实际问题与一元二次方程课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3实际问题与一元二次方程第1课时

几何图形问题1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理（重点、难点）．2．通过解决数字、几何图形等问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．1．解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．2．列一元一次方程解应用题的步骤？①审题，②设出未知数，③找等量关系，④列方程，⑤解方程，⑥解答．一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．数字问题与一元二次方程分析：设这个数的个位数字为x，则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字．再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程．解：设这个数的个位数为x，则十位数字为x－2．由题意，得10(x－2)＋x＝3(x－2)x．解得x1＝（舍去），x2＝4．∴x－2＝2．答：两位数为24．解决这类问题关键要设出数位上的数字，并能准确地表示出原数．数字问题常用解题技巧（1）三个连续偶数（奇数）：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x－2，x＋2．（2）两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b．（3）三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，则这个三位数可表示为100a＋10b＋c．如图，要设计一本书的封面，封面长为27

cm，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？几何图形问题与一元二次方程（1）根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是27∶21＝9∶7，那你知道上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推．设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是（2）设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为xcm，这样做有什么好处？列出的方程为整数式，方便计算．（3）如何求解？可化为

（4）方程的哪个根符合实际意义？为什么？

符合实际意义．当

时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况．（5）如果设中央矩形的长为9x，根据等量关系，请你列方程求解，你的解法是什么？设中央矩形的长为9xcm．则宽为7xcm．列方程得

．即x2＝

，解得

（舍去）．∴上、下边衬的宽为

（cm），左、右边衬的宽为

（cm）．（6）练习：要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个边框，要求边框的四条边宽度相等，且边框所占面积为照片面积的四分之一，边框的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？设边框宽度为xcm，根据题意，得

．整理得，8x2＋204x－319＝0，解得

．∴x1＝

，x2＝

（不合题意，舍去）．∴x＝≈1.5．答：边框的宽度约为1.5cm．解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x,x+1,x+2,其中x为正整数.由勾股定理，得x²+(x+1)²=(x+2)².例1是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个?解方程，得x1＝3，x2＝-1(不符合题意，舍去).因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.方法总结解决此类问题核心是结合勾股定理与连续整数特征，通过方程思想建模求解，具体如下：（1）设未知数，表达三边；（2）列方程（勾股定理建模）；（3）解方程并筛选；（4）验证并得出结论.例2用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一?解：设矩形的一边长为xm,由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长为(20－x)m;再由矩形的面积为96m²,得x(20－x)=96.解方程，得x1＝12，x2＝8．因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m²的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m,12m.方法总结已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解．2032xx解：设道路的宽为xm．可列方程例3如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为多少？还有其他列方程的方法吗？方法一：整理，得x2－52x＋100＝0，解得x1＝2，x2＝50．当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．∴x＝2．答：道路的宽为2m．解：设道路的宽为xm．可列方程(32－x)(20－x)＝540，整理，得x2－52x＋100＝0，解得x1＝2，x2＝50．当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去．∴x＝2．答：道路的宽为2m．方法二：2032xx20－x32－x我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出道路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）．1．在一幅长80

cm，宽50

cm的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400

cm2，设金色纸边的宽为x

cm，那么x满足的方程是（）A．x2＋130x－1400＝0B．x2＋65x－350＝0C．x2－130x－1400＝0D．x2－65x－350＝080

cmxxxx50

cmB2．一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为xcm，则长为2xcm．列方程，得5(2x－10)(x－10)＝3000，整理，得x2－15x－250＝0．解得x1＝25，x2＝－10（舍去），∴2x＝50．答：铁板的长为50cm，宽为25cm．3．一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2

296，则这个两位数是多少？解：设这个数十位上数字为x，则个位数字为10－x．原数为10x＋(10－x)＝9x＋10．对调后得到的数为10(10－x)＋x＝100－9x．依题意(9x＋10)(100－9x)＝2

296．解得x1＝8，x2＝2．当x＝8时，这个两位数是82；当x＝2时，这个两位数是28．答：这个两位数是82或28．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm．解：设点P，Q出发xs后△PCQ的面积为9cm²．解得x1＝x2＝3．经检验，符合题意．答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm²．整理，得则有实际问题与一元二次方程几何图形问题运用常见几何图形的面积公式构建等量关系数字问题与列一元一次方程解决实际问题基本相同，不同在于要检验根的合理性步骤第2课时

传播问题与平均变化率问题1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理（重点、难点）．2．通过解决传播、平均变化率等问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．1．审清题意2．设未知数3．列方程4．解方程验根5．作答列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：传播问题与一元二次方程某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人?分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．第2轮第1轮…12x…12x…12x…12x第1轮传染后人数：x＋1第2轮传染后人数：x(x＋1)＋x＋1根据示意图，列表如下：x1＝_____，x2＝_______解方程，得答：平均一个人传染了________个人．10－12(不合题意，舍去)．10解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．(1＋x)2＝121，注意：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验．传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数11＋x＝(1＋x)11＋x＋x(1＋x)＝(1＋x)2根据题意，得按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人被传染?第2种做法：以第2轮传染后的121人为传染源，传染一次后就是：121(1＋x)＝121(1＋10)＝1331（人）．第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数(1＋x)1(1＋x)2分析：第1种做法：以1人为传染源，3轮传染后的人数是：(1＋x)3＝(1＋10)3＝1331（人）．(1＋x)3（1）设开始数量为1，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为(1＋x)n＝b；（2）设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a(1＋x)n＝b．传播类问题规律平均变化率问题与一元二次方程两年前生产1t甲种药品的成本是10000元，生产1t乙种药品的成本是12000元．随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是6000元，生产1t乙种药品的成本是7200元．哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为(10000－6000)÷2＝2000（元），显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．乙种药品成本的年平均下降额为(12000－7200)÷2＝2400（元）．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为10000(1－x)元，两年后甲种药品成本为10000(1－x)2元，于是有10000(1－x)2＝6000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得12000(1－y)2＝7200．解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775．根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．综上所述，甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%．经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同；成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大．不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率．例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干和小分支的总数是133，则每个支干长出多少小分支?解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋x2＝133，即x2＋x－132＝0．解得x1＝11，x2＝－12(不合题意，舍去)．答：每个支干长出11个小分支．建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设出未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？例2某市教育局推出“中小学网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率．解：设增长率为x，根据题意，得20(1＋x)2＝24.2．解得x1＝－2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：增长率为10%．方法总结求平均增长率(降低率)问题：一般列方程a(1±x)n=b.其中a为原始数据，b为增长(降低)后的数据，n为变化次数，x为增长率(降低率).1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程为（）A．500(1＋2x)＝720

B．500(1＋x)2＝720C．500(1＋x2)＝720

D．720(1＋x)2＝500B2．某年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（）A．10%

B．20%

C．19%

D．25%A3．在园林化城市建设期间，某市2023年绿化面积约为1000万平方米，2025年绿化面积约为1210万平方米．如果近几年绿化面积的年增长率相同，则2026年绿化面积约为（）A．1221万平方米

B．1331万平方米C．1231万平方米D．1323万平方米B4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．依题意1＋x＋(1＋x)x＝64，即(x＋1)2＝64，解得x1＝7，x2＝－9（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．传播与平均变化率问题增长率问题降低率问题a(1＋x)n＝b，其中a为增长前的量，x为增长率，n为增长次数，b为增长后的量传播问题a(1－x)n＝b，其中a为降低前的量，x为降低率，n为降低次数，b为降低后的量．注意：降低率不可为负，且不大于1设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a(1＋x)n＝b．第3课时

循环问题与销售问题1．能够建立数学模型以解决循环和销售问题（重点、难点）．2．能正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．列一元一次方程解应用题的步骤？①审题，②设出未知数，③找等量关系，④列方程，⑤解方程，⑥解答．在李老师所教的班级中，两个学生握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？循环问题与一元二次方程分析：设李老师所教班共有x名学生，每个人都要和其他(x－1)个人握手一次，共握手(x－1)x次，但每两个人重复握手一次，则全班学生一共握手x(x－1)次，再根据全班学生一共握手780次列出方程，求出方程的解即可得到结果．解：设李老师所教班共有x名学生．即(x－40)(x＋39)＝0．解得x＝40或x＝－39（舍去）．故李老师所教班共有40名学生．握手问题及球赛单循环问题要注意重复，需要在总数的基础上除以2．依题意，有x(x－1)＝780，销售问题与一元二次方程超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，每次就要减少10个销售量，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？根据每件商品的利润×件数＝8000，分析：设每件商品涨价x元，则商品单价为_________元，每个商品的利润为________________元，因为每涨价1元，每次就要减少10个销售量，则每涨价x元，每次就要减少______个销售量，故销售量为______________个，可列方程为_______________________________．[(50＋x)－40](500－10x)10x(50＋x)(500－10x)·[(50＋x)－40]＝8000解：设每个商品涨价x元，则售价为(50＋x)元，销售量为(500－10x)个，可列方程(500－10x)·[(50＋x)－40]＝8000，整理得x2－40x＋300＝0，解得x1＝10，x2＝30，都符合题意．当x＝10时，50＋x＝60，500－10x＝400；当x＝30时，50＋x＝80，500－10x＝200．答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个．涨价时，销售量要保证大于0；降价时，要保证单个利润大于0．列一元二次方程解“每每问题”的五个步骤（1）设每件商品涨价（降价）x元（有时设新的定价为未知数）；（2）用含x的代数式表示每件商品的利润P；（3）用含x的代数式表示涨价（降价）后商品的销售量Q；（4）根据“单件利润×销售量＝销售利润”，得P·Q＝销售利润；（5）解方程，取舍，作答．例1若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数，因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300,那么n(n-1)=300.

例2假设某种糖的成本为8元/千克，售价为12元时，可卖100千克．若售价涨了1元，则少卖5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？解：设每千克糖应涨价x元．依题意得(4＋x)(100－5x)＝640，解得x1＝4，x2＝12．∵售价不高于成本价的2.5倍，即x＋12≤2.5×8，∴x≤8，∴x＝4．题目中有限定条件时，要注意取舍．即每千克糖应涨价4元．列一元二次方程解决销售问题的“一二三”1．一个相等关系：单件利润×销售量＝销售利润．2．两个变量：单件利润、销售量是较难表示的两个量．3．三个检验：列方程后检验每项的意义、检验方程根的求解是否正确、作答前验根是否符合实际．1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（）A