第三讲 图形的平移、旋转与位似-【满分之路】备战2026年中考数学一轮复习（解析版）

模块七图形变化第三讲图形的平移、旋转与位似知识梳理夯实基础知识点1：图形的中心对称中心对称与中心对称图形中心对称图形中心对称定义把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能和原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做它的对称中心.把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点成中心对称,这个点叫做它们的对称中心.图示性质对应线段相等;AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'.成中心对称的两个图形,其对应线段互相平行(或在一条直线上)对应角相等=；=∠A=,∠B=,∠C=.对应图形全等△AOB≌△AOD≌△COB等△ABC≌,成中心对称的两个图形是全等图形.对应点(1)点A与点,点B与点.(2)非重合对应点的连线均过对称中心且被对称中心平分.(1)点A与点,点B与点,点C与点.(2)非重合对应点的连线均过对称中心且被对称中心平分.区别中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形.中心对称是指两个全等图形之间的位置关系.联系中心对称图形可分割为关于某点成中心对称的两部分;若把成中心对称的两个图形看作一个整体,则它就是一个中心对称图形.常见的中心对称图形及其对称中心图形对称中心平行四边形矩形菱形正方形圆正2n边形（n为正整数）知识点2：图形的平移与旋转变换图形的平移图形的旋转定义在平面内,把一个图形沿某个方向移动一定的距离,会得到一个新图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种变换叫做平移.在平面内,把一个图形绕着定点O转动一个角度,得到另一个图形,这种变换叫做图形的旋转,点O叫做,转动的角度叫做.图示要素平移方向、平移距离旋转中心、旋转方向、旋转角(1)平移不改变图形的大小和形状,只改变图形的位置,平移前后的两图形全等;(2)对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.(1)旋转前后的图形;(2)对应点到旋转中心的距离;(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角旋转角.网格作图步骤(1)根据题意,确定平移的方向和平移距离;(2)找出原图形的关键点;(3)按平移方向和平移距离平移各个关键点,得到各关键点的对应点;(4)按原图形依次连接各关键点的对应点,得到平移后的图形.(1)根据题意,确定旋转中心、旋转方向及旋转角;(2)找出原图形的关键点;(3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将关键点旋转,得到各关键点的对应点;(4)按原图形依次连接各关键点的对应点,得到旋转后的图形.知识点3：位似图形定义如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做,此时的相似比又称为.如图,五边形ABCDE与五边形A´B´C´D´E´是位似图形.

性质(1)对应点的连线或其延长线都相交于同一点(位似中心);(2)位似图形对应边平行或共线,且成比例;(3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于,位似图形的面积比等于;

(4)位似图形是具有特殊位置关系的相似图形,具有相似图形的一切性质.在网格中作位似图形的步骤(1)确定位似中心;(2)连接位似中心和原图形的关键点并延长或反向延长;(3)根据位似比,确定原图形关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接所作各点,得到放大或缩小的图形.注意：两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的同侧,位似中心只有一个.直击中考胜券在握1．（2021·重庆中考A卷）如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【答案】A【解析】【分析】利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．∴△ABC∽△DEF，OB：OE=1：2，∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．2．如图，将周长为12的△ABC沿BC方向向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【解析】【分析】根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长＝△ABC的周长＋AD＋CF代入数据计算即可得解．【详解】∵△ABC沿BC方向平移2个单位得到△DEF，∴AD＝CF＝2，∴四边形ABFD的周长，＝AB＋BC＋DF＋CF＋AD，＝△ABC的周长＋AD＋CF，＝12＋2＋2，＝16．故选：C．【点睛】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点的连线等于平移距离，结合图形表示出四边形ABFD的周长是解题的关键．3．（2021·广安中考）如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．故选C．【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．4．（2021·湖南省邵阳市中考）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据旋转性质可知，，再由勾股定理即可求出线段的长．【详解】解：∵旋转性质可知，，∴，故选：B．【点睛】此题主要考查旋转的性质和勾股定理求出直角三角形边长，解题关键是根据旋转性质得出是等腰直角三角形．5．（2021·天津中考）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明，即D选项正确；【详解】由旋转可知，∵点A，D，E在同一条直线上，∴，∵，∴，故A选项错误，不符合题意；由旋转可知，∵为钝角，∴，∴，故B选项错误，不符合题意；∵，∴，故C选项错误，不符合题意；由旋转可知，∵，∴为等边三角形，∴．∴，∴，故D选项正确，符合题意；故选D．【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．6．（2021·绵阳中考）如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6【答案】A【解析】【分析】由题意可得，的值就是线段的长度，过点作，过点作，根据勾股定理求得的长度，再根据三角形相似求得，矩形的性质得到，即可求解．【详解】解：由题意可得，的值就是线段的长度，过点作，过点作，如下图：∵，∴，由勾股定理得∵∴，又∵∴∴∴，即解得，∵∴∴∴，即解得由题意可知四边形为矩形，∴故选A【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．7．（2021·苏州中考）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意；D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．8．（2022·河南中考）如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】连接,由题意可证明，利用相似三角形线段成比例即可求得OC的长，即得点的坐标．【详解】如图，连接，因为轴，绕点顺时针旋转得到，所以，,故答案为B．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，找到是解题的关键．9．（2021·龙东地区模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AB上一动点，E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得EF，连接DE，DF，CF．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（）A．①②③ B．①③④C．②③④ D．①②④【答案】D【解析】【分析】延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE=EH，由直角三角形的性质可得AE=EF=EH，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF=270°，可得∠ADF=135°，可判断②；M为AB上动点，∠AEM为动态变化的角，可判断③；连接AC，证明△DCF∽△ACM，即可得到∠DCF=∠ACM，即可判断④．【详解】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，∵点E是CM的中点，∴ME=EC，∵AB∥CD，∴∠MAE=∠H，∠AME=∠HCE，∴△AME≌△HCE（AAS），∴AE=EH，又∵∠ADH=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，∴DE=AE=EH，∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∴AE=EF，∠AEF=90°，∴AE=DE=EF，故①正确；∵AE=DE=EF，∴∠DAE=∠ADE，∠EDF=∠EFD，∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD=360°，∴2∠ADE+2∠EDF=270°，∴∠ADF=135°，∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=135°-90°=45°，故②正确；假如③正确，则∠AEM=∠FEC=(180°-∠AEF)÷2=45°，为确定的大小，由于M为AB上动点，则∠AEM为一个动态变化的值，故③错误；连接AC，过PE⊥AD，FN⊥PE交CD于Q点，如下图所示：∵∠FEN+∠AEP=90°，∠EAP+∠AEP=90°，∴∠FEN=∠EAP，且∠APE=∠ENF=90°，EA=EF，∴△APE≌△ENF(AAS)，∴AP=NE，∵AM∥PE∥DC，且E是MC的中点，∴PE是梯形AMCD的中位线，∴，又PE=PN+NE，∴PN=AM，又PN=DQ，∠QDF=45°，∠DQF=90°，∴△DQF为等腰直角三角形，∴DF=DQ=PN=AM，∴，在等腰直角△ACD中，，∴，且∠CDF=∠MAC=45°，∴△CDF∽△，∴∠DCF=∠MCA，∴+∠MCA=∠BCM+∠DCF=∠BCA=45°，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，旋转的性质，梯形中位线的定理等知识，综合性较强，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10．如图，在▱ABCD中，AD=7，AB=2，∠B=60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为_____．【答案】20【解析】【详解】【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．【详解】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，∵AE⊥BC，AB=2，∠B=60°，∴AE=3，BE=，∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，∴EF=BC=AD=7，∴四边形AEFD周长的最小值为：14+6=20，故答案为20.【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是确定出当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小．11．（2021·新疆中考）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分别交BD，CD于点M，N．若，则__________．【答案】【解析】【分析】过点E作EP⊥BD于P，将∠EDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和DE的长，然后用三角函数的定义即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，．∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．设AE=CF=2x，DN=5x，则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．∵AB∥DC，∴．∴．∴．整理得，．解得，，（不合题意，舍去）．∴．∴．过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，设DP=y，则．∵，∴．解得，．∴．∴在Rt△DEP中，．即．故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．12．（2021·吉林省中考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质可求得和的长度，进而可求得点的坐标．【详解】解：作轴于点，由旋转可得，轴，∴四边形为矩形，∴，，∴点坐标为．故答案为：．【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系．13．（2021·湖南省益阳市中考）如图，中，，将绕A点顺时针方向旋转角得到，连接，，则与的面积之比等于_______．【答案】【解析】【分析】先根据正切三角函数的定义可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定可得，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：在中，，，由旋转的性质得：，，在和中，，，，即与的面积之比等于，故答案为：．【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．14．（2021·安徽中考）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将向右平移5个单位得到，画出；（2）将（1）中的绕点C1逆时针旋转得到，画出．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】【分析】（1）利用点平移的规律找出、、，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点，即可．【详解】解：（1）如下图所示，为所求；（2）如下图所示，为所求；【点睛】本题考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题的关键．15．（2021·达州中考）如图，在平面直角坐标中，的顶点坐标分别是，，．（1）将以为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（2）将平移后得到，若点的对应点的坐标为，求的面积【答案】（1）见解析；（2）11【解析】【分析】（1）延长至,使得；延长至,使得；延长至,使得；再连接即得旋转后对应的；（2）根据平移的规律求出，再连接点，得，将三角形分割乘两个三角形的面积之和，求出公共边的长即可求解．【详解】解：（1）延长至,使得；延长至,使得；延长至,使得；再连接即得旋转后对应的，如下图所示：（2）由题意，，，平移后得到，其中，根据平移的规律知，平移过程是向下和向右分别移动两个单位可得：，再连接点，得，其中交轴于点,如上图所示：由得出直线的方程如下：直线：当时，，，,故．【点睛】本题考查了图象的旋转和平移，求三角形面积，解题的关键