新高考数学二轮复习概率与统计常考小题归类（15大核心考点）

专题20概率与统计常考小题归类

【目录】

考点一：抽样方法与随机数表....................................................................11

考点二：统计图表及其数字特征.................................................................12

考点三：传统线性拟合.........................................................................15

考点四：非线性拟合处理.......................................................................16

考点五：传统独立性检验.......................................................................18

考点六：创新类定义统计.......................................................................21

考点七：正态分布..............................................................................23

考点八：超几何分布与二项分布.................................................................24

考点九：随机变量的分布列、期望、方差.........................................................26

考点十：古典概型..............................................................................26

考点十一：条件概率与全概率...................................................................28

考点十二：概统结合问题.......................................................................29

考点十三：传统规则的概率问题.................................................................31

考点十四：新赛制概率问题......................................................................32

考点十五：递推型概率命题......................................................................34

概率与统计小题是每年高考必考的内容.一是求统计图表、方差、平均数；二是求古典概型；三是相

互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.多以选择、填空题的形式考兖，难度容易或中等.

考点要求考题统计考情分析

2023年上海卷第14题，4分【命题预测】

2022年甲卷第2题，5分预测2024年高考，多以小题

统计图表、方差、平均数、中位数

2021年甲卷第2题，5分形式出现，也有可能会将其渗

2021年I卷第9题，5分透在解答题的表达之中，相对

2023年乙卷第9题，5分独立.具体估计为：

2023年甲卷第4题，5分（1）以选择题或填空题形式

古典概型

2022年I卷第5题，5分出现，考查逻辑推理与数学运

2022年甲卷第6题，5分算两大核心素养.

相互独立事件和相互独立事件的概2022年乙卷第10题，5分（2）热点是古典概型.

率乘法公式2021年天津卷第14题，5分

2023年天津卷第7题，5分

回归方程、正态分布

2021年n卷第5题，5分

抽住调查

简单随机抽住

分层抽柱

频窣分布百方图

百分位数

样本的数字特征

两个变显的或性怕关

回归分析与回归方程

残差分析

独立性检蛤

随机事件的概率

频率与概率的关系

事件的关系与运苴

概率的基本性质

古典叔里

相互独立事件

条件概率

相互独立事件与条件概率、

全概率与贝叶斯公式

全概率公式

贝叶斯公式

随机变星的有关概念

随机变量的分布列、均值与

离散型随机变星分布列

方差

离散型随机变星的均值与

方差

两点分布

二项分布

两点分布、二顼分布、超几

何分布与正态分布

超几何分布

正态分布

1、加强识图能力，理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系；折线图注意上升趋势

以及波动性；扇形图数据可先用表格列出，再计算、判断.

2、在频率分布直方图中，注意小矩形的高=黑，小矩形的面积=组距＞＜器=频率，所有小矩形的

组距组距

面积之和为1.

3、求回归方程

（I）根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关.

（2）利用公式，求出回归系数方.

（3）待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数〃.

4、回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当卜|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.

5、比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法

3）通过计算K2的大小判断：K?越大，两变量有关联的可能性越大.

⑵通过计算阿-历|的大小判断：m-用越大，两变量有关联的可能性越大.

6、独立性检验的一般步骤

（1）根据样本数据制成2x2列联表.

n（ad

（2）根据公式十二:——一-----1--------,计算片的观测值公.

（a+/?）（a+c）。+d）（c+〃）

（3）比较k与临界值的大小关系，进行统计推断.

7、概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力

（1）与数列结合的实际问题

（2）与函数导数结合的实际问题

（3）与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题

（4）与统计结合的实际问题

（5）与其他背景结合的实际问题

1.（2023•天津）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数〃=0.8245,卜・列说法

正确的是（）

A.花瓣长度和花萼长度没有相关性

B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245

【答案】C

【解析】相关系数/-0.8245A0.75,旦散点图呈左下角到右上角的带状分布，

/.花瓣长度和花萼长度呈正相关.

若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245.

故选：C.

2.12023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、

乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（)

0；

A.-B.-D

63-I

【答案】A

【解析】某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，

甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数“=6x6=36,

其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数机=30,

则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为2='=次=9.

n366

故选：A.

3.（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校

文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

【答案】D

【解析】某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，

从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，

基本事件总数〃==6,

这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m=CjCl=4,

则这2名学生来自不同年级的概率为/>='=±=2.

〃63

故选：D.

4.（2023•上海）如图为2017-2021年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述

错误的是（）

B.从2018年开始，进出口总额逐年增大

C.从2018年开始，进口总额逐年增大

D.从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小

【答案】C

【解析】显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；

统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故8对；

2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；

显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小,

且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率一定最小，。正确.

故选：C.

5.（2022•新高考I）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

【答案】。

【解析】从2至8的7个整数中任取两个数共有C；=21种方式，

其中互质的有:23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14种,

故所求概率为廿=2.

213

故选：D.

6.(2022•乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.己知该棋手与甲、乙、

丙比赛获胜的概率分别为小，凸，P3,且0＞〃2＞月＞0.记该棋手连胜两盘的概率为〃，则()

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，〃最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，〃最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，〃最大

【答案】D

【解析】A选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以尸受比赛次序影响，故A错误；

设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为玲，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为以，棋手在第二

盘与丙比赛连赢两盘的概率为他，

%=(1-〃2)P/3+P2Pl。一〃3)+0-〃.J"。+P3Pl(〃2+)-28〃2P3]，

同理可得,2=2[P2(P]+P3)-2〃M2P-J，

%=2历〃3+〃2〃3-2〃/2P3]，

%-0=20(〃3-PJ＞。，/-七=2P|(〃3-〃2)＞。,

・•・％最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大.

故选：D.

7.(2022•甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为()

A.-B.-C.-D.-

5353

【答案】C

【解析】根据题意,从6张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),

(2,5),(2,6)，

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种取法，

其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种情况，

则挣到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率。=?=£；

155

故选：C.

8.(2022•甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位

社区居民，让他们在讲座前和讲座后各I可答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问

卷答题的正确率如图：

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的止确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】对于4,讲座前问卷答题的正确率从小到大为：

60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,

・・•讲座前问卷答题的正确率的中位数为：(70%+75%)/2=72.5%,故A错误；

对于5.讲座后问卷答题的正确史的平均数为：

得(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+1C0%)=89.5%>85%,故3正确;

对于C,由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，

，计座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；

对于。，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%-80%=20%,

讲座前正确率的极差为：95%-60%=35%,

二.注座后问卷答题的正确率的极笄小于讲库前正确率的极差，故。错误.

故选：13.

9.(2021•甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调

查数据整理得到如卜频率分布直方图：

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

【解析】对于4,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)x1=0.06=6%,故选项A正

确；

对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.01+O.O2x3)x1=0.1=10%,故选项R正确；

对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为

3x0.02+4x0X4+5x0.1+6x0.14+7x0.2+8x0.2+9x0.1+10x0.1+11x0.(X1+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5ZJ7G,故选项

C错误；

对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)x1=0.64>0.5，

故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项。正确.

故选：C.

10.(2021•新高考H)某物理量的测最结果服从正态分布N(10"2),则下列结论中不正确的是()

A.。越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【解析】因为某物理展的测展结果服从正态分布MIO,/),

所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差，越小，则分布越集中，

对干A,b越小，概率越集中在10左右，则该物理量•次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故选项A

正确；

对于3,测量结果大于10的概率为0.5,故选项8正确；

对FC,由于概率分布关于10对称,所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确;

对干O,由于•概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(1Q10.3)分布在10附近的

区域，

故测最结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项。错误.

故选：D.

11.(多选题)(2021•新高考I)有一组样本数据内，与，…，x"，由这组数据得到新样本数据y,力，…，

以，其中y=%+c(i=l,2....〃)，c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】CD

【解析】对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；

对干8,两组样本数据的样本中位数的差是。，故8错误；

对于C,.1标准差D(y.)=D(x.+c)=D(x.),

两组样本数据的样本标准差相同，故。正确；

对于+c(i=1,2,...»n),c为非零常数，

x的极差为—”加，y的极差为*皿+。)一(*嬴+c)=%，

两组样本数据的样本极差相同，故。正确.

故选：CD.

12.(2021•天津)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方

获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为工和2,且每次活动中甲、乙猜对与否

65

互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为;3次活动中，甲至少获胜

2次的概率为.

【答案】1；2.

327

【解析】•.一次活动中，甲获胜的概率为，(i-3)=L

3次活动中，甲至少获胜2次的概率为g）3+C；x（I）2x（l-l）=^.

故答案为：I1

27

考点一：抽样方法与随机数表

・题型特训

【例1】（2024•青海西宁・高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民中

选

取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（）

A.8人B.6人C.4人D.2人

【答案】D

【解析】由题可知，男居民选取普xl2=5人，女居民选取12-5=7人，

1200

则女居民比男居民多选取2人.

故选：D.

【变式（2024•全国•高三专题练习）总体由编号为01,02,…，19,20的20个个体组成，利用下

面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取

两个数字，则选出来的笫5个个体的编号为（）

78166572080263140702436997280198

32C49234493582003623486969387481

A.08B.02C.63D.01

【答案】D

【解析】根据题意，依次读出的数据为65（舍去），72（舍去），08,02,63（舍去），14,07,02（舍去，

重要），43（舍去），69（舍去），97（含去），28（舍去），01.即第5个数字为01.

故选:D.

【变式1-2]（2024•海南省直辖县级单位•高三校考阶段练习）某饮料厂生产A,B两种型号的饮料，每小

时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这100（）瓶中抽取了60瓶进行质量检测，

其中抽到A型号饮料15瓶，则每小时B型号饮料的产量为（）

A.600瓶B.750瓶C.800瓶D.900瓶

【答案】B

【解析】设每小时8型号饮料的产量为〃，

所以有〃=^Z1^X1OOO=750,

60

故选：B

考点二：统计图表及其数字特征

【例2】（多选题）（2024•江西•高三玉山一中校联考阶段练习）江西省2017年到2022年常住人I」变化图

如图所示，则（）

江西省常住人口（单位:万）

2017年2018年2019中2020年2021年2022年

A.江西省2017年到2022年这6年的常住人口在2019年取得最大值

B.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的极差为148.70万

C.江西省2017年到2022年这6年的常住人口的中位数为4527.98万

D.江西省2017年到2022年这6年的常住人I」的第80白分位数为4647.60万

【答案】ABD

【解析】由图可知，将江西省2017年到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列

为4517.40,4518.86,4527.98,4622.10,4647.60,4666.10,

对于A项，这6年的常住人口在2019年取得最大值，故A项正确；

对于B项，极差为4666.10-4517.40=148.70万，故B项正确；

对于C项，中位数为---------------=4575.04万，故C项错娱：

对于D项，因为6x0.8=4.8,所以第80百分位数为4647.60万，故D项正确.

故选:ABD.

【变式2・1】（多选题）（2024•广东惠州•高三惠州一中校考阶段练习）某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、

丁四个地区的环境治理情况进行检查督导，若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大『100,则认为

该地区的环境治理达标，否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断,

环境治理一定达标的地区是（）

A.甲地区：平均数为90,方差为10B.乙地区：平均数为60,众数为50

C.丙地区：中位数为50,极差为70D.丁地区：极差为20,80%分位数为80

【答案】AD

【解析】设每天的空气质量指数为为（i=1,2,...»10）,则方差七£（七一可、

110）10

对于A，由京2（七-90）-=10,得Z（x,-90）-=100,若这1（）天中有1天的空气质量指数大于100,则必

1Ur=1/=1

10）

有£（3-90）.>100,矛盾，所以这10天每天的空气质量指数都不大于100,故A正确；

对于B，假设有8天为50,有I天为140,有I天为60,此时平均数为60,众数为50,但该地区的环境治

理不达标，故B错误；

对于C,假设第1天为120,后面9天为50,此时中位数为50,极差为70,但该地区的环境治理不达标，

故C错误；

对于D,如果最大值大于100,根据极差为20,则最小值大于80,这与80%分位数为80矛盾，故最大值不

大于100,故D正确.

故选：AD

【变式2・2]（多选题）（2024•广东珠海•高三珠海市第一中学校考期末）某单位为了解职工健康情况，采

用分层随机抽样的方法从5000名职工中抽取了一个容量为100的样本.其中，男性平均体重为64千克，

方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159,男女人数之比为5:3,下列说法正确的是（）

A.样本为该单位的职工B.每一位职工被油中的可能性为：

C.该单位职工平均体重1=61D.单位职工的方差$2=169

【答案】BCD

【解析】A项，样本为该单位的职工的健康情况，所以A项错误；

B项，由题可知，每一位职工被拍中的可能性为黑=《，所以B项正确；

C项，D项，设设男性人数为5x,女性人数为3Mx>。，

该单位全体人员体重的平均数为：f=64x—+：6x3.v=6i,

5.r+3x

^^^2=1[151+（64-61）2]+1[159+|56-61）2]=169,

所以C、D项正确；

故选：BCD.

【变式2・3】（多选题）（2024•广东广州•广东实验中学校考一模）（多选）“搜索指数”是网民通过搜索引

擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，

对与该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索

指数变化的走势图.

搜索指数

35000

30000

25000

20000

15000

10000

5000

根据该走势图，下列结论正确的是（）

A.这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化

B.这半年中，网民对与该关健词相关的信息关注度不断减弱

C.从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差

D.从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值

【答案】CD

【解析】在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A错误；

在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，而不是不断减弱，故B错误；

在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C正确；

在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年I月份的平均值，故D

正确.

故选：CD.

【变式2・4】（多选题）（2024•河南-模拟预测）某地教师招聘考试，有3200人参加笔试，满分为100分，

笔试成绩前20%（含20%）的考生有资格参加面试，所有考生的笔试成绩和年龄分别如频率分布直方图和

扇形统计图所示，则（）

A.90后考生比00后考生多150人B.笔试成绩的60%分位数为80

C.参加面试的考生的成绩最低为86分D.笔试成绩的平均分为76分

【答案】BD

【解析】对于A中，由年龄的扇形统计图，可得90后的考生有3200x45%=1440人,

00后的考生有3200x40%=1280人，可得1440-1280=160人，所以A不正确；

对于B中，由频率分布直方图性质，可得(0.01+0.02+a+a+0.01)xl0=l,

解得用0.03,则前三个矩形的面积和(0.01+0.02+0.03)x10=0.6,

所以试成绩的60%分位数为80分，所以B正确；

对于C中，设面试成绩的最低分为x,由前三个矩形的面积和为0.6,第四个矩形的面积为0.3,则

0(P

80+^x10=86.6=87分，所以C不正确；

0.03

对于D中，根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得考试的平均成绩为：

，=55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.3+95x0.1=76分，所以D正确.

故选:BD.

考点三：传统线性拟合

【例3】某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探

究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量(个)与温度工(。的部分数据如下表：

温度Mc)481018

微生物数量(个)30221814

由表中数据算得回归方程为»=T+"预测当温度为22c时，微生物数量为个.

【答案】9

【解析】由表格数据可知，X=1X(4+8+I0+I8)=10,^=1x(30+22+18+14)=21,

因为点(工田在直线5=-x+G上，所以4=21+10=31,

即？=-x+31,故当x=22时，2一22+31=9,

即预测当温度为22C时，微生物数量为9个.

故答案为：9

为了研究x,的相关关系，他由最小二乘法求得)'关于x的线性回归方程为§,=以+17,经验证回归直线

正好经过样本点(215),则内势=.

【答案】69

【解析】因为线性回归方程£，=去+17经过样本点（2,15）,所以15=26+17=3=-1.

一0.5+2+3+3.5+4+5个

因为:x="3,所以5=<+17=-3+17=14.

6

所以：n£»=69.

—r―=14.

故答案为：69

【变式3-2】某工厂为J'对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如

下数据：

单价（元）456789

销量（件）908483807568

由表中数据，求得线性回归方程5，=Tv+“，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为

【答案】；/0.5

4+5+6+7+8+990+84+83+80+75+68

【解析】由已知工二=6.5,=80,

~6~

乂样本中心（冗田在回归直线9=4+〃上,

即8O=Tx6.5+a,解得〃=106,

所以回归直线方程为》=-4x+106,

当x=4时，>'=-4x4+106=90,所以点（4,90）在|可归直线上；

当工=5时，5'--4x5+106-86,方以点（5,84）在回归直线左下方;

当x=6时，2-4x6+106=82,所以点（683）在回归直线右上方;

当工=7时，$，=-4x7+106=78,所以点（7,80）在回归直线右上方;

当工=8时，,¥=-4x8+106=74,斤以点（8.75）在回归直线右上方;

当工=9时，£=-4x9+106=70,所以点（9,68）在【可归直线左下方;

所以6个样本点中在回归直线右上方的有3个，

所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为g,

故答案为：y.

考点四：非线性拟合处理

一题型特训

【例4】（2024•内蒙古呼和浩特•高三统考期末）用模型），=。*拟合一组数据组（4X）（i=L2,3,…,7）,

其中芯+与+…+』=14,设z=lny,得变换后的线性回归方程为z=x+l，则…乃=（）

A.e15B.e21C.35D.21

【答案】B

【解析】由题意得+一;…+&=2,

故2=X+1=3,

即Iny+In乃---In招=3x7=21,

故h］（…乃）=21,解得认为…必=C2'-

故选：B

【变式4・1】（2024•四川宜宾・四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）下表为某外来生物物种入侵

某河流生态后的前3个月繁殖数量了（单位：白只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用I口I归模型

>'=e""（aeR）对y与，的关系进行拟合,则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（）

第，个月123

L49724

繁殖数量yee一e

A.「百只B.e"百只

C.e4百只D.「5百只

【答案】D

【解析】由题意，y=e"0两边取自然对数得lny=l+〃,

令"=lny,则”=l+c〃,

_।।

=(lny+lny+lny)x-=2,/=(/,+r+r)x-=2,

MI23J23J

•・•回归直线必过样本点的中心，，2=2a+l,

，+

得a=5，；•〃=1+5，则y-e2,

乙乙

当1=7时，y=e4-5.

故选：D.

【变式4-2］（2024•全国-高三专题练习）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅

销售价格（单位：。元/千克）与上市时间/（单位：天）的数据如下表所示：

时间〃（单位：天）102070

销售价格Q（单位：元/千克）10050100

根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格。与上市时间/的变化关系：

Q=a/+〃,Q="产+历+C,Q=〃.从Q=〃.［og/.利用你选取的函数模型，在以下四个日期末，杨梅销售价格

最低的日期为（）

A.6月5日B.6月15日C.6月25日D.7月5日

【答案】C

【解析】根据表中数据，描述杨梅销售价格。与上市时间/的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调

函数，

函数。=画+从。=人心。=夕1//在。工0时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合，

所以应选取。-〃产+初+。进行描述，

将表中数据（10，100），（20,50）,（70,100）代入Q="+4+c可得

100=1004+10。+。[«=0.1

-50=400«+20/?+c,解得"=一8,所以Q=0.1/一8/+170,

100=4900。+70"cc=170

0=0.1（7-40）2+154,所以当/=40时杨梅销售价格最低，

而6月5日时/=22,6月15日时，=32,6月25日时/=42,7月5日时/=52,

所以，=42时杨梅销售价格最低.

故选：C.

考点五：传统独立性检验

题型特训

【例5】（2024•全国•高三专题练习）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调杳，抽

取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的女性喜爱足球的人数占女性人数的：，若

63

本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至

少有（）人

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.010.0050.001

42.7063.8415.6357.87910.828

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】设男性人数为3依题意，得2x2列联表如下：

喜爱足球不喜爱足球合计

5kk_

男性k

~66

2k竺

女性T2k

3k3k

合计3k

T~2

3仁

贝I]?z的观测值为％2=—久

22

因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，

2*

于是Z2之7.879,lip—>7.879,解得女211.8185,而女wN",因此编,=12

故选：B

【变式5・1】（2024•四川达州•统考一模）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合

改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对

部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（）

A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数

B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数

C.样本中选择物理学科的人数较多

D.样本中男生人数少于女生人数

【答案】C

【解析】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；

根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；

样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女

生比例低,

所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；

样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.

故选：C.

【变式5-2］（2024•浙江温州•高三苍南中学校联考阶段练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7

选3的3+3模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信

息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人）

选物理不选物理总计

男生340110450

女生140210350

总计48032080()

表一

选生物不选生物总计

男生150300450

女生150200350

总计300500800

表二

试根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（）

附：/=n=a+b+c+d.a=>xa^

Ca+b)(c+d)(4+c)Cb+d)

a0.150.100.050.0250.010.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.选物理与性另有关，选生物与性别有关

B.选物理与性别无关，选生物与性别有关

C.选物理与性别有关，选生物与性别无关

D.选物理与性别无关，选生物与性别无关

【答案】C

【解析】由题意，先分析物理课是否与性别有关：

根据表格数据，n=800,a=340,5=H0,c=140,d=210

800x(340x210-110x140)2

X~(340+110)x(140+210)x(340+140)x(110+210)=103.7

结合题干表格数据，%oo5=7.879,.•./>/侬

因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关

再分析生物课是否与性别有关：

根据表格数据，n=800,a=150/=300,c=150,d=200

2800x(150x200-300x150)2一八八

•>.=________________________________________=7619

•(150+150)x(200+300)x(300+150)x(150+200)*

结合题干表格数据，Moo5=7879,.・./</小

因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关

故选：C

考点六：创新类定义统计

【例6】(多选题)(2024•全国•模拟预测)教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，

通常将考生的原始分数转化为标准分数.定义标准分数Zj=：(为-；)(i=l,2,L,〃)，其中工为原始分数，；为

原始分数的平均数，$为原始分数的标准差.已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩==115,标准

差s=l().8,转化为标准分数后，汜平均成绩为〃?，标准差为则()

A./?!=115B.m=0C.<T=10.8D.<T=1

【答案】BD

【解析】根据平均数与方差公式，

〃1=1〃SS

即/H=09(7=1.

故选：BD.

【变式6」】(2024•湖北•高三校联考开学考试)定义空间直角坐标系中的任意点P(x,y,z)的“N数”为：

在夕点的坐标中不同数字的个数，如：W,1,D=l,W,3,1)=2,^(1,2,3)=3,若点P的坐标KXZe{01,2,3},

则所有这些点。的“N数”的平均值为()

3725

A.—B.64C.—D.40

1616

【答案】A

【解析】由题意，点〃的坐标中不同数字的个数，可分为三类：

(1)恰有3个相同数字的排列为C：=4种，则N(x,y,z)=l共有4个；

(2)恰有2个相同数字的排列为C：GH=36种，则N(x,y,z)=2共有36个；

(3)恰有。个相同数字的排列为用二24科1，则N«y,z)=3共有24个；

4xl+36x2+24x3_37

所以平均值为