新教材2023-2024学年高中数学第8章成对数据的统计分析82一元线性回归模型及其应用821一元线性回归模型822一元线性回归模型参数的最

第八章8.2一元线性回归模型及其应用

8.2.1一元线性回归模型8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估

计

A级必备知识基础练

1.［探究点一・2023陕西汉中模拟］如图所示，已如两个线性相关的变量才,y的统计数据如下:

X61012

V6532

其经验回归方程为y=a^l0.3,则a=（）

A.-0.7B.0.7C.~0.5D.-2

2.［探究点二］红铃虫是棉花的主要害虫之一，一只红铃虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测

数据，用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的经验回归方程并进行残差分析,进一步得到如图4

幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（）

】00卜建彦--------------------------------

50---------------------------------------------

-50……L3…_4…工./…Z_二号

-100L...................-.................................-.....................

模型一的残差图

100+残姜--------------------------------

50-----------------------------9------r......------------

-58....^―1—3--号

-100L------------------------------------------------------

模型二的残差图

卜残差

50■

-50'-L-［…工_?一扇号

L

-100模型V的残差图

残差

100

50

0

-50

-100

模型四的残差图

A.模型一B.模型二C.模型三D.模型四

2［探究点一］关于残差图的描述错误的是（）

A.残差图的横坐标可以是样本编号

B.残差图的横坐标也可以是解释变量或响应变量

C.残差分布的带状区域的宽度越窄〃越小

D.残差分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小

4.［探究点三-2023山东滨州模拟］下列结论正确的是.

①对两个变量X、y进行回归分析,若所有样本点都在直线y=-2^1上,则;

②对两个变量X,y进行回归分析，以模型y=ce*r去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=ln

y,将其变换后得到经验回归方程zR.3*4,则c,左的值分别是e‘和0.3;

③某人投篮一次命中的概率为某次练习他进行了20次投篮,每次投篮命中与否互相之间没有影响,

设本次练习他投篮命中的次数为随机变量尤则当尸（X4）JR,1,2,3,…,20）取得最大值时:百；

④已如（1-2*）x七夫••依人则/六••+7田=-14.

5.［探究点一］某工厂为了X寸新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销,

得到如下数据：

单价X/7E88.28.48.68.89

销量〃（牛908483807568

（1）已知y与x线性相关,求销量y关于单价x的经验回归方程y=bx也,其中b=-20,a=y-bx;

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/牛,为使工厂

获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润啕售收入-成本）

6.［探究点二］在一段时间内，某网店一种商品的销售价格x（单位:元）和口销存量y（单位:件）之间

的一组数据如下表：

价格x阮2220181614

日销售量“1牛3741435056

求出y关于x的经验回归方程,并用*说明拟合效果.

参考数据:ZXiyi=^992,Exf-1660.

,Zj(xj-x)(yry)

参考公式:b=

国M国收2

B级关犍能力提升练

7.研究表明蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位:°C）存在着较强的线性相关关系.

某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y关于x的经验回归方程yK.27x七则下列说法不正确

的是（）

〃（次数吩钟）203()405()60

“C2527.52932.536

Ak的值是19.2

B.变量x,y正相关

C.若x的值增加1,则y的值约增加0.27

D.当蟋蟀以52次/分钟的频率鸣叫时,该地当时的气温预测值为33.5℃

8.（多选题）下列说法正确的是（）

A.经验回归直线一定经过点（无刃

B.若两个具有线性相关关系的变量的相关程度越强,则样本相关系数r的值越接近于1

C.在残差图中，残差分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D.在线性回归模型中，决定系数川越接近于1,说明回归模型的拟合效果越好

9.已知蝗虫的产卵量y与温度*的关系可以用模型片加。2》拟合,设z=Iny,其变换后得到一组数据:

X2023252730

Z22.4334.6

由上表可得经验回归方程z=0.2x七,则°尸（）

A.-2B./C.3D.e3

10.某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y（单位:件）与平均气温x（单位:°C）之间的关系，随

机统计了连续四旬的销售量与当旬平:均气温,其数据如下表：

时间二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬

旬平均气温x/C381217

旬销售量〃1牛55m3324

由表中数据算出经验回归方程y=b"a中的b=-2,5=10,歹=38.

（1）表中数据勿-.

（2）气象部门预测三月中旬的平均气温约为22°C,据此估计,该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售

量约为件.

1L某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了四次试验，得到的数据

如下:

零件的个数X1245

加工的时间“小时2356

已知零件的个数x与加工的时间y具有线性相关关系.

⑴求出乎关于，的经验回归方程；（注:b=岩某。=歹-J

(2)试预测加工10个零件需要多少时间.

12.流感每年在世界各地均有传播,在我国北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季两个流行高

峰.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：

年龄X23456

患病人数，2222171410

(1)已知y与x线性相关,求p关于x的经验回归方程；

(2)计算样本相关系数N计算结果精确到().01),并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人

数与年龄负相关很强.(若/r/£[0.75,1],则否y相关性很强;若[0.3,0.75),则x,尸相关性一

般;若/r/e[0,0.25],则x,y相关性较弱)

参考数据：病P5.477.

_n__n_

E(xrx)(y«-y)£x,y,-nxyX(xrx)(yy)

参考公式:b=3一?=气二样本相关系数r

13.某医疗科研团队攻坚克难研发出一种新型防疫产品，该产品的成本由原

料成本及非原料成本组成,每件产品的非原料成本y（单位:兀）与生产该产品的数显虫单位:千件）

有关,根据已经生产的统计数据,绘制了如图所示的散点图.观察散点图,两个变量不具有线性相关

关系,现考虑用函数y=a上对两个变量的关系进行拟合.参考数据如下（其中〃,二）:

XXi

6666

-2

UUEujZ匕£UiYiVO.4834x5252.44

i=l11=1i=l

0.410.16811.49230620858.44173.850.39

（1）求y关于*的非线性经验回归方程，并求y关于〃的样本相关系数（精确到0.01）.

（2）该产品采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该

产品单价定为80元,则签订9千件订单的概率为0.7,签订10千件订单的概率为0.3;若单价定为

70元,则签订10千件订单的概率为0.3,签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本

为30元,根据（1）的结果,要想获得更高利润，产品单价应选择80元还是70元?请说明理由.

参考公式:对于一组数据（如幻，沁，嚓），…，（&%）,其经验回归方程片a的斜率和截距的最

n

E

U(Ui-7lUVEUiVi-nuv

=lE

小二乘估计分别为/?22。=万一0五,相关系数Es

疝

U.一

1

=l

C级学科素养创新练

14.[2023辽宁鞍山模拟]某IT公司在1月份至6月份的5G经济收入近单位:百万元）关于月份x

的数据如下表所示,并根据数据绘制了如图所示的散点图.

月份x123456

收入“佰万元6.68.616.121.633.041.0

收2佰万元

40L,

35.

30b

25

201.

.・

10卜.

5：..............................

0123456月份x

⑴根据散点图判断,y=ax,b与y=c6Q*,b,c,d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y美于月

份x的经验回归方程类型；（给出判断即可,不必说明理由）

⑵根据⑴中的结果及表中的数据，求出y关于x的经验回归方程,并预测该公司7月份的3G经济

收入；（结果保留小数点后两位）

（3）从前6个月的收入中抽取2个,记收入超过2000万元的个数为％求X的分布列和数学期望.

参考数据：

6

£(%。)②E（乂心）（y.「E（必我）（心一1.522.66

Xyui=li=lee

i=ly）u）

3.5021.152.8517.5125.356.734.5714.30

其中，〃二InytUi=\n2,3,4,5,6).

参考公式:对于一组具有线性相关关系的数据（M,匕）（片1,2,3,…，〃），其经验回归直线u=Bx也的

E(xi-x)(Vj-v)■

斜率和截距的最小二乘估计分别为/?=J———,a=v-px.

£(xx)2

1=1r

参考答案

8.2一元线性回归模型及其应用

8.2.1一元线性回归模型

8.2.2一元线性回归模型

参数的最小二乘估计

1.A由表格中数据可得5=6+8+：。+『,歹二誓上N,则Q=^=野=4）.7.故选A.

2.D当残差比较均匀地落在水平的带状区域时，说明选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度

越窄,说明拟合效果越好,对比4个残差图,可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.

3.C残差分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高,则残差平方和越小，此时"的值越

大,故描述错误的是选项C.

4.②④对于①,对两个变量x,y进行回归分析,若所有样本点都在直线片-2户1上,则片-1,故①

错误；

3

对于②，由z~C.3x*4及z-lny,得丫飞"""飞’"e0-\故。飞：kQ3,故②正确；

对于③,依题意可知,lX（20,；）,夕（六4）式/°（1T）”"，假设P（X=k）最大,

P(X=k)>P(X=k-1),

P(X=k)NP(X=k+l),

仲G)/1弓)2o-仁啮i(9~(16)2a

'(哈G)k(l\)2。-仁啕1©197,

20!、c20!

----------->2,-----------------,

fc!(20-k)!-(k-l)!(21-k)!

整埋得c20!、20]

2,----------->-----------------,

kl(20-k)l(k+1)!(19-fc)!'

叱清强20*解得6WE

・・・/W)(Z),1,2,3,…,20)取得最大值时14或XT,故③错误;

对于④，由(1-2x)'=a^a\x+aix-(■•••+&•、1,两边对'x求导，得7(1-2工)'・(-2)=&+2包*痔&V+…+7田x:令

x=I,得14=切，2也"如故④正确.

5.解(1)因为文=-X(8用.2对.4母6母8为)4.5,歹=(90对4用3网0+75珀8)次()，

66

所以Q=y-bx=80^-20X8.5之5().所以经验回归方程为y=-2D>+250.

(2)设工厂获得的利润为〃单位:元)，依题意得£=x(-20x+250)F(-20内250)=-20/+330xT000=-

20(x-^)Z^361.25.

当且仅当x片325时,L取得最大值.

4

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.

6.解作出散点图(图略)，观察敌点图可知这些点散布在一条直线的附近,故可知》与y线性相关.

ryn—22+20+18+16+1410

因为x=-------------=18,

—37+41+43+50+56

y=-------------

所以力=自二空二号丝巴

3992-5x18x45.4nn_

----------;2-=~Z.3D,

占(X田2高收21660-5X18

a^45.4-(-2.35)X18^87.7.

所以经验回归方程为y=-2.35"87.7.

y<-yi与y>亍的值如下表：

y>-y\i0.3-2.4-0.11.2

y1-y-8.4-4.4-2.44.610.6

5g

计算得£(月1)2£3,£(九歹)2X29.2,所以下=1《嘉~0.964.

i=li=lz

因为0.964很接近于1,所以该模型的拟合效果比较好.

7.D由题意，得元=(20,33Mo巧0卅0)NO,y=1x(25+27.5+29+32.5*36)WO,

则&=歹~0.27亍-30F.27X40=19.2,故A正确；

由经验回归方程可知,变量x,y呈正相关关系，故B正确；

若x的值增加1,则y的值约增加0.27,故C正确；

当产52时,y=Q.27X52*19.2=33.24,故D错误.

8.ACD对于A,经验回归直线一定经过点(元歹)，故A正确；

对于B,由样本相关系数的绝对值越趋近于1,相关程度越强可知,若两个变量负线性相关,其线性相

关程度越强,则样本相关系数r的值越接近于T,故B错误；

对于C,因为在残差图中，残差分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；

对于D,因为在线性回归模型中，决定系数〃越接近于1,说明线性回归模型的拟合效果越好,故D正

确.

9.B由已知可得，工=工)<(20吆3也5吆740)-25,

5

z=^X(2+2.4+3+3尚.6)=3,

则Q3Y).2X25=2.

z=ln片ln(ceC2x)=Q"lnC\,

则ln°=-2,即c\=c匚

10.(1)40(2)14(1)由歹=：(55加+33+24)W8,解得勿NO.

(2)由。=y-b匕得a=58.

故y=-2A•巧8.

当尸22时,y=14.

故三月中旬的销售量约为14件.

44*

11.解⑴由表中数据得X%匕=58,1=3,9，Lxf=16,b==1,a=y-bx=4^=1.

i=li=l4：6-，4X「3善。

：,y=x+\.

（2）将x=10代入经验回归方程y=x+l中，得y=ll,

・••预测加工10个零件需要11小时.

ic/1\<4^日方五曰一2+3+4+5+6—22+22+17+14+10

12.解(1)由题思可得％=--：----2A,y=---------------=1/,

(y「y)_(-2)x5+(-l)x5+0x0+lx(-3)+2x(-7)?

2

£(xrx)(-2产+丁+02+12+22",

i=l

a=歹一8五=17+3.2X4之9.8.

故y关于x的经验回归方程为y=-3.2*+29.8.

5

（2）L[•占”「[（"）.==/*3.97,由r<0,可知x、y负相关.乂因为[0.75,1],

Ig|5v1OXV1083v30

万）2j£（“/2

所以相关性很强.

因此，可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.

13.解（1）令〃子,先建立y关于〃的经验回归方程.

因为9=纺巧1,所以b=睾"巴=86X0.41X51=4口（）0

/633-6正21.492-6x0.16810.4834

i=l:

所以a=9一bu=51-100X0.41=10.所以y=10+100a

所以y关于x的非线性经验回归方程为y=10哼.

y关于〃的样本相关系数为

Eufy/-6uy

_48.34

60.96.

VO.4834XV5252.44

（2）（方法一）（i）若产品单价为80元,记企业利润为/（单位:元）.

当订单为9千件时,每件产品的成本为10喈用0140+詈）（元）,

企业的利润为L80・140喈，」X9000-260000（元）.

当订单为10千件时，每件产品的成本为10噌知0=50（元），企业的利润为（80T0）X10000=300

000（元）.

所以企业利润*的分布列为

X260000300000

P0.70.3

E（X）=260000X0.7-^300000X0.3=272000.

（ii）若产品单价为70元,记企业利润为V（单位:元）.

当订单为10千件时，每件产品的成本为10若+30行0（元），企业的利润为（70-

50）X10000=200000（元）.

当订单为11千件时，每件产品的成本为1（）喈+30《40+詈）（元），

企业的利润为L70-140喈/」X11000^230000(元).

所以企业利润y的分布列为

Y200000