离散型随机变量及分布列

7.2离散型随机变量及分布列(精讲)

000O----------------------

T.地，对于随机试验样本空间Q中的每个样本点(•)

定义

都有唯一的实数X(Q)与之对应，我们称x为随机变量

用大写英文字母表示随机变量，如x,Y,Z；

表

示

用小写英文字母表示随机变量的取值，如x,y,Z.

随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应

特征取值依赖于样本点

随所有可能取值是明确的

机

与

困

变共同点：随机变量和函数都是一种映射

数区

量

分且匚随机变量把试验的翁果映为实数、函数把多数映为实数

一联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围

相当与函数的值域

离散型对于随机变量可能取的值，如果可以——列

随机骐理逑的邈唾重叫做离散型随机理_

分类f连绫型一随机变量可以取某二应间内的二切值修

随机变量的随机变量叫做连续型随机变量

离

散

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为A，x2,...»x一

型

取每一个值〃)的概率)〃则称表

随X8(/=1»2.........P(X=M=p

机

XX1Xi•••Xi•••Xt

变

PPl•••pi•••A

量

及

定

离散为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列

型随

分

变

机

布①

的

量pt±O,7=1,2,...»n

性

列

布

分+p：+…+0+…+p“=1

列

如果P(d)=p,则P(A)=1-p,那么X的分布列为

X01

P1-pP

我们称X服从两点分布或0-1分布.

」两点分布----------------------------------

考点一离散型随机变量的辨析

考点一离散型随机变量的辨析

【例1-1]（2022春・北京•高二期末）下而给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（）

①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X；

②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X?：

③某同学射击3次，命中的次数X-

④某电子元件的寿命

A.①②B.颔）C.①@D.②④

【例1.2]（2022春•陕西渭南•高二渭南市华州区咸林中学校考期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任

取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（）.

A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球

C.收到白球的个数D.取到球的个数

【一隅三反】

I.（2022春•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨三中校考期中）下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数心

②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置，八

③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；

④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离r：

其中是离散型随机变量的为（）

A.①②B.③@C.①③D.②④

2.（2022•全国•高三专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作

为随机变量的是（）

A.至少取到1个白球B.取到白球的个数

C.至多取到1个白球D.取到的球的个数

3.（2022・全国•高三专题练习）下面是离散型随机变量的是（）

A.电灯炮的使用寿命X

B.小明射击1次，击中目标的环数X

C.测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值X

D.一个在轴上随机运动的质点，它在F轴上的位置X

考点二离散型随机变量的分布列

【例2】（2022•高二课时练习）袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，

每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字.

（1）求取出的3个小球上的数字互不相司的概率：

（2）求随机变量X的分布列.

【一隅三反】

1.（2022・高二课时练习）有2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测符其区分，每次随机检测■

件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(I)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是止品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示总检测费用(单位：元)，求X的分布列.

2.(2022春・吉林•高二校联考期末)某数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，现从中选2人

去参加一项活动.

(1)求选出的2人中，恰有I名男生，I名女生的概率；

(2)用X表示选出的2人中男生的个数，求X的分布列.

3.(2022春・重庆北碑•高二重庆市朝阳中学校考期中)一个箱了•里装有5个大小相同的球，有3个白球，2

个红球，从中摸出2个球.

⑴求摸出的2个球中有1个门球和1个红球的概率；

（2）用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布歹IJ.

考点三分布列的性质

【例3.1】（2022春・江苏常州•高二常州市第•中学校联考期中）下表是离散型随机变量X的概率分布，则

常数。的值是（）

X3456

a1£

P—+a

2626

【例3-2］（2022春・江西赣州•高二统考期末）若随机变量的分布列如表，则尸（|X—3|=1）的值为（）

X1234

j_\_

Pa

246

c.D.

43

【例3-3】（2023•全国•高二专题练习）设随机变量4的分布列如下:

123456

Pa2&%4

其中6，生，…，4构成等差数列，则4的最大值为.

【一隅三反】

1.（2022春・福建泉州•高二泉州市城东中学校考期中）若离散型随机变量X的分布列如卜•图所示.

X01

P4cLi31+a

则实数〃的值为（）

A.。=-2或〃=,B.a=-2C.«=-D.a=2或

333

0.（2022・高二课时练习）下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中。<〃<1）（）

A.

X123

PP〃-12-2p

B.

X123

P_

PP_P_

236

C.

X123

PPP-P2\-2p+p2

D.

X123

J_।1

PPp—

PP

3.(2022春・吉林长春・高二长春市第二实验中学校考期中)(多选)设随机变量彳的分布列为

g=翡心,(A=1,2,3,4,5),则()

A.：5a=lB.尸(0.4"<0.8)=0.2

C.P(0.1<<<0.6)=0.2D,P«=1)=03

考点四两点分布

【例4・1】(2023•全国•高二专题练习)(多选)下列选项中的随机变量服从两点分布的是().

A.抛掷一枚骰子，所得点数X

B.某射手射击一次，击中目标得2分，未击中目标得。分，射手的得分X

C.从装有5个红球，3个白球的袋子中取1个球，定义：{X=l}="取出白球"，{X=0}="取出红球”

D.某医生做一次手术，手术成功的次数X

【例4-2](2022•高二单元测试)已知随机变量X~B(2、〃)，丫服从两点分布,若P(X21)=0.64,

P(Y=\)=p,piiJP(K