江苏省扬州市重点高中2024-2025学年高二下学期期末考试 数学试题

扬州市2024-2025学年高二下学期期末调研

数学试卷

一、单选题

*ð

1．已知集合Uxx5,xN，M1,2，则UM（）

A．3,4B．3,4,5C．0,3,4D．0,3,4,5

2．已知随机变量X的概率分布如下

X10.501.8

P0.10.30.1a

则a（）

A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6

3．函数fxsinxsin2x，xπ,π的大致图象是（）

A．B．

C．D．

4．从4名男生、3名女生中选择3人组成一支志愿者小分队，要求男、女生都有，不同的组队方案共有（）

A．30种B．34种C．48种D．60种

x+1

5．函数f(x)=在x1处的瞬时变化率是（）

x

A．2B．1C．0D．1

5

6．已知变量x，y线性相关，其一组样本数据xi,yi（i1，2，3，4，5），满足xi10，用最小二乘法

i1

得到的线性回归方程是yx1．现增加一个数据2,1，重新计算得到的回归直线斜率是1.1，x4时，y

的估计值是（）

A．3B．3.2C．3.4D．3.6

7．在三棱柱ABCA1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，A1ABA1AC60，BAC90，A1A2，

ABAC1，则线段AO的长度是（）

1013

A．2B．3C．D．

22

8．某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为36%，34%和30%．在某次期中考试中，

22

各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩X1~N80,10，高二成绩X2~N80,10，高三成绩

2

X3~N85,5，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则P80X90最接近的值是（）

参考数据：若X~N,2，则PX0.68，PX20.95．

A．0.44B．0.50C．0.56D．0.62

二、多选题

9．下列选项中正确的有（）

A．若随机变量X~01分布，则X的数学期望EXPX1

B．若随机变量X~B2,0.5，则X的方差DX1

C．在线性回归分析中，相关系数r满足1r1

D．在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强

202522025

10．已知1xa0a1xa2xa2025x，下列选项中正确的有（）

A．a12025B．a0，a1，a2，…，a2025中，a1012最大

2024

C．a0a1a20250D．a0a1a20252

11．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段A1D上（含端点）运动，下列选项中正确

的有（）

A．线段B1P长度的最大值是3

2

B．点P到平面AB1C的距离是定值

2

C．直线B1P与BD所成角的最小值是30

13

D．直线B1P与平面A1BD所成角的正弦值的取值范围是,

33

三、填空题

12．在空间直角坐标系Oxyz中，A4,5,m，B1,1,6，若AB5，则实数m．

ππ

13．已知函数fxmsinxsin2x3x在区间,上单调递减，则实数m的取值范围是．

22

rn*

14．类比排列数公式Annn1n2nr1，定义Bxxx1x2xn1（其中nN，

xR），将右边展开并用符号fn,k表示xk（1kn，kN*）的系数，得

nnn1

Bxfn,nxfn,n1xfn,1x，则：

（1）f5,1；（结果用数字表示）

（2）若fn,ra，fn,r1b（2rn，rN*），则fn1,r．

四、解答题

x4

15．已知集合Ax0，Bxa2xa2．

x2

(1)若a0，求AB；

(2)若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

16．为了解某小区居民的周末休闲方式是否与性别有关，随机抽取了该小区居民100人进行了调查，其中

女性60人，男性40人，女性中有40人休闲方式是看电视，另外20人休闲方式是运动；男性中有10人休

闲方式是看电视，另外30人休闲方式是运动．

(1)根据以上数据将如下2×2列联表补充完整；

合计

40

合计

(2)请根据小概率值0.001的独立性检验，判断休闲方式与性别是否有关．

2

nadbc

附：2，

abcdacbd

2

Px0.0500.0100.001

x3.8416.63510.828

17．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADC90，AD∥BC，PABC2，ADCD1，

E为棱PD上一点，且PE2ED．

(1)求证：PB//平面ACE；

(2)求二面角PACE的正弦值．

18．甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在

这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长

的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测

试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y．

2

(1)若p，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望；

3

(2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”．

（i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率；

（ii）已知pp1时，两位运动员考核“达标”的概率相等，pp2时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求

2

证：pp．

231

19．已知函数fxexalnx1．

(1)若fx在x1处取极值，求实数a的值；

(2)若a1，求曲线yfx过原点的切线方程；

fx,fxgx

(3)记maxfx,gx，已知maxfx,xe2存在最小值ha，求ha的最大值．

gx,fxgx

题号12345678910

答案BCAADBCAACDBC

题号11

答案ACD

1．B

先化简集合U，再由补集的定义即可得.

【详解】因为Uxx5,xN*1,2,3,4,5，M1,2，

ð

所以UM3,4,5.

故选：B.

2．C

由概率之和为1可求.

【详解】由分布列可知0.10.30.1a1，解得a0.5.

故选：C.

3．A

π

分析函数fx的奇偶性及函数fx在x0,上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

2

【详解】函数fx的定义域π,π关于原点对称，

因为fxsinxsin2xsinxsin2xfx，即函数fx为奇函数，排除BD选项，

π

当0x时，02xπ，则sinx0，sin2x0，可得fxsinxsin2x0，排除C选项.

2

故选：A.

4．A

根据题意，按选出的男女人数不同，分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.

【详解】根据题意，分2种情况讨论：

21

①选出的3人为2男1女，有C4C318种选法；

12

②选出的3人为1男2女，有C4C312种选法；所以一共有30种选法.

故选：A.

5．D

求导后将x1代入即可求得结果.

x+1x1xxx11

【详解】因为函数f(x)=，所以fx，

xx2x2

故在x1处的瞬时变化率是f11，

故选：D

6．B

根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线方程，估计的

对应值，

15

【详解】由题设xxi2，则yx1211，

5i1

102151

增加数据2,1后，x2,y1，且回归直线为y1.1xb，

1616

所以11.12b，得b1.2，则y1.1x1.2，

所以x4时，有y1.141.23.2

故选：B.

7．C

利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用AB、AC、AA1表示出AO，再

应用空间向量数量积的运算律求AO的模长，从而得解．

【详解】如下图所示：

因为A1ABA1AC60，BAC90，A1A2，ABAC1，

1

由空间向量数量积的定义可得ABAC0，ABAA1ABAA1cos60121，

2

同理可得ACAA11，

由题意可知，四边形BCC1B1是平行四边形，

111111

，

BOBC1BCBB1BCAA1ACABAA1

222222

11111

AOABBOAB(ACAB)AAABACAA，

2212221

2121222

AOABACAA1ABACAA12ABAC2ACAA12ABAA1

44

15

114202121，

42

1010

故AO，则线段AO的长度为．

22

故选：C．

8．A

根据正态分布的性质结合条件即得.

2

【详解】由随机变量X1服从正态分布X1~N80,10，PX10.68

P80X190

所以P70X1900.68,P80X900.34

12

P80X90

同理P80X900.34；

2

2

由随机变量X3服从正态分布X3~N85,5，PX10.68，

所以P80X3900.68,

P80X900.3436%0.3434%0.6830%0.4420.44.

故选：A.

9．ACD

求出EX,PX1可判断A；求出DX可判断B；根据相关系数的意义可判断CD.

【详解】对于A，PX0p，则PX11p，所以EX1pPX1，故A正确；

对于B，若随机变量X~B2,0.5，则X的方差DX20.50.50.5，故B错误；

对于C，在线性回归分析中，相关系数r满足1r1，故C正确；

对于D，在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强，故D正确.

故选：ACD.

10．BC

根据二项式定理，求出指定项的系数，和系数最大的项的系数，再根据展开式，赋特殊值，求出所有系数

之和以及所有系数绝对值的和，判断各选项正误.

2025kk1

【详解】由题意知1x的展开式为C2025(x)，则当k1时，C2025x2025x，所以a12025，所以

A错误.

kkk

所有项的系数akC2025(1)，可知所有系数正负交替出现，可知在akC2025中，最大的是a1012,a1013，其中

a10120,a10130，所以最值为a1012，所以B正确.

2025

令x1，则11a0a1a2a20250，所以C正确.

20252025

令x1，则11a0a1a20252，所以D错误.

故选：BC.

11．ACD

建立空间直角坐标系，设Pa,0,a，且a0,1，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由

A1D∥平面A1B1C得到点P到平面AB1C的距离即为点A1到平面AB1C的距离，并通过等体积法求得距离可判

断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD.

【详解】如图，以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则

D0,0,0,A1,0,0,B1,1,0,C0,1,0,D10,0,1,A11,0,1,B11,1,1,C10,1,1,

设Pa,0,a，且a0,1.

对于，2222，

AB1Pa101a12a11

当a0时，B1Pmax3.故A正确；

对于B，正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D∥B1C，B1C平面A1B1C，A1D平面A1B1C，

所以A1D∥平面A1B1C，因为PA1D，所以点P到平面AB1C的距离是等于点A1到平面AB1C的距离,

2

131133

设A到平面AB1C的距离为h，由VAABCVCABB得，，得h，故B不正确；

111112h13

3432

设Pa,0,a，且a0,1.

对于C，B1Pa1,1,a1，BD1,1,0，

0,

设直线B1P与BD的所成角为，

B1P·BD2a

则cos

2

B1PBD22a11

11

令t，则t,1，

2a2

11

1

costt

2242

12323t4t2

22112

ttt

1122

函数ft3t24t2，t,1在t,上单调递减，在t,1上单调递增，所以

2233

2

222482

ftg3422

min333333

3

cos，所以min，故C正确；

max26

nDBxy0

对于，设平面的法向量，则

DA1BDnx,y,z

nDA1xz0

取x1，得n1,1,1，

B1Pa1,1,a1

B1Pn1

所以直线BP与平面ABD所成角的正弦值为：

112

B1Pn32a11

1

ga

因为2在a0,1上单调递增

32a11

B1Pn113

,，故D正确

233

B1Pn32a11

故选：ACD

12．6

求出AB的坐标，再求模长即可.

【详解】因为A4,5,m，B1,1,6，所以AB3,4,6m，

2

所以AB9166m5，解得m6.

故答案为：6.

13．m4

对fxmsinxsin2x3x求导并化简，由单调递减得fx0，换元转化不等式，用均值不等式求最值，

确定实数m的取值范围.

【详解】fxmsinxsin2x3x，

fxmcosx2cos2x3mcosx2(2cos2x1)34cos2xmcosx1，

ππ

因为函数fxmsinxsin2x3x在区间,上单调递减，

22

2ππ

所以fx4cosxmcosx10在,上恒成立，

22

ππ

令tcosx，当x,时，t(0,1]，

22

2ππ

则fx4cosxmcosx10在,上恒成立可转化为：

22

4t2mt10在(0,1]上恒成立，

14t211

m4t在(0,1]上恒成立，即m4t，

tttmin

111

根据均值不等式，4t24t4，当且仅当t时等号成立，

tt2

1

因此4t在(0,1]上的最小值是4，所以m4.

t

故答案为：m4.

14．24bna

根据定义的函数，写出对应的函数，根据函数解析式，求出f5,1，再根据定义函数的性质，构造一个新

的函数，再根据其展开式，列出其中相等的项，写出方程，化简即可求出结果.

5

【详解】由题意知Bxxx1x2x3x4，则f5,1时一次项系数，则

f5,1xx113424x，

即f5,124.

n1n

由题意得Bx(xn)Bx，

展开得fn1,n1xn1fn1,nxnfn1,1x(xn)[fn,nxnfn,n1xn1fn,1x]，

可得f(n1,r)xrxf(n,r1)xr1(n)f(n,r)xr，

因为fn,ra，fn,r1b，所以f(n1,r)b(n)abna，

故答案为：24；bna.

15．(1)ABx2x4

(2)0,2

（1）解分式不等式求出集合A，再求并集即可；

（2）根据“xA”是“xB”的必要不充分条件得出B是A的真子集，列出关于a不等式组，解之可得答案．

x4

【详解】（1）由不等式0得x4x20，解得2x4，故Ax2x4．

x2

当a0时，Bx2x2，所以ABx2x4；

（2）因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

a22

因为a2a2，所以B，所以，解得0a2，

a24

所以实数a的取值范围是0,2．

16．(1)列联表见解析

(2)答案见解析

（1）根据题意，完善列联表；

（2）计算卡方值并与犯错概率0.001对应的临界值比较，即可得出结论.

【详解】（1）

看电视运动合计

男性103040

女性402060

合计5050100

（2）提出零假设H0：该小区居民的周末休闲方式和性别无关，

根据列联表中的数据，可得：

2

10010203040

216.66710.828x，

505040600.001

根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为该小区居民的周末休闲方式和性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．

17．(1)证明见解析

3

(2)

3

（1）方法一：根据线面平行的判定定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，由空间向量法证明线面

平行；

（2）方法一：由线面角向量法计算即可；方法二：作出二面角的平面角，计算即可求解.

【详解】（1）方法一：如图，连接BD交AC与点F，连接EF，

DFAD1

因为AD∥BC，所以，

FBBC2

DE1DFDE

又，所以，所以PB//EF，

EP2FBEP

又EF平面ACE，PB平面ACE，所以PB//平面ACE．

方法二：（1）在ABC中，过点A作AFBC，因为PA平面ABCD，

所以PAAF，PAAD，

如图，以点A为坐标原点，以AF，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

22

则C1,1,0，P0,0,2，B1,1,0，E0,,．

33

22

则PB1,1,2，AC1,1,0，AE0,,．

33

mACxy0

设平面ACE的法向量mx,y,z，则22，

mAEyz0

33

令y1得m1,1,1

此时PBm0，又PB平面ACE，所以PB//平面ACE．

（2）方法一：由（1）知平面ACE的法向量m1,1,1

nAP2z0

设平面PAC的法向量为nx,y,z，则，

nACxy0

令y1得n1,1,0

mn26

cosm,n

mn63

2

设二面角的大小为，则63

PACEsin1

33

3

所以二面角PACE的正弦值为．

3

方法二：因为PA平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD，

所以二面角PACE大小与二面角DACE大小互余，

所以二面角PACE的正弦值就等于二面角DACE的余弦值，

如图，在ADE中，过点E作EMAD，过点M作MNAC，连接EN，

则ACEN，所以ENM即为二面角DACE的平面角

12222

EMPA，在△ADC中，MN，

33323

2

426MN33

所以EN，所以cosENM，

993EN63

3

3

所以二面角PACE的正弦值为．

3

18．(1)X,Y的分布列见解析，EX2，EY2

1

(2)（i）；（ii）证明见解析

4

（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望.

（2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率.

（ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，

证明结果.

【详解】（1）甲可能通过项目数X1,2,3，服从超几何分布，

则X的概率分布：

C1C21

42

PX13，

C65

C2C13

42

PX23，

C65

C3C01

42

PX33

C65

131

X的数学期望EX1232．

555

2

乙通过项目数符合二项分布，即Y～B3,，Y0,1,2,3，

3

则Y的概率分布：

0312

0211，12162，

PY0C3PY1C3

332733279

2130

221124，3218，

PY2C3PY3C3

332793327

2

Y的数学期望EY32．

3

PX30.21

（2）（i）因为PX3X2，

PX2PX30.84

1

所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是．

4

（ii）甲考核“达标”概率PX20.8，记乙考核“达标”概率为fp，

22332

则fpP(Y2)C3p1pp2p3p，

可知f(p)6p26p6p(p1)，

当p0,1时，fp0，fp在0,1上单调递增，

3