数学人教A版2019必修二专题复习线线角、线面角、二面角必刷题型（含答案解析）

1/10专题20线线角、线面角、二面角必刷题型（8大题型49题）题型01题型01中位线平移求异面直线所成角1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_____.【答案】/【分析】根据异面直线所成角的定义找到其对应平面角，再应用余弦定理求其余弦值.【详解】如图，令E为的中点，连接、.因为是的中点，则，所以与所成的角即为与所成的角，即（或其补角），由，，则，，，在中，.故答案为：2．如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，为的中点，为底面的中心，则异面直线与所成角为__________.【答案】/【分析】取的中点，分别连接，求得为等边三角形，得到，进而求得异面直线与所成角.【详解】如图所示，取的中点，分别连接，因为为正方形中心，可得，又因为为的中点，可得且，因为为的中点，可得，所以为等边三角形，所以,又因为，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，所以异面直线与所成角为.故答案为：.3．棱长为2的正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值是__________.【答案】【分析】连接，取中点，连接，所以，直线和夹角即为，求出各边长度，利用余弦定理即可求得答案.【详解】连接，取中点，连接，

因为是正四面体，且棱长为2，分别为的中点，所以，因为分别为中点，所以，且，所以直线和夹角即为，在中，所以在中由余弦定理可得，所以直线和夹角的余弦值是.故答案为：4．如图，直线平面为正方形，，则直线与所成角的大小为________．【答案】【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的角就是异面直线所成的角或补角，再利用解三角形的知识求出此角即可；【详解】令，取中点分别为，连结，则，就是直线与所成角或其补角.又因为在中，，连结，得，，则，∴直线与所成角为.故答案为：.5．（24-25高一下·上海·期末）在四面体中，，，、分别为、的中点，则直线与所成角的大小为________．【答案】【分析】首先作出辅助线，根据平行关系找出直线与所成的角，然后根据垂直关系和线段关系求出该角的值.【详解】取的中点，连接.因为分别为的中点，所以.又，所以.所以直线与所成角为.在直角三角形中，因为，所以.故答案为：.6．（24-25高一下·江西上饶·期末）如图，和是异面直线，，，分别为线段，上的点，且，，则与所成角的余弦值为______.【答案】/0.625【分析】过作，交于点，连接，利用比例性质得，则（或其补角）即为与所成角，利用余弦定理得，即可得解.【详解】在平面中，过作，交于点，连接，如图，，，又，，则，（或其补角）即为与所成角，在中，，，，，与所成角的余弦值为.故答案为：题型02题型02平行四边形平移求异面直线所成角1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在棱长为的正方体中，为的中点，那么直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】取的中点，连接，.易证四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线与所成角.在中，根据余弦定理即可求解.【详解】如图所示，取的中点，连接，.∵点为的中点，点为的中点，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，∴或其补角即为异面直线与所成角.在中，，，，由余弦定理可知：，∴异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别为的中点，则异面直线和所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，找到异面直线和所成角，然后得到，最后表示正弦值即可.【详解】取的中点，连接，如图：由题可知：，又为的中点，所以，则，所以异面直线和所成角即为，可知为直角三角形，且，又，所以，所以.故选：C3．（24-25高一下·河北唐山·期末）已知直四棱柱的棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出直四棱柱由面对角线构成的四面体，在四面体的各个面中求出三角形内角的余弦判断即可.【详解】直四棱柱中，四面体的六条棱所在直线能表征直四棱柱各个面上所有对角线，该四棱柱的所有棱长都为2，，则，，在中，，；在中，，；在中，，；在中，，，所以选项ABD均有可能，C不可能.故选：C4．（24-25高一下·江苏常州·月考）在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，连接，，可证，则为异面直线与所成的角.【详解】解：取的中点，连接，.，因为是的中点，所以，，，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角，在中，，故选：C.5．（24-25高一下·重庆·月考）如图，在斜三棱柱中，，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，易知所求的角即为或其补角，再由余弦定理计算出的各边长，再根据余弦定理计算即可得出结果.【详解】连接，如下图所示：根据三棱柱性质可得，又因为分别为的中点，所以，，又且，所以可得且，即可得四边形为平行四边形，因此；即可得异面直线和所成的角即为和所成的角，即为或其补角.因为，所以，，在中，由余弦定理可得，则，在中，由余弦定理可得，则,因此在中，由余弦定理可得.即异面直线和所成角的余弦值为.故选：B.6．如图，在底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】/【分析】由得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理即可求解．【详解】连接，如图所示，因为，所以所成角或其补角为异面直线与所成的角，因为，在中，由余弦定理可得.故答案为：7．（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____.【答案】/【分析】取中点为F，连接EF，则为异面直线与所成角或其补角，然后由题意结合余弦定理可得答案.【详解】如图取中点为F，连接EF，易得，则，则为异面直线与所成角或其补角.因平面，几何体为四棱柱，.则，，.，，.因，，则，又易得，则.从而.故答案为：8．（24-25高一下·河南新乡·期末）在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与EF所成角的余弦值是______．【答案】【分析】取棱AB的中点H，连接，可得是异面直线与EF所成的角或其补角，作，由正四棱台的侧面积为，可得，据此可得，然后由结合余弦定理可得答案.【详解】取棱AB的中点H，连接，易证四边形为平行四边形，则，因为E，F分别是棱的中点，所以，则是异面直线与EF所成的角或其补角．作，垂足为G，则，因为正四棱台的侧面积为，所以，所以，则，因为，所以，即所求值为．故答案为：题型03题型03补形法求异面直线所成角1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为______．

【答案】/0.25【点睛】利用补形法，作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，从而可求得异面直线和所成角，再利用余弦定理即可求解.【详解】由题可知直三棱柱为正三棱柱，如图作一个全等的正三棱柱并与原几何体有公共面，连结，则易知为异面直线所成角或其补角．

设，则，，，由余弦定理可得，所以异面直线和所成角的余弦值为.故答案为：.2．如图，在直三棱柱中，，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为______.【答案】/【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可.【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体.如图所示.取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道.则为直线与所成角或补角.连接，.根据正方体性质，知道．，，，，在中，由余弦定理可得，，则直线与所成角的余弦值为.故答案为：.3．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为___________.【答案】/【分析】由题意将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，从而可得则为直线与所成角或其补角，再利用余弦定理即可求解.【详解】将另一个与正方体中相等的正方体的一个棱与重合，如图，连接，，，易知，且，所以四边形为平行四边形，所以，且，所以则为直线与所成角或其补角，设正方体边长为，则，，，由余弦定理得：，所以直线与所成角的余弦值为.故答案为：.4．（2026高一·全国·专题练习）如图，将矩形沿对角线折成直二面角，其中，，则异面直线和所成角的余弦值为______．【答案】/【分析】过点作，使，连接，则是异面直线和所成的角或其补角，再结合几何关系，利用余弦定理求解即可．【详解】过点作，使，连接，则是异面直线和所成的角或其补角，过作于，连接，由平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，则，在中，，由，得，，所以，又，则，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为．题型04题型04定义法求线面角1．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点．(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可.（2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案.【详解】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点，又因是的中点，故得，又因平面，平面，所以平面．（2）如图，连接，由（1）得是中点，因为，所以，又因为底面是正方形，且为对角线，所以，又因为平面，所以平面所以直线与平面所成角为，因为在中，，则，故，即直线与平面所成角的大小为．2．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，直三棱柱中，，为线段的中点.(1)求证：平面;(2)求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）连接，交于点，连接，由直三棱柱的特征可得为的中点，则，利用线面平行的判定定理可得证；（2）取中点，连接，则，利用线面垂直的判定定理可证得平面，则平面，由此可知所求线面角即，根据边长关系求出其正切值即可.【详解】（1）连接，交于点，连接，三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，则为的中点，为线段的中点，，平面，平面，平面.（2）取中点，连接，则，三棱柱是直三棱柱，四边形是矩形，则，平面，平面，平面，则平面.所以直线与平面所成角即为.,在中，.3．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，，分别是，的中点．

(1)求证：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)1【分析】（1）根据线线平行可证明为平行四边形，即可由和线面平行的判定定理求证（2）根据面面垂直的性质可得平面，，进而可得即为直线与平面所成角，由三角形的边角关系即可求解.【详解】（1）证明：取的中点，中点为，所以，且，又，故，故四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面，

（2）由于底面，平面，所以平面底面，又两平面的交线为，过作于，连接，所以平面，故即为直线与平面所成角，又，，所以，，，由，所以，故4．（24-25高一下·浙江温州·期末）如图，在中，．将沿AD翻折至．(1)求证：平面.；(2)若二面角的平面角为，求直线AB与平面AED所成角的正弦值．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）由题可求的余弦值，根据余弦定理可求，利用勾股定理可得，翻折后，由此即可证明平面；（2）由（1）得，过作交于，连接，然后可证平面，即就是直线AB与平面AED所成角，进行求值即可.【详解】（1）,,,,，即，翻折后，又平面，所以平面.（2）由（1）知，，平面平面，所以就是二面角的平面角，即，过作交于，连接，平面，平面，，又，平面，所以平面，即就是直线AB与平面AED所成角，又，所以，直线AB与平面AED所成角的正弦值为.5．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在正四面体中，是棱的中点，求直线与底面所成的角的正弦值．【答案】．【分析】过作面的垂线，即得直线与底面所成的角，求解.【详解】解：设正四面体的棱长为1．如图，作平面，垂足为，则是的重心，故.过点作，，则平面．连接，于是就是直线与底面所成的角．在Rt中，，．∴直线与底面所成的角的正弦值为．6．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在棱长为2的正四面体中，是的重心，是的中点.延长到，使得.(1)证明：平面.(2)证明：.(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证.（2）利用全等三角形性质推理得证.（3）求出PO长，并利用（2）的结论，结合线面角的定义求解.【详解】（1）连接并延长交于点，连接，，由是的重心，得是的中点，而是的中点，则，由平面，平面，得平面，又是的中点，则，由平面，平面，得平面，而平面，，则平面平面，又平面，所以平面.（2）在正四面体中，，，则，而，因此，所以.（3）连接，，由是正三角形的重心，得平面，则直线与平面所成的角为，由正四面体的每条棱长为2，得，则，又，，于是，由（2）知，在中，，，所以直线与平面所成角的正弦值为.7．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，正方体中，为的中点.(1)若点F满足，求证：四点共面；(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，则可得四边形为平行四边形，再结合正方体的性质可得，从而可证得结论；（2）延长交与，连接，过作交与，连接，过作与，连接，则与面所成角就是与面所成角，可得就是与面所成角，在Rt中求解即可.【详解】（1）连接，由，知，且，因为为的中点，所以，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为,，所以四边形为平行四边形，所以，所以，故四点共面.（2）延长交与，连接，则与面所成角就是与面所成角.过作交与，连接，过作与，连接，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面所以就是与面所成角.令，由，得，在Rt中，由等面积法可求得，同理在Rt中，，在Rt中，，故直线平面所成角的正弦值为.8．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，.(1)求AD；(2)求点D到平面PBC的距离；(3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大.【答案】(1)2；(2)；(3).【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可.（2）利用等体积法求出点D到平面的距离.（3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可.【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点，得，点在菱形边上，则，平面平面，而平面，平面，因此，四边形为平行四边形，，所以.（2）在菱形中，，则，由平面，平面，得，，，，，设点D到平面的距离为，由，得，即，解得，所以点D到平面的距离为.（3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面，得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离，因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即，而平面，平面，则，又，平面，于是平面，而平面，则，，，所以当时，直线PE与平面所成的角最大.题型05题型05等体积法求线面角1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱台中，平面平面，，求与平面所成角的正弦值．【答案】．【分析】根据给定条件，结构正方体的结构特征，将三棱台置于正方体内，再利用公式法求解线面角的正弦.【详解】在三棱台中，平面平面，，将棱台放入以为棱长的正方体内，点分别在正方体面对角线上，由，得与平面所成角即为与面所成角，令，，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，因此，所以与平面所成角的正弦值为．2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求与面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案；（2）利用等体积法求出到面的距离，进而得到与面所成角的正弦值.【详解】（1）因为底面为正方形，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为是线段的中点，是线段的中点，所以，所以平面.（2）取中点为，连接，因为为正三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以，设，，，所以在中，，由（1）得平面，又因为，所以平面，又因为平面，所以，所以，，设到面的距离为，因为，所以，所以，设与面所成角为，则，所以与面所成角的正弦值为.3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）根据全等三角形的判定定理，结合全等三角形的性质、二面角的定义、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可；（3）利用三棱锥体积的等积性，结合正弦定理、线面角的定义进行求解即可..【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且，所以三棱锥是正三棱锥，因此顶点在底面的射影是正三角形的中心，如图：设点为边的中点，连接，显然在上，且，平面，因为平面，所以，又因为平面，所以平面，而平面，所以，又因为，所以；（2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且，所以，在中，过作，垂足为，连接，由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角，，所以，因为，同理可得，由余弦定理可得，所以二面角的余弦值；（3）由上可知是正三角形的中心，所以，由勾股定理可得，由三棱柱的性质可知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，因为，所以，即是直角三角形，设点到平面的距离为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.4．（24-25高一下·北京·期末）如图，长方体的底面ABCD是正方形，，点在棱上，平面BDM.(1)求证：为的中点；(2)求直线与平面BDM所成角的正弦值；(3)求点到平面BDM的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证；（2）设直线与平面所成角为，则，其中为点到平面的距离，利用等体积法求出，进而得到答案；（3）根据线面垂直的判定定理，证明面，进而得到答案.【详解】（1）连接，因为底面是正方形，所以是的中点，因为点在棱上，平面，平面，且平面平面，所以，所以为的中点.（2）设直线与平面所成角为，则，其中为点到平面的距离，因为，，，，，所以，，所以为等边三角形，为直角三角形，所以，，又因为,即，即，所以，所以直线与平面BDM所成角的正弦值为（3）连接，，,因为为等边三角形，所以，，又因为，，所以为等腰三角形，所以，，又因为，面，所以面，又因为面，所以，又因为，，，所以，即，又因为，面，所以面，求点到平面BDM的距离为.题型06题型06线面角中的其他问题1．（24-25高一下·四川宜宾·期末）如图，四棱锥中，点O，E分别为AC，PD的中点，，，，是边长为2的正三角形．(1)求证：平面BOE；(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值；(3)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据勾股定理得，结合线线平行性质得，利用线面垂直定理证明线面垂直即可；（2）先证即为二面角的平面角，再由三棱锥体积得出，进而有，利用直角三角形求解正弦值即可；（3）先证直线PC与平面ACE所成角即为直线与平面所成角，结合正弦定理得出当，即如（2）中平面时正弦值的最大值，即可求解.【详解】（1）如图，延长交于G点，是边长为2的等边三角形，则.在中，已知，且满足.根据勾股定理的逆定理，.则G为中点.又为的中点，则.，则.又平面，，则平面，即平面BOE.（2）因为平面BOE，平面BOE，则，，因此即为二面角的平面角，由（1）可知平面，平面，所以平面平面，则E在平面的射影H在OG上，因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，则，所以，而，，所以，所以；（3）由，则直线PC与平面ACE所成角即为直线与平面所成角，由（1）可知平面，平面，所以平面平面，因此即为所求角，在中，，，由正弦定理：，所以，当，即如（2）中平面时，，所以直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值为．2．（24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，.(1)求AD；(2)求点D到平面PBC的距离；(3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大.【答案】(1)2；(2)；(3).【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可.（2）利用等体积法求出点D到平面的距离.（3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可.【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点，得，点在菱形边上，则，平面平面，而平面，平面，因此，四边形为平行四边形，，所以.（2）在菱形中，，则，由平面，平面，得，，，，，设点D到平面的距离为，由，得，即，解得，所以点D到平面的距离为.（3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面，得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离，因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即，而平面，平面，则，又，平面，于是平面，而平面，则，，，所以当时，直线PE与平面所成的角最大.3．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面．(1)证明：平面；(2)求的值；(3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）只需证明，再结合平面平面以及面面垂直的性质即可得证；（2）由线面平行的性质得，所以，进一步即可求解；（3）由二面角的定义说明是二面角的平面角，设，结合的取值范围得，由线面角的定义说明为直线与平面所成的角，进一步得，结合的范围即可求解.【详解】（1）如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以，又平面平面，平面，平面平面，所以平面．（2）连接交于点，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，则，因为，，所以，故．（3）如图，取的中点，因为平面，，平面，所以，．又，分别是，的中点，所以，由，得，因为，，平面，所以平面，因为平面，则，所以是二面角的平面角，即．因为是边长为6的等边三角形，所以．设，则，，得，过作交于，连接，由平面，得平面，所以为直线与平面所成的角，即．由得，，在中，．在中，由余弦定理可得，所以，所以因为，所以，所以的取值范围为．4．（24-25高一下·贵州黔西南·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，若.(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的余弦值；(3)若为侧面内（包含边界）的一点，且四棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）取的中点，连接，证得，利用面面垂直的性质定理，证得平面，得到点到的距离为，再直角中，即可求解；（2）取的中点，连接，分别证得和，得到为的平面角，在直角中，即可求解.（3）设四棱锥的高为，求得，取的中点，证得点在线段上运动，取的中点，证得平面，再连接，证得，求得长，在直角中，即可求解.【详解】（1）取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，即点到的距离为，又因为，可得，所以点到的距离为.（2）取的中点，连接，因为底面是正方形，可得，由（1）知，平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，所以为的平面角，在直角中，可得，所以，即二面角的余弦值为.（3）因为底面是正方形，且，所以正方形的面积为，设四棱锥的高为，因为四棱锥的体积为，可得，解得，分别取的中点，连接，可得，所以在同一个平面内，因为，且平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为，且平面，所以平面平面，由（1）知平面，且点到的距离为，所以到的距离为，即到的距离为，即点在线段上运动，且点到平面的距离为，要使得与平面所成角的正弦值的最小值，则最长，即点与重合时，与平面所成角的正弦值取得最小值，取的中点，因为为的中点，可得，因为平面，所以平面，连接，因为平面，所以，在直角中，，可得，在直角中，可得，则，即与平面所成角的正弦值的最小值为.5．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，.(1)证明：三棱柱是直三棱柱；(2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积；(3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【分析】（1）在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，可证平面，证明可得结论；（2）过作，交于点，连接，截面为直角梯形，求得面积即可；（3）延长交于点，过作于，所以平面，连接，为与平面所成的角，可得，进而可求的值.【详解】（1）如图：在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，由平面平面，平面平面，平面所以：平面，同理有平面，从而有，平面，平面，所以平面，又因为平面平面，平面，从而有，即平面.从而三棱柱是直三棱柱.（2）当时，连接延长交直线于，所以，又因为，所以，所以为线段上靠近的一个三等分点，过作，交于点，连接，因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面，又，平面，平面平面，所以平面，所以平面，从而截面为直角梯形，，所以，从而直角梯形的面积为.（3）延长交于点，过作于，因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面，又平面，平面平面，所以平面，连接，则为与平面所成的角，由，，可知，，若直线与平面所成角的正切值为，即，从而，即，，从而易得，即点为上靠近的一个三等分点，.题型07题型07求二面角1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，在长方体中，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案；（2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案.【详解】（1）连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点，在中，为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为，所以与全等，所以，又，取的中点为M，连接，则有，，所以为二面角的平面角，因为平面，平面，所以，在中，，所以，所以，所以二面角的正弦值为.2．（2026高一下·全国·专题练习）矩形中，，P为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，求解以下问题：(1)在上是否存在点使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，E是线段上靠近点C的三等分点．(2)．【分析】（1）设交于点F，可证，因此只要，就有，进而可得平面；（2）先证，平面，得，计算，从而证明，得出为二面角的平面角，然后由余弦定理计算．【详解】（1）存在．如图所示：连接，，设交于点F，，且，．取的三等分点，使，连接，，，则．又平面，平面，平面．故存在满足条件的点，且是线段上靠近点的三等分点．（2）在矩形中，，，，．又平面平面，平面，平面平面平面，平面，，．在中，，，又，平面，平面，平面平面，为二面角的平面角，在中，，∴二面角的余弦值为．3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面，，，，．(1)在棱（不包含端点）上确定一点的位置，使得，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)点在的中点处，理由见解析(2)．【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质推导出的位置.（2）先确定二面角的平面角，然后根据垂直关系求出其余弦值即可.【详解】（1）如图，由因为平面，平面，．若，因为平面，则平面，平面，故．同理平面，平面，故．所以的充要条件为．取的中点，连结，则的充要条件为．易知点在的中点处（点在处舍去）．（2）如图，过点作，使，则四边形为平行四边形，所以且．因为，所以．又，所以平面．又因为，所以即为二面角的平面角．由平面，平面，得，故，所以，故．4．（25-26高一下·湖南株洲·期中）如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为．(1)求证：平面；(2)设二面角为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求证，即可求证；（2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出.【详解】（1）因为是正方形，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，因为与平面所成角为，所以，则，，因为平面，所以点到平面的距离，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离，在直角梯形中，在中，在中，则在中利用余弦定理得，则，则点到直线的距离为，则.5．（24-25高一下·北京·期末）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，.(1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：；(2)①证明：；②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析．(2)①证明见解析．②【分析】（1）因为，得到，结合线面平行的性质定理得到，通过平行的传递性证得；（2）①作，垂足为连接利用三垂线定理，即可证得；②利用二面角的定义，得到即为所求二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为底面为矩形，所以，又平面,平面,所以.平面，平面平面，又因为，所以.（2）①证明：取的中点，连接,因为，所以，因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为底面为矩形，且，，的中点，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以；②在面内过点作的垂线，垂足为，连接，因为底面为矩形，所以,由题意知平面，由①知，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，所以即为所求二面角的平面角．因为平面，平面，所以，因为侧面为等边三角形，，所以，因为，，所以，所以，同理得，所以,在等腰中，，在中，由余弦定理．二面角的余弦值为.6．如图，在四棱锥中，(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面的夹角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点为，根据等腰三角形性质可得；根据勾股定理，证明；进而通过证明面，再证面面；（2）过作垂足为，过作垂足为，连接，先证即为所求平面与平面的夹角，再结合几何关系求得长度，即可求得结果.【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示：在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故；在三角形中，，又为中点，故，；在三角形中，，故；又面，故面，又面，故面面.（2）因为，故为上靠近的三等分点，过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示：由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面，则，又，面，故面，又面，故；又面面，，面面，故即为平面与平面的夹角；在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；；由（1）知，，故三角形为等边三角形，；在三角形中，，又，故；又面面，故，故三角形为直角三角形；故.，故，故平面与平面的夹角的正弦值为.7．在四面体中，底面、、分别是的中点，点在线段上，且．(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的大小．【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得且，利用平行四边形得出线线平行，即可证明线面平行；（2）作辅助线，利用线面垂直得出线线垂直，证明即为二面角的平面角，再解直角三角形即可.【详解】（1）取的中点为，在线段上取点，使得，连接、、.因为，所以，所以，且.因为和分别为和的中点，所以，且因此且，所以四边形是平行四边形，因此．又因为平面平面，所以平面.（2）因为，所以．因为底面，所以三棱锥的高为，又因为故.连接．因为分别是的中点，所以，又因为平面所以平面过点作，垂足为点，连接因为平面，且平面，所以，又因为，且，所以平面.又因为平面，所以，又，所以即为二面角的平面角,因为平面，且平面，所以．故为直角三角形．在Rt中，，所以所以平面与平面的夹角大小为.题型08题型08二面角中的其他问题1．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.

(1)求证：；(2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）由三角形全等得到，由三线合一得到⊥，⊥，从而得到线面垂直，线线垂直；（2）由（1）得到为二面角的平面角，即，作出辅助线，由（1）知，⊥，证明出⊥平面，并求出，求出，由锥体体积公式得到答案.【详解】（1）为正三角形，为中点，故⊥，因为，，，所以≌，故，又为中点，故⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以；（2）由（1）知，⊥，⊥，故为二面角的平面角，即，因为，，所以，由勾股定理得，过点作⊥于点，由（1）知，⊥平面，而平面，所以⊥，因为平面，，所以⊥平面，其中，即三棱锥的高为，

由勾股定理得，故，三棱锥的体积为.2．（2025高一上·江苏南通·专题练习）如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段的投影.(1)证明：直线平面；(2)求三棱锥外接球的体积；(3)当的面积最大时，求二面角的平面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）先证明平面从而得到，再根据从而证明平面；（2）先证明点为外接球的球心，求出半径即可求出答案；（3）证明，，从而得到即为二面角的平面角，接着证明为直角三角形，利用基本不等式得到的面积最大时，即可得到答案.【详解】（1）因为点在圆的圆周上，为圆的直径，所以，又平面，平面，所以，又平面，，所以平面，因为平面，所以，又为在上的投影，所以，平面，，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，因为为的中点，所以，所以三棱锥外接球的半径为，外接球的体积为（3）因为平面，平面，所以，又为在上的投影，所以，平面，，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，又平面，平面，所以，即为直角三角形，且斜边为定值，所以，所以，当时等号成立，所以，当时等号成立，此时为等腰直角三角形，所以，所以当的面积最大时，求二面角的平面角的大小为.3．（24-25高一下·福建厦门·期中）在四棱锥中，底面是菱形，.(1)若分别是的中点，证明：平面；(2)若，证明：平面平面；(3)若平面平面，且二面角的大小为60°，求的值.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，得出，即可得证；（2）取的中点，连接，利用勾股定理的逆定理可得，结合，可证平面，进而可证结论；（3）过作于点，连接，可证，进而得为二面角的平面角，进而可得，求得，可得，进而利用勾股定理可求得.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，因为为的中点，所以，故四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）取的中点，连接，因为，所以，又因为，所以，因为，四边形是菱形，所以是等边三角形，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（3）取中点，连接，因为底面是菱形，，所以是等边三角形，所以，又因为，所以，所以为二面角的平面角，又二面角的大小为60°，所以，在中，可得所以，因为，所以，在中，，所以，所以4．（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）如图1，是边长为4的正方形，点在的延长线，且，连接，将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点．(1)当为的中点时．求证：平面平面；(2)若，求二面角的正弦值的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面、面面垂直的判定证明结论；（2）由题设，令，根据几何关系法、余弦定理、勾股定理及平方关系求到的距离、到平面的距离，进而求二面角正弦值的范围.【详解】（1）由是边长为4的正方形，且，由都在平面内，则平面，平面，所以，又，都在平面内，则平面，由平面，则，又，为的中点，