1.4.1线段的垂直平分线性质定理和判定定理-【导学练评】北师大版数学八年级下册

1.4.1线段的垂直平分线性质定理和判定定理-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1、经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。学习重点：运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其判断定理。学习难点：运用操作、观察、猜想得出结论，在独立思考和合作交流中突破难点。1、线段的垂直平分线是指：。2、线段的垂直平分线性质定理：。3、线段的垂直平分线判断定理：。4、线段的垂直平分线性质定理和判定定理之间的关系是：。探究1证明线段的垂直平分线性质定理：已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.分析：要想证明PA=PB,可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等.也就是想办法证明△APC≌△BPC.而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS).故结论可证.证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC∴△APC≌△BPC()∴PA=PB()几何语言描述如图,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB探究2：证明线段的垂直平分线性质判断定理：已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.分析:要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点),然后证明另一个结论正确.方法一：过点P作PC⊥AB,垂足为C∵PC⊥AB∴△APC和△BPC都是Rt△∵PC=PC,PA=PB∴Rt△APC≌Rt△BPC()∴AC=BC()∴P在AB的垂直平分线上方法二：把线段AB的中点记为C,连接PC∵C为AB的中点∴AC=BC∵PA=PB,PC=PC∴△APC≌△BPC(SSS)∴∠PCA=∠PCB=90°∴PC⊥AB即P在AB的垂直平分线上证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC(）．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上．例题11．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC．例题22．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?一、基础达标1：3．在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得锐角为50°，则∠A的度数为.4．如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC=.5．如图，因为AB是线段CD的垂直平分线（已知），所以。6．如图，直线PO与AB交于O点，PA=PB，则下列结论中正确的是（）A．AO=BO B．PO⊥ABC．PO是AB的垂直平分线 D．P点在AB的垂直平分线上7．如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．8．如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.9．如图，在四边形ABCD中，AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P，且PA=PD．求证：点P一定在BC的垂直平分线上．二、能力提升1：10．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长度三、拓展迁移111．如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G．求证：（1）BF=CG；（2）AF=12线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段的垂直平分线判断定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上四、基础达标2：12．到三角形三个顶点距离相等的点是（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三边中线的交点13．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D120°14．如图，BC=10，BD=6，AD=4，则点D在线段垂直平分线上．15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为．16．下列条件中，不能判定MN是线段AB（M、N不在AB上）的垂直平分线。（C）A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥ABC．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB17．已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点.求证：PB=PC18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F．若∠F=30°，DE=1，求BE的长五、能力提升2：19．如图，三角形ABC是等边三角形，P是∠ABC平分线BD上的一点，PE⊥AB于E，线段BP的垂直平分线交BCy于F，垂足为点Q，若BF=2，则PE为。20．如图所示，在△ABC中AB=AC=105，BD，CE为△ABC的两条中线相交于N，且BD⊥CE，M为线段BD上的动点，则AM+EM的最小值是六、拓展迁移2：21．如图所示AC=AD，BC=BD（1）请探究AB与CD的关系，并说明理由。（2）要想AB与CD互相垂直平分，你认为除原有条件外，还需要添加什么条件

答案解析部分1．【答案】证明：证法一：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上（）.同理，点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线（）.证法二：∵AB=AC，OB=OC，AO=AO∴△ABO≌△ACO(SSS)∴∠BAO=∠CAO，而AB=AC，AD=AD∴△ABD≌△ACD()∴BD=CD，∠ADB=∠ACD=90°AD是线段BC的垂直平分线O在AD上∴直线AO垂直平分线段BC3．【答案】40°4．【答案】7；60°5．【答案】AB⊥CD，CD=DO6．【答案】D7．【答案】88．【答案】解：∵DE为AB的垂直平分线∴AE=BE∵△BCE的周长等于50∴BE+EC+BC=50即：AE+EC+BC=50∴AC+BC=50∵AC=27∴BC=239．【答案】解：如图，连接PB、PC因为点P是AB，CD的垂直平分线的交点，所以PA=PB，PD=PC又因为PA=PD所以PB=PC，所以点P一定在BC的垂直平分线上10．【答案】解：BC的垂直平分线交AB于D∴BD=DC△ACD的周长是14cm∴AD+AC+CD=14，即AC+AB=14AC+AB=14AB-AC=2解得AB=8cm，AC=6cm11．【答案】（1）证明：连接BE，CE．∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∵AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG，在Rt△EBF和Rt△ECG中，BE=CE，EF=EG，∴Rt△EBF≌Rt△ECG（HL），∴BF=CG．（2）证明：AE平分∠BAC，又EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF=EG，∠FAE=∠GAEAE=AERt△AEF≌Rt△AEG(SAS)，∴AF=AG，∵AB=AF-BF，AC=AG+CG，BF=CG，∴AB+AC=AF+AG=2AF，∴AF=1212．【答案】A【解析】【解答】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点.

故答案为：A.

【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，根据性质得出结论.13．【答案】C14．【答案】AC15．【答案】60°16．【答案】C17．【答案】证明：∵AB=AC∴A在线段BC的垂直平分线上∵BD=CD∴D在线段BC的垂直平分线上∴AD是线段BC的垂直平分线∵P是AD上一点∴PB=PC18．【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴∠BDF=90°∴∠ABC+∠F=90°，∠ABC+∠A=