贵州省贵州市重点高中2022-2023学年高一下学期期末考试 数学

2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

ð

1．已知集合U1,2,3,4,5,6，A2,3,4，B2,3,5,6，则BUA（）

A．2,3B．1,2,3,5,6

C．2,3,4,5,6D．{5,6}

2．设复数zi12i（其中i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

3．已知函数fxtanx，则“fx0”是“xπ”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

4．已知向量a1,2,b,1，且ab，则（）

11

A．-2B．C．D．2

22

3π

5．已知cos，0，则sin3π的值为（）

52

4334

A．B．-C．D．

5555

6．乌蒙铁塔位于贵州省六盘水市人民广场中央，由铁塔主体、铁塔基座、八角形平台、十二生肖书法雕塑

铭文说明、十二生肖书法雕塑说明等五部分组成，塔体上以四种书体、384个文字集中概述凉都的变迁，被

誉为凉都六盘水的标志性建筑之一.某学生想要测量塔的高度，选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量

基点A与B，现测得DAB75，ABD45，AB62米，在点A处测得塔顶C的仰角为30，则塔高CD

为（）米.

6233623622626

A．B．C．D．

3333

0.80.7

7．设a0.7，b0.8，clog0.80.7，则a，b，c的大小关系（）

A．bcaB．acb

C．cabD．cba

8．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达

到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血

液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，

那么他至少经过几个小时才能驾驶?（）（参考数据：lg20.301，lg30.477，lg70.845）

A．3B．4C．5D．6

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（）

A．x0,π，sinx0

x

1

B．xR，1

2

C．若函数fx为奇函数，则f00

1

D．若a0，则a2

a

10．某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天

一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：

学校人数平均运动时间方差

甲校2000103

乙校300082

记这两个学校学生一周运动的总平均时间为x，方差为s2，则（）

A．x8.7B．x8.8

C．s23.36D．s23.56

π1

11．把函数fxcosx的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函

32

数gx的图像，下列关于函数gx的说法正确的是（）

A．最小正周期为π

ππ1

B．在区间,上的最大值为

362

π

C．图像的一个对称中心为,0

12

π

D．图像的一条对称轴为直线x

6

12．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，DD1上的动点，且DNB1M，则下列结

论中正确的是（）

A．A，M，C1，N四点共面

B．ACMN

C．三棱锥A1C1MN的体积与点M的位置有关

D．直线AD与直线MN所成角正切值的最大值为2

三、填空题

13．lg20lg52log23.

14．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡三百人，南乡两百人，凡三乡，

发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何?”其意思为：今有某地北面若干人，西面有300人，南面有

200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有人.

15．已知OA4,3，OB2,10，则AB在OA方向上的投影向量坐标为.

四、双空题

16．如图所示，梯形ABCD是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，AD2BC2，AB2，

则CD；平面图形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为.

五、解答题

π

17．已知函数fx2sinx0的最小正周期为π.

3

π

(1)求f的值；

3

(2)求函数fx的单调递增区间.

18．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对

居民用水费用实施阶梯式水价制度，即确定月均用水量标准m，月均用水量不超过m的部分按平价收费，

超过m的部分按议价收费.为了确定一个较为合理的用水标准，某政府部门通过简单随机抽样，获得了100

户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值及估计该市居民用户月均用水量的众数；

(2)为使该市75%的居民用户不受议价收费的影响，请确定m的值（小数点后保留一位有效数字）.

222

19．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且面积为S，若4S3abc.

(1)求A；

(2)若AB4，AC2，且BD2DC，求ABAD.

20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角

三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，在三棱锥PABC中，ACB为直角，PA底面ABC.

(1)求证：三棱锥PABC为“鳖臑”；

(2)若ACBCPA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正弦值.

a

21．已知函数fxx.

x

13

(1)当a1时，在平面直角坐标系中画出函数fx的图象，并求出函数fx在,上的值域；

22

(2)讨论函数fx的定义域、奇偶性、单调性.（单调性只写结论，无需说明理由）

22．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为B1D1上的一个动点，如图所示：

(1)求证：AM平面C1DB；

(2)若P为正方体表面上一动点，且AA13，若AP32，求点P运动轨迹的长度.

参考答案：

1．D

解析：集合U1,2,3,4,5,6，A2,3,4，B2,3,5,6，

ðð

则UA1,5,6，得BUA5,6.

故选：D

2．A

解析：zi12i2i，则复数在复平面内对应的点是2,1，位于第一象限.

故选：A

3．B

解析：fxtanx0时，解得xkπkZ，不能得到xπ；

xπ时，则有fπtanπ0.

所以“fx0”是“xπ”的必要不充分条件.

故选：B

4．B

解析：因为a1,2,b,1，且ab，

1

所以1120，解得；

2

故选：B.

5．A

2

3π234

解析：由cos，0，则有sin1cos1，

5255

4

所以sin3πsin.

5

故选：A

6．C

解析：DAB中，DAB75，ABD45，则ADB60，

ADABABsinABD62sin45626

由正弦定理，，则AD米，

sinABDsinADBsinADBsin603

6263622

Rt△CDA中，CDADtan30米.

333

故选：C

7．D

解析：由对数函数的性质，可得clog0.80.7log0.80.81，

又由指数函数的性质，可得1b0.80.70.80.8，

由幂函数yx0.8在(0,)为单调递增函数，可得0.80.80.70.8a，所以1ba，

0.70.8

所以log0.80.70.80.7，即cba.

故选：D.

8．C

x

解析：设经过x个小时才能驾驶，则100130%20，

即0.7x0.2，

由于y0.7x在定义域上单调递减，

lg0.2lg210.30110.699

∴xlog0.24.510，

0.7lg0.7lg710.84510.155

∴他至少经过5小时才能驾驶.

故选：C.

9．AB

解析：对于A中，由正弦函数的性质，可得x0,π，sinx0，所以为真命题；

xx

11

对于B中，当x0时，可得1，所以命题xR，1为真命题；

22

1

对于C中，函数fx为定义域上的奇函数，但f0无意义，所以C为假命题；

x

11

对于D中，当a<0，可得a2，所以a0，则a2是假命题.

aa

故选：AB.

10．BC

20003000

解析：依题意，总平均时间为x1088.8，

2000300020003000

200023000223

方差为s23108.8288.84.442.643.36.

200030002000300055

故选：BC

11．ACD

ππ

解析：函数fxcosx的图像向左平移个单位长度，得函数ycosx的图像，再把横坐标变为原来

33

1π

的倍（纵坐标不变）得到函数gxcos2x的图像，

23

2π

则函数gx的最小正周期Tπ，故A选项正确；

2

ππππ2π

区间x,时，2x，，所以gx＝1，故B选项错误；

36333max

πππkππkπ

由2xkπkZ，解得xkZ，则函数gx图像的对称中心为,0kZ，

32122122

π

当k0时，,0是函数gx图像的一个对称中心，故C选项正确；

12

ππkππkπ

由2xkπkZ，解得xkZ，所以函数gx图像的对称轴为直线xkZ，

36262

π

当k0时，函数gx图像的一条对称轴为直线x＝，故D选项正确．

6

故选：ACD．

12．ABD

解析：对于A，过N作NEAA1于E点，连接EB1,AM,NC1，如图所示，

则DNAEB1M，又AE//B1M，四边形AEB1M为平行四边形，∴EB1//AM，

又NE//D1A1//C1B1，且NE=D1A1=C1B1，∴四边形NEB1C1为平行四边形，∴NC1//EB1，

∴NC1//AM，则有A，M，C1，N四点共面，A选项正确；

对于B，连接AC,BD，正方体中，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，则BB1AC，

正方形ABCD中，BDAC，

BD,BB1平面DBB1D1，BDBB1B，则有AC平面DBB1D1，

MN平面DBB1D1，所以ACMN，B选项正确；

对于C，连接NC1,MC1，连接B1D1与A1C1相交于点O，则O为B1D1和A1C1的中点，

连接NO,MO,BD，如图所示，

NC1NA1,MC1MA1，所以有NOA1C1,MOA1C1，

由MONOO，MO,NO平面MON，所以A1C1平面MON，

设四边形DBB1D1的面积为S，则SB1D1BB1，

1

由DNBM，则梯形BDNM的面积为S，

1112

11111

SSODDNOBBMBDDNBMBDBBS，

OD1NOB1M2112114111141114

11

则SS，VVVSAC为定值，C选项正确；

MON4A1C1MNA1OMNC1OMN1211

对于D，过点N作NH//AD交AA1于点H，连接HM，如图所示，

HM

则HNM为直线AD与直线MN所成的角，有tanHNM，其中NH为定值，若直线AD与直线MN

NH

所成角的正切值最大，只需HM最大，

设正方体边长为a，则NHa，

显然当N与点D1重合，M与点B重合，H与点A1重合，HM最大，最大值为2a，此时

HM

tanHNM2，即直线AD与直线MN所成角正切值的最大值为2，D选项正确.

NH

故选：ABD

13．5

解析：lg20lg52log23lg2053lg1023235.

故答案为：5

14．100

x10

解析：设北面共有x人，则由题意可得，解得x100，

300200x60

所以北面共有100人.

故答案为：100．

5239

15．,

2525

解析：因为OA4,3，OB2,10，

所以ABOBOA2,104,32,7，

22

所以ABOA243713，OA435，

ABOAOA134,35239

所以在方向上的投影向量为,.

ABOAOAOA552525

5239

故答案为：,

2525

28

16．17π

3

解析：由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形ABCD是直角梯形，如图：

其中AB2AB4，BCBC1，ADAD2，ABAD，

过C作CEAD交AD于E，则E为AD的中点，

1

在RtCED中，CEAB4，EDAD1，

2

所以CDCE2ED217；

将直角梯形ABCD以AB所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台，

其上底面圆的半径为BC1，下底面圆的半径为AD2，高为AB4，

128

故此圆台体积为V(ππ4π4π)4π.

33

28

故答案为：17；π

3

17．(1)0

5ππ

(2)kπ,kπ,(kZ)

1212

2π

解析：（）由题可知，π，又，所以，

102

π

所以fx2sin2x，

3

πππ

所以f2sin22sinπ0.

333

πππ

（2）令2kπ2x2kπ,kZ，

232

5ππ

解得kπxkπ,kZ，

1212

5ππ

所以函数f(x)的单调递增区间为kπ,kπ,(kZ).

1212

18．(1)a0.052，众数为7.5

(2)m14.8

解析：（1）由图可知：(0.0400.060a0.02020.008)51

解得：a0.052

又最高小矩形下边中点的横坐标为7.5，所以估计该市居民用户月均用水量的众数为7.5.

（2）由图可知：居民用户月均用水量在区间0,5,5,10,10,15的频率分别为：0.2，0.3，0.26，

又0.20.30.75，0.20.30.260.75，所以m(10,15)，

由0.20.3(m10)0.0520.75，解得m14.8.

2

19．(1)π

3

8

(2)

3

222222

解析：（1）在ABC中，因为4S3abc，可得2absinA3abc，

b2c2a233

两边同除2bc得sinA，所以cosAsinA，即tanA3，

2bc33

2

又因为0Aπ，所以Aπ.

3

2

（2）因为BD2DC，所以BDBC

3

212

又因为ADABBDABBCABAC

333

12122

则ABADABABACABABAC

3333

2

又由AB4，AC2，Aπ，

3

21

所以AB16，ABACABACcosA424，

2

1688

所以ABAD.

333

20．(1)证明见解析

6

(2)

3

解析：（1）由PA平面ABC，AB,AC,BC平面ABC，

所以PAAC,PAAB,PABC，

即△PAC、PAB为直角三角形，

又ACB为直角三角形，则BCAC，即ABC为直角三角形，

又PAACA，PA,AC平面PAC，则BC平面PAC，

PC平面PAC，所以BCPC，所以PCB为直角三角形，

所以三棱锥PABC为“鳖臑”.

（2）设BCACPAa，则ABAC2BC22a，

PCPA2AC22a，PBPA2AB23a，

过点A作PC的垂线，交PC于点N，连接MN，

由（1）知BC平面APC，AN平面APC，则BCAN，

又在等腰三角形△PAC中，ANPC，BCPCC，BC,PC平面PBC，

所以AN平面PBC，即AMN为直线AM与平面PBC所成角，

PB3PC2

又AMa，ANa，

2222

AN6

所以sinAMN，

AM3

6

所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为.

3

5

21．(1)作图见解析，2,

2

(2)答案见解析