新高考数学重难点专题突破37 利用正态分布三段区间的概率值估计人数

专题37利用正态分布三段区间的概率值估计人数

一、单选题

1.某小区有1000户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布M200,100）,

则用电量在210度以上的居民户数约为（）

（参考数据：若随机变量服从正态分布则P（〃—b〈4w〃+b）k0.6827,

尸（4—2。<JW〃+20）。0.9545,尸（一一3crvJW〃+3cr）x0.9973）

A.17B.23C.90D.159

【答案】D

【分析】

先求用电量在210度以上的概率，再求用电量在210度以上的居民户数.

【详解】

由题得以=200,（T=10»

所以。（200-10<44200+10）=P（190<J4210）=0.6827,

所以P（J>210）=1-06827才oJ59,

所以用电量在210度以上的居民户数为1000X0.159B159.

【点睛】

（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合

的思想方法；（2）对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.

2.某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，

则成绩X位于区间（51,69］的人数大约是（）

x

A.997B.954C.800D.683

【答案】D

【分析】

由题图知，X〜N(4，b，，其中〃=60,cr=9.

P(//-CF<X<//4-<T)=P(51<X<69)«0.6827,从而可求出成绩位于区间(51,69］的人

数.

【详解】

由题图知，X~N(〃,『)，其中〃=60,cr=9»

・•・P(z/-(r<x<x/+cr)=P(51<x<69)«0.6827,

:.人数大约为0.6827x1003^683.

故选：D.

【点睛】

此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.

3.在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布

N(99,100).已知参加本次考试的全市理科学生约1万人.某学生在这次考试中的数学成

绩是109分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？()

参考数据：若Z〜则P(〃-b<Z<4+(7)=0.6826,

尸(〃一2b<Z<JL/+2cr)-0.9544,P(JLI-3CT<Z<U+3CT)—0.9973

A.1600B.1700C.4000D.8000

【答案】A

【分析】

利用正态分布的性质及密度曲线特点求解数学成绩高于109的大致人数，然后估计他的排

名.

【详解】

由理科学生的数学成绩服从正态分布N(99,1(H))可知，〃=99,cr=10,

又P(〃—bvZv〃+b)=0.6826,故P(99<Z<109)=0.6826-2=0.3413,

所以Q(Z>109)=1-(0.5+0.3413)=0.1587^0.16,

又全市理科学生约1万人，故成绩高于109分的大致有1600人，

所以他的数学成绩大约排在全市第1600名.

故选：A.

【点睛】

本题考杳正态分布及概率计算，较简单，只需要根据正态分布密度曲线的分布特点及题目所

给数据进行计算即可.

4.已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布

N(453,992),估计这些考生成绩落在(552,651］的人数约为()

(附：Z〜吟,则P(〃-b<ZK〃+b)=0.6827,

一2b<ZK〃+2b)=0.9545)

A.36014B.72027C.108041D.168222

【答案】B

【分析】

由题可求出p(354<Z4552)=0.6827,P(255<Z<651)=0.9545,即可由此求出

P(552<Z<651),进而求出成绩落在(552,651］的人数.

【详解】

•・・Z~N(453,992),.•.//=453,°=99,

P(354<Z<552)=0.6827,尸(255<Z<651)=0.9545,

，尸(552<ZV651)=P(255<Z4651)”354<ZV552)

0.9545-0.6827

==0.13599

2

这些考生成绩落在(552,651］的人数约为530000x0.1359=72027.

故选：B.

【点睛】

本题考查正态分布的相关概率计算，属于基础题.

5.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布N(I20,9),

成绩在(117,126］之外的人数估计有()

(附：若X服从则p(〃-b<XK〃+b)=0.6827,

P(〃-2b<XK4+2b)=0.9545)

A.1814人B.3173人C.5228人D.5907人

【答案】A

【分析】

由"=1200=3可得P(117〈X4126)=P(120-3<X4120+6),进而由数据及对称

性求得概率，即可求解.

【详解】

由题,〃=120,。=3,

P(117<X<126)=P(I2O-3<X<120+6)=0.9545--x(0.9545-0.6827)=0.8186

2

所以1—P(117<XW126)=0.1814,

所以10000x0.1814=1814人，

故选:A

【点睛】

本题考杳正态分布的应用.考查由止态分布的3b区间及对称性求概率.

6.设随机变量X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形A8C。中随机

投掷10000个点，则落入羽影部分的点的个数的估计值是()

(注:若则P(〃一b<X<〃+(T)a0.6826,

/J—2rr<X<//+7.(i)=0.9544)

4r

A.7539B.7028C.6587D.6038

【答案】C

【分析】

由题意正方形的面积为S=l,再根据正态分布曲线的性质，求得阴影部分的面积，利用面

积比的几何概型求得落在男影部分的概率，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意知，正方形的边长为1,所以正方形的面积为S=1

又由随机变量服从正态分布X〜N（l,l）,

所以正态分布密度曲线关于x=l对称，且。=1,

又由P（X<）h0.6826,即P（0<X<2）«0.6826,

所以阴影部分的面积为S,=1一"型=（）.6587,

2

V

由面积比的几何概型可得概率为P=N=0.6587,

所以落入阴影部分的点的个数的估计值是10000x0.6587=6587,故选C.

【点睛】

本题主要考查了正态分布密度曲线的性质，以及面积比的儿何概型的应用，其中解答中熟记

正态分布密度曲线的性质，准确求得落在阴影部分的概也是解答的关键，着重考查了运算与

求解能力，属于基础题.

7.贵阳市一模考试中，某校高三1500名学生的数学成绩X近似服从正态分布N0OO,100）,

则该校数学成绩的及格人数可估计为（）（成绩达到90分为及格）（参考数据：

P（〃~（J<X</J+（J）^0.68）

A.900B.1020C.1140D.1260

【答案】D

【分析】

根据题意得尸（9。<X<110）«0.68,从而得到r（90<X0.34,故

P（X>90）=0.84,再估计及格人数即可.

【详解】

由题得〃=100,b=10,

,/P(JLI-cr<X<//+cr)«0.68,

•••P(90<X<110)^0.68,

•••P(90<X<100)=1P(9()<X<!1())«0.34,

P(X>100)=0.5,

•••该校数学成绩的及格率可估计为P(X>90)=0.5+0.34=0.84,

所以该校及格人数为0.84x1500=1260(人).

故选：D.

【点睛】

本题考查正态分布的性质，是基础题.

8.“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材.某单位为了鼓励职工

加强学习，组织了200名职工对“学习强国''中的内容讲行了测试，并统计了测试成绩(单位：

分).若测试成绩服从正态分布N(120,。，，且成绩在区间(110,130)内的人数占总人数的

吴，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为()

A.10B.32C.34D.37

【答案】B

【分析】

设测试成绩为4,则先求出对应的概率，进而可求出结果.

【详解】

设测试成绩为4,则J~N(120,b2),

17«

又尸(看《110)+130)=1—于(110<1<130)=1——=—,

2525

/、1X4

^T^P(^<110)=P(^>130)=-X—=—.

4

所以成绩不低于130分的职工人数大约为200X—=32.

25

故选：B.

【点睛】

本题主要考查正态分布中求指定区间的概率，属于基础题型.

9.若某单位员工每月网购消费金额(单位：元)近似地服从正态分布N0OOO,5OO2),现

从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为百,

则百的数学期望为()

参考数据:若随机变量X服从正态分布则N(〃,｝则p(〃一。<x«〃+cr)=0.6827,

P(〃-2bvX<〃+2。)=0.9545,尸(〃-3b<X<〃+3b)=0.9973.

A.2.718B.6.827C.8.186D.9.545

【答案】C

【分析】

先求恰在500元至2000元之间概率，再求数学期望.

【详解】

2(1000—500Vx<1003+2x500)

=P(1000-2x500<X<1000+2x500)-P(1000-2x500<X<1000-500)

=P(1000-2x500<X<1000+2x500)

尸(1()()()-2x5(X)<X<100()4-2X500)-P(l()()()-5(X)<X<1000+500)

2

P(1000-2x500<X<1000+2x500)+P(1000-500<X<1000+500)

2

0.9545+0.6827=o®86

2

4的数学期望为0.8186x10=8.186

故选：C

【点睛】

本题考杳正态分布及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.

10.若随机变量X服从正态分布N(/s2)s>0),则P(|X-“〈。卜0.6826.

尸(|X-〃归2o•卜0.9544,P(\X-JLI\<3。卜0.9974.已知某校1(XX)名学生某次数学考

试成绩服从正态分布N(110,100),据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人

数约为()

A.159B.46C.23D.13

【答案】C

【分析】

由题意，〃。=10,结合2。原则可得P(X>130),乘以1000得答案.

【详解】

由题意，〃=11。，。=10,故

P(X>130)=P(X>〃+2b)=>尸(阳；小2。)=>°；544=00228,

以此，估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为

1000x0.0228=22.8«23.

故选：C.

【点睛】

本题考查正态分布中3b原则的应用，考查计算能力，属于中等题.

II.在某巾.2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布M99,

100).已知参加本次考试的全市理科学生约1万人.某学生在这次考试中的数学成绩是109

分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？()

A.1600B.1700C.4(X)0D.8000

【答案】A

【分析】

根据理科学生的数学成绩4服从正态分布M99,100),得到〃=99,b=10,由〃+b=109,

求得〃(J2109),即可得结论.

【详解】

因为理科学生的数学成绩J服从正态分布M99,100),

所以〃=99,。=10,

所以〃+。=109,

因为〃("一bWqK〃0.6826,

所以〃但N1()9)=1一°,6七()]587,

即在这次考试中的数学成绩高于109分的学生占总人数的15.87%,

0.1587x10000=1587,

所以他的数学成绩大约排在全市第1587名.

故选：A

【点睛】

本题主要考查正态分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12.给出下列说法：①是"tanx=l”的充分不必要条件；②命题“Vx>0,

4

，一—的否定是“工％WO，^-x0-l<0"；③小赵、小钱、小孙、小李到4个景

点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同"，事件“为"小赵独自去

2

一个景点''，则P(A|3)=§；④设X〜其正态分布密度曲线如图所示，那么向正

方形ABC。中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.(注：若

X~N(4,4),则P(〃一b<X”〃+CT)i68.27%,X„〃+2(T)«95.45%)

其中正确说法的个数为()

OI2X

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

①求出使tanx=l的x即可判断；

②全称命题的否定是特称命题，根据书写规则来判断：

③利用条件概率的计算公式计算即可；

④利用正太分布的对称性计算即可.

【详解】

JT7T

解：①由tan.E=lo/=—+krMwZ,故“x=—”是“tanx=l”的充分不必要条件，①

44

正确;

②命题“V%>0,夕一％-1>0”的否定是'臼/>0,玉,一1£0"，②错误;

P(AR\A2

③由条件概率的计算公式得P(A|B)=4—^==-，③正确；

C4*39

④由已知落入阴影部分的点的个数的估计值是

r11(\\

lOOOOx1一一p(o<x<2)=10000x1一一X0.6827«6587,④正确.

-2_I2>

故选：C.

【点睛】

本题考查充分性必要性的判断，考查条件概率的求解，考查正太分布对称性的应用，是基础

题.

13.某校1(X)0名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则

成绩X位于区间(52,68］的人数大约是()

【答案】C

【分析】

由题图知X其中〃=60,。=8,所以

网4一b<X效k+0)=2(52<X68)=0.6827.

从而可求出成绩位于区间(52,68］的人数.

【详解】

由题图知X〜其中〃=60,。=8,所以

一b<X领上+0)=尸(52<X68)=0.6827.

所以人数为0.6827x1000^683.

故选：C

【点睛】

此题考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于基础题.

14.某单位有800名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动.经调查

统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数(单位：千步)的频率分布直方图如图所示.

据直方图可以认为，该单位员工口均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为6.25.

由此估计,在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在2千步至4.5千步的人数约为()

附：若随机变量Z服从正态分布N(〃,b，，则P(4-bvZv〃+。)=0.6826,

P(jn-2(y<Z<JLI+2a)=0.9544,P(〃-3。<Z<〃+3cr)=0.9974.

A.103B.105C.107D.109

【答案】D

【分析】

由频率分布直方图估计其均值〃，可得P(2软k4.5),奏以800得答案.

【详解】

解：由频率分布直方图估计其均值4=1x0.04+3x0.08+5x0.16+7x0.44+9x0.16

+11x0.14-13x0.02=6.96^7,

设日均健步数为X,则X~N(7,6.25),

・「a=2.5,则〃一<7=4.5,〃一2(7=2,

二.P(2领卜4.5)=-(0.9544-0.6826)=0.1359,

2

•.­800x0.1359«109,

••・日均健步走步数在2千步至4.5T•步的人数约为109人，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量〃和b的

应用，属于基础题.

15.某高校高三年级理科共有1500人，在第一次模拟考试中，据统计数学成绩自服从正态

分布N(100,100),则这次考试年级数学成绩超过120分的人数约为()

参考数据：若自服从正态分布N(〃,/)，有P(〃-Y曰+。)=0.6826,PW

=0.9544,P(/z-3。＜日，+3。)=0.9974

A.32人B.34人C.39人D.40人

【答案】B

【分析】

数学成绩J服从正态分布N(100,100)故数学成绩关于直线x=100对称，再结合

。(以-2弗听〃+2b)=0.9544,得到超过120的概率，即可得到这次考试年级数学成绩

超过120分的人数.

【详解】

根据题意，数学成绩4服从正态分布N(100,100),

所以小】2。)上尸(8。＜42。)

2

1-P(//-2cr＜〃+2cr)

~2~

1-0.9544

-2

=0.0228.

本次考试共有1500人，所以估计数学分数超过120的人数为：

1500x0.0228«34A.

故选：B.

【点睛】

本题主要考杳的是正态分布，解答此类题关键在于将待求的问题向

(〃一b,〃+b),(4-20\〃+2。),(〃-35〃+3。)这三个区间进行转化，然后利用上述区

间的概率求出相应的概率，考查的是划归及数形结合思殂，是中档题.

16.某校高三年级有1000名学生，其中理科班学生占80%,全体理科班学生参加一次考试，

考试成绩近似地服从正态分布N(72,36),若考试成绩不低于60分为及格，则此次考试成

绩及格的人数约为()

(参考数据：若Z〜N(",/),贝ljP(〃-crVZ9+c)=0.6826,P(〃-2crVZV"+2。)=

0.9544,尸("-3cVZV"+3c)=0.9974)

A.778B.780C.782D.784

【答案】C

【分析】

依题意，参加考试的人数为800人，考试成绩近似地服从正态分布N(72,36),根据根据

3。原则，以及正态分布论特点进行求解即可.

【详解】

依题意，参加考试的人数为800人，考试成绩近似地服从正态分布N(72,36),所以日=

72,0=6,

根据3c原则，P(Z>60)=1—[1P(722x6<Z<72»2x6)]=0.9772,

2

所以此次考试成绩及格的人数约为800x0.9772^782.

故选：C

【点睛】

本题考查了正态分布，主要考查了正态曲线的对称性以及3c原则，本题属于基础题.

17.本次高三数学考试有1万人次参加，成绩J服从正态分布，平均成绩为118分，标准差

为10分，则分数在(98,138]内的人数约为()

(参考数据：P(〃一b<XK〃+cr)之0.6827,P(//-2CT<X<//+2(r)«0.9545,

尸(〃一3b<X<4+3crj才0.9973)

A.6667人B.6827人C.9545人D.9973人

【答案】C

【分析】

正态总体的取值关于x=118对称，位于(98,138]的概率为0.9545,根据概率乘以总体得

到结果.

【详解】

因为数学成绩服从正态分布N(118,1),

所以数学成绩4关于X=118对称,

因为尸（98<<<138）=0.9545,

所以分数落在（98,138］内的人数为0.9545x10000=9545人，

故选：C.

【点睛】

该题考杳的是有关正态分布的问题，涉及到的知识点有正态总体概率密度曲线的对称也，属

于基础题目.

18.已知服从正态分布N（〃,b2）的随机变量，在区间（//-6〃+b）、（〃-2cr,〃+2b）和

（〃-3b,〃+3。）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、和99.7%.某企业为1000名员工

定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分方N073,25）,则适合身高在

163〜183刖范围内员工穿的服装大约要定制（）

A.683套B.954套C.932套D.997套

【答案】B

【分析】

由N（173,25）可得〃=173,o=5,则163〜183c加恰为区间（〃—2cr,〃+2b）,利用

总人数乘以概率即可得到结果.

【详解】

由N（173,25）得：〃=173,0=5

了.163=〃-2。，183=4+2（7,又P（〃一2b,〃+2。）=95.4%

••・适合身高在163〜183。〃范围内员工穿的服装大约要定制：1000x95.4%=954套

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查利用止态分布进行估计的问题，属「•基础题.

19.某学校高三模拟考试中数学成绩X服从正态分布N（75,121）,考生共有1000人，估

计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（）人.

参考数据：P(〃一b<X<〃+。)=0.6826,P(jj-2(y<X</z+2cr)=0.9544)

A.261B.341C.477D.683

【答案】B

【解析】

分析：正态总体的取值关于工=75对称，位于(64,86)之间的概率是0.6826,根据概率求出

位于(64,86)这个范围中的个数，根据对称性除以2得到要求的结果.

详解：正态总体的取值关于x=75对称，位于(64,86)之间的概率是

P(75-l1<X<75+11)=0.6828,则估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为

-x1000x0.682?«人.

2

故选B.

点睛：题考查止态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成

绩X关于X=75对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解.

二、解答题

20.已知某校共有1000名学生参加体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成绩，将

他们的测试成绩(满分：100分)分为6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,

90),[90,100],得到如下频数分布表.

成绩/分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)!80,90)[90,100]

频数1()15203()151()

(1)求这100名学生的体能测试平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

(2)在这100名学生中,规定：测试成绩不低于80分为“优秀”,成绩低于80分为“非优秀”.

请将下面的2x2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与

性别有关？

优秀非优秀总计

男生30

女生50

总计

(3)根据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成绩X近似服从正态分布M4，14.31，

其中"近似为样本平均数"则这1000名学生中体能测试成绩不低于84.81分的估计有多少

人？

参考公式及数据：X~N(〃，/)，户0.6827,P(〃-2dx<〃+2)户0.9545；

n(ad-hc)2

其中n=a+b+c+d.

(〃+/?)((?+")(〃+c)(b+d)

P(心次))0.100.050.0250.0100.0050.001

屈2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)70.5；(2)列联表答案见解析，有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀

与性别有关；(3)159A.

【分析】

(1)用各组区间的中点值乘以该组的频率再相加可得结果；

(2)根据频数分布表可得完整的2x2列联表，计算出观测值，结合临界值表可得结果;

(3)根据尸。一把X<4+o)=0(56.19WX<84.81)=0.6827,可求得

P(X>84.81)=f27=0]5865

【详解】

⑴由题意得这10()名学生的体能测试平均成绩为7=45x0.1+55x0.15+65x0.2

+75x0.34-85x0.15+95x0.1=70.5.

(2)在抽取的100名学生中，测试成绩优秀的有25人，由此可得完整的2x2列联表:

优秀非优秀总计

男生203050

女生54550

总计2575100

旅的观测值〃J皿x&OMS-5x30)2

=12>10.828,

25x75x50x50

故有99.9%的把握认为体能测试成绩是否优秀与性别有关.

(3)依题意,X服从正态分布服(70.5,14.3R),

因为P(//^<X</z+^)-P(56J9<X<8d.81)^0.6827,

所以P(X284.81)=——■——=0.15865,

2

所以这1000人中体能测试成绩不低于84.81分的人数估计为0.15865x1000^59人.

【点睛】

本题考查了根据频数分布表求平均值，考查了完善列联表，考查了独立性检验，考查了正态

分布，属于中档题.

21.某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态

分布N(170.5,16).现从某校高三年级男生.中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生

身高全部介于157.5。〃和187.5。〃之间，将测审结果按如下方式分成6组：第一组

［157.5,162.5),第二组［162.5』67.5),…，第6组［182.5,187.5),下图是按上述分组方

(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；

(2)求这50名男生身高在177.5所以上(177.5。〃)的人数；

(3)在这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5cw)的人中任意抽取2人，该2人中

身高排名(以高到低)在全省前130名的人数记为求J的数学期望.

(参考数据：若&〜,P(〃一b<jW〃+cr)=0.6826,

P(〃-2。<&£〃+2a)=0.9544,P(4—3。W+3a)=0.9974.)

【答案】(1)170.5cm；(2)10：(3)1.

【解析】

试题分析：(1)将频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加,

频数

就是样本数据的估计平均数；(2)由频率=得人数为10；(3)先求得50人中

样本容量'

182.5cm以上人数，然后令J取0,1,2,可得其概率，最后得到期望.

试题解析：（1）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为

x=160x0.1+165x0.24-170x0.3+175x0.2+180x0.1+185x0.1=171

高于全省的平均值170.5m?.

（2）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2,人数为0.2x50=10,

即这50名男生身高在177.5c5以上（含177.5（7〃）的人数为10人.

⑶vP（170.5-3x4<^<P0.5+3x4）=0.99-4,

1-0,9974

/.P(^182.5)==0.0013,0.0013x100030=130.

所以，全省前130名的身高在182.5cm以上，这50人中182.5cm以上的有5人.

随机变量J可取0」,2,于是

P(x=0)=S=—C£10.9

「("2)==

C；。459

42

/.£^=0x-+l>-+2x-=l.

'999

考点：用样本的数字特征估计总体的数字特征、频率分布直方图、数学期望.

22.为了解学生课余学习时间的多少是否与成绩好坏有关，现随机抽取某校高三年级30名

学生进行问卷调查，得到如下列联表（以平均每天课余学习时间是否达到4小时，最近一次

月考总成绩是否在年级前100名（含）为标准）：

4小时以上不足4小时合计

前100名（含）2

100名以后18

合计30

4

已知在这30人中随机抽取1人，抽到最近一次月考总成绩在前100名的学生的概率为一.

（1）请将上面的列联表补充完整，并据此判断是否有99.5%的把握认为课余学习时间达到

4小时和成绩在年级前100名有关？说明你的理由；

(2)通过统计发现，这30位同学最近一次月考数学成绩4(分)近似服从正态分布

^(115,152),若这30位同学所在的高三年级有800人，试以这30人的成绩分布情况估计

高三年级最近一次月考数学成绩在130分及以上的大概有多少人？(最后结果小数部分四舍

五入成整数)

2

P（K>k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式：K~=-------------------------»其中〃=a+Z7+c+d,

(a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

4+cr)=0.6826,尸〃+2cr)=0.9544.

【答案】(l)答案见解析，有,答案见解析；(2)127人.

【分析】

4

(I)根据抽到最近一次月考总成绩在前100名的学生的概率为一，设这3()人中有x人在

X4

前100名，由一=一,解得工=8,完成列联表，然后利用

3015

K2=-——-----求得K?，与临界表对照卜结论.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(2)根据数学成绩J(分)近似服从正态分布N(1IIS),则由由题可知尸(J2130)

l-P(//-O-<^<//+CT)

=-----------------------1求解.

2

【详解】

vA

(1)设这30人中有工人在前100名，则由题可得：,解得x=8,

3015

故联表补充如下：

4小时以上不足4小时合计

前100名(含)628

100名以后41822

合计102030

所以八端痣浮

故有99.5%的把握认为课余学习时间达到4小时和总成绩在年级前100名有关.

（2）由题可知尸（g2130）=--------------------君----------L

\-P(p-a<^<ju+a)1-0.6826

==U.13o/

2--------2

故高三年级80（）人中超过130的大约有800x0.1587土127（人）.

【点睛】

本题主要考查独立性检验和正态分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

23.振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每

人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如卜.：

制造电子产品的件数[40,50)[50,60)[60.70)[70,80)[80,90)[90,100)

工人数1311X41

（1）若去掉［70,80）内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2,且小于3）,

试求样本中制造电子产品的件数在［70,80）的人数x的取值范围；（同一区间数据用该

组区间数据的中点值作代表）

（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X〜N（70,lf）,试估

计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数.

附：若X〜，则P^i-a<x<//+（T）«0.68,〃+2（T）=0.96.

【答案】（1）8Kx<15,xeZ；（2）30.

【分析】

（1）先设样本中所有制造电子产品的件数的平均值为前，再设样本中去掉［70,80）内的所

有数据后制造电子产品的件数的平均值为；；，由题可得24记-片<3,进而列出满足题意的

不等式求解即可；

（2）根据正态分布的概率计算公式计算即可得解.

【详解】

（1）设样本中所有制造电子产品的件数的平均值为加,

-45x14-55x34-65x11+75x4-85x4+95x11360+75/

则rll"2=-----------------------------------=---------

1+3+11+X+4+120+x

设样本中去掉［70,80）内的所有数据后制造电子产品的件数的平均值为「

45x14-55x3+65x114-85x4+95x1

则〃==68,

1+3+11+4+1

1360+75.X

依题可得2s—〃<3，即2W68<3,

20+x

解得8Kx<15,xeZ,

所以件数在［70,80）的人数的取值范围为8Kx<15,AGZ；

（2）因为X~N（70,l『），所以〃=70,。=11,

所以〃-2b=48,〃+2。=92,

因为P（//-2cr<X<〃+2。）a0.96,

所以P（48<XK92）*0.96

所以P（XV48）J"（48；XV92）=三=。。2,

所以估计1500人中每天制造产品件数小于等于50的人数为0.02x1500=30.

【点睛】

本题考查平均数的应用，考查正态分布概率的计算问题，考查逻辑思维能力和计算能力，属

于常考题.

24.十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中

药材，从而大大提升了该县农民经济收入.2019年年底，某调查机构从该县种植这种名贵中

药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年种植中药材所获纯利润（单位：万元）

的情况，统计结果如下表所示:

分组口，3)[3,5)[5,7)P，9)[9,11]

频数1015452010

(1)该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位；万元)近似地服从正态分布

其中〃近似为样本平均数元(每组数据取区间的中点值)，/近似为样本方差52^2.12.若

该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(L9,8.2)内的户数；

(2)为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖

规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农

户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则停止取球；若取到黑球，则将黑球放回箱中，

继续取球，但取球次数不超过10次.若农户取到红球，则中奖，获得2000元的奖励，若未

取到红球，则不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他取球的次数为随机变量X.

①求张明恰好取球4次的概率；

②求X的数学期望.(精确到0.001)

参考数据：0.8r0.1342，0.8晨0.1074.若随机变量Z〜则

P(〃-b<Zv〃+b)=0.6827,P(4-2b<Z<〃+2b)=0.9545.

64

【答案】(1)8186；(2)①一，②4.463.

625

【分析】

(1)先求样本平均数工，再判断(〃—2b,〃+b)=(1.9,8.2),接着求

夕(〃-2b〈Zv〃+b),最后求Z落在区间(1.9,8.2)的户数；

(2)①先确定每次取球都恰有g的概率取到红球，再求P(X=4)；②先求概率当时，

P(X=〃)=(l—1)尸(X=10)=E),再求X的数学期望E(X),最后用错位

相减法求和化简求出答案.

【详解】

解：（I）由题意知:

中间值246810

概率0.10.150.450.20.1

所以样本平均数5=2x01+4x0.15+6x0.45+8x0.2+10x0.1=6.1(元)，

所以Z〜N(6.1,21)，

所以(〃一2cr,〃+b)=(1.9,8.2),

而

P(X/-2(T<Z<//+(T)=-ip(x/-(T<Z<x/4-(T)+ip(x/-2(T<Z<〃+2。)=().8186

故1万户农户中，Z落在区间（198.2）的户数约为10000x0.8186=8186.

（2）①每次取球都恰有!的概率取到红球.

则有尸（X=4）=（T）I=噫

故张明取球恰好4次的概率为落

1

②由①可知，当〃《9时,P(X=H,

5

<4?

p(X=10)=-

15,

故X的数学期望为

1414

E（X）=—x14—x-x2+—x-x9+

5555自

14f44]<41

-1+-X2+...+-x9+-xlO

555J15

\8

44丁

设S=1H—x2+,•,+—x9»

5

44，423.・・+闵x9,

则=45=24x1+-

5515

两式作差得

11-

\24?

43、f44丁

%小印+…+x9=9x—=5-l4x—

555；5；5>

5

1(4、944

£(X)=-S+l()x-=5-14x-+10x-=5-4x1-«5-4x().1342«4.463

515,5)

【点睛】

本题考查正态分布、利用二项分布求数学期望、错位相减法求和，是中档题.

25.某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如

下统计数据：

年份20152016201720182019

X10345

报考人数）’3060100140170

（1）经分析，y与x存在显著的线性相关性，求y关于x的线性回归方程§，=治+4并预

测2020年（按x=6计算）的报考人数；

（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布N（〃,b）,根据往年统计数据

〃=385,^2=225,录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在［385,400］之间

的进入面试环节，录取其中的80%,低于385分的不予录取，请预测2020年该专业录取的

大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）.

AZ(E—可5-刃5

参考公式和数据：〃=J-------------，a=y-bx,2(七一可()'厂田=360.

£")2*=,

1=1

若随机变量X~N.,吟,则打〃一。<Xv〃+b)=o.6826,

-2。<X<〃+2b)=0.9544,P(〃-3cr<X<4+3b)=0.9974.

【答案】(1)y=36x-8；208人；(2)90.

【分析】

(1)由已知表格中的数据求得5与。的值，则线性回归方程可求，取x=6求得)'值即可;

(2)研究生的考试成绩大致符合正态分布N(385,152),求出P(X>400),乘以208可得

直接录取人数，再求出1385,400]方间的录取人数，则答案可求.

【详解】

解：([)元=」(1+2+3+4+5)=3

y=1(30+60+100+140+170)=100

可求：£(%-可'I。，

r=l

Z(D(K-刃

i=l360

由。二=7o"=36,

£(七-可2

r=l

a=y-^x=100-36x3=-8

・••，'关于x的线性回归方程是y=36x-8.

当2020年即x=6时，£=36x6-8=208人

即2020年的报考人数大约为208人

(2)研究生的考试成绩大致符合正态分布N(385』52),

则400=385+15,P(x