（人教A版）高一数学下学期期末模拟卷（含答案解析）

-2026学年高一下学期期末模拟卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：人教A版必修第二册全册（平面向量及其应用+复数+立体几何初步+概率+统计）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足，则（

）A． B． C． D．2．如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（

）A． B． C． D．4．已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（

）A．40 B．50 C．60 D．705．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（

）A． B． C． D．7．甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（

）A． B． C． D．8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（）A． B．2 C． D．1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（

）A．若，则 B．C．若，则 D．10．已知样本数据，，…，的平均数是3，方差是2，样本数据，，…，的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（

）．A．数据，，…，的平均数是7B．数据，，…，的方差是16C．数据，，…，，，，…，的平均数为3D．数据，，…，，，，…，的方差为411．正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是（

）

A．B．点P的轨迹是椭圆BC．存在点P，使D．棱长为的正四面体能够被整体放入内第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________．13．已知在中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________．14．在中，若，是的平分线，，则的长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根(1)设满足方程，求；(2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.16．（15分）已知的内角所对的边分别为，且，．(1)求；(2)若的面积为，求的周长；(3)求的取值范围．17．（15分）某校举行了数学、英语两门学科竞赛，两门学科竞赛前10名成绩的茎叶图如下：数学竞赛前10名分数英语竞赛前10名分数864200864214130012346789(1)分别求出数学、英语竞赛前10名分数的平均数、标准差；(2)经检查发现：有一名同学的数学与英语竞赛成绩均在前10名，但是老师却将其数学与英语竞赛成绩统计反了，已知正确的数学竞赛前10名分数的平均分为141，标准差为.（i）求正确的英语竞赛前10名分数的标准差；（ii）为了便于成绩分析，对数学竞赛前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为、标准差为.请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数学竞赛分数，表示数学竞赛分数对应的“分数”，为常数），并证明.（参考公式：）18．（17分）如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点.(1)求证：平面平面POB；(2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为，①求的值；②二面角的正切值.19．（17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体中所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体中所有以为顶点的面．如图，已知直四棱柱的所有棱长均为2．(1)求直四棱柱在顶点，，，处的离散曲率和；(2)若直四棱柱在顶点，处的离散曲率和为，为的中点．（i），分别为，的中点．作出平面截直四棱柱所得截面（保留作图痕迹，不需写作图过程），并求该截面的面积；（ii），分别为底面和的边界及其内部的两动点，求的最小值．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCADDCBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BCDABDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.13.14.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，设的表达式，再结合已知方程求解；（2）先根据求出，进而得到向量的坐标，再结合向量夹角为钝角的条件列出不等式求解；【详解】（1）因为是实系数一元二次方程的两个虚根，所以互为共轭复数，设，则，将代入可得，即，根据复数相等的条件，可得，解得所以，6分（2）设，则，故与，那么，，由于向量与的夹角为钝角，那么且向量与不共线，则解得且，故实数的取值范围为13分16．（15分）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可；（2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出a2+c2（3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解.【详解】（1），且.整理得由正弦和角公式：，由正弦定理，代入得两边除以得整理得即，即因为，所以，故，得4分（2）已知面积，且，.由面积公式故，得.由余弦定理代入，：整理得而，因为，故.因此周长为9分（3）由正弦定理：，故，.又，，故，其中.因为，所以，则，故15分17．（15分）【答案】(1)数学、英语竞赛前10名分数的平均数分别为140、140；标准差分别为；(2)（i）正确的英语竞赛前10名分数的标准差为；（ii），，证明见解析.【分析】（1）根据茎叶图给出的数据，利用平均数、标准差公式直接计算；（2）（i）由数学平均分的差异说明该同学正确的成绩应该是数学比英语多10分，找到可能的数据，利用标准差验证；（ii）给定线性转换公式，并验证.【详解】（1）设数学、英语竞赛前10名的平均分分别为、，标准差分别为、，则，，5分（2）（i）因为正确的数学竞赛前名的平均分为，所以正确总分比错误的总分多了分，所以该同学数学成绩与英语成绩相差分，由茎叶图，可能是英语132分数学142分统计反了；也可能是英语134分数学144分统计反了；若英语132分数学142分，则；若英语134分数学144分，则；所以是英语132分数学142分统计反了.所以英语正确的平均分，英语正确分数的标准差；10分（ii）设转换公式为，则，所以，将代入，得，所以，，即满足要求的线性转换公式为：，下面证明因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是，标准差为，则转换后的平均分；因为，所以转换后的标准差，即转换公式满足条件得证15分【点睛】利用转换公式建立新旧数据平均数与标准差的关系，确定的取值是关键.18．（17分）【答案】(1)证明见解析(2)①，②二面角的正切值为【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论；（2）①设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值；②取靠近点的四等分点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果.【详解】（1）连接，因为底面中，，，所以四边形为正方形，所以，因为侧面为等边三角形，O是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；5分（2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点，所以，，，因为平面，平面，所以，所以，因为，所以，所以，设点到平面的距离分别为，因为，所以，，解得，因为三棱锥的体积为，所以，所以，解得，所以，所以，因为，所以，11分②取靠近点的四等分点，连接，则//，因为平面，所以平面，因为平面，所以，过点作于，连接，因为，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，因为，所以四边形为矩形，所以，所以在中，，所以二面角的正切值为17分19．（17分）【答案】(1)1(2)（i）如图所示:截面的面积为（ii）【分析】（1）依托离散曲率定义列式求和，结合四边形内角和化简算出四点曲率和为1.（2）（i）由、曲率和推出底面内角为直角，判定几何体为正方体，找棱中点连成正六边形截面并套用正六边形面积公式得.（ii