暨南大学《运筹学》课件-第12章统筹方法

第十二章统筹方法暨南大学《运筹学》§12.2统筹方法一、导言

用网络分析的方法编制的计划称为网络计划。它是二十世纪五十年代末发展起来的一种编制大型工程进度计划的有效方法。1.基础来源于图论2.前身是甘特图§12.2统筹方法甘特图（GanttChart）1.对各项活动进行计划调度与控制2.简单、醒目、便于编制3.横向表示时间，纵向表示活动4.各种图形符号x活动开始时间结束时间工作量目前进度甘特图的例子分析设计实施验收与评价§12.2统筹方法一、基本概念

用网络分析的方法编制的计划称为网络计划。它是二十世纪五十年代末发展起来的一种编制大型工程进度计划的有效方法。§12.2统筹方法1、关键路线法（CriticalPathMethod）简称CPM。CPM美国杜邦化学公司与Land公司共同开发的项目管理技术。1956年，杜邦在Lousiville设备维修计划中首次使用，使维修停工时间由125小时锐减为78小时。§12.2统筹方法2、PERT1958年，美国海军武器部在制定“北极星”导弹研究计划时，建立的网络分析方法与网络计划，称为计划评审方法（ProgramEvaluationandReviewTechnique，PERT）。1959起，PERT被广泛应用于大规模的工业建设中。如，42万人参与、耗资400亿美元的“阿波罗”计划§12.2统筹方法3应用62年，前苏联列入国民经济计划中，政府规定所有大的建筑工程都必须采用网络计划技术进行管理；

1961年，DOD和NASA规定，所有的国防项目，必须采用PERT来进行计划和质量控制。英国不仅将网络计划技术应用于建筑业，而且还广泛应用于工业，要求直接从事管理和有关业务的专业人员必须掌握此技术。§12.2统筹方法3.1962年进入我国20世纪60年代，华罗庚

教授引进和推广了网络计划技术，鉴于其具有“统筹兼顾、合理安排”的特点，将这一技术称为“统筹方法”。并于1965年发表了《统筹方法评论》，为推广应用网络计划方法奠定了基础。JGJ/T1001-1991工程网络计划技术规程（建筑）JGJ121-99工程网络计划技术规程JB5056.2-2006-T网络计划技术网络图的绘制规程（机械）GB/T13400.2-1992网络计划技术GBT13400.2-2009网络计划技术第2部分：网络图画法的一般规定GBT13400.3-2009网络计划技术第3部分：在项目管理中应用的一般程序GBT13400.1-2012网络计划技术第1部分：常用术语§12.2统筹方法

关键路线法(CPM)主要应用在于以往类似工程中已取得一定经验的承包工程；计划评审方法(PERT)更多地应用于研究与开发项目；在这两种方法得到应用推广之后，又陆续出现了类似的最低成本和估算计划法、产品分析控制法、人员分配法、物资分配和多种项目计划制定法等等。虽然方法很多，各自侧重的目标有所不同，但其基本原理和方法是一致的。§12.2统筹方法统筹方法包括：编制（绘制）网络计划图、进度安排和网络优化等。网络计划图：反映一个工程项目中各项作业（工序）的内在逻辑关系的一种有向图，称为统筹图，又称计划网络图，以符号G表示。此中“内在逻辑关系”是指由于工程本身的工艺与组织性要求，而对各工序提出的在时间上和空间上所要求的先后处理关系。工程：一项施工任务、科研试制项目、生产较复杂的工作任务，统称为工程。二、网络计划图的1、工序及其之间的联系：为了完成某项工程，在工艺技术和组织管理上相对独立的活动称为工序。如：车床削、磨，两个工序。泛指一切需要消耗人力、物质资源或时间的具体活动过程。在网络计划图中，工序用弧表示。在弧的上面，标以各工序的代号，在弧的下面，标上完成此工序所需的时间（或资源）等数据紧前工序：紧接在某工序之前的工序，紧后工序：紧接在某工序之后的工序；平行工序：可以同时开始进行的各工序。二、网络计划图2、事件：表示一个工序的开始或结束，它是相邻工序在时间上的分界点常用“〇”加数字表示，数字主要起标号作用，根据事项之间的相互关系，也可分为前置事项，后继事项、起（始）点事项和终点事项。3、工序参数网络计划图：就是由工序、事件及标有完成各道工序所需时间等参数所构成的有向图，就是网络图。二、网络计划图规则(1)网络图只能有一个始点事项，一个终点事项(2)网络图中不允许出现循环回路，不能出现缺口(3)任何两事项之间只能由一条弧连接(4)每一项工序开始之前，它的所有紧前工序必须已经完工(5)弧的方向一律指向或斜向右方，沿弧方向节点编号由小到大，自左向右增长，工序的终点编号大于始点编号，且编号不允许重复(6)弧表示工序以及工序间的先后顺序约束关系，弧的长度与完成该工序所需的时间无关（7）尽量避免弧的交叉（8）使网络图简便易读虚工序为了解决网络图构造规则与实际问题间的矛盾，引入虚工序作为补充要素。引入虚工序的情况平行活动工序的顺序分解明确工序的先后约束关系二、网络计划图例

某公司研制新产品的部分工序与所需时间以及它们之间的相互关系都显示在其工序进度表

如下表所示，请画出其统筹方法网络图。工序代号工序内容所需时间(天)紧前工序a产品设计与工艺设计60－b外购配套零件15ac外购生产原料13ad自制主件38ce主配件可靠性试验8b，d工序代号工序内容所需时间(天)紧前工序a产品设计与工艺设计60－b外购配套零件15ac外购生产原料13ad自制主件38ce主配件可靠性试验8b，d12a60工序代号工序内容所需时间(天)紧前工序a产品设计与工艺设计60－b外购配套零件15ac外购生产原料13ad自制主件38ce主配件可靠性试验8b，d124a60b15工序代号工序内容所需时间(天)紧前工序a产品设计与工艺设计60－b外购配套零件15ac外购生产原料13ad自制主件38ce主配件可靠性试验8b，d1324a60b15c13工序代号工序内容所需时间(天)紧前工序a产品设计与工艺设计60－b外购配套零件15ac外购生产原料13ad自制主件38ce主配件可靠性试验8b，d1324a60b15c13d38工序代号工序内容所需时间(天)紧前工序a产品设计与工艺设计60－b外购配套零件15ac外购生产原料13ad自制主件38ce主配件可靠性试验8b，d13245a60b15e8c13d38例

将工序进度表作一些扩充，如下表所示，请画出其统筹方法的网络图。e8b，df10dg16dh5e，

f，g工序代号所需时间(天)紧前工序a60－b15ac13ad38c工序代号紧前工序a－bacadceb，dfdgdhe，

f，g13245abecd6fg工序代号紧前工序a－bacadceb，dfdgdhe，

f，g13245abecd6f7hg工序代号紧前工序a－bacadceb，dfdgdhe，

f，g13245abecd6f7hgg6e8b，df10dg16dh5e，

f，g工序代号所需时间(天)紧前工序a60－b15ac13ad38c13245abecd6f7hg6e8b，df10dg16dh5e，

f，g工序代号所需时间(天)紧前工序a60－b15ac13ad38cab132456015e8c13d387f108h5g1660二、网络计划图路线：从开始节点到结束节点的一条路经叫做路线一个网络图的有多条路线，每条路线有一个总时间总时间最长的路线叫做关键路线，关键路线的总时间叫做工期1.工序的时间参数（1）工序的最早开始时间和最早结束时间

工序的最早开始时间用ES表示，它是指本工序可能开始进行的最早时刻。（EarlyStartTime）工序的最早结束时间是指工序按最早开始时间开始，所能达到的完工时间。用EF表示，它等于工序的最早开始时间加上该工序所需时间。(EarlyFinishTime)

对于同一工序，EF=ES+t(工序所需时间）三、网络时间与关键路线2.工序的时间参数（2）

工序的最迟开始时间和最迟结束时间除指向终点事项的工序，每一工序都有一个或几个紧后工序，不影响总工期的条件下，一个工序最迟必须开始的时刻，称为该工序的最晚开始时间，记作LS（lateStart）工序最晚必须结束的时刻，称为工序的最迟结束时间，记作LF（lateFinish）。对于同一工序而言，LS＝LF－t(工序所需时间）最晚开始时间从受点（项目整体结束时间点）开始计算。例

某公司装配一条新的生产线，其装配过程中的各个工序与其所需时间以及它们之间的相互衔接关系如表所示，求：完成此工程所需最少时间，关键路线及相应关键工序，各工序的最早开始时间和结束时间和非关键工序在不影响工程完成时间的前提下，其开始时间与结束时间可以推迟多久。工序代号工序内容所需时间(天)紧前工序a生产线设计60－b外购零配件45ac下料、锻件10ad工装制造120ae木模、铸件40af机械加工118cg工装制造230dh机械加工215d，ei机械加工325gj装配调试35b,i,f,h工序代号紧前工序a－bacadaeafcgdhd，eigjb,i,f,h12346785abechjigdf工序代号紧前工序a－bacadaeafcgdhd，eigjb,i,f,h12346785a60b45echj35ig1030d204025f181512346785a60b45echj35ig1030d204025f1815线路长指线路上各工序所延续的时间之和，其中最长的线路称为关键线路，它决定着整个计划任务的总工期。12346785a60b45echj35ig1030d204025f1815①-②-④-⑥-

⑦-⑧就是一条关键路线，170天线路长指线路上各工序所延续的时间之和，其中最长的线路称为关键线路，它决定着整个计划任务的总工期。12346785a60b45echj35ig1030d204025f1815①-②-④-⑥-

⑦-⑧就是一条关键路线，170天

关键线路是在一定条件下形成的，不是固定不变的，关键路线和非关键线路有时是互相转化的。

(如压缩了关键线路上某工序的持续时间，可能它就不是关键线路了，而拖延某非关键线路上工序的持续时间，就可能使它成为关键线路)

所以在制定网络计划时，要以发展、动态的观点来看待关键线路。在网络中可能出现多条关键线路，关键线路越多，表明各项作业工序的周期都很紧张，要求必须加强管理、严格控制，以保证任务的按期完成。关键路线确定（方法）。（1）从网络的发点开始，按顺序计算出每个工序的最早开始时间（ES），和最早结束时间（EF），记作。

工序a的最早开始时间工序a的最早结束时间12a[0，60]60对同一个工序：EF=Es+t;对相邻工序：EF=ES（Max）+ta[0,60]b[60,105]132456045e[60,100]18c[60,70]10d[60,80]207f[70,88]258h[100,115]15g[80,110]30635i[110,135]j[135,170]40a[0,60]b[60,105]1324560[0,60]45[90,135]e[60,100]18[117,135]c[60,70]10[107,117]d[60,80]20[60,80]7f[70,88]25[110,135]8h[100,115]15[120,135]g[80,110]30[80,110]635[135,170]i[110,135]j[135,170]40[80,120]（2）从网络的收点开始计算出工序的LS和LF。任一工序必须在其所有的紧后工序开始前结束，任一工序的最晚结束时间等于其所有紧后工序的最晚开始时间中的最早时间。LS=LF-t（3）

工序的时差

所谓时差，是指在不影响工程按期完成的条件下，各工序最早开始（或结束）时刻可推迟的时间（即可灵活机动使用的一段时间，所以又称为机动时间或宽裕时间）。计算和利用时差，是网络分析技术中一个重要的问题，它为计划进度的安排提供了选择的可能性，它是决定关键线路的科学依据。工序的时差Ts＝LS－ES＝LF－EFa[0,60]b[60,105]1324560[0,60]45[90,135]e[60,100]18[117,135]c[60,70]10[107,117]d[60,80]20[60,80]7f[70,88]25[110,135]8h[100,115]15[120,135]g[80,110]30[80,110]635[135,170]i[110,135]j[135,170]40[80,120]工序b的时差,为该工序的最早开始时间与最晚开始时间之差.90-60=30工序g的时差,为=0，不能提前，也不能推后，否则会影响总工期。称为关键工序。

工序所需时间是指进行该工序的作业所必需的连续时间，可以小时、日、周、月等为单位表示，一道工序所需时间可以用同类工作进行对比、类推或利用参考有关的统计资料来确定，也可以根据经验进行估算，这里根据不同的方法介绍两种类型的时间估算法。4.工序所需时间的确定（1）肯定性估计法它是对工序所需的时间给出一个肯定值的估计。一般在具备工时定额和劳动定额的任务中，工作的工时可以因这些定额资料确定。有些工作虽无定额可查，但有有关工作的统计资料，也可利用它们通过分析来确定工序的工时。4.工序所需时间的确定（2）非肯定性估计法（不确定）对于开发、创新性的试制任务，往往不具备前面所讲的资料，对工序所需的时间难以准确估计，只能做到对该工序所需时间给出如下三种估计值：4.工序所需时间的确定a——最快可能完工时间（乐观时间）

b——最慢可能完工时间(悲观时间)m——最可能完工时间(最可能时间)(一般地：a<m<b)4.工序所需时间的确定

可以认为工序所需时间T是一个随机变量，它近似地服从正态分布，数学上可计算出T的期望值E(T)、方差D(T)和标准差σ：4.工序所需时间的确定

华罗庚教授对曾做出特别说明:

实际工作情况表明，工作进行中出现最顺利或最不顺利的情况都比较少，多少是在最可能完成的时间内完成工作的。工时的分布近似服从于正态分布。假定m的可能性为a，b可能性的两倍，则由加权平均得到：在（a,m）间的平均值为（a+2m）/3在（m,b）间的平均值为（2m+b）/3平均(期望)工时为½[(a+2m)/3+(2m+b)/3]4.工序所需时间的确定

可计算出工程在指定时间内完工的概率：如一项工程的关键线路上有几道工序，每道工序的平均需要时间为tei，方差为σi

（i=1，2,…,n），则工程的工期等于关键线路上各工序的时间和.即

4.工序所需时间的确定

显然工期T~N（TE

，σ2

），现在指定该工程要在Tk

时间内完成，求能完成的概率是多少？由正态分布的和仍为正态分布得：4.工序所需时间的确定

显然T~N（μ，σ2

），则X的分布函数F(x)可通过积分的变量代换为标准分布函数表示，然后查表求出F(x)的值，事实上

4.工序所需时间的确定查标准正态分布表，即可得此概率值。记：

被称为临界值。反之若要以概率α（0≤α≤1）完成某工程，求工期至少为多少？也可由标准正态分布表，查得α的临界值λ，从而求出工期:

TK

=TE+λσ

活动（工序）活动（工序）内容紧前活动（工序）abcdefghi制定培训计划选聘培训教师列出一些可供选择的培训地点确定培训地点确定培训的日程安排落实教学设备，器材，资料发培训通知并确定学员名单订旅馆房间处理最后的一些事务-a-c

b,de

b,dg

f,h18765432acbdegfhi

活动乐观时间最可能时间悲观时间abcdefghi1.52.01.01.50.51.03.03.01.52.02.52.02.01.02.03.54.02.02.56.03.02.51.53.07.05.02.5计算出T的期望值E(T)、方差D(T)和标准差σ：T(平均时间)

2(方差)20.02830.44520.11120.02810.02820.11140.44540.11120.0284.工序所需时间的确定如果一个随机变量的密度函数如下，那么称它服从β分布：其中

4.工序所需时间的确定β分布通常用来为取值于某有限区间[c，d]的随机现象建立模型。当然，如果令c为原，而d-c为度量单位，密度函数向右偏斜。12345876agbedfcih32221424212345876agbedfcih32221424212345876a[0,2]g[5,9]b[2,5]e[5,6]d[2,4]f[6,8]c[0,2]i[13,15]h[9,13]322214242图12-1412345876a[0,2]g[5,9]b[2,5]e[5,6]d[2,4]f[6,8]c[0,2]i[13,15]h[9,13]2[1,3]1[10,11]4[5,9]4[9,13]2[3,5]2[0,2]3[2,5]2[13,15]2[11,13]图12-15

我们还可以求出时差Ts＝LS－ES，我们把这些信息都填入工序时间表中。工序ESLSEFLF时差是否关键工序a00220是b22550是c01231否d23451否e5106115否f6118135否g55990是h9913130是i131315150是以上的一些工作，我们都可以用管理运筹学软件来完成。从表11-15上我们找到了一条从发点到收点由关键工序组成的关键路线，我们用红线在图11-15上表示出这条关键路线。从而可知要完成领导干部的工商管理的培训组织工作所需的平均时间为各关键活动的所需平均时间之和，即有：

实际上完成整个培训组织工作所需时间上服从一定的概率分布的，由于各关键工作所需时间都服从相同的概率分布即

分布，从概率论的中心极限定理可知，完成整个工作所需时间近似服从正态分布，这个正态分布的均值E(T)

即为关键路线上各关键活动之均值（平均需要时间）之和，其方差

2也为其关键路线上各关键活动之和，即有中心极限定理如果随机变量所描述的随机现象是由大量的相互独立的因素叠加的影响而成的，而且每一因素对总的影响作用不大，则这个随机变量就服从正态分布。

这样我们可以计算出此项培训组织工作不同完工时间的概率，例如这项工作在16周内完工的概率。图11-16就是以均值为15，方差为1.05的正态分布图，其中图中的阴影部分就是在16周内完工的概率。1516

＝1.025E(T)＝15图11-16为求得在16周内完工的概率，我们可以先求

值。式中的T

为预定完工时间即为16，E(T)=15。即得查标准正态分布函数表可知概率

(

)=

(0.976)=0.8355，即在16周内完工的概率为83.55％。如果我们要求以99％的概率来保证培训组织工作就能保证培训工作如期做完，使培训工作如期举行，我们应在培训工作开始前多少周开始作培训组织工作，也就是说，概率为99％的完工时间应为多少周。在标准正态分布函数表中可查出

(

)=0.99的

值，

＝2.33，再从公式

得可求得T＝2.33×1.025+15＝17.39（周）。也就是说只要在培训工作开始前17.39周开始培训组织培训工作就能保证培训工作如期举行。

肯定性估计法，适用于不确定因素较少，有完整的统计资料，或有先例可循的工作；非肯定性估计法，是利用概率论的方法处理随机性事件，适用于不确定因素多且无先例可循的工作。但无论是采用肯定性或非肯定性估计法，对工序所需时间的估计，都是以工序所赖以进行和实现的有关条件为基础的。4.工序所需时间的确定四、网络优化绘制网络图、计算网络时间和确定关键路线，得到了一个初始的计划方案，但通常要对初始方案进行调整与完善。根据计划目标，综合地考虑进度、资源和降低成本等目标，进行网络优化，确定最优的计划方案。例如时间费用优化资源平衡 资源限定条件下总工期最短 工期不变情况下资源均衡1.

时间－资源优化在编制网络计划安排工程进度时，我们要合理地利用现有资源，并缩短工程周期。为了使工程进度与资源利用都得到比较合理安排，我们采用以下做法：

1）优先安排关键工序所需要的资源。

2）利用非关键工序的时差，错开各工序的开始时间，拉平资源需要量的高峰。

3）要统筹兼顾工程进度的要求和现有资源的限制，往往要经过多次综合平衡，才能得到比较合理的计划方案。

下面列举一个拉平资源需要量高峰的实例。在例5中，若完成工序d，f，g，h，i的机械加工工人人数为65人，并假定这些工人可以完成这五个工序中的任一个工序，下面我们来寻求一个时间－资源优化方案。有关d，f，g，h，i工序所需工人人数及上述工序开始时间，所需时间及时差如下表所示。

工序需要机械加工工人数最早开始时间所需时间时差d5860200f22701847g4280300h391001520i26110250

若上述各工序都按最早开始时间安排，那么从60天至第135天的75天里，所需的机械加工工人的人数如图11-17所示。254673f(22人)18i(26人)g(42人)d(58人)h(39人)15253020图

11-176070809010011012013058人81人42人64人80人26人65人时间

我们应该优先安排关键工序所需的工人，再利用非关键工序的时差，错开各工序的开始时间，从而拉平工人需要量的高峰。经过调整，我们让非关键工序f从第80

天开始，工序

h

从第110天开始。找到了时间－资源优化的方案，在不增加工人的情况下按期完工。254673f(22人)I(26人)g(42人)d(58人)h(39人)6070809010011012013058人42人64人26人65人时间图11-18

2、时间－费用优化在编制网络计划时，我们要考虑这样一些时间与费用的问题：

ⅰ.

在既定的时间前工程完工的前提下，使得所需要的费用最少；

ⅱ.

在不超过工程预算的条件下，使得工程最早完工。这些就是时间－费用优化要研究和解决的问题。

为了加快工程进度，使工程早日完工，必须设法缩短关键工序的作业时间，这样就需要增加人力、设备和工作班次，也就是这需要增加一笔费用，我们称之为直接费用。但同时，由于加快了进度，使工程早日完工，减少了管理人员的工资、办公费等费用我们称之为间接费用。一般来说工序的作业时间越短，直接费用越多而间接费用越少。

我们缩短工序的作业时间也有一定的限度，这个限度我们称之为工序的最快完成时间。我们设完成工序j

的正常所需时间为

Tj

，直接费用为

cj，完成工序

j

的最快完成时间为Tj’，直接费用为cj’。这样我们可以计算出缩短工序j

的一天工程所增加的直接费用，我们用

kj

表示，有我们称

kj

为直接费用变动率，这是一个平均数。时间－费用优化问题可以建立以下两个线性规划模型。

模型一，在既定的时间T

前完工的前提下，问各活动的完成时间为多少（即各项活动如何加速）才使因缩短工期而增加的直接费用最少。我们设网络图上点i发生的时间为xi（例如在图11-18中，点2的发生时间为60天，点6的发生时间为110天，故有x2＝60，x6＝110）。

对一个工序，我们既可以用工序的代号（例如a，b,...）来表示，也可以用表示这个工序的弧（例如（1，2）（2，3）,...,（i，j)，...）来表示，为了便于建模这里的工序我们用弧（i，j）来表示。设工序（i，j）的提前完工时间为

yij，我们用Tij，Tij’分别表示正常完工时间与最快完工的时间，则有工序（i，j）的实际完工时间为：Tij－yij。我们也用cij

和cij’表示用正常完成时间和最快完成时间完成工序（i，j）所需要的费用，kij

为工序（i，j）的直接费用变动率。这样我们可以得到这个问题的线形规划模型如下：

在这个模型中，其目标函数就是取其所有缩短工期各工序增加的直接费用之和的最小值，其约束条件中，第一个约束不等式右边表示工序（i，j）的实际作业时间，左边表示弧（i，j）的两个顶点

j和i

的发生时间之差，这个不等式表示要有足够的时间间隔让工序（i，j）进行实际作业，这个约束不等式要对每个每个工序都成立；第二个约束不等式的右边工序（i，j）缩短工序时间的最大允许值，左边表示工序（i，j）的实际缩短时间，这个约束不等式表示工序（i，j）的实际缩短时间不能超过其缩短工期的最大允许值，这个不等式也要对每个工序完成。第三个约束不等式表示整个工程实际完工时间不能超过给定的期限T。例7.

例5所提供的信息都作为本例的信息，列于表11-10。另外还给出了在装配过程中各道工序所需正常完工时间与最快完工时间，以及对应正常完工时间与最快完工时间的所需的直接费用和每缩短一天工期所需增加的直接费用，如表11-17

所示。该工程要求在150天内完工，问每个工序应比正常完工时间提前