旧教材适用2024高考数学一轮总复习第七章不等式第3讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题

第3讲二元一次不等式（组）及简洁的线性规划问题

基础知识整合|

□知识梳理

1.推断二元一次不等式表示的平面区域

由于对直线Ax-\-By-\-C=0同一侧的全部点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入Ax-\-By+C

所得到实数的符号都理相回，所以只需在此直线的某一侧取一个特别点（的外），由力加+软）

+C的画符号即可推断Ax^-By+OO表示直线力刀+取+C=0哪一侧的平面区域.

2.线性规划中的基本概念

名称定义

约束条件由变量X，V组成的画不等式（组）

线性约束条件关于无，的画一次不等式（或等式）

目标函数关于X，y的附函数解析式,如z=2x+3y等

线性目标函数关于X,y的一一次解析式

可行解满意回线性约束条件的解（＞,y）

可行域全部固可行解组成的集合

最优解使目标函数取得画最大值或四最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求回线性目标函数的最大值或最小值问题

知识拓展

1.点P\（%i,M）和P人Xz,为位于直线/卜+加+。=0的两侧的充要条件是（4小十少1+

。•（力照+顼+。＜0：位于直线4Y+取+。=0同侧的充要条件是（力汨+旦力+。（力及+B定十

。〉0.

2.画二元一次不等式表示的平面区域的方法

（1）直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.

（2）特别点定域：若直线不过原点，特别点常选原点；若直线过原点，则特别点常选取（0,

1）或（1,0）来验证.

□双基自测

x—3y+6<0,

1.不等式组,表示的平面区域是（

x—y+22()

答案c

解析由X—y+220,得jWx+2,故表示直线尸x+2的下方（包括边界），由x—3y

+6<0,得3y>x+6,故表示直线x—3y+6=0的上方（不包括边界），故选C.

2.（2024•浙江高考）若实数x,y满意约束条件

*+12（）,

<》一质0,则的最小值是（）

.2x+3y—1W0,

311

A.-2B.一己C._万D.-

乙乙Iu

答案B

解析作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线？=2x并平移，数形结合可知，当平

2x+3y—1=0,\x=-1,

移后的直线经过点/I时/取得最小值.由一八得，所以力（-1,1）,为n

lx+1=0,（y=l,

13

=-1-7=-7-故选氏

乙乙

x—y+120,

3.（2024•江西上饶六校高三其次次联考）若x,y满意约束条件<2A4W0,则z=x

.x+2y-2W0,

+y+l的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线z=x+y+l经过点力时，z

有最大值，又A为直线2z+y-4=0与直线x+2y-2=0的交点，所以1⑵0）,所以协

=2+04-1=3.故选C.

才20,

4.若力y满意约束条件320,则z=x+2p的取值范闱是（）

/-2yW0,

A.[0,6]B.[0,4]

C.[6,4-oo）D.[4,+«＞）

答案D

解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.山题意可知，当直线y=

1z

—过点力（2，】）时，Z取得最小值，即Znin=2+2X1=4.所以z=x+2y的取值范围是

[4,+8）.故选D.

5.（2024•广州模拟）若实数x,y满意

X—2y+320,

4则干的最小值为（)

介众1,

A.3B./C./D.小

答案D

x—2H-320,1—...-

解析作出不等式组、表示的平面区域如图中阴影部分所示.，="7S

表示可■行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点（1,1）到原点的距离最短，即

z的最小值为[1故选D.

*W2,

6.若x.y满意，"2—1,则p—*的最小值为，最大值为.

、4x—3y+120,

答案一31

解析作出x,y满意的平面区域如图中阴影部分所示.设z=y—x,则？=刀+/把/

看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y=x+z的纵截距，通过

图象可知，当直线y=x+z经过点月(2,3)时，z取得最大值，此时=x=3—2=1.当经过点

8(2,-1)时，z取得最小值，此时为也=一1一2=-3.

核心若向突破|

考向一二元一次不等式(组)表示的平面区域

例1(1)设点(x，0满意约束条件

x—y+320,

•x—5y—VO,且x£Z,y£Z,则这样的点共有()

3x+y—3W0,

A.12个B.11个

C.10个D.9个

答案A

卜一y+320,

解析画出•x—5y—1W0,表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，满意＞£Z,

.3x+y-3W0

y£Z的点有(一4,—1),(―3»0)>(—2,1),(—2,01>(―1,0)»(―1,1),(―1,2),

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),共12个.故选A.

.r-5)-l=0

3.v+y-3=O

yM,

(2)(2024•河南六校联考)不等式组，x—y—1N0,表示的平面区域的面积为

3^-2y-6<0

-3

答案

7乙

解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知加1，0),8(2,0),

3*-2、-6=0

x-y-1=0,

由《

(3^—2y—6=0,

得。(4,3).

S^ASC=^AB•\yc\=|x1X3=1.

触类旁通,

(】)确定而+次+售。表示的区域有两种方法：①试点法，一般代入原点；②化为y2M

+6(yWM+A)的形式.不等式y2M+6表示的区域为直线y="+6及其上方,不等式yWAx

+6表示的区域为直线及其下方.

(2)可行域内找整点数目时，若数目较小，可画网格逐一数出；若数目较大，则可利用x

=/逐条分段统计.

x+y—320,

r即时训练1.设不等式组•x—y+120,表示的平面区域为M若直线y=&经过区域

3A—y-5<0

”内的点，则实数A的取值范围为()

答案C

>+y-320,

解析不等式组r-y+12（），表示的平面区域如图中阴影部分所示，即含边

、3x—y—5W0

界），

x+y-3=0,

由得点4(2,1),

3x—y—5=0,

由Ixx+ry+-13==0。,，得点2）,又直线处的斜率为然=5],直线"的斜率为第=2,

而直线尸弱表示过原点。的自线,因此依据题意可得〜即:W4W2.

乙

2.（2024•甘肃张掖月考）若不等式组

”一介0,

2x+j<2,

表示的平面区域是一个三角形，则〃的取值范围是

介0,-------

答案(0,1]U+8

（x—y^0,

y=x,

解析不等式组<2x+_&2,表示的平面区域如图所示（阴影部分）.由得

2x4-y=2,

）20

由|二尸2,得「。）•若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线-

4

-\-y=a中的a的取值范围是或心亍

O

精准设计考向，多角度探究突破

考向二求目标函数的最值问题

角度1求线性目标函数的最值

>+介4,

例2（2024•全国乙卷）若满意约束条件贝ijz=3x+y的最小值为（）

E，

A.18B.10C.6I）.4

答案C

解析由约束条件可得可行域如图中阴影部分所示，由z=3x+y,得尸一3x+z,平移

直线尸一3M由图可得，当直线z=3*+y过点以1,3）时，z取最小值为6,故选C.

触类旁通,求z=ax+Z?y的最值时，一般先化为/=—%+'的形式.，为直线y=_*

x+宗在y轴上的截距，当少0时将宜线上移z变大，当次0时将直线下移z变大.

*+介0,

P即时训练3.（2024・全国HI卷）若x,「满意约束条件，2k介0,则z=3x+2y的最

.xW1,

大值为.

答案7

解析不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示.因为z=3x十2必所以y=一华十余

3x3xz[2x—y=0,\x=\,

平移直线尸一行，当尸一方+港过A点时截距最大,此时z最大.由；得

N//1%=1,17=2,

即4(1,2),所以外x=3Xl+2X2=7.

角度2求非线性目标函数的最值

*+/4,

例3(2024•江西上饶二模)变量x,y满意约束条件(y一后2,则z=』的最大值为

、xW4,x

()

3

A.5B.2C.3D.5

答案c

解析由约束条件可得可行域如图阴影部分所示，2=上=三5可看作点(X，力与坐标原

XXU

x+y=4,fx=l,

点连线的斜率，由图象可知，力点与坐标原点连线的斜率最大，由°得°即/1(1,

[y-x=2,[尸3,

3),，品=3,即z=；的最大值为3.故选C.

触类旁通.目标函数是非线性形式的困数M,常考•虑目标函数的几何意义，常见代数

式的几何意义主要有:

(1)1表示点(x,0与原点(0,())连线的斜率，T表示点(右。与点(a,A)连线的斜率.

XX3

(2)皆旺了表示点(x,y)与原点(0,0)间的距离，，(x—a)?+(y—。))表示点(x,y)

与点(a,A)间的距离.

后1,

r即时训练4.(2024•安徽马鞍山模拂已知实数*y满意则♦+了的最

、后l—x,

大值与最小值之和为.

田田11

答案T

E,

解析作出不等式组r十1,表示的可行域如图阴影部分所示，/十炉的几何意义是

原点。到可行域内点的距离的平方，由图可知，。到直线y=l-x的距离最小，为平.可行

域内的点8与坐标原点间的距离最大，为用不=#.所以/+/的最大值与最小值之和为

角度3求线性规划中的参数

2x—y20,

例4(2024•河北保定模拟)已知实数x,y满意约束条件若z=2x+y的

.在一x+b,

最小值为3,则实数b=()

933

A-氏-C1-

♦421D.4

答案A

解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示.由z=2x十y得y=-2x十

z,平移直线尸一2必由图可知当直线尸一2x+z经过点力时，宜线尸一2x+z的板距最

2x4-y=3,「一4'，33、

小，此时z最小，为3,即2叶尸3.由1尸2大,解陷3即》又点儿也在直

339

线y=—x+Z;上，即j=—j+A；・■.故选A.

触类旁通,

(1)线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中.

(2)一般地，目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值.

>+y—2W0,

UM15.(2024•山西太原模拟)已知实数X,y满意不等式组｛x2a，且z

=2x—y的最大值是最小值的2倍，则a等于()

3564

A-

-一-

4B.65D.3

答案B

解析依据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图阴影部分(含边界)所示.作

出直线J：y=2x,平移直线/,由图可知，当直线经过点〃时，直线在y轴上的截距最小，

fx+y—2=0,

此时z=2x-y取得最大值，由彳可得〃(1,1),所以z=2x-y的最大值是1.

[x=y,

x+y-2=0,

当直线经过点8时，直线在y轴上的截距最大，此时z=2x—y取得最小值，由

x=a,

可得乐a,2—力，所以z=2x-y的最小值是3a—2.因为z=2x-y的最大值是最小值的2

倍，所以6a—4=1,解得故选B.

O

考向三线性规划中的实际应用问题

例5某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种

产品都须要在4，8两种设备上加工，生产一件甲产品需用力设备2小时，笈设备6小时：生

产一件乙产品需用力设备3小时，/，设备1小时.儿夕两种设备每月可运用时间数分别为480

小时、960小时，若生产的产品都能刚好售出，则该企业每月利润的最大值为（）

A.320千元B.360千元

C.400千元1）.440千元

答案B

'2x+3j<480,

解析设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则卜x+j<960,z=2x

.x,y£N,

心0,介0,

+%作出校+3E80,表示的可行域如图中阴影部分所示，

.6X+K960

作出直线2x+y=0,平移该直线，当直线z=2x+y经过直线2x+3y=480与直线6x+y

=960的交点（150,60）（满意x£N,代N）时，z取得最大值,为360.

触类旁通,解线性规划应用问题的一般步骤

（1）审题：细致阅读材料，抓住关键，精确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或

图形理清变量之间的关系：

（2）设元：设问题中起关键作用（或关联较多）的量为未知量必y,并列出相应的不等式

组和目标函数；

（3）作图：精确作出可行域,平移找点（最优解）;

（4）求解：代入目标函数求解（最大值或最小值）；

（5）检验：依据结果，检验反馈.

.即时训练6.某中学生在制作纸模过程中须要儿4两种规格的小卡纸，现有甲、乙

两种大小不同的卡纸可供诜择，每张卡纸可同时截得48两种规格的小卡纸的块数如下表，

现需儿6两种规格的小卡纸分别为4,7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为

m,〃为整数），则〃rl■〃的最小值为（）

［规格夕规格

甲种卡纸21

乙种卡纸13

A.2B.3C.4D.5

答案B

2〃H~〃24,2勿+〃24,

解析由题意知“〃+'27,又不等式组卜+3〃27,表示的平面区域如图

、加20,〃2O,m,/?EN,"20,〃20

中阴影部分所示，可得目标函数z=〃/+〃在点（1,2）处取得最小值3.故选B.

课时作业|

1.下列各点中，与点（1,2）位于直线x+y—1=0的同一侧的是（）

A.(0,0)B.(-1,1)

C.(-1,3)D.(2,-3)

答案C

解析点（1,2）使x+y—1〉0,点（一1,3）使x+y—l>0,所以此两点位于直线x+y—1

=0的同一侧，故选C.

(x—y+3)(x+y)20,

2.二元一次不等式组•表示的平面区域是（)

0«4

A.矩形B.三角形

C.直角梯形D.等腰梯形

答案D

fx—y+320,x—y+3W0,

解析由(*—y+3)(彳+。20,得《或'又0Wx<4,其表示

x~\~yNOx+KO，

的区域如图中阴影部分所示，故表示的平面区域为等腰梯形，故选D.

，一介0,

3.（2024•绵阳模拟）已知必y满意420,

/W4,

则2=八一y的最小值为（）

A.4B.6C.12I).16

答案B

jx—y20,

解析作出不等式组420,表示的区域如图中阴影部分所示，结合图形可知当

|后4

动直线z=4x—y经过点幺(2,2)时，动直线y=4x—z在y轴的截距最大，—=4X2—2=

6.故选B.

"+y—2W0,

x—y+2N(),

4.设变量x,y满意约束条件〈、则目标函数z=-4x+y的最大值为()

—1,

、介一1,

A.2B.3C.5D.6

答案C

解析画出可行域，如图中阴影部分所示，由z=—4x+y,可得y=4x+z.设直线人为

尸=4x,平移直线入，当有线y=4x+z过点/I时z取得最大值.由｛ice得力(—1,

x—y+2=0,

1)，

・・・Zw=-4X(-1)+1=5.故选C.

5.z=(x—2)2+y

的最大值为()

A.VToB.2A/3C.10D.12

答案c

解析作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.依题意，目标函数Z=G—2）

+*可视为可行域内的点与点〃（2,0）距离的平方，易得加1,1）,B3-3）,r（-i,-1）,

视察计算，\DC\=\DB\=y[i（）＞\DA\=y[2,故z=（*—2）斗了的最大值为10.故选C.

6.（2024•江西九江模拟）已知实数x,y满意不等式组，y22,若点P氏a+b,3a-

6）在该不等式组所表示的平面区域内，则当的取值范围是（）

a—1

9

A.[-12,-7]B.-7,--

乙

-9-

C.-12,--D.[-12,-2]

答案c

1,

解析因为点尸(2a+6,3a-。)在不等式组•y22,所表示的平面区域内,

、*+工4

2a+心1,

所以＜3a一层2,

,2a+〃+3a—6W4,

'2a+b21,

即＜3a一心2,其表示的平面区域是以棉一号，心号，《|,一目为顶点的三角形

.5点4,

区域，如图中阴影部分所示（包括边界）.当可看作是可行域内的点与点出（1,一2）连线的斜

a—1

率,所以八运告〈人即72W若

x+y—4W0,

7.x,y满意约束条件,x—2y—4W0,若z=ax-y取得最大值的最优解不唯一，则实数

2x—y+420,

a的值为（）

A.-1B.2

C.1D.2或-1

答案c

解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影剖分所示.由2=朗一歹得尸石¥一外

即直线y=ar-z在y轴上的截距最小时z最大.①若a=（）,则y=-z,此时，目标函数只

在8处取得最大值，不满意条件.②若a>0,则目标函数z的斜率左=或0,要使z=

a不一y取得最大值的最优解不唯一，则直线y=a*-z与直线l2y—4=0平行，此时a=J.③

若水0,明显不满意题意.故选C.

8.（2024•江西上饶三校联考）若实数x,y满意约束条件，3）—后0,则|34一”一10|

.介0,

的最大值为（）

49

A.-B.10C.7D.12

4

答案A

解析作出实数人y在约束条件下的平面区域（如图中阴影部分所示），令z=3x-4y-

10,作出直线3x—4y=0,并平行移动，当直线z=3x—4y—10经过点J（l,0）时，­=3

x+y26,

9.记不等式组八、八表示的平面区域为〃命题p：3(x,2x+y29；命题

2x一上0

q：V(人力£〃，2x+j<12.下面给出了四个命题：

①夕Vs②(3)V0；③p八(2)；@(Y)A(P).

其中全部真命题的序号是()

A.①@B.①②C.②③D.③④

答案A

解析解法一：画出可行域如图中阴影部分所示.目标函数z=2x+y是一条平行移动的

直线，且z的几何意义是直线z=2*+y的纵截距.明显，直线过点加2,4)时，z取得最小

值，Znin=2X2+4=8,视察图可知z无最大值，即z=2x+y28.，2彳+片［8,+8),由此

得命题°：3(x,2x+y29正确；命题0：V(x,2x+K12不正确.①③

真，②④假.故选A.

x+y26,

解法二：取x=4,尸5,满意不等式组、巨满意2叶介9,不满意2>+工12,

故2真，。假.，①③真，②®假.故选A.

10.(2024•四川广元模拟)若必产满意

*+y—220,

,履一y+220,且z=y—>的最小值为一4,则々的值为()

、存0,

A.2B.-2C.~D.

乙乙

答案D

x+y—220,

解析作出线性约束条件，取一y+220,表示的可行域.当力0时，可行域如图1阴影

J20

部分所示，明显此时z=y-x无最小值.同理，当左=0时，z=y—x无最小值.

当A<—1时，z=y一力取得最小值2；当A=-1时，z=y—x取得最小值一2,均不符合

题意.

当一1〈人0时，如图2所示，此时可行域为点力(2,0),olC(0,2)所围成的三

角形区域，当直线z=y->经过点《一*0）时，z有最小值，即一（一9=一4="=一；.故

选I).

2x—y+1>0,

11.（2024•洛阳一中模拟）若关于x,y的不等式组一+派0,表示的平面区域内存

,y—/n>0

在点尸（即开），且满意照一2外=2,则勿的取值范围是（）

A.卜8,一§B.卜8,

答案A

；2x—y+1>0,

解析画出不等式组<x+成0，表示的平面区域（图中阴影部分，不包括边界i及直

线x-2尸2,如图.

结合图形可知若要可行域内存在点耳）满意加一2刃=2,只需点必（一例〃》在直线

2

x-2y=2的下方，即一加一2加>2,即m<——故选A.

O

x+y—320,

12.若平面区域,2>一/一3<0,夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线

x-2y+3^0

间的距离的最小值是（）

A.芈B.小C.平D.V2

答案D

解析作出平面区域如图中阴影部分所示.

・•・当直线分别经过48时，两平行线间的距离最小.

x+y-3=0,

由解得4（2,1),

2x—y—3=0,

x+y-3=0,

由解得以1,2).

x—2y+3=0,

两条平行线分别为尸x—l，y=x+\,即x-y-l=0,x-y+l=0,

・••两条平行线间的距离为d=

'2X+J<6,

3x+4yW14,

13.（2024•山西运城高三入学摸底测试）若实数筋y满意约束条件〈、八则z

、介0,

=x+y的最大值为.

答案4

解析约束条件表示的可行域为如图所示阴影部分.

将目标函数z=x+y化为尸-x+z,由图可知当直线y=—x+z经过点力时，z取得最

2x+y=6,

大值，由得4(2,2),

3x+4y=14,

所以-=2+2=4.

x—y+220,

14.若满意约束条件，＞+y-4W0,则/=9+/-44-6y+13的最小值为

声2,

答案1

解析作出不等式组表示的可行域（如图中阴影部分所示），由于z=y+y—4x—6y+13

=5—2）2+。，一3/，因此z表示可行域内的点加x,。与定点〃（2,3）之间距离的平方，即

z=|用「.由图形可得|用|的最小值为点〃（2,3）到直线x+y—4=0的距离，距离d=

12+3-41/21

-忑--=*"，所以Znin=a=2'

15.（2024•南充一中模拟）给出平面区域为图中四边形49%内部及其边界，目标函数为

z=ax-y,若当且仅当x=l,y=\时，目标函数z取得最小值，则实数a的取值范围

是.

答案4）