点、并顺次连接、、、，四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点，四边形是正方形，，，，，分别是，的中点，，；（2）如图4，分别作、的中点、并顺次连接、、、，连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，，由性质探究②知：，又，分别是，的中点，，，，，由拓展应用（1）知：；又，，．1．已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等组的解集为得出，进而解不等式，求得的范围，即可求解．【详解】解：解关于的不等式，得，因为不等式组的解集是，所以，解得．2．若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到的最终范围，最后找出范围内符合条件的