2025~2026学年广东省广州十七中学高二下册期中考试数学试题 含答案

/2025学年第二学期阶段性检测题高二级数学（问卷）本试卷满分150分，考试时间为120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由函数的导数求解即可.【详解】由已知，又，所以，解得.2.函数的单调减区间为（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】函数的定义域为，求导得，令，得，解得，所以函数的单调减区间为.3.已知函数的极小值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】函数的定义域为，，令，得，解得.因为为增函数，所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以在处取得极小值，极小值为.4.的展开式中的系数为15，则（）A.7 B.6 C.5 D.4【正确答案】B【分析】写出二项式定理展开式的通项，根据的系数即可求得.【详解】由题，可得展开式的通项为，，则，解得.故选：B.5.学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（）A.5 B.12 C.20 D.120【正确答案】B【分析】先从物理和历史中选一科，再从剩下4科中选一科，进而用分布计数原理得到答案.【详解】从物理和历史中任选1科，有种，然后从其他4科中任选2科，有种，共有种.故选：B.6.为公差不为0的等差数列的前项和，若，则等于（）A.16 B.17 C.15 D.14【正确答案】A【分析】利用等差数列前n项和公式、等差数列项的性质化简已知等式，进而求解k的值.【详解】设数列公差为，由题设可得.即，结合,可得7.若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（）A.有四个极值点 B.C.有一个极小值点 D.【正确答案】C【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D.【详解】由导函数的图像可得：的变号零点共3个：，，；处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点.其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点.因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确；选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性，因此在上单调递增.因为，所以，故B错误；选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值；在单调递减：由，可知，故D错误.8.函数在区间上的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】结合三角恒等变换化简导函数，讨论导函数的符号后得函数的单调性，从而可求最大值.【详解】已知函数，所以.因为，所以，故.当时，，即；当时，，即，所以在上为单调递增，在为单调递减，故在上的最大值为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（）A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法【正确答案】BD【分析】【详解】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD.10.已知等比数列的前项和，数列的前项积为，则（）A. B.C. D.数列是等差数列【正确答案】AC【分析】根据之间的关系，结合等比数列的定义、等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可.【详解】对于A：由，由，因为是等比数列，所以有，因此本选项正确；对于B：由上可知：，所以本选项不正确；对于C：，所以本选项正确；对于D：因为常数，所以数列不是等差数列，因此本选项不正确，故选：AC11.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.函数有三个零点 D.点为函数的对称中心【正确答案】AD【分析】A选项，通过求导即可分析单调性与极值；B选项，利用单调性即可比较函数值大小；C选项，利用零点定义即可求出函数的零点；D选项，利用即可验证对称中心.【详解】对于A：因为，由，得或，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A正确；对于B：因为当时，单调递增，而当时，，所以，故B错误；对于C：令，得或，所以函数有两个不同的零点，故C错误；对于D：因为，即，所以点为函数的对称中心，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为__________.【正确答案】【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为，则，所以，，所以，曲线在点处的切线方程为，即.故答案为.13.已知数列满足，则等于__________．【正确答案】##【分析】由递推公式直接计算．【详解】由已知，．故．14.在的展开式中，含有项的系数是________．【正确答案】【分析】根据组合数的计算性质，即可求解.【详解】由的展开式中，可得项的系数.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的极值；（2）求在区间的最值．【正确答案】（1），（2）最大值为，最小值为【分析】（1）利用导数判断函数单调性，然后可求极值；（2）比较函数极值与区间端点处函数值的大小关系，据此可得函数最值.【小问1详解】，，.从而在上单调递减，在上单调递增.从而，；【小问2详解】由（1）可得在上单调递减，在上单调递增.则，16.记为等比数列的前项和．已知，．（1）求的通项公式；（2）证明：，，成等差数列【正确答案】（1）an（2）证明：根据（1）可得，.则，，.因此，，即，因此成等差数列.【分析】（1）设等比数列的公比为，列方程求出公比，再由等比数列的通项公式计算即得.（2）根据等比数列前项和求出，再根据等差数列的定义证明即可.【小问1详解】设等比数列的公比为，首项为.由题意得，且前两项和.则，即，解得，所以.因此的通项公式为an=3⋅(−2【小问2详解】略17.给定函数．（1）判断函数的单调性，并求出的极值点；（2）求出方程的解的个数．【正确答案】（1）在单调递减，在单调递增；极小值点为，无极大值点.（2）当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解.【分析】（1）根据导数与单调性及极值的关系求解即可.（2）将方程有解的问题转化为与的交点个数问题，结合导数与单调性及最值的关系，分析判断即可.【小问1详解】函数的定义域为，求导得

.令，解得；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以在处取得极小值，即是的极小值点，无极大值点.综上，在上单调递减，在上单调递增；是的极小值点，无极大值点.【小问2详解】方程的解的个数等价于的图像与直线的交点个数.由（1）知，.当时，；当时，.函数的简图如下：结合图象可知，当时，的图像与直线无交点；当或时，的图像与直线有1个交点；当时，的图像与直线有2个交点；综上，当时，方程无解；当或时，方程有1个解；当时，方程有2个解.18.已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n．【正确答案】（1）证明见解析（2）99【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可.（2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可.【小问1详解】由题意，数列满足，可得，可得，即，又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．【小问2详解】由（1）可得，所以，设数列的前项和为，则，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为．19.已知函数．（1）设x=0是的极值点，求m，并讨论的单调性；（