数列综合应用附答案

理数

1.（2009江西,8,5分）数列同｝的通项an=n2.（c°s丁加丁J,其前n项和为Sn,那么$3。为〔）

A.470B.490C.495D.510

[答案]1.A

(cos?用sid明2nn

2

[W-tlr]l.an=nV丁刃=i)2cos3.

当n=3k时,a3k=(3k)2=9k2；

2n1

当n=3k+l时，a3k+i=(3k+l)2<os9=・2(3k+l)2；

4n1

当n=3k+2时，a3k12=(3k+2)2Cos^=-2(3k+2)2.

，S3o=(a3+a6+a9+…+a3o)+(a14-34+87+...+a28)+(22+25+2$+...+229)

11

=(32+62+92+...+302)-2(i2+42+72+...+282)N22+52+82+...+292)

31

=2(32+62+92+…+302)-2(/+22+32+…+282+292+302)

3130x31x0x30+1)

=2X32(12+22+32+...+IO2)立x1

2710x11x(2x10+1)5x31x61

=2x6--77

27x55x7-5x31x61

=?=470,应选A.

2.（2012北京,8,5分）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如下图.从目前记录的结果看，前m年

的年平均产量最高,m的值为（）

O\Ii34567891011

A.5B.7C.9D.11

［答案］2.C

SjnS5S7SgS11

［解析］2.前m年的平均产量为正，即求N的最大值,问题转化为图中4个点

A(5,S5),B(7,S7),C(9,S9),D(11,SID与原点连线的斜率的最大值.由题可知k8=9最大.即前9年的年平均

产量最高.应选C.

3.(2012河北高三模拟，9,5分淀义:F(x,y)-yx(x>0,y>0),数列⑶｝满足:aL3抬(n€N)假设对任意正整

数n,都有anNak(k£N,)成立，那么ak的值为()

89

A298

D.

［答案］3.C

卜皿2)2：88

［侔析］3d="［)；=】】一,易知当n>4时,2*n2,又ai=2,a2=La3=9,故最小项为9.应选C.

错因分析:信息使用错误,易错选A.

4.(2012云南高三二模，12,5分)公差不等于0的等差数列｛aj的前n项和为S”如果S3=-21,a7是a1与

a3的等比中项，那么在数列｛naj中，数值最小的项是()

A.第4项B.第3项C.第2项D.第1项

［答案］4.C

［解析］4.“an｝为等差数列户由S3=-21可知3a2=21,

.*.32=-7.

又♦•包=aia3,：(a2+5d)2=(a2-d)(a2+d),

.•.〔5d-7)2=af-d2=49-d2,可求出d上或d=0(舍),

353516135161

2

•,■an=a2+(n-2)xl'=I13,nan=ln-13n,

16111611161

v2<70<3,H.I70**|<l70pL

数列｛叫｝的最小项为第2项，应选C.

错因分析:此题属于等差数列与等比数列的综合问题.将条件用a?及公差d表示，建立方程，并求出公差d

是解题关键.注意结合函数单调性对求数列的最大项或最小项均有帮助.

（）x0），

5,（2012北京东城区高三模拟，8,5分）定义：Fx,Jy=Jy\x>0,y>'数列

尸限2）

｛4｝拓足：凡（〃€、♦），若对任意正整数小都有42%（ZwN*）成立，a

那么上的值为

()

1r89

(A)-(B)2(C)-(D)-

298

［答案］5.C

FMrr

［解析］5.广(小2)=2.，尸="(2,〃=)/设函数/3一("°),那么

2X%2-2xx212Yxln2-2)0<j<_2_

x4'『，令八外<0,解得In2,此时函数"X)是减

c、nx>—//八—="—/*（x）■r（x〉0）

函数；令解得In2,此时函数是增函数，.•.当m2时，'X-取

:

最小值.又"叫"jv4<e<8,Jog24<x=k）g2e*<log,8，2<x<3,又

2221888

/⑵力/'⑶▽=6,,一小）的最小值是4=6,口心）

6,（2013年北京海淀区高三第二次模拟，8,5分）假设数列旧」满足：存在正整数7，对于任意正整数

〃都有％・r;%成立，那么称数列1q：为周期数列，周期为兀¥数列W・：满足

・“二.0<0/1.

1“・那么以下结论中错误的选项是（）

A.假设《那么用可以取3个不同的值

B假设m那么数列S"是周期为3的数列

C.Urw、.且7*22,存在桁>1,是周期为r的数列

D.MMCQ且用22,数列切1是周期数列

［答案］6.D

4.-l.>1.

44",。<4"A

［解析］6.对于A项，假设以=4,那么由I"<得用=5或.4；进而推出。产6,

I5I5

4■-a■

或5,或4.即州=6或5或％故A项正确；

对于B项，假设施・右，即/=右，那么

%=丘.1吗--7"-♦1.O4=五•%=4i・l・Q.=&♦I

S7，…，故数列是周期为3的数列.

故B项正确；

对于C项，假设vrw、•且，22,但」是周期为7•的数列，那么一定有

।N，）满足。人1・q,即—5------而”=加化简得

m-m*'f/w-m*

.,m-m*+J（fn'+/n"）2+4

nt'1=0»所以蔺・、

满足，〃>1.故C项正确;

对于D项，假设且加22,数列是周期数列，那么•定存在桁飞、•使得

j=例=/w-l>1,,••»<JW>I:M-nt'

€(l>.l),那么，"x,：=।(m-m,<.(0.1>).故其后一定有某一项为

m-m

二-m*(m-Ma€(0J),MweN*)»且4那么--m"=m，化简得

m-m*'7m-m'

,,.m*-m*±/»")*+4m9-m9±J(m*+/w*f+4

川♦(«"-/«*)*»-m*m,-1=0,所以蔺.----------------------.因为..--------)

■.

不可能为有理数，故与假设矛盾.所以D项错误.

7.(2013课标I,12,5分)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,Cn,AAnBnCn的面积为S„,11=1,2,3,....假设

bl>Ci,bi+Ci=2ai,an+l=an,bn+l=，，Cn+1=，，那么()

A.An｝为递减数列

B｛Sn｝为递增数列

C.｛S2nr｝为递增数列,｛S2n｝为递减数列

D.｛S2n“｝为递减数列,｛S2n｝为递增数列

［答案］7.B

—丁也2_

［解7.由bn+l=X,Cn+1=2得bn+l+Cn+l=Hn+:(bn+Cn),①

1

2

bn+l-Cn+l=-(bn-Cn),②

11

由an+i=an得an=3b代入①得bn+i+cn+1=ai+a(bn+cn),•••bn+i4-cn+i-2ai=5(bn+cn-2ai),

•.-□i+ci-2ai=2ai-2ai=0,.-.b„+cn=2ai>|BnCn|=ab所以点An在以瓦、品为焦点且长轴长为2al的椭圆上

x

(如图).由bl>Cl得b,Cl>0,所以|bn+「Cn+l|=・(bn-Cn),

即|bn-Cn|=(bi-Ci)•GT，所以当n增大时|bn-Cn|变小，即点An向点A处移动，即边用加上的高增大,

X|BnCn|=an=ai不变，所以｛Sn｝为递增数列.

A

W|一一.

8.(2014山西太原高三模拟考试(-),16)在数列,"J中，•Jo)=%,那么

%.

4±17石

［答案］8.34

I13121

%=-77=—%=-77=—

\±yfi

，又因为"》«>=%,代入解得,“

,同理可得

.y«I--------0Tt="=-----------

%一，又因为函数"K+2单调函数，所以可得.2,同理可得

21t-1±754±I7V5

342

9.(2011陕西,14,5分)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距

10米.开始时需将树苗集中放置在某•树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走

的路程总和最小，这个最小值为(米).

［答案］9.2000

［解析］9.将20位同学视为数轴上0、10、20.........190的20个点，那么路程总和为

由绝对值的几何意义知,当有奇数个点时，位于中间位置的中点到各点

y=2(|x|+|x-10|+...+|x-190|),

的距离和最小，当有偶数个点时，中间两点之间的点到各点的距离之和最小，所以当90WXK100时，

ymin=2［x+(x-10)+...+(x-90)+(100-x)+(110-x)+...+(190-x)］=2(100+110-10+...4-190-90)

-2x10x100-2000.

11.(2012四川,16,4分)记因为不超过实数x的最大整数.例如,[2]=2,[1.5]=1,卜0.3]=-1.设a为正整数,

数列｛X0｝满足(n€N)现有以下命题:

①当a=5时，数列侪｝的前3项依次为5,3,2;

②对数列侪｝都存在正整数k,当n>k时总有x„=xk;

③当n>l时,

④对某个正整数k,假设Xk+iNXk,那么Xk=Ni

其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)

［答案］11.①②③

s

[解析]11.当a=5时盟=I1丸J判=2,①正确令a=3时,X2=叫“九」嘴

=2,以后各项均为1,2交替出现,②错;易证x£N”时所以Xn+]2>-*1,③

%+4Y；a____

正确;因为Xn+1=<2W2,所以2Nxk,XkWXk,所以XkWS,又由③知Xk>Ml，存M-lkd

xk£N+,Witxk=p.④iEW.

12.(2012山西高三模拟，14,5分涧量a=(2,・n),b=(Sn,n+l),n€N*,其中Sn是数列面｝的前n项和，假设alb,

那么数列的最大项的值为.

1

［答案］12.9

n(n+l)n(n+l)n(n-l)

［解析］12.依题意得a-b=0,即2Sn=n(n+l),Sn=2，当n>2ff'f,an=Sn-Sn-i=2-2=n;又ai=Si=

a1

1X(141)/n2n...4,rI4

=1,因此当且仅当n=n,n£N\BPn=2时取等号,

(11

因此数列上.向♦J的最大项的值是9.

｛4｝满足q=334.1-/=2力，则%的

13.(2012四川省米易中学高三第二次段考，14,5分)数列«的

最小值为•

［答案］13.；

［解析］13.,.,外.「q=2〃=((-/J+(4I-4？)+•••+(a「q)+q=

2(〃T♦〃-2♦I)+33=2x----------------------+33=/-〃+33,设/(〃)=

“'-〃+3333.w//・/、,33(〃♦755乂〃-755)r—

—=----------------=〃♦-------1，那么./(")=1—r=--------------：-------------,所以当0<if<V33时，

nnnnn*

函数/(〃)是减函数：当〃>5时，函数〃〃)是增函数，所以当〃-6时，〃〃)取最小值

,

21-21

/(6)二彳，即w的最小值为彳.

14.(2012北京海淀区高三11月月考，14,5分)数列中，如果存在《，使得“卬>《・|且勾’4.1”

成立(其中A22,keX),那么称4为k”的一个峰值.

(I)假设q=-3".+”〃，那么的峰值为；

(II)假设凡且|"・；不存在峰值，那么实数'的取值范围是

I

I/=I

-----ln(-----)寸a、

［答案］14.(I)10；(II)垢2或n,〃wN同〃22)

〜切.11八里1n

［解析］14.［1)““612,由于“£、，那么当〃=2时，4取最大值%=IU,那么

仅有“<%>、所以的峰值为10；(II)设/O'Mx-xOr>。),那么⑶x,

由于q="n〃-〃，且MJ不存在峰值，那么：①当数列不是常数数列时，只需©2%,所以

zlnl-l>/ln2-2,解得一团2；②当数列是常数数列时，只需所以

=++解得n,.且〃”.综上所得，实数，的取值范围是

VI'4丁二I"—)M*H、"

In2或n,〃wNtin>2|

16.(2013年河南十所名校高三第二次联考，16,5分)设数列W二是等差数列，数列他」是等比数列，

记数列｛a｝的前n项和分别为S”,Tn.假设a5=bs,a6=b6,且S7—Ss=4(T6—T4),那么

4+4

［解析］16.设等差数列｛q｝的公差为〃，等比数列｛"｝的公比为(/.由as=b5,a6=b6,且S?-S5=4

Te-T4),得-%+d=f\q.解得，

2aq♦3d,4(6,，丽)，

2as+力，_2as+2(-6<^)-I呵_5

M"q'+425%+。,26as13

；a?1+2

17.(2015安徽安庆模拟,21)数列｛aj满足ai=a>2,an=M*-(n>2,nGN').

M

(1)求证:对任意neN,an>2；

(2)判断数列｛aj的单调性，并说明你的理由;

4

(3)设Sn为数列｛an｝的前n项和，求证:当a=3时,SnV2n+：L

［答案］17.看答案见解析

［解析］17.(1)证明:用数学归纳法证明a.,>2(nGN-):

①当n=l时,a『a>2,结论成立；

②假设n=k(kNl)时结论成立，即a>2,那么n=k+l时,ak+i=J%>2+2=2,所以n=k+l时,结论成

立.

故由①②及数学归纳法原理，知对一切的nWN♦，都有an>2成立.(4分)

(2)｛a0｝是单调递减的数列.

因为明>・%—2・,=・a・2)四—1),又a„>2,

所以。“：i.%vo,所以an+i<an.这说明｛an｝是单调递减的数列.(8分)

，0

⑶由an+i=v"+乙得明•i=an^2,

所以％：L4=an・2.

根据(1)知an>2(neN*),

所以4-2=an+1+2<4

1件

-

所以Sn+i2<l(an-2)<A'"，(an-i-2)<...<队.

所以，当a=3时,an+i-2v(J,

CT

即an+】vVV+2.

4

当n=l时,SI=3<2+4

当n>2时,

Sn=3+a2+a3+…+an

<3+(M+1OUC)…4

各母1

=3+2(n-l)+4

WW4

=2n4-l+^lWJ<2n+^.

4

综上，当a=3时,SnV2n+3(nWN)(15分)

18.(2015北京,20,13分)数列同}满足:a£N*,aW36,且2用=(为-3G'a->18(n=l,2,...).记集合

4

M={an|nGN］.

(1)假设ai=6,写出集合M的所有元素；

(2)假设集合M存在一个元素是3的倍数，证明:M的所有元素都是3的倍数；

(3)求集合M的元素个数的最大值.

［答案］18・答案见解析

［解析］18.(1)6,12,24.

(2)证明:因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数.

|2a„,a„<ia

由an+i=M%-可归纳证明对任意n>k；an是3的倍数.

如果k=l,那么M的所有元素都是3的倍数.

如果k>l,因为ak=2ak-i或ak=2ak-i-36,

所以2ak.i是3的倍数，于是ak4是3的倍数.

类似可得,ay，…,ai都是3的倍数.

从而对任意n>l,an是3的倍数为此M的所有元素都是3的倍数.

综上，假设集合M存在一个元素是3的倍数，那么M的所有元素都是3的倍数.

(2a”i<18,

(3)由aW36,an』2Qn「3%】>18可归纳证明aw36(n=2,3,...).

>

因为a1是正整数,az』'】-如勺地所以32是2的倍数，

从而当nN3时,an是4的倍数.

如果ai是3的倍数，由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数，

因此当n>3时向£{12,24,36},

这时M的元素个数不超过5.

如果ai不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n,a„不是3的倍数，

因此当n>3W,anG{4,8,16,20,28.32),

这时M的元素个数小超过8.

当ai=l时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.

综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.

19.(2014重庆,22,12分)设ai=l,an+i=2+b(n£N)

(I)假设b=l,求a&a3及数列{aj的通项公式；

(【I)假设b=-l,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+i对所有n£N•成立?证明你的结论.

俗案］19.查看解析

［解析］19.(I)解法一:az=2,a3=6+1.

再由题设条件知(an+i-l)2=(an-l)2+l.

从而{(痴-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列，

故(an・l)2=n・l,即a„=V^I+l(neN7

触法二:@2=2,23=8+1,

可写为ai=Ji^+l,a2=&^+l,a3=J^4-1.

因此猜测an=G4-1.

下用数学归纳法证明上式：

当n=l时结论显然成立.

假设n=k时结论成立，即ak=、'Q+1,那么

a”府亦+仁师西+仁历讯］

这就是说，当n=k+l时结论成立.

所以an=G+l(n€N)

(【I)解法一:设f(x)="川'+L1,那么an+i=f(an).

而犷7.1,解得c=；.

令c=f(c),即c=

F用数学归纳法证明加强命题a2nVCVa2n+】Vl.

当n=l时,a2=f(l)=0,a3=f(0)=72-1,所以a2V4Va3<l,结论成立.

假设n=k时结论成立，即a2k<c<a2k+i<l.

易知f(x)在(-8,1］上为减函数，

从而C=f(C)>f(a2k+】)>f(l)=a2,即l>C>a2k+2>32.

再由f(x)在(-8,1］上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<l.

故cVa2k+3Vl，因此az(k+i)<c<a2ik+i)+i<l-

这就是说，当n=k+l时结论成立.

综上，符合条件的C存在,其中一个值为c=

解法二:设f(x)=«OL1,那么a„+1=f(a„).

先证:OWaWl(n€N)①

当n-1时，结论明显成立.

假设n=k时结论成立，即OMakWl.

易知f(X)在。8,1］上为减函数,

从而O=f(l)<f(ak)<f(O)=-1<1.

即OVak+Wl.这就是说，当n=k+l时结论成立.故①成立.

再证:a2n〈a2n+i(n£N)②

当n=l时,a2=f(l)=O,a3=f(a2)=f(O)=6・1,有azVa当即n=l时②成立.

假设n=k时，结论成立，即a2k<a2k+i.

由①及f(x)在(-8,1］上为减函数，得

a2k+i=f(a2k)>f(a2k+i)=a2k+&

a2(k+i)=f(a2k+i)<f(a2k+2)=a2(k+i)+i.

这就是说，当n=k+l时②成立.所以②对一切neN,成立.

由②得a2n+

2

W(a2n+l)<^--2a2n+2,

£

因此a2n<4.③

又由①、②及f(x)在(-8刀上为减函数得f(a2n)>f(a2n+l),

即a2“+i>a2”十2,

所以a2n+i>'"―3力J24解得a2n+1>4.④

综上,由②、③、④知存在c=4使a2n<c<a2n+i对一切n€N•成立.

20.12014重庆一中高三下学期第一次月考，22)1原创)在数列｛°1中，4=1,%=3,其前“项

和邑满足"2,1*八\

⑴求生国〃外的值；

(2)求4的表达式；

<•1

⑶对于任意的正整数〃22,求证：

［答案］20.查看解析

［解析］20.⑴依次令〃:3.4.5可得6=5,久=7,6=9；

(2)法一：由⑴猜测q=2〃・1,下面用数学归纳法证明：①当〃=12时结论显然成立；②假设

"“依'42)时结论成立，即q=”-l,那么％广&「$=空(5.J

k(一v1A+1A(2A-1).、2

——(l+q)=—♦------C/J-------------n-I)/..=2A-％—1n4.I=2K+1.,

2221111n,,故当川二八1

时结论成立。综上知结论成立。

法二：猜测"。=2"-1,下而用第二数学归纳法证明：①当”=L2时结论显然成立；②假设

〃圳3V42)时结论成立，即4=2吁那么争♦%)•

5工“=1+3+L+（2R_l）+q“=《、+q.|2E?—A7nq•尸”.1

〃二A+1时结论成立。综上知结论成立。

法三：由题一FT・1（FA”q）n~・（E%g,当〃22时,

2--=下工=„为%・£|=刘，』

-I〃〃（时I）/,-1〃故/）勺1・1"因此

&=no.=2"一】（/122）.3.

*“-I。又q=L故

（3）法_：rti（2）知物」为等差数列，故q+C・i=%+°・=L=凡.％=。・“+。|。由

w（x+y）‘（x-»

44知x+>'一定时，要使9最小，那么最大。显然降「可">

1%—-"（2-4〃）故（4%La.J=（q4,J（，M）L（可,必）>（。化.广因此

-L%|>（。1%］），=（方+】产从而tf„>（2n+l）T

er业北士可斗川壮MI〃，”）

法二：因为大!\n）,所以

。♦二一1・£cd—1<n+l<2w+l/.z小山

I2n^-\）4.0（2〃+lJ,故（-"+3）/,因此2〃+l>

"4m+词曲*作+我”

（2〃+"，从而“'"'（2源），即—Lq>（2〃+3

法三：①当〃=2时不等式显然成立；

（ii）假设""（"22）时不等式成立，即

i-i4.i=或+1>m

4%Lq>(24+1)\那么如“法二”可证(窗.1)2故—La"

(21+l)T.l^±4L=(2*+3)t

("♦a,即当〃=«+i时不等式成立。综上得证。

22.(2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，22)数列｛(｝中，”-2,点在

直线上，其中〃w.\・.

⑴令求证数列也｝是等比数列；

12)求数列”「的通项；

⑶设s”、［分别为数列1」、%」的前“项和，是否存在实数/,使得数列1n1为等差数列？

假设存在，试求出乂.假设不存在，那么说明理由.

［答案］22.杳看解析

3£

,仍［是以工为首项，以2为公比的等比数列.4分

.331

“=x(­)=----X♦

(11)由⑴知，422r

将以上各式相加得:

37尸“I3|3

:、Q.=q♦〃-1——x------------二一♦(〃-I)——(I-,)=〃一2・,

■、2.I222*'12"3

22,

8分

(III)解法一:

存在4;2,使数列〃是等差数列.

数列〃是等差数列的充要条件是〃、B是常数）

即+zf-An'+Bn、

_3。33、n2-3w2久I、

5^x7；=-->——)=---*3(I--XI--)

E■■)■2■)(•'2■7■7■*

T=0,2

「•当且仅当2，即4=2时，数列〃为等差数列.14分

解法二：

存在/:2,使数列〃是等差数列.

cn(w+1)、

"e.2〃=勿_2二S..2T・—―・2n

由(I)、(II)知,

n(n^l)

邑+肛_--2"27>和」-3Z-2

nn

3

n2n22"H

•二当且仅当么=2时，数列,n是等差数列.14分

2

23.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）口，；是单调递增的等差数列，首项,前〃项

和为S”，数列⑵是等比数列，其中"=Lfl%仇=I2,SJ+“=20.

（1）求凡）和仍」的通项公式;

cw=S.coMy^MneNtk

(2)令求匕）的前20项和q。

［答案］25.查看解析

I7.M：（1）设公差为d,公比为g,则

a2b2=(3+dk/=12

5)+6,»加+b1-3(3♦4)+q*20..................................................2分

V/2-2J-2I=0,(W*7X</-3)=0

单调递增的等差数列

・・•</>0,.\2............................................................................4分

：,a„・3)S-1)x3・3〃也■2*6分

S.E是偶数

(2)C=S.cos”网=8分

・S/〃是否数

T4■—5|♦51-S)*S*-AA—Sf4-SJQ.....................,10分

［解析］25=♦：+/+4+AA+=6+12+I8+AA+60=33012分

26.（2009江西,22,14分）各项均为正数的数列｛a。,ai=a,az=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,

-m+anap+ag

q都有（1+am）（1+a”）=（l+aj（I“。）

14

（I）当a=Zb=5时，求通项an；

1

（【I）证明:对任意a,存在与a有关的常数入，使得对于每个正整数n,都有入Wa*人.

am"^"an%+aq

俗案］26.(I)由(1+1)(1+aJ=(l+ap)(1+aq)得

al+ana2+an-l

(1+ap(1+aJ=(l+a2)(1+a%］),

14

将ai=2,a2=S代入上式化简得

2a»i+ll"an1^'an1

Hi产anj+2,所以1+2]=3.1+3|卜1.

故数列h琮｝为等比数列，从而

hanJ_311-1

1+n=3",即an=3“+l.

3n-l

可验证,满足题设条件.

&1+%]

(II)证明:由题设(1+%)(1+唬的值仅与m+n有关,记为bn+n,那么回+1=(1+%)(1+aJ=

a+an

(1+a)(l+an)

a+x

考察函数f(x)=H+^TH+x)(x>0),那么在定义域上有

击a>l,

品=1,

、、/、-t-,0<a<l.

fc(,x)>g(a)=ira

2an

故对n£N*,bn+iZg(a)恒成立，乂b2n=(1+吟>g(a),

注意至I]0<g(a)<2解上式得

g(a)

l-g(a)2J1-2g(a)

l-g(a)2g(a)l-g(a)十中-2g(a)

=s(al<an<Sal,

l-g(a)3中-2g(a)1

取入=sfal,即有七a*人.

26.

27.(2008全国II,20,12分)设数列｛aj的前n项和为Sn.ai=a,an+i=Sn+3〃n€N*.

n

(I)设bn=Sn-3,求数列｛bn｝的通项公式;

（【I）假设nGN：求a的取值范围.

［答案］27.(I)依题意,Sn+l0=an+l=Sn+3n,

即Sn+i=2S„+3n

由此得Sn+l-3"l=2(Sn-3n).

因此，所求通项公式为

bn=Sn-3'>=(a-3)2nn€N*.①

(【I)由①知Sn=3n+(a-3)2n」,nCN.,

于是，当n>2时，

nn1n-1n2

an=Sn-Sn-i=3+(a-3)x2'-3-(a-3)x2

=2x3nl+(a-3)2n-2,

an+i-an=4x3nl+(a-3)2n-2

12.f2>2+a-3

=2间(2J

/3\n-2

当n『2时，an+iNan0121刃+a-330oaN-9.

又a2=ai+3>ai.

综上，所求的a的取值范围是卜9,4-oo).

27.

3+(11)”

28.(2011天津,20,14分)数列⑸｝与｛卜｝满足hnan+an+1+bn+1a„+2=0/hn=-2―；n€N;且a】=2,

32=4.

(I)求a3,a4,a5的值;

(II)设Cn=a2n」+a2n+l,n€N”,证明｛品｝是等比数列；

睁7

(III)设Sk=a2+a4+...+a2k,k€N1证明k=iayG(nwN.).

31(1),nGN；可得bn」2，n为篇

［答案］28.(I)由

=

Xbn3n4"an+14"bn+13n+20/

当n=l时,ai+a2+2a?=0,由ai=2,a2=4,可得aa=-3;

当n=2H'J；232+33+34=0,可得a4=-5;

当n=3时，a3+a4+2as=0,可得as=4.

(H)证明:对任意n6N：

a2n-l+a2n+2a2n+l=0,①

2a2n+a2n+l+a2n+2=0,②

a2n+l+a2n+2+2a2n+3=0,③

②-③，得a2n=azn+3,④

将④代入①，可得H2n+l+a2n+3=-(a2nd+azn+l),即Cn+l=-Cn(n£N*).又Ci=ai+a3=-l,故Cn于0,因此

S+i

K=-l.所以｛Cn｝是等比数列.

(III)证明:由(II)可得a2k.i+a2k+i=(-l)k,于是，对任意k£N.且kZ2,Wai+a3=-l,-(a3+a5)=-1,

a5+a7=-l,(-1)k(a2k-3+a2ki)=-l.

k

将以上各式相加，得ai+(-l)a2k-i=-(k-l),

即a2k-i=(-l)k+】.(k+l),此式当k=l时也成立.

由④式得a2k=(-1)k+L(k+3).

从而S2k=(32+34)+(36+38)十…一(a4k-2+H4k)=-k,S2k-l=S2k-a4k=k+3,

所以对任意neN;n>2,

g%£4nl-3+S4nl.2+S4m.i十$?口)

k=lak=in=l\a4iu-3a4m-2a4iu-la4in/

y/2m+22m-l2m+3,2m\

=招1［-2市i2m+22m+l十丽村

总12m(2肃+1)C2—2乔3厂］

2y—一3

=应+虑22m(2m+l)+(2n+2)(2n+3)

1y_.、5一3

<3+W2(2m-l)(2m+l)+(2n+2)(2n+3)

=J+2［(聂)+•)+...+(2n-l2n+l)J3155137

+(2n+2)(2n+3)=3+&22HTI+(2n+2)(2n+3)<6对于

n=l,不等式显然成立.

28.

29.(2007重庆,21,12分)各项均为正数的数列⑶｝的前n项和Sn满足Si>l,且6Sn=(an+l)(an+2),

ntN*.

(I)求色力的通项公式；

(U)设数列｛bn｝满足an(24-l)=1,并记Tn为｛bn｝的前n项和，求证:3Tn+l>log2(an+3),nWN二

［答案］29.(I)由ai=Si=/ai+l)(ai+2),解得ai=l或ai=2,由假设ai=Si>l,因此ai=2.

1

X［il3n+l=Sn+iSn="(an+i+1)Qn+i+2)

1

^(an+l)(an+2),

f'jl(an+i+3n)(an+i-an-3)=0,

即an+l~an~3=0或an+l=-am因Hn>0,故an+l=-2n不成U,舍去.

因此an+i-an=3.从而｛an｝是公差为3,首项为2的等差数列，故⑶1｝的通项为an=3n-L

b,

(II)证法一:由an(2-l)=1可解得

(1+工)3n

an

bn=10g2\n/=Iog2^'l；

363nX

-

2%/

从而Tn=bi+bz+…+b5,1-1

(363n\3-2-

因此3Tn+l-log2(an+3)Togzt1」砧J-3n+2.

(363n\32

令f(n)=(T5."加R.痢2那么

f(n+l)3n+2f3n+3\3(3n+3)3

f(n)二乔声麻可=(3n+5)(3n+2)+

因(3n+3)3・(3n+5)(3n+2)2=9n+7>Q故

f(n+l)>f(n).

27

特别地f(n)>f(l)=前>1.从而3Tn+l-log2(an+3)=log2f(n)>0,即3Tn+l>log2(an+3).

证法二:同证法一求得bn及Tn.

由二项式定理知，当C>0时，不等式(1+C)3>1+3C成立.

由此不等式有

3Tli+1=1密2卜+新1+铲K+焉F

>1唯2(喝(嘀..(1+磊)

8

5

23n+2

.53n-l=log2(3n+2)

=log2（an+3）.

证法三:同证法一求得bn及Tn.

363n47%

Z5nBa忌

3n-

58

43n+2

..•3n+l.

.7

3n31+1即+233廿2

因而彳>疝>布1因此A»AnBnCn=?.

(363n\3

从而3Tn+l=bg”lT5.“标U

=log2(an+3).

证法四:同证法一求得bn及Tn.

下面用数学归纳法证明：3Tn+l>10g2(an+3).

27

当n=l时,3Ti+l=log2^,log2(ai+3)=log25,

因此3Ti+l>log2(ai+3),结论成立.

假设结论当n=k时成立，即3Tk+l>log2(ak+3),

那么当n=k+l时，

3Tk+i+l-log2(ak+i+3)=3Tk+l+3bk+i-log2(ak+i4-3)

>log2(ak+3)-log2(ak+i+3)+3bk+i

(3k+3)3

=log2(3k+5)(3J2)2

因(3k+3)3・(3k+5)(3k+2)2=9k+7>0,

(3k+3)3

2

故iog2(3k+5)(3k+2)>0.

从而3Tk+i+l>log2(ak+i+3).这就是说，当n=k+l时结论也成立