高等代数与解析几何习题及答案

1第二章.方阵的行列式2.1行列式的定义班级姓名学号一选择i,k,使得1)1274i56k9成偶排列;2)1i25k4897成奇排列.二确定排列n(n—1)···21的逆序数,并讨论它的奇偶性.三在6阶行列式中,a23a31a42a56a14a65;a32a43a14a51a66a25这两项应该带什么符号.2四按定义计算下列行列式:000 0000n0000n......0000,,,,,,,,,,,,,,五利用行列式的定义计算f(儿)=,,,,,,,,,,,32.2行列式的性质班级姓名学号一计算下列行列式423423x+,,,,4),,,,a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4二证明三计算n阶行列式mx2,x2,x2...n,,,,,,,,,,,52.3行列式按一行展开班级姓名学号1计算下列n阶行列式6 2证明以下各题0 an170,n-2,,n-1,,8 11+an192.4克拉默(Cramer)法则班级姓名学号一用克拉默法则求解下列线性方程组:('''''''':'3+24=6;3+24=5;4=3;34=4;('''''''':'1+22+334=6;=8;23+24=4;3+第2章检测题班级姓名学号一填空题1.当i=,k=时,1734i5k92为偶排列.2.4阶行列式中含有因子a21a34的项为和.223.行列式D=,,=(其中未写出的元素都是0).34二已知计算A13+A23+A33+A43.三计算4阶行列式四如果排列x1x2···xn-1xn的逆序数为k,则排列xnxn-1···x2x1的逆序数是多少?五计算下面的行列式:,,,,(1),,,,nn六计算n阶行列式:,,n-1an,,n七证明n阶行列式:n+儿n-1y+···+儿yn-1+yn.八计算n阶行列式:2九设其中a1,a2,···,an-1是互不相同的数。(1)由行列式的定义,说明P(x)是一个n—1次多项式;(2)由行列式的性质,求P(x)的根.1第2章方阵的行列式一:选择i,k使得•1274i56k9成偶排列;•1i25k4897成奇排列.解:•i,k从3,8中选取,当i=3,k=8时,τ(127435689)=5,排列127435689成奇排列,从而i=8,k=3时,127485639成偶排列.•i,k从3,6中选取,当i=3,k=6时,τ(132564897)=5,排列132564897成奇排列.二:决定排列n(n一1)···21的逆序数,并讨论它的奇偶性.解:当n=4k,4k+1时,排列n(n一1)···21为偶排列;当n=4k+2,4k+3时,排列n(n一1)1=4k,即n=4k或4k+1.故n=1=4k,即n=4k或4k+1.故n=4k+2或n=4k+3.三:在6阶行列式中,a23a31a42a56a14a65;a32a43a14a51a66a25这两项应该带有什么符解:a23a31a42a56a14a65=a14a23a31a42a56a65,τ(431265)=6,从而a33a21a42a56a14a65带正号;a32a43a14a51a66a25=a14a25a32a43a51a66,τ(452316)=8,从而a32a43a14a51a66a25带正号.2jAj=(1)τ(n1;n2;···;1;n)n!解:x4的项只能由a11a22a33a44组成,为2x4,故f(x)中x4的系数为2.x3的项只能由a12a21a33a44组成,为(一1)τ(2;1;3;4)x·1·x·x=一x3,故f(x)中x3的系数为1.32.行列式的性质一、(1)解:'1000'1000721621''11621''01621'(2)解:'2('2(x+y)xy''0x-y-x'(3)解:'''''''-1-1-1''00-4'(4)解:C4C4-C3''''22d二、证明:2b2c2''453.行列式按一行展开(化简中间用等号连接)班级姓名学号一:计算下列n阶行列式.IIIIIIIIyxyxIII..II0000yIIxI212212.....2IInn0...IIIIIIIIIIIIIIb2b2b1b1b1a1a2anIIIIbnIbnI1...IIb2bnIb2bnI223222223222I2222解:1)D=xn+(1)n+1yn(按第1列展开)6二:证明以下各题.0n+1n+1解:n0''n'解:7D0x00x0''=2;3''=2;3;...;n)'''00'00''''..a0a1+a2++...x+an1+a2+''''''x2'n1(x+an1+a2+···+''''n··+a1x+a0步骤1:验证初始值(n=1;2)当n=1时:D1=α+βß而满足结论.故D2也满足结论.步骤2:n≥3时的递推关系于是DnβDn一1=α(Dn一1βDn2)=α2(Dn2βDn3)=···=αn2(D2βD1)=αn(1)故Dn=αn+βDn一1=αn+β(αn一1+βDn一2)=···=αn+βαn一1+···+βn一2D2=αn+βαn一1+···+βn1α+βn=αn+n+1.或者DnαDn1=β(Dn一1αDn2)=β2(Dn2αDn3)=···=βn2(D2αD1)=βn(2)由可得克拉默法则).8按第n行展开)(教材P114例4.3.5)n+1''n+19第2章检验题一、填空题1.当i=6ßk=8时ß1734i5k92为偶排列.2.4阶行列式中含有因子a21a34的项为a12a21a34a43和一a13a31a24a42.4.设A;B均为n阶方阵ß|A|=2ß|B|=−3ß则|A−1B∗−A∗B−1|=(一1)n·.二:已知计算三:计算4阶行列式''−d−cba''四:如果排列x1x2···xn−1'xn的逆序数为kß'排列xnxn−1···x2x1的逆序数是多少?−ka202a3•••''-a-a-a···-ax•七:证明n阶行列式八:计算n阶行列式''2n−1'•由行列式的定义ß说明P(x)是一个n−1次多项式.•由行列式的性质ß求P(x)的根为a1;a2;···;an−1(即P(ai)=0ßi=1;2;···;n−1).六(D4):考虑n+1阶范德蒙行列式.'n+1'多项式f(y)的yn−1的系数为(−1)n+n+1|A|=(−1)2n+1|A|=−|A|;但从上式右端知ßyn−1系数为−(x1+x2+···+xn)Π1≤i<j≤n(xj−xi);二者相等ß从而|A|=(x1+x2+···+xn)Π1≤i<j≤n(xj−xi).六、D1九:(1)将P(x)按第一行展开知它是x的多项式,又xn−1的系数为(−1)n+1乘以一个范德蒙行列式,其值不为0(各故P(x)为关于x的n一1次多项式.(2)取x=ai(i=1,2,···,m),则行列式中两行相同,其值为0,即P(ai)=0,故a1,a2,···,an一1是P(x)的全部根.三:直接计算较困难,所给行列式易于利用行列式乘法公式求得D=D4D,再确定D4的符号即可求出D4.解:2+b2+c2+d2''''''d'2)4.0a2+b2+c2+d20000a2+b2+c2+d20''2+b2+c2+''所以D4=±(a2+b2+c2+d2)2。根据行列式定义可知,D4的展开式中有一项为(一1)τ(1234)a11a22a33a44=a4,于是DA=(a2+b2+c2+d2)2.四:在n个数中比xi大的数有n一xi个.中,由xi与比它大的各数构成的逆序对的和为n一xi.于是,在这两个排列中,由各xi构成的逆序总数为:五:将Dn最后一列各元素拆成两组数的和ß则''''于是Dn=(1)na1a2···an+Dn一1=(1)na1a2···an+(1)n1a1a2···an一1+···+a1a2a1+1八:将Dn按第1列展开得Dn=9Dn一1一20Dn一2,由于D2=61ßD1=9,于是:Dn5Dn一1=4(Dn一15Dn2)=···=4n2(D25D1)=4n①Dn4Dn一1=5(Dn一14Dn2)=···=5n2(D24D1)=5n用式②-①得:于是六:(D3)将Dn的第n行元素看成两组数之和ß再将Dn拆成两个n阶行列式之和:'''-a-a-a···xa''''''-a-a'''即Dn=(x-a)Dn-1'+a(x+a)n-1①'由于D=Dn,即将Dn中的a换成-a,行列式的值不变ß故Dn=(x+a)Dn-1-a(x-a)n-1②(x+a)①-(x-a)②得(x+a)Dn-(x-a)Dn=a(x+a)n+a(x-a)n=2aDn;于是Dn=n+(x-a)n](a≠0).11矩阵及其运算一、解:1)2)解:(数学归纳法)假设n=k时成立ß即即当n=k+1时等式成立.综上可知ß原命题成立.IIcosn'-综上可知ß原命题成立.II'cosn',I解:2×1+3×(-1)+(-1)×(-1)=0;2333333I2214)解:设则A2=4E,当n=2k时,An=A2k=(A2)k=(4E)k=22k·E=2nE;当n=2k+1时,An=A2k+1=(A2)k·A=22kE·A=2n一1A.解:设从而由AB=BA可得证明:充分性:A=B+E);A2=A.则B=2A一E.于是B2=4A24A+E=4A4A+E=E,即B2=E.必要性:B2=E;A=B+E),则A2=B+E)2=B2+2B+E)=E+2B+E)=B+E)=A;即A2=A.33.2矩阵的分块与初等矩阵一、证明:A1s,I证明:(数学归纳法)(I)当n=1时,A=0,则A1=A=0,即n=1时命题成立.当n=2时则即n=2时命题成立.(II)假设n=k时命题成立,即A=Ok,下面来看n=k+1的情形.其中ek=(0;0;···;0;1)T表示第k个元素为1,其余元素为0的列k维列向量.则其中从而4于是进而00···00(k+1)×(k+1)000···0(k+1)×(k+1)=O(k+1)×(k+1);即当n=k+1时,A=Ok+1.综上(I)、(II)知,对任意的n,An=On.证明:(数学归纳法)当k=1时显然成立.其中ek表示第k个元素为1ß其余元素为0的n一1维列向量.则其中5从而即当n=2时命题成立.假设k=n2时命题成立,即An即当k=n一1时命题成立.63矩阵的逆一、二、解:X一一0三、解:令AX=B,其中A一从而X=A一(1)解:由于ABE可逆,则(ABE)1存在.(AB1)B·(ABE)1=(ABE)(ABE)1=E,从而AB1可逆,并且(AB1)1=B·(ABE)1.(2)解:(AB1)1一A1=B(ABE)1一A1=B(ABE)1一BA1A1=B[(ABE)1(AB)1]令D=(ABE)1(AB)1,D可逆,且D1=(AB)(ABE),故(AB1)1A1可逆,证明:考虑乘积:(EA)(E+A+A2+···+Ak1)=EAk由于Ak=0,有:EAk=E0=E因此ß(EA)1=E+A+A2+···+Ak1.74线性方程组一、(1)解:135-40j1r1$r5(I1-400-2j-602-2j14-3-1j-14I4I因为R(A)=R()=4<5,从而有无穷多解.取x5为自由未知量,令x5=k,从而原方程组的通解为:8(2)解:(2)解:R(A)=3,R(A)=4,从而原方程组无解.(3)解:唯一解:(4)解:A初等变换从而有无穷多解.,I通解为9第3章检测题一、填空题(A1O)Id(ca,解:找矩阵B,使得AB=E(或BA=E),则A一1=B.且A为找矩阵B,使得(A+2E)B=E,则(A+2E)1=B.根据A2A2E=0,可设(A+2E)(A+aE)=bE,即A2+(a+2)A+(2ab)E=0从而于是即=4E,解即A可逆,A*=jAjA1,解:由于A3=A2·A=2·A2=2·2A=4A=22A.猜测An=2n一1A(利用数学归纳法证明).假设n=k时:Ak=2k一1A,当n=k+1时:Ak+1=Ak·A=2k一1A·A=2k一1A2=2k一1·2A=2kA.020解:法1:由于AB一A=B,即A(B一E)=B,而B一E=B200I七、解:由Arr3A1,B12B1,从而P(2;3(一2))A=A1,BP(2;1(1))=B1,其中又A1B1=P(23(一2))A·BP(21(1))=P(23(一2))·AB·P(21(1)),即4A−1X·A=8A−1X+E,等式两边左乘以A,4XA=8X+A,即4X(A−2E)=A,当A−2E可逆时,故令,其中A为k阶方阵,B为r阶方阵,则A,B可逆(→D可逆.证明:充分性:A,B可逆,则D可逆,且必要性:由于D可逆,设由于故故A,B可逆.分块矩阵AB左乘初等分块方阵Em0,相当于将AB中的第一行左乘以P后加到第二行上.[根据则D可逆(→A,B可逆.]选择合适的P,使C+PA=0,从而P=−CA−1(A可逆),于是(AB)充分性:M可逆,则BI可逆,故D−CA−1B可逆−1B.必要性:A可逆ßD一CA一1B可逆ß从而BI可逆ß从而M可逆.CA1B,I选择合适的P,使B+PD=0,从而P=一BD一1(D可逆).于是充分性:M可逆ß则A一BD一1C0可逆ß故A一BD一1C可逆.必要性:D可逆ßA一BD一1C可逆ß从而A一BD一1C0可逆ß故M可逆.13.矩阵代数3.1.矩阵及其运算班级姓名学号一设计算AB,AB-BA,BTAT.二计算下列各题nn2三计算下列所给方阵的多项式f(A):.四求所有与矩阵可交换的矩阵.五如果证明A2=A当且仅当B2=E.33.2.矩阵的分块与初等矩阵班级姓名学号sA二设证明:An=0.n×n4三设A=00En-11证明:Ak=00En-kEk0A,,n.1(k=12···A,,n.5班级姓名学号一求下列矩阵的逆:二设已知A-1,C-1存在,求X-1;并求6三求解矩阵方程.四设A,B,AB—E可逆.证明:1)证明A—B-1可逆,并求其逆阵;2)证明(A—B-1)-1—A-1也可逆,并求其逆阵.五证明:若Ak=0,则(E—A)-1=E+A+A2+···+Ak-1.7班级姓名学号一用高斯消元法求解下列线性方程组:8('''''''':'34=4;23+1+32+4=1;2+33+('''''''':'23+74=0;34=0;23+34=0.9第3章检测题班级姓名学号一填空题其中A,D可逆,则T-1=.则A-1=.二已知方阵A满足A2-A-2E=O,证明A,A+2E都可逆,并求A-1,(A+2E)-1.四已知求An.五已知AB-B=A;其中求六设已知A,B均可逆,证明X可逆,并且求X-1.已知A,B,C均可逆,求X-1.七已知A,B均是3阶方阵,将A中第3行的-2倍加到第2行得到矩阵A1,将B中第2列加到第1列得到矩阵B1,又求AB.八设且九设,(1)若A可逆,证明M可逆当且仅当D-CA-1B可逆.(2)若D可逆,证明M可逆当且仅当A-BD-1C可逆.1第4章空间解析几何§1坐标系,三维向量———————三.(1).解:AB=(1,3,4)=(x—2,y—0,z+1),从而B(3).解:由AM=M,从而M1的坐标为:又由于AM2=2M2B,从而五.解:由于所以向量共面.=k1+k2+k3,从而得到方程组解得2从而§2向量的数量积,向量积,混合积一.(3).解:→=k→.即===k,故m=4,n=—1.二.三三解§3平面,直线方程,平面束一.(1).解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0.由于平面Π平行于→,即→·→=0,—A+2C=0.3平面Π过点(3,1,-1)和(1,-1,0),则3A+B—C+D=0,A—B=D=0.联立—A+2C=0,3A+B—C+D=0,A—B=D=0得A=2C,B即平面Π的方程为:(3).解:由于平面过z轴,则平面Π的方程设为:Ax+By=0,Π过点(3,1,-2),即3A+B=0,即B=—3A,从而平面Π的方程为x—3y=0.(4).解:平面Π过x轴,则设其方程为By+Cz=0.又因为Π垂直于平面5x+y—2z+3=0,即(5,1,—2)·(0,B,C)=B—2C=0,故B=2C,从而Π的方程为2y+z=0.二.(只写方程即x+y+3=0,这是平面的方程,应写成(2).解:不妨取直线L的方向向量→=→=(6,—3,—5),L过点P(2,三.===1为平面Π的截距式方程解令z=0,代入,可得.从而直线的点向式方程为令则为直线的参数方程.§4平面,直线方程,平面束一.4而l=—4,m=3..解由于L平行于Π1和Π2,从而.二.解:在L的方程中,令z=0,则在L上.L的方向向量为又因为(30,30,15)=15(2,2,1).点M0到L的距离为三.解又因为==,从而.五.解:设过点P0垂直于平面Π的直线为Lß不妨取L的方向向量→=→=(6,—1,3),则直线L的方程为又因为P1(6t+1,—t+2,3t—3)在平面Π上,即6(6t+1)—(—t+2)+3(3t—3)—41=0,即t=1,从而点P0在平面Π上的垂足为P1(7,1,0).点P0关于该平面的对称点P2为(13,0,3).六.解:设过点P0且垂直于L0的Π的平面,不妨取Π的法向量→=→0,又因为→=5从而平面Π的方程为:6(x—2)+(6)(y0)+3(z+1)=0,即2x—2y+z—3=0.直线L0的点向式方程为:令其为t,代入平面Π的方程,得t=1,得交点P0的坐标为(1,1,3),即为P0在直线L0上的射影.P