河南省郑州市十校2025-2026学年高二数学上学期11月期中联考试题-附答案

河南省郑州市十校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知向量，，且，那么实数等于（）A．3 B．-3 C．9 D．-92．如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（

）A． B．C． D．3．下列说法中，正确的有（

）A．过点且在、轴截距相等的直线方程为B．直线的倾斜角为C．直线在轴上的截距为D．过点并且倾斜角为的直线方程为4．若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（

）A． B． C． D．5．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为A． B． C． D．7．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B． C． D．8．已知椭圆为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若，则是锐角C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D．若对空间中任意一点，有，则四点共面10．下列选项正确的是（

）A．若直线与平行，则与的距离为B．过点且和直线平行的直线方程是C．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件D．直线的倾斜角的取值范围是11．平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（

）A．点的轨迹的方程是B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C．直线与点的轨迹相离D．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是3三、填空题12．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标13．圆与圆的公共弦长为.14．在平面直角坐标系中，已知点，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为，若椭圆上有且仅有8个点满足，则椭圆的离心率的取值范围是四、解答题15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．16．在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，.(1)用，，表示，，；(2)求的长；(3)求异面直线与所成角的余弦值.17．已知圆，过点作直线交于，两点．(1)若，求直线的方程；(2)若点是上的一动点，点是线段的中点，求动点的轨迹方程．18．如图（1），在四棱锥中，平面平面，，，，，，.(1)若，求直线与平面所成角的正弦值；(2)设二面角的大小为，若，求的值；(3)阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设、分别为异面直线、上的点，是与直线、都垂直的向量，从而异面直线、间的距离为，即为向量在向量上的投影向量的模.19．在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线.(1)已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程;(2)如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标;(3)已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积.

题号12345678910答案DACDBBAAACDAD题号11答案ACD1．D运用空间向量共线列式计算即可.【详解】∵，，且，∴，解得，，∴．故选：D．2．A利用空间向量加法法则直接求解.【详解】因为，所以．因为点，分别是线段，的中点，所以，所以．故选：A.3．C对直线是否过原点进行分类讨论，利用斜截式方程与截距式方程可判断A选项；求出直线的斜率，进而可得出所求直线的倾斜角，可判断B选项；利用直线截距的定义可判断C选项；求出所求直线的方程，可判断D选项.【详解】对于A选项，若直线过原点，设该直线的方程为，则，此时，所求直线的方程为，若直线不过原点，设所求直线方程为，则，可得，此时，所求直线方程为.综上所述，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，A错；对于B选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，B错；对于C选项，直线在轴上的截距为，C对；对于D选项，过点并且倾斜角为的直线方程为，D错.故选：C.4．D圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由，可求得弦MN所在直线的斜率，点斜式求方程.【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以，又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即.故选：D5．B根据二次曲线表示双曲线的基本要求可构造不等式求得结果.【详解】方程表示双曲线，，解得：或，即的取值范围为.故选：B.6．B化简得到，直线过定点，画出图像，根据图像得到答案.【详解】，即，直线过定点，画出图像，如图所示：当直线与半圆相切时，，，.此时斜率为，根据图像知.故选：.7．A由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果.【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆的方程配方得：，圆心，半径为，圆同理化为，圆心，半径为，当动圆与圆相外切时，有①当动圆与圆相内切时，有②将①②两式相加，得动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆，故，，，.故选：A.8．A根据题意和椭圆的定义可得和的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可.【详解】如图所示：

由题意得，又，则，因为，，则，，故，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，化简得，即，解得.故选：A.9．ACD根据空间向量共面定理即可判断A；根据，得到，即可判断B；根据题意得到不共面，即可判断C；根据即可判断D.【详解】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；对B，若，则，故B错误.对C，假设共面，则，因为向量组是空间的一个基底，所以不存在实数，使得成立，故不共面，即也是空间的一个基底，故C正确.对D，因为，且，所以四点共面，故D正确.故选：ACD.10．AD利用平行线间距离公式判断A，举反例判断B，C，利用斜率的几何意义判断D即可.【详解】对于A，因为直线与平行，所以，解得，此时直线为，即，由平行线间距离公式得与的距离为，故A正确，对于B，将点代入中，发现，故该点不在直线上，即过点且和直线平行的直线方程不可能是，故B错误，对于C，当时，直线可化为，直线为，此时两直线也互相垂直，所以“”不是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件，故C错误，对于D，直线的斜率为，则，当时，的取值范围是，当时，的取值范围为，故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确.故选：AD11．ACD根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及到的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可.【详解】对于A,设，已知，，且.根据两点间距离公式，.则.两边平方可得.展开整理得，配方可得，所以A选项正确.对于B,点到圆心的距离为.圆的半径.根据弦长公式，当最大弦长最小，最大为圆心到点的距离.所以弦长最小值为，所以B选项错误.对于C,圆心到直线的距离.因为（圆的半径），所以直线与圆相离，C选项正确.对于D,四边形的面积，因为.要使面积最小，则最小，即圆心到直线的距离与半径的关系.圆心到直线的距离..所以四边形面积最小值，D选项正确.故选：ACD.12．结合数量积的坐标运算，根据投影向量的概念求解.【详解】空间向量，则，，则向量在向量上的投影向量的坐标为.故答案为：.13．【解析】将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆所得弦长即可.【详解】将圆和圆的方程作差并化简得，即两圆公共弦所在直线的方程为.圆的圆心为坐标原点，半径长为，圆的圆心到直线的距离为，因此，两圆的公共弦长为.故答案为：.14．【详解】设，则，若，则；若，则；若，则；若，则，由此画出点的轨迹如下图所示（正方形），由图可知点的轨迹所围成图形的面积为.椭圆，对应，，要使椭圆上有且仅有8个点满足，根据对称性，由方程组有两个解，且，所以，整理得，，解得，所以.故答案为：15．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．【详解】（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．16．(1)，，(2)(3)（1）利用空间向量基本定理即可；（2）利用模长公式求解即可；（3）利用向量夹角公式求解即可【详解】（1），，，（2），，，，，，因为，所以，即的长为；（3）因为，，同理可求得，，又因为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.17．(1)或(2)（1）先求出圆心到直线的距离，再解得直线与圆的位置关系，分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论求解；（2）设，利用中点关系结合在圆上即可求解动点的轨迹方程．【详解】（1）圆，圆的半径，圆心，直线与圆心的距离，若斜率不存在，即，圆心到直线距离，与圆无交点，不符合题意；若斜率存在，设直线，即，由，解得，直线的方程为，即或．（2）设，，点是线段的中点，，即①，又点在圆上，，将①代入得，整理得，点的轨迹方程为：．18．(1)(2)(3)是，（1）推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；（2）求出点的坐标，根据空间向量法可得出关于的方程，结合可得出的值；（3）求出异面直线、的公垂线的一个方向向量，结合题中材料可求出异面直线、间的距离.【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，，所以、、、、.若，即为中点，则，所以，，.设平面的一个法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则.（2）因为，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为.因为二面角的大小为，且，得，整理得，解得，或（舍），所以.（3）由（2）得，故，.设与直线、都垂直，所以.令，可得，，即.又，所以异面直线和间的距离为.故异面直线和间的距离为定值.19．(1)(2)；(3)（1）根据新定义求