人教A版高一数学必修第二册外接球问题、截面问题专项训练（解析版）

期末复习：外接球问题、截面问题专项训练期末复习：外接球问题、截面问题专项训练考点目录外接球问题截面问题考点一考点一外接球问题例1．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意三棱锥外接球等价于棱长为1，1，的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积.【详解】因为平面，，可将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，则长方体的体对角线即为外接球的直径.又，故外接球的表面积为.例2．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解.【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球，又该长方体的外接球半径为，则球的体积是.例3．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【详解】如图，将正四面体补成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同，设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，外接球的半径为，由，解得，所以正四面体的棱长为.例4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________.【答案】【分析】先确定球心在上下底面中心的连线的中点处，再由垂径定理可得球半径，进而可得球的表面积.【详解】如图：因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径，因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，.所以，球的表面积为.例5．（25-26高一下·福建·阶段检测）若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________.【答案】【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积.【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，则其外接球球心在直线上，设，，设，因为该棱台的体积为，所以，所以，，当球心在线段延长线时，由，设，可得，即，解得，所以外接球半径即，当球心在线段上时，同理可得，即，解得舍去，所以其外接球表面积为.变式1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积；【详解】已知平面，平面，因此,又因为，可得两两互相垂直，将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度，设外接球的半径为，所以，进而求得球的表面积.变式2．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】确定球心，利用勾股定理求出球的半径，进而求解外接球的体积.【详解】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高，因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图，设圆锥外接球的半径为，在中，，所以，解得，所以该圆锥的外接球的体积为.变式3．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接将三棱锥看成一个正方体截得的，因而三棱锥的外接球即为正方体的外接球，从而可得所求表面积.【详解】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥可以看成由一个边长为的正方体截得的，因此三棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径，故三棱锥的外接球的表面积为.变式4．（25-26高一下·广东东莞·期末）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积为______.【答案】【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况，利用勾股定理列出方程即可求解．【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高，．，，由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，则，，若在线段上（如图），由得，因为，，所以方程无实数解；因此在的延长线上（如图），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面积为．变式5．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______．【答案】【详解】在三棱锥中，，则，，两两垂直，三棱锥与以，，为棱的长方体有相同的外接球，因此球的半径，所以球的表面积为．

考点二考点二截面问题例1．（25-26高一下·山东泰安·阶段检测·多选）在棱长为2的正方体中，P，Q，R分别为，，的中点，则下列说法正确的是（

）A．B．直线与所成的角为C．若三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为D．过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形的面积为【答案】ACD【分析】对于A，根据线面垂直判定定理证明平面，即可判断；对于B，说明直线与所成的角为，结合余弦定理验算即可；对于C，只需求出三棱锥的外接球的半径，再结合球的表面积公式验算即可；对于D，说明截面为边长为的正六边形，然后根据面积公式验算即可.【详解】对于A，因为四边形为正方形，所以，由正方体性质可得平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，A正确；对于B，如图所示，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以直线与所成的角为或其补角，而，所以，所以，故B错误；对于C，如图所示，，所以三角形的外接圆半径为，显然平面，且，所以三棱锥的外接球的半径为，所以球的表面积为，故C正确；对于D，如图所示，取中点，顺次连接，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，同理可证，，而，，平面，所以平面，根据前面的假设有，，所以四点共面，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以六点共面，因为，平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为平面，，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面，所以六边形即为过点且与直线垂直的平面截正方体所得截面多边形，显然这是一个边长为的正六边形，其面积为，故D正确.例2．（25-26高一下·山西太原·阶段检测·多选）如图所示，已知圆台的轴截面为ABCD，其中，，M为圆弧AB的中点，则（

）．

A．圆台的体积为B．与AB所在直线垂直的母线有2条C．圆台母线所在直线与平面ABCD所成角的最大值为D．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为【答案】ABC【分析】求出圆台的高，根据体积公式判断选项A；把圆台补成圆锥，根据线面垂直的性质判断选项B；把圆台补成圆锥，根据母线与平面所成的角最大判断选项C；利用两条母线所在直线夹角为时截面面积最大判断选项D.【详解】对于A，因为，，所以圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，所以圆台的高，所以圆台的体积，故A正确；由，,得，因为，所以，如图，将圆台补成圆锥，顶点记为T，底面圆的圆心记为O，连接TO，MO，MT，

则与底面圆垂直，故,因M为AB中点，则．因为平面，则平面,又平面,则,即对应的圆台的母线与垂直，由对称性可知，在直径的另一侧也仅有一条母线与垂直，故与AB所在直线垂直的母线有2条，故B正确.因为平面，所以平面平面ABCD，此时母线所在直线TM与平面ABCD所成的角最大为，而，故C正确；由∠，，可得，，所以，因,则当两条母线所在直线夹角为时，过这两条母线的截面面积最大，为，故D错误.变式3．（25-26高一下·陕西西安·期中·多选）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（

）A．当时，平面B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为D．的最小值为【答案】ABD【分析】对于A，证明即可判断；对于B，当时，截面为梯形，当时，截面为五边形，即可判断；对于C，求出截面为正六边形的面积即可判断；对于D，设的中点为，对平面和平面沿展开，求出线段的长即可判断.【详解】对于A，当时，连接，因为分别为和的中点，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，延长交于点，连接交于点，当时，在线段上，截面为梯形，当时，在延长线上，交于点，连接交于点，截面为五边形，所以，当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形，故B正确；对于C，当时，为中点，因为平面平面，所以截面可以为正六边形，如图：因为正方体的棱长为，所以正六边形的边长为，所以面积，故C错误；对于D，设的中点为，由A可知，所以四点共面，对平面和平面沿展开，如图：四边形为等腰梯形，，，所以，又三角形为等腰三角形，，所以，即，所以，又，所以的最小值为，故D正确.例4．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测·多选）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段上的动点，为正方体内一点，则以下命题正确的是（

）

A．取得最小值B．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形C．四面体的外接球的表面积为时，D．当为线段中点时，过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为【答案】ABD【分析】选项A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面，进而得到的最小值.选项B，取中点，通过计算得到四边形是菱形，即可判断；选项C，当时得到两两垂直，则四面体的外接球的直径，从而得到，求出外接球表面积；选项D，正方体外接球的球心为体对角线中点，求出球的半径，当截面垂直于时，截面圆半径最小，求的最大值为球心到的距离，从而得到即可判断.【详解】选项A，将正方体侧面与底面沿展开到同一平面，则，此时、、三点共线时，等号成立，则取得最小值，故A正确.

选项B，取中点，连接，正方体的棱长为2，为线段中点，则，则四边形是菱形，则平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确.

选项C，当时，因为两两垂直，所以四面体的外接球的直径,则，此时外接球表面积为，故C错误.选项D，正方体外接球的球心为体对角线中点，半径，当截面垂直于时，截面圆半径最小，，的最大值为球心到的距离，即，故，截面面积最小值为，故D正确.变式1．（25-26高一下·山东淄博·期中·多选）如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（

）A．若，则点的轨迹长度为B．若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为【答案】ABD【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D.【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以，因为，则，则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图，所以点的轨迹长度为，故A正确；对于B选项，如下图所示：延长分别交直线、于点、，连接交于点，连接交于点，连接、，所以五边形为所求截面，因为为的中点，所以，因为，所以，又因为，故，所以，因为，所以，所以，由勾股定理可得，，，同理可得，，，故截面周长为，故B正确；对于C选项，如图所示，，取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上，所以外接圆半径，依题意易知，，根据正弦定理可知，，则，过点作底面的垂线，由于底面，设为三棱锥的外接球的球心，则，而，则，又，则三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误；对于D选项，因为平面，所以与的夹角为，故，则，所以点在以为圆心，为半径的圆弧上，连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于，在中，，则，故，如图在平面中，过点作于点，则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确．变式2．（25-26高一下·江苏镇江·期中·多选）在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（

）A．底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线B．异面直线和所成角的范围C．存在点，使得D．若，则过点的截面面积为【答案】ABD【分析】对于A，根据异面直线的判定定理即可判断；对于B，异面直线和所成角即直线与所成角（或补角），结合正方体的性质即可求解；对于C，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，求出即可判断；对于D，延长交于点，利用相似可得为的中点，取的中点，连接，可得过点的截面为菱形，利用菱形的面积公式即可求解.【详解】对于A，由异面直线的判定定理可知：底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线，故A正确；对于B，由于在正方体，,所以异面直线和所成角即直线与所成角（或补角）由于，当位于中点时，异面直线和所成角最大，最大角为，当位于或点时，异面直线和所成角最小，最小角为，所以异面直线和所成角的范围，故B正确；对于C，如图所示，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，在，可得所以不存在点，使得，故C错误；对于D，延长交于点因为，所以，所以，即为的中点，取的中点，连接，所以，且，即四边形为平行四边形，则过点的截面为平行四边形，由于，则平行四边形为菱形，由于，，则菱形的面积为，即过点的截面面积为,故D正确.变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中·