向量的数乘运算 向量的数量积 讲义 解析版

向量的数乘运算向量的数量积【知识梳理】知识一向量数乘的定义实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.知识二向量数乘的运算律.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知识三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.知识四两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是eq\f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.知识点五、向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.知识点六、投影向量在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.知识点七、平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.知识点八、平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【题型归纳】题型一：向量的数乘运算1．（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的线性运算即可求解.【详解】因为点在线段上，且，所以，，，故A正确，BCD错误.故选：A.2．（22-23高一下·重庆綦江·期中）化简为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.【详解】根据向量的四则运算可知，.故选：D3．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，，可求.【详解】由，有，即，则，所以.故选：B题型二：平面向量的混合运算4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果.【详解】（1）；（2）；（3）.5．（22-23高一·全国·随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据向量数乘运算求解.【详解】（1）由得，所以.（2）由得，所以.（3）由得，所以.6．（22-23高一·全国·课前预习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据向量的线性运算计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）.题型三：向量的线性运算的几何应用7．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可.【详解】，.故选：D8．（23-24高一下·四川广安·期中）衡量钻石价值的标准之一是切工.理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线.现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】如图，延长CD和BE交于点F，由题得过做因为为等腰直角三角形，四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形.可得,所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形，又，所以分别是中点，所以．故选：C9．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；根据向量加法的三角形法则即可判断B，根据向量减法的三角形法则即可判断C；根据向量的线性运算即可判断D.【详解】对于A，因为在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，所以，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，D错误.故选：B.题型四：三角形的心的向量表示10．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，且，由此可知A，B，C错误，D正确，故选：D11．（22-23高一下·广东广州·期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根据题意分析可知点P为的重心，根据重心的性质结合向量的线性运算求解.【详解】因为，则点P为的重心，取的中点D，则，整理得，所以，可得.故选：D.12．（22-23高三上·山西太原·期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心【答案】A【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案.【详解】解：设中点为，因为，所以，即，因为有公共点，所以，三点共线，即在的中线，同理可得在的三条中线上，即为的重心；因为，所以，点为的外接圆圆心，即为的外心综上，点依次是的重心，外心.故选：A题型五：向量的数量积的定义和几何意义题型六：数量积的运算13．（22-23高一下·河南）已知向量与的夹角为60°，其中，，则（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】C【分析】根据向量数量积公式，即可求解.【详解】.故选：C14．（23-24高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可.【详解】如图所示，取的中点，则，由题意易知，不难发现在上的投影为，所以.故选：A15．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值.【详解】，,，，，.故选：D16．（24-25高一下·全国）已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先设向量夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可.【详解】设向量，的夹角为.因为，则，所以，则，解得，所以.故选：C.17．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知空间向量和的夹角为，且，，则等于（

）A．12 B．8 C．4 D．14【答案】D【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.【详解】,故选：D18．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求.【详解】因为，，向量与的夹角为，所以，所以.故选：A.题型七：数量积和模关系问题19．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若向量满足，若，间的夹角为，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据代入计算可得结果.【详解】∵，且，间的夹角为，∴.故选：C.20．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知，若，则（

）A． B．4 C． D．16【答案】A【分析】利用平方的方法化简已知条件，再利用平方的方法求得正确答案.【详解】由两边平方并化简得，所以.故选：A21．（23-24高一下·贵州毕节·期中）若平面向量两两的夹角相等，且，则（

）A．2 B．4 C．2或4 D．1或4【答案】D【分析】利用平面向量数量积定义以及运算律计算可得结果.【详解】根据题意可知，平面向量两两夹角可以为或，当夹角为时，可得，当夹角为时，可得；综上可得1或4.故选：D题型八：向量夹角的计算22．（24-25高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出与，根据向量的夹角公式，即可求解.【详解】因为，，，所以，则

，所以．故选：A.23．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算出，，，计算出，得到答案.【详解】，其中，故，，故，所以，所以与夹角为.故选：C24．（2024·江苏·模拟预测）已知向量，满足，，，则与的夹角等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量数量积公式求出，进而由夹角余弦公式求出答案【详解】，故，则，所以与的夹角等于.故选：D题型九：垂直关系的向量表示25．（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量数量积公式计算即可.【详解】由题意知，由知.故选：D26．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知向量，满足，，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据数量积的运算律及模的性质化简求解即可.【详解】因为，，所以，即①，又，所以②，由①②可得，，即.故选：C27．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，且，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】由可得，再将两边平方，结合数量积的运算律计算可得.【详解】因为，，所以，又，所以，即，所以，则，解得（负值已舍去）.故选：B题型十：已知模求参数问题28．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得.【详解】将两边同时平方，得，而，，，因此，即依题意，又，所以.故选：A29．（22-23高一下·广东揭阳·期中）已知向量，若与的夹角为；若与的夹角为钝角，则取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据与的数量积小于0，且不共线可得.【详解】与的夹角为钝角，，又与的夹角为，所以，即，解得，又与不共线，所以，所以取值范围为.故选：D30．（2023·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案.【详解】因为，所以，即，解得.故选：A.题型十一：求向量投影31．（23-24高一下·江苏·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据投影向量的定义，先由在方向上的投影向量为，可得，再根据在方向上的投影向量为运算求解即可.【详解】因为在方向上的投影向量为，且，可得，即，又因为在方向上的投影向量为，可得，即.故选：D.32．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件利用模的平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解.【详解】由已知，且，则，解得，故在上的投影向量是＝.故选：B.33．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，，则在方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量数量积的运算律及投影向量的公式求解即可．【详解】因为，所以，所以，即，在中，，，则，所以在方向上的投影向量为，故选：C．题型十二：向量的数量积综合问题34．（23-24高一下·内蒙古包头）已知平面向量、满足，，与的夹角为．(1)求；(2)当实数为何值时，．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可；（2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可.【详解】（1）因为，，与的夹角为．所以，所以.（2）因为，所以，化为，解得.35．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是非零向量，，且.(1)求在方向上的投影向量；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件得到，再利用投影向量的定义，即可求出结果；（2）利用（1）结果及数量积的运算律，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，又，得到，又，所以在方向上的投影向量为.（2）由（1），所以，得到.36．（23-24高一下·山西大同·期中）如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设．

(1)用向量表示；(2)求的大小．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解；（2）利用平面向量的数量积公式即可求解．【详解】（1）由可知，，则，所以；又为边上的中线，所以．（2）由得，又，所以向量与的夹角为，则，由图形可知，的大小等于向量与的夹角，又，，，所以，又，所以．【高分演练】一、单选题37．（23-24高一下·广东云浮·期末）在中，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由平面向量的加减法、数乘运算求解即可.【详解】.故选：D38．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知正方形的边长为2，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量的线性运算结合向量的模长概念即可求解.【详解】．故选：C．39．（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据投影向量公式得出结合角的范围得出夹角即可.【详解】依题意．又．故选：C.40．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，则向量在向量方向上的投影的数量是（

）A．-4 B．4 C．-2 D．2【答案】A【分析】根据投影的数量的定义计算即可.【详解】根据投影的数量的定义，设的夹角为，可得向量在方向上的投影的数量是，故选:A．41．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）是所在平面上一点，若，则是的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【分析】根据平面向量数量积的运算性质推导出，，，即可得出结论.【详解】因为，则，所以，，同理可得，，所以，是的垂心.故选：D.42．（24-25高一下·全国·课后作业）已知是非零向量且满足，，则的形状为（

）A．等腰（非直角）三角形 B．等边三角形 C．直角（非等腰）三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据向量垂直得到数量积为，再由数量积的运算律得到，从而求出，即可得解.【详解】是非零向量且满足，，，，即，，，，且，又，所以，∴是等边三角形.故选：B．43．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解.【详解】由题意可知：，，，且，则，，所以向量在向量上的投影向量是.故选：A.44．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可.【详解】由，得，且，而三点共线，则，即，所以，所以.故选：A.45．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可.【详解】因为，，，所以，如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心，所以，故是等腰三角形，在中，，在中，由三线合一性质得是的中点，所以，同理可得，又，所以，，解得，，故，故C正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可．二、多选题46．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．若，均为单位向量，则B．若，则C．若且，则与共线D．若四边形是平行四边形，则【答案】ABC【分析】根据单位向量及模的定义可对A判断；利用向量的垂直可对B判断；利用共线向量定义可对C判断；因为四边形是平行四边形，可对D判断．【详解】A：因为，均为单位向量，所以，故A正确；B：因为，所以，故B正确；C：向量与非零向量共线的充要条件为：存在唯一一个实数使，对于，此时不唯一，但与也共线，故C正确；D：因为是平行四边形，所以，故D错误．故选：ABC．47．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）如图，在中，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，是AD与BE的交点，则（

）A．B．对于任意一点，都有C．对于任意一点，都有D．【答案】BCD【分析】由重心的性质及中线的向量表示可判断A，由向量的减法及A判断B，由向量的减法及B可判断C，由数量积的运算法则及相反向量可判断D.【详解】由题意，知为的重心，因为F是AB的中点，所以，故A错误；因为，所以，故B正确；由B选项可知，，所以，故C正确；因为，同理，，三式相加可得，故D正确.故选：BCD48．（23-24高一下·福建福州·阶段练习）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（

）A．B．在方向上的投影向量为C．若，则D．若，则【答案】AB【分析】对于A，利用向量垂直的充要条件判断即得；对于B，根据投影向量的定义易得；对于C，利用向量数量积的运算律计算求得即可排除；对于D，利用向量数量积的运算律计算推得即可排除.【详解】对于A，由，可得，故A正确；对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确；对于C，由，解得，因，故，即C错误；对于D，由，得，即，故，即D错误.故选：AB.49．（23-24高一下·山东威海·期末）已知正六边形的边长为，中心为，则（

）A．B．C．在上的投影向量为D．若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为【答案】BCD【分析】利用向量的数量积计算可判断AD；易得判断B；利用投影向量的定义求得投影向量判断C.【详解】由题意可得，故A错误；，故B正确；在的投影向量为，故C正确；对于D：设与的夹角为，，当在方向上的投影向量的模最大时，的数量积最大，故点与点重合时，的数量积最大，所以.故选：BCD.50．（23-24高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，点D为的中点，点E为的四等分点（靠近点C），，，，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．是在上的投影向量【答案】AD【分析】对于A，由向量的加法法则分析判断，对于B，给两边平方化简可求出，对于C，将用表示，代入化简判断，对于D，利用投影向量的定义求解判断.【详解】对于A，因为在中，点D为的中点，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，，，，所以，所以，即，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，因为点E为的四等分点（靠近点C），所以，所以在上的投影向量为，所以D正确.故选：AD三、填空题51．（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于．【答案】2【分析】应用平面向量的数量积公式计算即可.【详解】．故答案为：2.52．（24-25高一下·全国·课后作业）若，和的夹角为，则在方向上的投影的数量为．【答案】【分析】应用投影数量定义计算求解即可.【详解】在方向上的投影的数量为.故答案为：.53．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则；【答案】5【分析】利用平面向量的数量积求模.【详解】因为，所以.由.所以.故答案为：554．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则；若，，，则．

【答案】96【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的结论即可求解，进而由向量的数量积即可求解.【详解】设，，因为，分别是边，的中点，所以，则，因为，，三点共线，所以，解得，所以，，所以．又，所以．故答案为：，96四、解答题55．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，与的夹角.求：(1)在方向上的投影