题型清单02 相交线与平行线（原卷版）

专题02相交线与平行线相交（一）邻补角与对顶角邻补角：相邻且互补，和为180∘；对顶角：位置相对，度数相等（二）垂线相交成直角即为垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。（三）三线八角两直线被第三条直线所截，分清同位角、内错角、同旁内角，是判定平行的基础。平行线及其判定（一）平行线定义与基本事实平行线的定义：同一平面内不相交的两条直线互相平行；基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。（二）平行线的判定（1）同位角相等.（2）内错角相等.（3）同旁内角互补，均可推出两直线平行.（4）推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行平行线的性质（一）平行线性质两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补。（二）命题、定理、证明命题分题设与结论；正确命题为定理，可推理证明真假。（三）平行线间距离两条平行线间距离处处相等，指垂线段长度。对顶角的识别【例1】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）在下列的图中，与是对顶角的是（

）A．B． C． D．【变式1-1】（25-26七年级下·广东河源·期中）下列各图中，与是对顶角的是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列图形中，与是对顶角的是（）A．B．C． D．【变式1-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各图中，和互为对顶角的是（

）A．B．C． D．对顶角相与邻补角的相关计算【例2】．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线、交于点，于点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式2-1】（25-26七年级下·上海·期中）如图，直线、相交于点，．若与的度数之比为，的度数是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（25-26七年级下·陕西延安·期中）如图，直线，相交于点，，，则的度数为______．【变式2-3】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，直线，相交于点，，，则________．作垂线、平行线【例3】（25-26七年级下·江西九江·期中）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点．（请保留作图痕迹）(1)过点画的平行线，并标出平行线所过格点；(2)过点画的垂线，并标出垂线所过格点．【变式3-1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）如图，已知点、分别在的边、上．用直尺和三角尺画出图形；射线，，交于点．【变式3-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是正方形，点，，，都在格点上，请利用网格完成下面画图并回答问题：(1)过点画直线（点E是格点）；(2)过点P画的垂线（点F是格点），交于点C；(3)在（2）中，线段______的长度表示点P到直线的距离，与的大小关系是______，依据是______．【变式3-3】（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图．(1)过点作的平行线；(2)过点作的垂线，与直线交于点．平行线的判定【例4】（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，直线、交于点平分，且(1)求的度数；(2)若平分，且，试说明的理由．【变式4-1】（25-26七年级下·北京海淀·期中）按要求完成下列的证明：已知：如图，于点，是上一点，．求证：．证明：∵（已知）∴____________（依据：________________________）∵（已知）∴____________（依据：________________________）∴（依据：________________________）【变式4-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程．解：与的位置关系是______，∵，分别是，的平分线（已知），∴______，______（______），∵（已知），∴______，又∵（已知），∴（______），∴______（______）．【变式4-3】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：．利用平行线的性质探究角的数量关系【例5】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）利用平行线的相关知识，七年级的聪聪做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入聪聪的眼中，根据光的反射原理，始终有，．(1)如图1，光线与光线互相平行吗？请说明理由；(2)如图2，受聪聪影响，明明思考后发现，当时，镜子和的位置可以发生改变，且，和有不变的数量关系，请求出，和之间的数量关系；(3)如图3，受启发的丹丹，对聪聪设计的潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的潜望镜了，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系．【变式5-1】（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点．【问题提出】(1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______；【问题迁移】(2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数；【问题拓展】(3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系．【变式5-2】（25-26七年级下·广东江门·期中）在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接．(1)若，，求的度数；(2)如图2，点是直线上的两点，且．求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由．【变式5-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）已知直线，直线分别交于点E，F．(1)【问题提出】如图①，点T在直线之间，连接．若，，，探究直线与的位置关系．小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图②，过点T作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线与的位置关系是；(2)【问题迁移】如图③，，平分交于点G，平分交于点H，平分分别交于点Q，T，若，求的度数；(3)【问题拓展】如图④，，平分交于点G，平分交于点H，点Q在直线上，平分交于点R，探究和之间存在的数量关系．平行线性质和判定的综合应用【例6】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，与互补．(1)求证：；(2)若平分，，求的度数．【变式6-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：过内一点作交于点，作交于点(1)如图1，求证：(2)如图2，射线，射线分别平分和，求证：(3)如图3，在（2）的条件下，点，在射线上，连接，，，与交于点，反向延长交于点，如果，平分，求的度数（证明过程中不能直接用三角形内角和）【变式6-2】（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【变式6-3】（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接交于点F．(1)求证：；(2)若，平分，求的度数．易错点1对顶角/邻补角对顶角相等，邻补角和为180∘易错点2点到直线的距离特指垂线段的长度，非线段本身。易错点3平行公理仅限直线外一点，才有唯一平行线。易错点4判定/性质判定由角推线平行，性质由线平行推角相等/互补，二者勿颠倒。易错点5线段关系平行、垂直均针对直线，线段平行/垂直指所在直线满足对应关系。垂线段最短的应用【例7】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（

）A．3.5 B．4.1 C．5 D．6【变式7-1】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，理由是（）A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．三角形任意两边之和大于第三边【变式7-2】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）一跳远运动员跳落沙坑时的痕迹如图所示，用表示运动员成绩的理由（

）．A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【变式7-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一村庄，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在处，依据是（

）A．两点之间，线段最短 B．垂直的定义C．点到直线，垂线段最短 D．两点确定一条直线点到直线的距离【例8】（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）某节体育课上，同学们进行跳远项目测试．如图所示，直线为起点，点为小明的落点，则小明最终的跳远成绩是（

）A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度【变式8-1】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离等于6 B．点到直线的距离等于10C．点到的距离等于6 D．点到的距离等于8【变式8-2】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，点在直线外，点，，，在直线上，且，，，则点到直线的距离是（）A． B． C． D．【变式8-3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，点是直线外一点，点，，在直线上，且，，．下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于5C．点到直线的距离等于6 D．点到直线的距离一定不大于4同位角、内错角、同旁内角的识别【例9】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线a，b被直线c所截，则的同位角是______．【变式9-1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图所示，与是同旁内角的角为__________．【变式9-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，的内错角是__________．【变式9-3】（25-26七年级下·河北沧州·期中）如图所示，与是同旁内角的角为__________________

技巧1角度计算利用对顶角、邻补角、平行线性质转化角，列式求解。技巧2平行证明找出同位角、内错角、同旁内角，依据角的关系证平行。技巧3拐点模型过拐点作平行线，拆分角度，结合平行线性质计算。拐点模型【例10】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”．(1)【概念理解】若，则的“系数平衡角”是____；(2)【初步认识】在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数．(3)【问题解决】连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____．【变式10-1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合与实践在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究．如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点，连接，．(1)【问题初探】若，，则的度数为_____．(2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）．②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去，则的度数是______．(3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由．【变式10-2】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）已知，，点在上，点在上，点为一动点．(1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：．(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有．①当，时，求的度数；②当平分，，交于点时，