勾股定理的逆定理及其应用课件2025~2026学年人教版数学八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A→B路线，而不选择A→C→B路线，为什么？在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？CABAC+CB>AB（两点之间线段最短）BAdABA'ABBAO想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？A'

蚂蚁A→B的路线例1:在一个圆柱石凳上,若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息,于是它想从A处爬向B处,蚂蚁怎么走最近？BA典例分析

若已知圆柱体高为12cm,底面半径为3cm,π取3.BA3O12侧面展开图123πABA'A'解:

将圆柱侧面展开得矩形,连接AB,则AB为最近路线.在Rt△ABA′中,(cm)1.理解互逆命题、互逆定理的概念和关系.2.能准确表述出一个命题的逆命题并判断真假.学习目标1.两直线平行，同位角相等.2.同位角相等，两直线平行.说出下列命题的题设和结论.题设结论题设请说出你的发现！结论课堂导入

仔细观察命题1、命题2的题设和结论，你能发现什么？知识点：互逆命题和互逆定理新知探究2.56①2.5，6，6.5；

②6，8，10．以下面各组数为边长的三角形，是直角三角形吗？(单位：cm)6.5861090°90°2.52626.526282102

猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，

那么这个三角形是直角三角形.这个猜想是真命题吗？分析：在△ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助全等三角形的性质来说明∠C是直角.ABCabc已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.求证：△ABC是直角三角形.ABCabcA′B′C′abc①如图①，已知：在△ABC

中，AB

=

c，BC

=

a，CA

=

b，并且a2+b2=c2，怎么证明△ABC

是直角三角形呢？如图②，画一个Rt△A′B′C′

中，使B′C′

=

a，A′C′

=

b，∠C′=90°.△ABC

与△A′B′C′全等吗？可以说明△ABC是直角三角形吗？②互逆定理新知探究勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.新知探究思考：像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．a36912…3nb481216…4nc5101520…5n一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3,4,5各数的n倍（n为正整数）组成的数组3n，4n，5n也是勾股数.①从表中你能发现什么规律？②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看．典例精析我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.勾股数拓展性质的证明：（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.新知探究思考：前面我们学习了两个命题，分别为：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．两个命题的题设和结论有何联系？知识梳理能够成为直角三角形三条边长的三个

，称为勾股数.如：3，4，5；7，24，25.正整数返回1．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(

)A．北偏东50° B．北偏东45°C．南偏东50° D．南偏东60°A2．[2025淄博期中]如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，则这块菜地的面积是(

)A．48m2

B．114m2

C．122m2

D．158m2

求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一点的线段就是最短路径长,以连接对称点与另一个点的线段为斜边,构造出直角三角形,再运用勾股定理求最短路径.归纳例5.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为