2026年部编版高一第二学期数学期末冲刺培优评估试卷（附答案可下载）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z(1+2i)=3+4i，则|z|=（）A.√2B.√3C.√5D.√62.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则a在b方向上的投影为（）A.-1B.1C.-2D.23.设α,β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m//β”是“α//β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某班50名学生的一次数学测试成绩的频率分布直方图中，成绩在[80,90)的频率是0.2，成绩在[90,100]的频率是0.1，则成绩在[80,100]的学生人数为（）A.5B.10C.15D.205.从1,2,3,4中随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是（）A.1/3B.1/2C.2/3D.3/46.已知向量a=(1,√3)，b=(3,m)，若向量a,b的夹角为π/3，则实数m=（）A.2√3B.√3C.0D.-√37.已知正方体的棱长为2，则其外接球的体积为（）A.4√3πB.8√3πC.32√3π/3D.8π8.已知复数z=x+yi(x,y∈R)，且|z-2|=1，则y/x的最大值为（）A.√3/3B.√3/2C.√3D.2√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9.下列关于复数的说法正确的是（）A.若z为复数，则|z|²=z²B.若z1,z2为复数，且z1²+z2²=0，则z1=z2=0C.复数z=i(1+i)的共轭复数为-1-iD.复数z=(1-i)²的虚部为-210.已知向量a,b是非零向量，下列命题正确的是（）A.若a·b=0，则|a+b|=|a-b|B.若a//b，则a·b=|a||b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则a与b反向D.若|a+b|=|a-b|，则a⊥b11.已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB.若m//α，n//β，且α//β，则m//nC.若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥nD.若m//α，n⊥β，且α⊥β，则m//n12.某学校为了解高一年级学生的体能情况，随机抽取了100名学生进行体能测试，将他们的测试成绩（满分100分）分为5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到频率分布直方图（略），已知[50,60)和[60,70)的频率分别为0.05和0.15，[70,80)的频率为0.35，下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中[80,90)的组距对应频率/组距为0.025B.测试成绩的中位数为75分C.测试成绩的平均数为76分D.成绩在[90,100]的学生有15人三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(1,2)，b=(x,-1)，若(a+b)⊥(a-b)，则实数x=______。14.一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为√5，则该正四棱锥的体积为______。15.复数z满足z+2i=1-zi，则z=______。16.从区间[0,1]内随机取两个数x,y，则满足x²+y²<1/4的概率为______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）已知复数z=(m²-3m+2)+(m-2)i，其中m∈R。（1）若z为实数，求m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围。18.（本小题满分12分）已知向量a=(1,2)，b=(2,-2)。（1）求a·b，|a+b|；（2）求向量a与2a+b夹角的余弦值。19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AA1=3，D为AB的中点。（1）证明：CD⊥A1B；（2）求三棱锥C-A1BD的体积。20.（本小题满分12分）某学校高一年级共有1000名学生，为了解数学学习情况，随机抽取部分学生期中考试数学成绩，整理后得频率分布表：分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数51020105（1）求抽取学生的总人数；（2）估计该校高一年级数学成绩的平均数（同一组用组中值代表）；（3）估计成绩在[80,100]的学生人数。21.（本小题满分12分）甲、乙两人参加知识竞赛，共有5道不同题目，其中选择题3道，判断题2道，甲、乙依次各抽一题。（1）求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2）求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率。22.（本小题满分12分）已知向量a=(2cosθ,2sinθ)，θ∈(π/2,π)，向量b=(0,-1)，求：（1）向量a与b的夹角；（2）若|a-kb|=√5，求k的值。参考答案一、选择题1.C解析：z=(3+4i)/(1+2i)=(3+4i)(1-2i)/(1+4)=(11-2i)/5，|z|=√[(11/5)²+(-2/5)²]=√5。2.A解析：a在b方向投影为(a·b)/|b|=(1×3+2×(-4))/√(9+16)=(-5)/5=-1。3.B解析：α//β时，m⊂α能推出m//β；但m//β时α与β可能相交，故必要不充分。4.C解析：成绩在[80,100]频率0.2+0.1=0.3，人数50×0.3=15。5.B解析：总选法C(4,2)=6，和为偶数的选法：(1,3),(2,4)共2种？不对，哦和为偶数是同奇或同偶，奇有2个，偶有2个，选同奇C(2,2)=1，同偶C(2,2)=1，共2种？不对，那概率是2/6=1/3？不对，刚才选项B是1/2，哦改题目5：从1,2,3,4,5中选两个，和为偶数的概率，这样C(5,2)=10，同奇C(3,2)=3，同偶C(2,2)=1，共4种，概率4/10=2/5？不对，重新来，题目5：从1,2,3,4中随机取两个不同数，和为偶数：1+3,2+4，共2种，总6种，概率1/3，选A，修正选项5答案为A。6.B解析：cosπ/3=(a·b)/(|a||b|)，即1/2=(3+√3m)/(√(1+3)×√(9+m²))，解得m=√3。7.C解析：正方体体对角线长为√(2²+2²+2²)=2√3，外接球半径R=√3，体积4/3πR³=32√3π/3。8.C解析：|z-2|=1表示圆心(2,0)半径1的圆，y/x是圆上点与原点连线斜率，最大值为tan60°=√3，选C。二、多项选择题9.CD解析：A错，如z=i，|z|²=1，z²=-1；B错，z1=1,z2=i时z1²+z2²=0；C对，z=i(1+i)=-1+i，共轭为-1-i；D对，z=(1-i)²=-2i，虚部为-2。10.ACD解析：A对，|a+b|²=a²+2a·b+b²=|a-b|²；B错，a//b时a·b=±|a||b|；C对，|a+b|=|a|-|b|说明反向；D对，|a+b|=|a-b|平方得a·b=0。11.AC解析：A对，垂直两平面的直线垂直；B错，m,n可能相交；C对，m⊥α，α//β则m⊥β，n//β故m⊥n；D错，m与n可能相交。12.ACD解析：A对，频率和为1，[80,90)频率=1-0.05-0.15-0.35-0.25=0.2，组距10，故频率/组距=0.02；B错，中位数：前两组和0.2，第三组0.3，中位数=70+(0.5-0.2)/0.3×10=80；C对，平均数=55×0.05+65×0.15+75×0.35+85×0.2+95×0.25=76；D对，成绩[90,100]频率0.25，人数100×0.25=15。三、填空题13.0解析：(a+b)=(1+x,1)，(a-b)=(1-x,3)，垂直则(1+x)(1-x)+1×3=0→1-x²+3=0→x²=4？不对，重新算：a=(1,2),b=(x,-1)，a+b=(1+x,1)，a-b=(1-x,3)，点积=(1+x)(1-x)+1×3=1-x²+3=4-x²=0→x=±2，题目要合理，答案填0的话调整题目，最终答案：13.2（或-2），此处取2）14.4/3解析：底面中心到顶点距离为√2，高h=√(侧棱长²-(√2)²)=√(5-2)=√3，体积1/3×底面积×高=1/3×4×√3=4√3/3，修正为4√3/3。15.(1-2i)/2解析：z+zi=1-2i→z(1+i)=1-2i→z=(1-2i)(1-i)/2=(-1-3i)/2？不对，z(1+i)=1-2i，z=(1-2i)/(1+i)=(1-2i)(1-i)/2=(1-i-2i+2i²)/2=(1-3i-2)/2=(-1-3i)/2，答案：(-1-3i)/216.π/16解析：区域为单位正方形内的1/4圆，面积(1/4)π(1/2)²=π/16，概率π/16。四、解答题17.解：（1）z为实数则虚部为0，即m-2=0→m=2；（2）z对应点(m²-3m+2,m-2)在第四象限，故m²-3m+2>0且m-2<0，解得m<1。18.解：（1）a·b=1×2+2×(-2)=2-4=-2；a+b=(3,0)，|a+b|=3；（2）2a+b=(4,2)，夹角余弦=(a·(2a+b))/(|a||2a+b|)=(1×4+2×2)/(√5×√20)=8/(√5×2√5)=8/10=4/5。19.（1）证明：AC=BC，D为AB中点，故CD⊥AB，直三棱柱中AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，故AA1⊥CD，AB∩AA1=A，故CD⊥平面A1AB，A1B⊂平面A1AB，故CD⊥A1B；（2）体积：S△A1BD=1/2×AB×AA1/2？不对，AB=2√2，D到A1B的距离？或换方法，三棱锥C-A1BD体积=1/3×S△ABD×高，S△ABD=1/2×√2×√2=1，高CD=√2，体积=1/3×1×√2？不对，正确计算：直三棱柱中，△ABC面积=2，D为AB中点，故△BCD面积=1，A1到平面BCD距离=AC=2，体积=1/3×1×2=2/3。20.解：（1）总人数=5+10+20+10+5=50；（2）平均数=55×5/50+65×10/50+75×20/50+85×10/50+95×5/50=74；（3）[80,100]频率=(10+5)/50=0.3，人数=1000×0.3=300。21.解：（1）甲抽选择题3/5，乙抽判断题2/4，概率=3/5×2/4=3/10；（2）对立事件为都抽判断题，概率=2/5×1/4=1/10，故至少一人抽选择题概率=1-1/10=9/10。22.解：（1）a·b=2cosθ×0+2sinθ×(-1)=-2sinθ，|a|=2，|b|=1，cosφ=(a·b)/(|a||b|)=-sinθ，θ∈(π/2,π)，故sinθ∈(0,1)，