人教A版高一数学必修第二册空间几何体的截面、轨迹、外接球、内切球问题专项训练（含解析）

PAGE专题03空间几何体的截面、轨迹、外接球、内切球问题目录TOC\o"1-2"\h\uA题型建模・专项突破 1题型一、截面问题（难点） 1题型二、轨迹问题（难点） 6题型三、墙角模型 12题型四、三组对棱长分别相等模型 15题型五、其他补成长方体模型（重点） 16题型六、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点） 18题型七、正棱锥、圆锥的外接球模型 21题型八、垂面模型（含线面、面面垂直）（重点） 24题型九、内切球 28B综合攻坚・能力跃升 33题型一、截面问题（难点）1．平面截正方体所得的截面不可能是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形【答案】D【分析】通过分析平面去截正方体时，平面与正方体各面相交的情况，来判断可能得到的截面形状，从而确定不可能出现的截面形状.【详解】当平面与正方体的三个面相交时，可以得到三角形截面；当平面与正方体的四个面相交时，能够得到四边形截面；当平面与正方体的五个面相交时，会形成五边形截面；当平面与正方体的六个面都相交时，就得到六边形截面；由于正方体只有六个面，所以平面与其六个面相交最多得六边形，不可能得到七边形或多于七边的图形.故选：.2．（24-25高一下·山西·月考）用一个平面去截正方体，则截面不可能是（

）A．正方形 B．梯形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】D【分析】可根据空间想象或者结合图形等方法解决.【详解】用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三角形.当平面平行于正方体的一个面去截正方体时，截面是正方形，如图，A可能.如图，截面可以是梯形，B可能.如图，当平面截取正方体的三个顶点，截面是等边三角形，C可能.故选：D．3．过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（

）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【答案】D【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可.【详解】在正方体中，平面，平面，所以，又在正方形中，，，所以平面，平面，所以，由于分别为的中点，所以，故，同理，，所以平面，且平面过正方体的中心，故选：D4．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积.【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，

由是的中点，得，则四边形为平行四边形，，由是的中点，得，梯形是正方体被平面所截得的截面，，，所以所求截面的周长是.故选：B5．在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积.【详解】在正方体中，延长交于点，连接交于点，如图，由平面平面，平面平面，平面平面，得，又，且，因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面.在等腰梯形中，过作，，所以截面面积.故选：C6．（多选题）（24-25高一下·江苏宿迁·期末）如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（

）A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形C．直线与直线相交 D．直线与直线相交【答案】ACD【分析】把正四棱台还原成正四棱锥，再结合棱台、棱锥的结构特征逐项判断.【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点，直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面，对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确；对于AB，平面平面，平面平面，平面平面，则，，因此截面是梯形，A正确；在等腰中，在线段上（除端点外），则，而，于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误.故选：ACD7．（24-25高一下·河北·期中）如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________.【答案】【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可.【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面.由为中点，为中点，得，，则，同理.，即，，同理，.，，，所以截面的周长为.故答案为：.题型二、轨迹问题（难点）1．（24-25高一下·湖北·期末）设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______．【答案】【分析】根据满足与平面成的角可得的轨迹为线段和个圆（），故可求其长度.【详解】因为与平面成的角，故在为对称轴且轴截面顶角的一半为的圆锥面上（除去），而在正方体表面上且由正方体的性质有，故的轨迹为线段和个圆（），故点轨迹的长度为，故答案为：.2．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，动点在侧面内（包含边界），若，则点轨迹的长度为___________.【答案】/【分析】过点作，过点作，结合已知得，再结合平面几何知识即可求解.【详解】如图所示，过点作于E，过点作与，因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，因为直线平面，所以，因为，，，所以，又因为，所以，因为点在侧面内，所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示：点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧，显然，，所以，所以.故答案为：.3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为______．【答案】/【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解.【详解】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，因为，分别为，的中点，所以，同理可得，因为，，所以四边形是平行四边形，可得，所以，同理可证，，所以，，，，，共面，因为，面，面，所以平面，若平面，则点在平面内，又因为点在上底面（含边界），所以点在面与面的交线上，所以点在线段上，则点轨迹长度为.4．（24-25高一下·河南商丘·期末）在棱长为的正方体中，点E是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点，且满足，则动点P的轨迹长度是______．【答案】/【分析】①以为直线与AC所成的角或其补角，利用余弦定理求解；②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H，则点的轨迹是六边形.【详解】①连接，易得，所以为直线与AC所成的角或其补角．又，由余弦定理得，即直线与AC所成角的余弦值为．②分别取，AB，AD的中点F，G，M，N，H，连接EF，FG，GM，MN，NH，HE，，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，因为F，M，N分别是，AB的中点，所以，所以，同理可得，所以E，F，G，M，N，H六点共面，且六边形EFGMNH为边长为的正六边形，因为平面，平面，所以BD，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为N，H分别为AB，AD的中点，所以，，同理可得，又，平面，所以平面，因为，所以点的轨迹是六边形，所以点P的轨迹长度为．5．（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，为直四棱柱表面上的动点，若，，，四点共面，则动点P的轨迹的长度为______．【答案】【分析】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的柱长和结构特征得到截面的各边长.【详解】设直线分别于得延长线交于点，连接，交于点，连接，交于点，连接，所以动点P的轨迹为直四棱柱的截面五边形.由平行线分线段比例可知：，故，故为等腰直角三角形，所以，故，则，.所以五边形的边长为：.故答案为：.6．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知正方体的棱长为，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度为________．【答案】/【分析】先证明平面即平面，再找出动点的轨迹为线段，最后计算的长度即可.【详解】如图，取的中点，连接交于点，连接、交于点，连接、，因为是棱的中点，所以，则为的四等分点且，由正方体的性质可知且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以、、、四点共面，所以平面平面，连接交于点，因为是侧棱上的动点，直线交平面于点，所以线段即为点的轨迹，如图在平面中，过点作，交于点，则为的中点，因为，所以，所以，所以，又因为，，所以，所以故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于找出动点的轨迹，再将其放在平面中进行求解.题型三、墙角模型1．（23-24高一下·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得长方体对角线长得外接球直径，再计算球的表面积即可．【详解】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为，球的表面积为，故选：A．2．（24-25高一下·黑龙江·期末）在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的体对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积．【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为，则，所以，所以球的表面积为.故选：B．3．古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积.【详解】由于平面，平面，所以，由于四边形是矩形，所以，所以两两相互垂直，所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为，所以四棱锥的外接球的直径，即，所以四棱锥的外接球的体积.故选：A4．已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________.【答案】【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可.【详解】因为，显然有，，，因此两两互相垂直，补成长方体如图所示：该长方体的对角线长为，所以该三棱锥的外接球的半径为，因此该三棱锥的外接球表面积为，故答案为：

题型四、三组对棱长分别相等模型1．在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可.【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线，设这个长方体各棱长分别为，则有，各式相加得，设外接球半径为，则有，外接球表面积.故选：C．2．（2025高一·全国·专题练习）在四面体中，三组对棱的棱长分别相等且依次为，，5，则此四面体的外接球的半径______．【答案】【分析】将四面体补形为为一个面对角线长分别为，，5的长方体，则长方体外接球即四面体外接球.【详解】四面体中，三组对棱的棱长分别相等，可将其补形为一个面对角线长分别为，，5的长方体．设长方体长宽高为，由题有：，即长方体体对角线长为，则长方体外接球半径，即四面体外接球半径为.故答案为：题型五、其他补成长方体模型（重点）1．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球的性质即可得解.【详解】依题意，将三棱锥补形成正方体，如图，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，因为，则该正方体的体对角线长为，所以外接球的直径，，则外接球的体积．故选：C2．已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，得到正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，结合正方体的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直，可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内，可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，设正三棱锥的外接球的半径为，则，即，所以正三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.3．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将三棱锥转化为长方体，结合长方体的外接球以及长度关系运算求解.【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，

可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球，则，可得，则外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.4．球O是棱长为1的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为______.【答案】【分析】将正四面体补形为正方体，利用正四面体和正方体有同一外接球求解即可.【详解】如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球，即球O是棱长为1的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球，因为正方体棱长为1，则体积为1，可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积，即球O的内接正四面体体积为.故答案为：.题型六、直棱柱、圆柱、棱台、圆台的外接球模型（常考点）1．已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆的截面性质与圆柱的结构特征，结合勾股定理求出球的半径，从而得解.【详解】依题意，圆柱的底面半径为，高为，因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为，则，即，所以球的表面积为，故选：B.2．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据几何体特征确定球心位置，结合勾股定理可得答案.【详解】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处，记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形；因为正三棱柱的高为2，，所以，，所以.故选：B3．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解.【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为，因为，，在中由正弦定理有，则，则有，所以，所以球的体积为：

，故选：D.4．已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______.【答案】【分析】由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可.【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以.设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为，当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，

则，消去和得，平方化简得，平方化简得，解得，此时，此时圆台的体积为；当球的球心在圆台内时，

则，消去和得，平方化简得，解得可得与矛盾，综上，该圆台的体积为.故答案为：5．（24-25高一下·天津·期中）已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_____________.【答案】【分析】根据正三棱台性质找出其外接球球心所在位置即可求得其半径，再由球的表面积公式计算可得结果.【详解】如下图所示：在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为，由正三棱台性质可知在上，易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为；可得，即；即，又，设，则，解得；所以外接球半径为，可得则该球的表面积为.故答案为：题型七、正棱锥、圆锥的外接球模型1．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果.【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示：取线段的中点，连接，则，因为，，设点在底面的射影为点，则为正的中心，且，，设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为，则，由勾股定理可得，即，解得，因此，该正三棱锥的外接球的表面积为.故选：A.2．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知一个正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的顶点都在球的球面上，则球的体积等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，利用正四棱锥的特征，过作棱锥的高，过球心且交于与的交点，连接，设球的半径为，在中，利用勾股定理构建方程，即可求出球的半径，求得球的体积.【详解】如图，正四棱锥外接于球，过作棱锥的高，过球心且交于与的交点，连接，设球的半径为，则，，且，所以，即，解得，所以球的体积为.

故选：A3．（24-25高一下·云南·月考）已知一圆锥的底面半径和高都等于1，则它的外接球的体积________．【答案】/【分析】首先利用勾股定理求出外接球的半径，进而根据球的体积公式即可求出外接球的体积.【详解】根据勾股定理可得：.将代入得：.解得.所以圆锥的外接球的体积为.故答案为：.4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的外接球体积为_____________.【答案】【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，由此作出圆锥的外接球的草图，根据勾股定理即可求出外接球半径，然后再根据球的体积公式，即可求出结果．【详解】由于圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面圆周长为，母线长为2，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高为，所以圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，作出圆锥的外接球的草图，如下：则，设外接球的半径为，则，在中，，所以，解得，所以圆锥的外接球的体积为．故答案为：.题型八、垂面模型（含线面、面面垂直）（重点）1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为______．【答案】/【分析】由题意作图，根据外接球的性质确定球心位置，利用余弦定理、正弦定理以及勾股定理，结合球的表面积公式，可得答案.【详解】由题意，取的外接圆圆心为，取的中点为，空间中取点，连接，其中，平面，如下图：则点是三棱锥的外接圆圆心，在中，由余弦定理可得，即，所以，因为平面，平面，所以，又，则在平行四边形中，，易得，则外接球表面积为.故答案为：.2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______.【答案】52π【分析】由题可得三棱锥为侧棱垂直于底面的三棱锥，据此可由图确定外接球球心，据此可得答案.【详解】由题，折叠后可得，又平面，则易得平面.设为外接圆圆心，过做平面垂线，则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面，过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形.取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心.易得，由正弦定理可得，则外接球半径满足.则外接球的表面积为.故答案为：.3．（2026高一·全国·专题练习）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是____.【答案】【分析】分别求出和外接圆的圆心，利用几何关系寻找外接球球心和外接圆圆心的数量关系，即可得到外接球的半径.【详解】因为是等腰直角三角形，设的外接圆圆心为，因为，，则的外接圆半径，因为侧面是等边三角形，设其外接圆圆心为，半径为，由正弦定理可得，解得，因为平面平面，过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为四面体外接球的球心，设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离，在等边三角形中，到的距离为，即，所以外接球的半径，所以.4．（24-25高一下·山东威海·期末）已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为_______．【答案】/【分析】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，由题意先求，利用正弦定理求，利用勾股定理求，进而得，利用余弦定理求，最后利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】设三棱锥的外接球半径为，外接圆半径为，圆心为，所以，又，，由正弦定理有，过作平面，则，所以，所以，在中，由余弦定理有，即，化简整理有，解得，所以，所以，故答案为：.5．如图，在直角梯形中，，，将沿直线翻折至的位置，当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】【分析】根据题意，当三棱锥的体积最大时，平面平面，取的中点，证得平面，可求得，在直角中，得到，得到为三棱锥外接球的球心，再由求得面积公式求解即可.【详解】如图所示，设点到平面的距离为，因为，且为定值，所以当三棱锥的体积最大时，只需取得最大值，此时平面平面，取的中点，连接．因为且，所以且，因为平面平面，且平面，所以平面，取的中点为，连接，因为平面，所以，因为在梯形中，，，所以，则，所以，且，在直角中，，在直角中，根据直角三角形的中线性质，，所以，即为三棱锥外接球的球心，设三棱锥外接球的半径为，则，所以．故答案为：.题型九、内切球1．（24-25高一下·广东江门·期末）棱长为2的正方体的内切球的表面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方体内切球的性质，求出内切球半径，计算表面积；【详解】易知正方体内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球半径为1，则表面积为；故选：B.2．已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解.【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为，球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心，则，，因为，所以，又，，则，解得，故该圆锥的内切球的表面积为.故选：C3．已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若，则圆台的体积与球的体积之比为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据相切，可得，即可得，进而根据体积公式即可求解.【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，设球的半径为，圆台上下底面的半径为．注意到与均为角平分线，因此，从而，故．设圆台的体积为，球的体积为，则故选：A．4．已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先确定球心的位置，在正四棱锥中，球心在高线上，再利用等体积法，求解内切球的半径；【详解】；其中，，由于；则，；故选：B.5．已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为____.【答案】【分析】点为等边的中心，点为的中点，设，即底面三角形的内切圆的半径，由题意可知正三棱柱的高，求出外接球的半径，结合球的表面积可得，进而可求正三棱柱的体积.【详解】如图，点为等边的中心，点为的中点，设，则，，则的内切圆的半径为，因为此正三棱柱既有内切球又有外接球，设为正三棱柱内切球的球心，则点也是外接球的球心，由内切球的半径为，可得，则正三棱柱的高，正三棱柱的外接球的半径，因为外接球的表面积为，则，解得，所以该三棱柱的体积.故答案为：.6．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______．【答案】【分析】设四面体的棱长为，求出正四面体的高，可得其体积，设正四面体的内切球半径为利用等体积法可得则,从而得到内切球的半径即可求解.【详解】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段，所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为，所以正四面体的体积设正四面体的内切球半径为则，所以内切球表面积，又正四面体的表面积，所以7．（2026高一·全国·专题练习）如图，在棱长为4的正四面体中，大球内切于该正四面体，小球与大球及正四面体的三个侧面相切，则小球的表面积为________.【答案】/【分析】根据条件作出图形，利用正四面体的结构特征及锥体的体积公式求出两个球的半径，进而求出球的表面积.【详解】在正四面体中，平面，四点共线，点是的中点，连结，切点在上，

由正四面体的棱长为4，得，，则，设球的半径为，由，得，设球的半径为，则，即，解得，所以小球的表面积为.故答案为：1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可．【详解】因两两垂直，故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球，故球的半径为，则球的表面积为.故选：A.2．（23-24高一下·重庆·期末）四棱锥中，平面ABCD，四边形为矩形，，，若四棱锥的外接球的表面积为，则（

）A．3 B．6 C．2 D．2.5【答案】A【分析】首先根据题意将四棱锥中补全成长方体，根据表面积可得球半径，再求长方体的外接球半径即可．【详解】将四棱锥中补全成长方体，如图所示：所以四棱锥的外接球即为长方体的外接球．由于四棱锥的外接球的表面积为，故球半径满足，故，则外接球的半径为，．故选：A．3．已知三棱锥中，且AB=CD=，BC=AD=，AC=BD=，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线与三棱锥外接球直径的关系，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥补成长方体，如图，设长方体的长、宽、高分别为，由于三棱锥的棱长满足，，，根据长方体面对角线的性质，可得，即，所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以，所以外接球的表面积.故选：A4．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解.【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，，则三棱锥可补成如图所示的一个长方体，其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球，在直角中，可得，设三棱锥的外接球的半径为，可得，所以，则球的体积为.故选：B.5．已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将直棱柱补全成长体即可知道其外接球直径，进而可求其体积.【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体，则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径，所以其半径为球O的体积为，故选：．6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】四面体的所有棱长都为的四面体是正四面体，将正四面体放入正方体中，即可求解.【详解】因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球，故正方体的棱长为，外接球半径为，所以.故选：C.7．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正三棱锥的外接球球心在其高线上，再利用勾股定理由方程来求解半径，即可求外接球的表面积.【详解】根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接，由等边三角形，其边长，可知，再由勾股定理得：，设外接球半径为，结合勾股定理：可得：，解得：，由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程，故该外接球的半径仍为，所以该外接球的表面积为：，故选：A8．已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆台的底面面积和体积公式，求得圆台的底面圆半径以及高；再根据外接球球心的几何特点，列出等量关系，进而求得球半径，再求球的表面积即可.【详解】设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为；由题可知：，，解得；设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为，显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：

若要满足题意，则，也即，，解得，故，则该圆台外接球表面积.故选：B.9．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直三棱柱的对称性得到其外接球的球心为的中点，再利用正余弦定理求得底面外接圆的半径，结合球的截面性质求得外接球的半径，从而得解.【详解】设的外心为，的外心为，连接，如图所示，由题意可得该三棱柱的外接球的球心为的中点．在中，由余弦定理可得，则，由正弦定理可得外接圆的直径，则，而球心O到截面ABC的距离，设直三棱柱的外接球半径为，由球的截面性质可得，故，所以该三棱柱的外接球的体积为，故选：B．10．（24-25高一下·广东深圳·期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”，，，则该“刍童”外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积【详解】如图，连接，设，连接．∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段所在直线上，设外接球球心为，易得，因为，则球心不可能在线段之间，其位于的延长线上，如图所示：由得，解得，故,∴外接球表面积为．故选：C.11．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线长为6，则此圆台外接球与内切球表面积之比为（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】利用轴截面图形，把空间问题转化为平面问题，再利用解三角即可得解.【详解】取圆台轴截面如图所示，外接球球心在中轴线上．由勾股定理可知，，设，，则,解得．先设的中点到的距离为，再用等面积法可得：，则有：，此时，从而可知内切球半径，所以，该圆台外接球和内切球表面积之比为，故选：C．12．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在中，，平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，进而可得三棱锥外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可.【详解】由已知得，作下图，设外接圆的半径为，已知，，.根据正弦定理可得，解得.因为平面，所以三棱锥外接球的球心到平面的距离=1，所以外接球半径.所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C13．（24-25高一下·河北·月考）已知正四棱锥的底面边长为3，高为，则其内切球体积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正四棱锥的轴截面，转化成等腰三角形的内切圆问题，转化为直角三角形，运用勾股定理解出内切球半径.【详解】设正四棱锥内切球球心为，其在底面的投影为，则三点共线，内切球半径为，取中点，中点，则正四棱锥内切球半径即为的内切圆半径，因为底面边长为，所以，，因为高为，即，则，所以，在中，即，解得，则其内切球体积是故选：B.14．已知某圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，在该圆锥内置球的体积最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用扇形弧长公式和面积公式，即可求解弧长和底面半径，再借助内切球的性质，可解得内切球半径，从而问题得解.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则由题意可得：，由勾股定理可得：，设圆锥的内切球半径为，如图可知：，由勾股定理可得：，解得：，所以该圆锥内置球的半径最大值为，即此时体积为：，故选：C15．在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】中点到四面体的四个顶