2.3一元一次不等式与一次函数（1）-【导学练评】北师大版数学八年级下册

2.3一元一次不等式与一次函数（1）-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。4.体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。学习重点：理解一元一次不等式与一次函数的内在联系。学习难点：“一次函数的图像”与“一元一次不等式的解”的相互转化。1、一次函数的一般表达式是,的图像是.这条直线被x轴分成了,它们上面点的特征是：端点就是直线与x轴的交点坐标（−bk,0此交点把直线分为两部分，即：当函数值y＞0时，对应图像，当函数值y＜0时，对应图像，2、一元一次不等式可化为。解法步骤是：。作出一次函数y=2x-5的图像①列表；②描点；③连线x…02.5…y=2x-5…-50…1、观察图像回答下列问题：(1)x取何值时，y=0?x=2.5时，y=0(2)x取哪些值时，y>0当x>2.5时,y>0(3)x取哪些值时，y<0?x<2.5时，y<0(4)x取哪些值时，y>3?x>4时，y>32、观察图像回答下列问题(1)x取何值时,2x-5=0.(2)x取哪些值时，2x-5>0.(3)x取哪些值时，2x-5<0?.(4)x取哪些值时，2x-5>3?.3、【强调】（转化思想）一次函数问题↔一次不等式（方程）问题例题11．如果y=-2x-5，那么当x取何值时，y>0?例题22．兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时哥哥追上弟弟？（2）何时弟弟跑在哥哥前面？（3）何时哥哥跑在弟弟前面？（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？一、基础达标1：3．已知一次函数y=−2x+6，当x>−1时，y的取值范围是；当y<−2时，x的取值范围是．4．如图，直线y=kx+b经过点A（−1，−2）和点B（−2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x<kx+b<0的解集为。5．一次函数y=ax+b(a>0)与x轴的交点坐标为(m，0)，则一元一次不等式ax+b≤0的解集应为()A．x≤m B．x≤−m C．x≥m D．x≥−m6．如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(−1，3)，则不等式kx+b≥3的解集为()A．x>−1 B．x<−1 C．x≥3 D．x≥−17．如图，直线y=ax+b与直线y=mx+n交于点P(−2，−1)，则根据图象可知不等式ax+b>mx+n的解集是()A．x>−2 B．x<−2 C．−2<x<0 D．x>−18．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a<0，b<0；③当x=3时，y1=y2；④不等式kx+b>x+a的解集是x<3，其中正确的结论有.(只填序号)二、能力提升1：9．如图，在同一直角坐标系中，函数y1=2x和y2A．m=2 B．m=3 C．2＜m＜3 D．2＜m≤310．定义：点A(x，y)为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M(1，1)，N(−2，−2)，都是“平衡点”，当−1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是()．A．0≤m≤1 B．−3≤m≤1 C．−3≤m≤3 D．−1≤m≤0三、拓展迁移1：11．如图，直线y=−2x与直线y=kx+b (k≠0)相交于点A(a，2)，并且直线y=kx+b经过x轴上的点B(2，0)．（1）求直线y=kx+b所对应的函数解析式；（2）求两条直线与y轴围成的三角形的面积；（3）直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集．知识：⑴知道一元一次不等式和一次函数可以互相转化。

⑵会用图象法解一元一次不等式，及用一元一次不等式帮助解决一次函数问题。

能力：作图象以及从图像获取有效信息的能力。

思想：分类、转化、类比、数形结合。四、基础达标2：12．一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，与x轴的交点坐标是（6，0），且已知y随x的增大而增大。请回答下列问题：X时，kx+b=0?X时，kx+b>0?X时，kx+b<0?13．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是.14．如图，一次函数y=x+b与一次函数y=kx+3的图象交于点P(1，2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是()A．x>0 B．x>1 C．x<1 D．x<015．如图所示，已知一次函数y1=kx+b的图象经过A(1，2)、B(−1，0)两点，y2=mx+n的图象经过A、C(3，0)两点，则不等式组0<kx+b<mx+n的解集是()A．0<x<1 B．−1<x<3 C．−1<x<1 D．1<x<316．如图所示，一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1，2)，下列判断错误的是()A．关于x的方程mx=kx+b的解是x=1B．关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x>1C．当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大D．关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是x=1，y=217．一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象，如图，试根据图象，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发小时（2）快车追上慢车时行驶了千米（3）快车比慢车早小时到达B地（4）快车和慢车的速度分别是.（5）快车追上慢车需小时五、能力提升2：18．如图，直线y=-x+m与y=nx+b(n≠0）的交点的横坐标为-2，有下列结论：①当x=-2时，两个函数的值相等；②b=4n；③关于x的不等式nx+b＞0的解集为x＞-4；④x＞-2是关于X的不等式-x+m＞nx+b的解集.其中所有正确结论的序号是.六、拓展迁移2：19．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0，2)和点B(−3，0)．（1）当x<0时，直接写出y的取值范围；（2）当0<y<2时，直接写出x的取值范围；（3）当x≥−1时，求y的取值范围．20．已知直线x-2y=-k+6与直线x+3y=4k+1的交点在第四象限.（1）求k的取值范围；（2）若k为非负整数，求出直线x-2y=-k+6的所有函数表达式.

答案解析部分1．【答案】解：思路一：运用函数图象解不等式.

作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得

当x<2.5时，y>0.

思路二：将函数问题转化为不等式问题.

即解不等式-2x-5>0

∴当x<2.5时，y>0.【解析】【分析】将函数问题转化为一元一次不等式求解，直接列出并解不等式-2x-5>0，即可得到x<-2.5．2．【答案】（1）解：设哥哥起跑后所用的时间为xs，哥哥跑过的距离为y1m，弟弟跑过的距离为y2m，则两人跑过的距离与时间的函数关系式分别为：

y1=4x，y2=3x+9.

当哥哥追上弟弟时，两人跑过的距离相等，即y1=y2，

则4x=3x+9（2）解：当弟弟跑在哥哥前面时，即y2>y1，

则3x+9>4x，解得x<9.

又x≥0，

∴哥哥起跑后0<x<9s时，弟弟跑在哥哥前面．（3）解：当哥哥跑在弟弟前面时，即y1>y2，

则4x>3x+9，解得x>9.

∴哥哥起跑后x>9s时，哥哥跑在弟弟前面．（4）解：当他们跑过20m时，

哥哥：4x=20，解得x=5；

弟弟：3x+9=20，解得x=113≈3.67；

∵113<5，

∴弟弟先跑过20m．

当他们跑过100m时，

哥哥：4x=100，解得x=25；

弟弟：3x+9=100，解得x=913≈30.33【解析】【分析】(1)先根据路程=速度×时间的公式，结合哥哥让弟弟先跑9米的条件，分别列出哥哥，弟弟跑过的距离与时间的函数关系式y1=4x和y2=3x+9；再根据追上时路程相等，列方程4x=3x+9求出哥哥追上弟弟的时间x=9；

(2)(3)根据“谁在前面即谁的路程更大”，分别列不等式y2>y1和y1>y3．【答案】y＜8；x＞4【解析】【解答】解：∵一次函数y=-2x+6中，k=-2<0，

∴y随x的增大而减小．

当x>-1时，两边同时乘-2，不等号方向改变，得-2x<2，两边同时加6，得-2x+6<8，即y<8；

当y<-2时，即-2x+6<-2，移项得-2x<-8，两边同时除以-2，不等号方向改变，得x>4．故答案为：y<8；x>4.【分析】先根据一次函数的斜率k=-2<0，判断函数的增减性；再利用不等式的性质，结合自变量的取值范围x>-1求函数值的范围y<8；或结合函数值的范围y<-2，反向求自变量的取值范围x>4．4．【答案】-2<x<-1【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b经过点A(-1，-2)和点B(-2，0)，

∴将两点坐标代入解析式，得

−k+b=−2−2k+b=0，解得k=−2b=−4

∴直线解析式为y=-2x-4，

∵不等式2x<kx+b<0即2x<-2x-4<0，

由2x<-2x-4，得4x<-4，解得x<-1，

由-2x-4<0，得-2x<4，解得x>-2，

故答案为：-2<x<-1.【分析】先利用已知点A(-1，-2)和点B(-2，0)求出直线y=kx+b的解析式y=-2x-4；再将复合不等式2x<kx+b<0拆分为两个独立的不等式2x<-2x-4和-2x-4<0分别求解，得到x<-1和x>-2；最后取它们的交集，得到最终解集-2<x<-1．5．【答案】A【解析】【解答】解：∵一次函数y=ax+b中a>0，

∴y随x的增大而增大，

又∵一次函数y=ax+b与x轴的交点坐标为(m，0)，即当x=m时，y=0，

∴当ax+b≤0时，对应的y≤0，结合函数的增减性，可得x≤m，

∴一元一次不等式ax+b≤0的解集为x≤m.故答案为：A.【分析】先根据一次函数的斜率a>0判断函数的增减性，再结合函数与x轴的交点(m，0)，分析y≤0时对应的x的取值范围，从而得到不等式的解集为x≤m．

6．【答案】D【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b(k=0)经过点(-1，3)，

∴当x=-1时，y=3，

又由图像可知，直线y=kx+b呈上升趋势，即y随x的增大而增大，

∴当kx+b≥3时，对应的x的取值范围为x≥-1.故答案为：D.【分析】先由直线经过的点得到当x=-1时，y=3，再结合一次函数的图象判断函数的增减性，进而确定不等式kx+b≥3对应的自变量x的取值范围为x≥-1．7．【答案】A【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b与直线y=mx+n交于点P(-2，-1)，

∴在x=-2处，两条直线的函数值相等，

又由图像可知，在交点P的右侧，即x>-2时，直线y=ax+b位于直线y=mx+n的上方，此时ax+b>mx+n，

∴不等式ax+b>mx+n的解集为x>-2，故答案为：A.【分析】两条直线的交点P(-2，-1)是函数值相等的分界点，根据图像，交点右侧直线y=ax+b在直线y=mx+n上方，对应ax+b>mx+n，因此只需找到交点右侧的x取值范围即可．8．【答案】①③④【解析】【解答】解：①由一次函数y1=kx+b的图象可知，y1随x的增大而减小，∴k<0，故①正确；

②y1的图象与y轴交于正半轴，∴b>0，故②错误；

③∵y1=kx+b与y2=x+a的图象交于点(3，y)，∴当x=3时，y1=y2，故③正确；

④由图象可知，当x<3时，y1的图象在y2的图象上方，∴不等式kx+b>x+a的解集是x<3，故④正确．综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④.【分析】先根据一次函数y1=kx+b的增减性判断k的符号，再根据其与y轴的交点判断b的符号；再根据两函数图象的交点坐标，判断当x=3时y1与y2的大小关系；最后根据图象中两直线的上下位置关系，确定不等式kx+b>x+a的解集，从而判断每个结论的正误．9．【答案】D【解析】【解答】解：∵函数y1=2x和y2=−x+b的图象交于点A(m，n)，

∴当y1<y2时，即2x<-x+b，解得x<m，

∵不等式故答案为：D.【分析】先根据一次函数与一元一次不等式的关系，由y110．【答案】B【解析】【解答】解：∵点A(x，y)是“平衡点”，

∴x=y，

又∵点A(x，y)在直线y=2x+m上，

∴将y=x代入直线解析式，得x=2x+m，解得m=-x，

∵-1≤x≤3，

∴当x=-1时，m=-(-1)=1；

当x=3时，m=-3，

又∵m=-x中，m随x的增大而减小，

∴m的取值范围是-3≤m≤1.

故答案为：B.

【分析】先根据“平衡点”的定义x=y，结合点在直线y=2x+m上，将y=x代入解析式，推导出m=-x；再根据x的取值范围-1≤x≤3，利用m与x的一次函数关系，求出x取端点值时对应的m值，从而得到m的取值范围．11．【答案】（1）解：把A(a，2)代入y=−2x中，得−2a=2，∴a=−1，

∴A(−1，2).

把A(−1，2)，B(2，0)代入y=kx+b中得2=−k+b0=2k+b∴k=−23，b=4∴一次函数的解析式是y=−2（2）解：设直线AB与y轴交于点C，

令x=0，代入y=−23x+43，得y=43，即C(0,S△OAC（3）解：x≥−1【解析】【解答】解：(3)不等式(k+2)x+b≥0可变形为kx+b≥-2x，即直线y=kx+b的图象在直线y=-2x上方时x的取值范围，结合两直线交点A(-1，2)及图象，可得解集为x≥-1．故答案为：x≥−1.

【分析】(1)先根据点A在直线y=-2x上，代入求出点A的坐标；再将点A，B的坐标代入直线y=kx+b，用待定系数法求出k=−23，b=43，得到直线解析式(2)先求出直线AB与y轴的交点坐标，结合点A的坐标，求出C(0,43)，从而求出OC=43和点A到y轴的距离1，再利用三角形面积公式计算两条直线与y轴围成的三角形面积12．【答案】=6；＞6；＜6【解析】【解答】解：已知一次函数y=kx+b与x轴的交点为(6，0)，且y随x的增大而增大（即k>0）：

当kx+b=0时，对应的是函数与x轴的交点，此时x=6；

因为y随x的增大而增大，所以当x>6时，y>0，即kx+b>0；

同理，当x<6时，y<0，即kx+b<0．故答案为：=6；＞6；＜6.【分析】先根据一次函数与x轴交点的定义，直接得到kx+b=0时x=6；再结合y随x增大而增大的性质，判断在交点右侧（x>6）函数值大于0，左侧（x<6）函数值小于0，从而得到两个不等式的解．13．【答案】(2，3)【解析】【解答】解：∵不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，

∴不等式-x+5>3x-3的解集即为直线y=-x+5的图象在直线y=3x-3的图象上方时x的取值范围，

∴两直线交点的横坐标为2，将x=2代入y=-x+5，得y=-2+5=3，

∴直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是(2，3)．故答案为：(2，3).【分析】先根据一次函数与一元一次不等式的关系，确定不等式-x+5>3x-3的解集对应直线y=-x+5在直线y=3x-3上方的x范围，由此确定两直线交点的横坐标为2；再将交点横坐标代入任意一个直线解析式，求出纵坐标，从而得到交点坐标(2，3)．14．【答案】B【解析】【解答】解：∵一次函数y=x+b与一次函数y=kx+3的图象交于点P(1，2)，

∴当x=1时，两个函数的函数值相等，

又由图象可知，在交点P的右侧，即x>1时，直线y=x+b在直线y=kx+3的上方，此时x+b>kx+3，

∴不等式x+b>kx+3的解集是x>1.故答案为：B.【分析】先根据两直线的交点P(1，2)，确定函数值相等的分界点；再结合一次函数的图象位置关系，判断在交点右侧，直线y=x+b位于直线y=kx+3上方，对应不等式x+b>kx+3成立，从而得到解集x>1．15．【答案】C【解析】【解答】解：不等式组0<kx+b<mx+n可拆分为两个部分：

当kx+b>0时，

即一次函数y1=kx+b的图象在x轴上方的部分，由y1过点B(-1，0)且呈上升趋势，可得解集为x>-1；

当kx+b<mx+n时，

即y1的图象在y2=mx+n下方的部分，两直线交于点A(1，2)，可得解集为x<1．

取两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为-1<x<1．故答案为：C.【分析】先根据一次函数y1=kx+b与x轴的交点B(-1，0)及函数增减性，确定kx+b>0的解集为x>-1；再根据两直线的交点A(1，2)，确定kx+b<mx+n的解集为x<1；最后取两个解集的公共部分，得到不等式组的解集-1<x<1．16．【答案】B【解析】【解答】解：A、方程mx=kx+b的解就是两直线交点的横坐标，两直线交于M(1，2)，故解为x=1，A正确；

B、不等式mx≥kx+b表示直线y=mx在直线y=kx+b上方（含交点）的部分，结合图像，解集应为x≥1，而非x>1，B错误；

C、当x<0时，直线y=kx+b在直线y=mx上方，故函数y=kx+b的值比y=mx的值大，C正确；

D、方程组y−mx=0y−kx=b故答案为：B.【分析】先根据两直线交点M(1，2)，判断A和D的正确性（方程的解，方程组的解均对应交点坐标）；再根据图像位置关系，分析不等式mx≥kx+b的解集，判断B的正误；最后根据x<0时两条直线的上下位置，判断C的正确性．17．【答案】（1）2（2）276（3）4（4）解：69km/h，46km/h（5）2【解析】【解答】解：(1)由图象可知，慢车在x=0时出发，快车在x=2时出发，故慢车比快车早出发2小时．

故答案为：2.

(2)由图象可知，两车在路程276千米处相遇，故快车追上慢车时行驶了276千米．

故答案为：276.

(3)快车在x=14时到达，慢车在x=18时到达，故快车比慢车早18-14=4小时到达．

故答案为：4.

(4)快车速度=82814−2=69km/h，慢车速度=82818故答案为：2.【分析】(1)根据图象中两车的出发时间，慢车在x=0时出发，快车在x=2时出发，计算慢车比快车早出发的时间；

(2)根据两车的相遇点，即在路程276千米处相遇，得到快车追上慢车时行驶的路程；

(3)根据两车到达B地的时间，快车在x=14时到达，慢车在x=18时到达，计算快车比慢车早到的时间，即18-14=4小时；

(4)利用“速度=路程÷时间”的公式，分别计算快车和慢车的速度，快车速度=82814−2=69km/h，慢车速度=18．【答案】①②③【解析】【解答】解：结论①：两直线交点的坐标是(-2，y)，根据函数值的定义，当x=-2时，两个函数的函数值相等，故①正确；

结论②：由图可知，直线y=nx+b与x轴交于点(-4，0)，将该点代入y=nx+b，得0=-4n+b，整理得b=4n，故②正确；

结论③：不等式nx+b>0表示直线y=nx+b的图象在x轴上方的部分，由图象可知，此时对应的x取值范围是x>-4，故③正确；

结论④：不等式-x+m>nx+b表示直线y=-x+m在直线y