1.3.2直角三角形全等的判断-【导学练评】北师大版数学八年级下册

1.3.2直角三角形全等的判断-【导学练评】北师大版数学八年级下册学习目标：1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题的方法。3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。学习重点：掌握“HL”定理的推导过程；运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题。学习难点：“HL”定理的获得与证明以及如何用几何语言有条理的，清晰的阐述自己的观点。1、判定三角形全等的方法有：。2、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，根据下列条件△ABC与△DEF全等吗？理由是什么？（1）AB=DE，BC=EF（）（2）∠A=∠D，AC=DF()（3）AB=DE，AC=DF(）探究1：直角三角形全等的特有判断定理“HL”活动一：1、画一个Rt△ABC,使∠C=90°,CA=3cm,AB=5cm。2、画一个Rt△ABC,使∠C=90°,CA=3cm,CB=4cm。把画好的三角形剪下来，同组之间比较一下，它们全等吗?活动二如图，已知线段a和c（a＜c），求作：Rt△ABC，使∠C=90°，AC=a，AB=c.作法：1、作射线CN,2、过C点作射线CN的垂线CM.3、在射线CM上截取CB=a4、以B为圆心，以线段c的长度为半径作弧，交射线CN与点A.5、连接AB，△ABC就是所要作的直角三角形。把画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系？猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。探究2：验证猜想已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，∠C=90°AC2=AB2一BC2()．在Rt△A′B′C′中，∠C′=90°A′C′2=A′B′2—B′C′22()．∴AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′()小结：直角三角形全等的判定定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).【强调】在使用“HL”时,同学们应注意什么?（1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.（2）注意对应相等.书写格式:∵在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中AB=∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)想一想1、到现在为止，你能够用几种方法判断两个直角三角形全等？答：。2、一般三角形（非直角三角形）有几种判断三角形全等的方法？答：。例题11．如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子的水平长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？例题22．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．一、基础达标1：3．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（）A．4 B．3 C．2 D．14．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC5．如图，一根长为a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑动，在滑动的过程中OP的长度（）A．减小 B．增大C．不变 D．先减小再增大6．已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（）A．75°或15° B．30°或60° C．75° D．30°7．已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：AD=BC.8．已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC.二、能力提升1：9．如图，已知△BAC中∠ABC=90°，CD为高，且CD、CE平分∠ACB，（1）求∠B的度数（2）求证CE是AB的中线。且AB=2CE三、拓展迁移1：10．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．三角形全等的判断SSS：如果两个三角形的三条边长度分别相等，那么这两个三角形全等。SAS：如果两个三角形的一条边和它相邻的两个角，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。ASA：如果两个三角形的两个角和夹在它们中间的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等。AAS：如果两个三角形的任意两个角和不夹着它们的一条边，与另一个三角形的相应部分相等，则这两个三角形全等1。HL：在直角三角形中，如果两个三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个三角形全等。四、基础达标2：11．下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等12．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（）A．100度 B．120度 C．135度 D．140度13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．5 C．32214．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．1315．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：AD∥BC．16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，DE⊥AC于点D，交BC于E，连接BD．求证：∠ABD＝∠CED．五、能力提升2：17．如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．六、拓展迁移2：18．如图1，已知∠ABC＝90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．

答案解析部分1．【答案】解：根据题意可知：∠EAB=∠EDF=90°.在Rt△CAB和Rt△FDE中，BC=EF∴Rt△CAB≌Rt△FDE(HL).∴∠CBA=∠DEF.(全等三角形的对应角相等）∵∠DEF+∠EFD=90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠CBA+∠EFD=90°【解析】【分析】根据HL得到Rt△CAB≌Rt△FDE，根据对应边相等得到∠CBA=∠DEF，然后根据直角三角形的两锐角互余证明即可.2．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠EAD=∠ABC=90°.在Rt△EAD和Rt△ABC中，ED=AC∴Rt△EAD≌Rt△ABC().∴∠AED=∠BAC.∵∠EAF+∠BAC=90°，∴∠EAF+∠AED=90°，∴∠EFA=90°，∴ED⊥AC.3．【答案】A4．【答案】D【解析】【解答】解：条件是AB=CD，理由是：∵AE⟂BC,DF⟂BC，∴∠CFD=∠AEB=90在Rt△ABE和Rt△DCF中AB=CDBE=CF∴Rt△ABE≅Rt△DCF(HL)，故答案为：D.【分析】根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=905．【答案】C6．【答案】A【解析】【解答】解：如图①，∵AB=AC，BD是高，BD=1∵BD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∵BD=∴∠A=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×18AB=AC，BH是高，BH=∵BH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∵BH=∴∠BAH=30°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠ABC+∠C=∠BAH，∴∠ABC=∴这个等腰三角形底角度数为15°或75°.故答案为：D.【分析】分两种情况：等腰三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部，由此即可求解：7．【答案】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D=∠C=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC=AD.【解析】【分析】根据垂直可得∠D=∠C=90°，然后根据HL得到Rt△ABC≌Rt△BAD，利用对应边相等得到结论即可.8．【答案】证明：连接DC.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°.在Rt△ADC和Rt△BCD中，DC=CD∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL).∴AD=BC.9．【答案】（1）解：∵△BAC中，∠ABC=90°，CD、CE平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°，∠DCB=60°，∵CD为AB边上的高，∴∠B=90°-60°=30°（2）证明：由（1）得∠ACD=∠DCE=∠ECB=30°，∠A=60°∠ACE=60°，∴三角形ACE是等边三角形，AC=AE=CE，∠B=30°，∠BCE=30°，∴EB=CE，∴AE=CE=EB，∴CE是AB的中线。且AB=2CE【解析】【分析】(1)利用直角△BCD的两个锐角互余的性质进行解答；

(2)利用已知条件和(1)中的结论可以得到△ACE是等边三角形和△BCE为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论.10．【答案】（1）证明：如图1，连接DM、DE，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=1∴DM=EM，又∵N是DE的中点，△DEM是等腰三角形，∴MN⊥DE（2）解：猜想∴∠DME＝180°﹣2∠A；

证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A（3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连接DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∠BME＝∠ACB+∠CEM=2∠ACB，∠CMD＝∠ABC+∠MDB=2∠ABC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°．∴∠DME＝2∠BAC﹣180°【解析】【分析】(1)连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DM=1(2)根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据等边对等角和三角形的内角和定理计算即可；(3)仿照(2)的计算过程解答.11．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．故选C．【分析】根据直角三角形全等的判定定理进行解答即可．12．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA=12∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．故选C．【分析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC+∠ABC=90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=45°，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．13．【答案】B14．【答案】C15．【答案】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD=∠CDB=90°.在Rt△ABD和Rt△CDB中，AD=CB∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC【解析】【分析】根据垂直可得∠ABD=∠CDB=90°，然后根据HL得到Rt△ABD≌Rt△CDB，再根据对应角相等得到∠ADB=∠CBD，再根据内错角相等，两直线平行得到结论即可.16．【答案】证明：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC中点，∴BD=AD=DC，

∴∠A＝∠ABD，∵DE⊥AC，

∴∠CED+∠C＝90°．∵∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠CED，∴∠ABD＝∠CED【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到BD=AD=DC，即可得到∠A＝∠ABD，然后根据等角的余角相等得到∠A＝∠CED，即可证明结论.17．【答案】（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2∴∠B＝30°OA＝12OB＝3由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO+AC＝CO，∴求出OC=BC=2（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP＝2﹣t，CQ＝t，过P作PH⊥OC于H，∠HCP＝60°，∠HPC＝30°CH＝12CP＝12（2﹣t），HP＝S②当t＝2时，P和C重合，Q和O重合，此时△CPQ不存在；③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO＝2，∠NOC＝60°，CZ=3CP＝t﹣2，OQ＝t﹣2，∠NOC＝60°，∴∠GPO＝30°，OG＝12OP＝12（4﹣t）PG＝S④当t＝4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，∵∠B＝30°，由（1）知BC＝2，CM＝12BC＝1，BM=OM=OB-BM=3PQ=BC=2S综合上述：S与t的函数关系式是：S＝−（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵∠B＝30°，∠A＝90°，∴∠AOB＝60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝8②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，