江苏省常州市2024-2025学年高二下学期期末考试 数学

常州市2024－2025学年第二学期高二期末质量调研

数学

2025年6月

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

log5

12

1.2（）

25

A.－5B.C.D.5

52

【答案】D

log25

1log5

【详解】225.

2

故选：D.

2.设集合Axlog2x2,B1,1,3，则AB（）

A.1B.1,1C.1,3D.1,1,3

【答案】C

【详解】由log2x2,则0x4,

所以AB1,3.

故选：C.

3.已知扇形的圆心角为75，半径为6，则该扇形的弧长为（）

55π

A.B.5C.D.5π

22

【答案】C

π5π

【详解】7575，

18012

5π5π

所以扇形的弧长为l6.

122

故选：C.

2

4.已知随机变量X服从正态分布N4,0，若PX3mPXm41，则实数m

（）

A.－2B.1C.2D.3

【答案】D

【详解】因为PX3mPXm41，

故3mm48，故m3，

故选：D.

5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（）

1

A.B.1C.2D.π

2

【答案】B

【详解】设圆柱的母线长为a，圆锥的母线长为l，它们底面半径为r，

2πraa

由题意得，2，故1.

πrll

故选：B.

6.已知函数fxxlnxax，直线yxe与曲线yfx相切，则实数a（）

A.－3B.－1C.1D.3

【答案】A

【详解】f(x)lnx1a，

设直线yxe与曲线yfx的切点横坐标为x0，

所以f(x0)lnx01a1，且x0lnx0ax0x0e，

解得x0e，a3.

故选：A.

12x

7.已知x0,y0，且xy2，则2的最小值为（）

xy

925

A.B.C.D.5

292

【答案】A

【详解】x0,y0，且xy2，

12x12x2y14

所以2

xyxyxy

11414xy19

xy()14524，

2xy2yx22

4xy24

当且仅当，即x,y时等号成立.

yx33

故选：A.

8.已知函数fx是定义在R上的单调减函数，且函数fx11是奇函数.若存在x01,，使得

不等式fm4x02x0fm4x02x0220成立，则实数m的最大值为（）

10175

A.B.1C.D.

17102

【答案】B

【详解】设gxfx11，

因为函数fx11是奇函数，

则gxgxfx11fx11fx1fx120，

而fm4x02x0fm4x02x0220即为：gm4x02x01gm4x02x010，

而gx为奇函数，故gm4x02x01gm4x02x01，

而fx是定义在R上的单调减函数，故gx为R上的单调减函数，

x0x0x0x0

故m4x02x0m4x02x0即m4422，

xx

xxxx22

故m4422在1,上有解即m在1,上有解，

4x4x

而2x2x2，当且仅当x0时等号成立，

2x2xs1

,s2

设s2x2x，则当x1时，s2，故xx22，

44s2s

s

222x2x

因为ys在2,为增函数，故s1，故1，

ss4x4x

当且仅当s2时等号成立，故m≤1，

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z1,z2,z3，则下列说法正确的有（）

z1z1

A.z1z2z1z2B.z20

z2z2

若，则若，则

C.z1z2z1z2z1z20D.z1z2z2z3z1z3

【答案】AB

【详解】设z1abi,z2cdi,a,b,c,,dR，

对于A，因为z1z2abicdiacbdadbci，

则，

z1z2acbdadbci

而，所以，故正确；

z1z3cdiabiacbdadbciz1z2z1z2

zabiabicdiacbdbcad

1

对于B，因为2222i，

z2cdicdicdicdcd

22222222

zacbdbcadcabdaba2b2

故1，

22222222

z2cdcdcdcd

zz1

故1，故B正确；

z2z2

对于C，因为z1z2acbdi，z1z2acbdi，

所以22，22，

z1z2acbdz1z2acbd

且z1z2z1z2，所以acbd0，

所以z1z2acbdadbci2acadbci，

因为ac不一定等于0，所以z1z20错误；

对于D，取z1i,z2i,z30，则z1z210z2z3，

但z1,z3无法比较大小，故错误；

故选：AB

5

10.已知点2,y在角的终边上，且sin，则（）

5

25

A.y1B.cos

5

π5π

C.cosD.tan2

252

【答案】BCD

y5

【详解】对于A：sin，所以y0，

22y25

y21

平方得，解得y1，故A错误；

4y25

225

对于B：cos，故B正确；

415

π5

对于C：cossin，故C正确；

25

π25

sin

π2cos5

对于D：tan2，故D正确.

2πsin5

cos

25

故选：BCD.

11.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的所有顶点都在以O为球心的球面上，点E是棱BB1的中点，

点P是棱AD上的动点.则下列说法正确的有（）

A.若P是棱AD的中点，则PE//平面BC1D

4

B.点P到直线AE的距离的最小值为

15

π

C.棱AD上存在点P，使得DBP

114

2π

D.若P是棱AD的三等分点，则过P的平面截球O所得的截面面积最小为

9

【答案】ACD

【详解】如图，设BC1的中点为F，连接EF,DF，

1

是中点，，且，

EBB1EF//B1C1EFB1C1

2

1

对于A，若P是AD中点，DP//BC，且DPBC，

2

EF//DP，且EFDP，所以四边形EFDP为平行四边形，

PE//DF，又PE平面BC1D，DF平面BC1D，

PE//平面BC1D，故A正确；

根据题意，以D为原点，以直线DA,DC,DD1所在方向分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

11

设，，，，

Px,0,0,x0,1A11,0,1,E1,1,A1E0,1,A1Px1,0,1

22

2

2APAE24

所以点P到直线AE的距离11，

1dA1Px1

AE5

1

25

即点P到直线A1E的距离的最小值为，故B错误；

5

对于，，所以，

CB11,1,1,D10,0,1B1Px1,1,1,B1D11,1,0

B1P·B1D1x1112π

则cosD1B1P，当时，，即，

2xcosD1B1PD1B1P

B1PB1D12x12224

π

所以棱AD上存在点P，使得DBP，故C正确；

114

12111

对于D，当P是棱AD的三等分点时，点P,0,0或P,0,0，球心O,,，

33222

2193

所以OP，又正方体外接球半径R，

362

2319222π

所以截面所得圆的最小半径rR2OP，其面积为Sπr，故D正确.

43639

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.写出命题“x1,x2ax20”的否定：_____.

【答案】x1,x2ax20

【详解】∵全称命题的否定是特称命题，

∴命题“x1,x2ax20”的否定是x1,x2ax20

故答案为：x1,x2ax20

13.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再

从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____.

17

【答案】

30

【详解】设A表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”，

则A表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”，

B表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”，

32

所以P(A)，P(A)，

55

3142

故P(B|A)，P(B|A)，

6263

故P(B)P(AB)P(AB)P(A)PB|AP(A)P(B|A)

312217

，

525330

17

故答案为：

30

xx2

14.已知函数fxeax，若不等式fxelnaxax对任意x0,1恒成立，则实数a的取值范

围是_____.

【答案】0,e

【详解】由fxexlnaxax2，x0,1，a0，

x2

则exaxexlnaxax2，则e1lnaxaxaxax1x，

1lnax1x1lnax1x

则，则，

axexelnaxex

1x

设gx，则glnaxgx，

ex

x2

因为gx，

ex

令gx0，得x2；令gx0，得x2，

所以函数gx在,2上单调递减，在2,上单调递增，

又g10，且x1时，gx0，

ex

则x0,1时，lnaxx，即a恒成立，

x

exexx1

设hx，x0,1，则hx0，

xx2

所以函数hx在0,1上单调递减，

则hxh1e，即ae，所以0ae，

则实数a的取值范围是0,e.

故答案为：0,e.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.已知函数fxxmx3,mR.

（1）当m2时，求不等式fx0的解集；

（2）已知函数fx在区间2,2上的最小值为－4，求m.

【答案】（1）xx3或x1

（2）m2

【小问1详解】

当m2时，fxx22x3，

所以x22x30x1x30，解得x1或x3，

所以不等式fx0的解集为xx3或x1.

【小问2详解】

m

开口向上，对称轴x，

2

m5

当2即m4时，最小值为f242m34，解得m，

22

又m4，所以舍去；

m5

当2即m4时，最小值为f242m34，解得m，

22

又m4，所以舍去；

mmm2m2

当22即4m4时，最小值为f34，解得m2，

2242

综上，m2.

16.甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在

一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0

23

分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比

35

赛的结果也互不影响.

（1）若他们参加一轮比赛，求得分X的概率分布列和数学期望；

（2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率.

5

【答案】（1）分布列见解析，EX

3

16

（2）

25

【小问1详解】

X的可能取值为0，1，3

23122

PX011.

353515

232341437

PX111.

35351551515

232

PX3.

355

所以得分X的概率分布列为：

X013

272

P

15155

2725

数学期望EX013.

151553

【小问2详解】

至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2.

2

总分得分的概率为：24

0P1.

15225

2728

总分得1分的概率为：P2.

21515225

2

总分得分的概率为：749

2P3.

15225

42849819

所以总分小于3分的概率为：.

22522522522525

916

所以至少得3分的概率：1.

2525

ππ

17.已知函数fxAsin2xA0,0,的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且

22

5π1

P,是函数图象的最高点.

122

（1）求A,,；

π

（2）将fx的图象上的每一个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，

3

得到函数gx的图象，求函数gx的单调区间.

1π

【答案】（1）A,ω1,φ

23

2π4π4π10π

（2）单调递增区间为4kπ,4kπ,kZ，单调递减区间为4kπ,4kπ,kZ.

3333

【小问1详解】

511

因为P,是函数图象的最高点，所以A.

1222

πTπ

已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则，所以周期Tπ.

222

2π

所以π，解得1.

2ω

1

此时函数为fxsin2x，

2

5π15ππ

因为P,是最高点，所以22kπ,kZ，

122122

πππ

即2kπ，又因为，所以k0，.

323

【小问2详解】

1π

由1知fxsin2x，

23

将fx的图象上的每一个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），

11

得到ysinx.

223

11ππ11π

再向左平移个单位长度，得到gxsinxsinx.

32233226

π1ππ

令2kπx2kπ,kZ，

2262

2π4π

解得4kπx4kπ，

33

2π4π

所以gx的单调递增区间为4kπ,4kπ,kZ.

33

π1π3π

令2kπx2kπ,kZ，

2262

4π10π

解得4kπx4kπ

33

4π10π

所以gx的单调递减区间为4kπ,4kπ,kZ.

33

18.在四棱锥PABCD中，已知AD//BC,ABBC,PBBC,ABBC2AD2，PAB是等边三

角形，点M在棱PC上.

1

（1）当PMPC时，求证：PA//平面MBD；

3

（2）求点P到底面ABCD的距离；

1

（3）当VV时，求平面PBC与平面MBD所成角的余弦值.

MBDC2PABCD

【答案】（1）证明见解析

（2）3

34

（3）

17

【小问1详解】

连接AC,BD交于点E，连接ME，

AEAB11

因为AB//CD，CD2AB，所以，所以AEAC．

ECCD23

1PM1

因为PMPC，所以，

3PC3

AEPM

所以，则在PAC中，PA//ME，

ACPC

又因为PA平面MBD，ME平面MBD，

所以PA//平面MBD.

【小问2详解】

取AB的中点O，连接PO，因为PAB是等边三角形，所以POAB，

因为ABBC,PBBC,PBABB，所以BC面PAB，且BC面ABCD，

所以面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCDAB，

所以PO底面ABCD，则点P到底面ABCD的距离为PO，

AB2，则AO1，PO3.

所以P到底面ABCD的距离为3.

【小问3详解】

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，ABBC2AD2，

121

VV，所以VV，

MBDC2PABCD3MABCD2PABCD

VMABCDMC33

所以，所以CMCP，

VPABCDPC44

333333

则P(0,0,3),A(1,0,0),B(1,0,0),D(1,1,0),C(1,2,0),CMCP(1,2,3),,，

44424

1133

则M,,.

424

3133

则BM,,,BD(2,1,0)，

424

设平面MBD的一个法向量为n(x,y,z)，

3133

n·BMxyz03

则424，令x1，则y2,z，

9

n·BD2xy0

3

则平面MBD的一个法向量为n1,2,，

9

设平面PBC的一个法向量为m(x,y,z)，PB(1,0,3),PC(1,2,3),