部编数学九年级上册专题23与垂径定理有关的拓展探究解析版含答案

专题23与垂径定理有关的拓展探究1．问题提出（1）如图①，O的半径为，弦AB83，则点到AB的距离是e8=O__________．问题探究（2）如图②，O的半径为，点、、都在问题解决（3O的直径为eOe5ABCeO上，AB=8，求面积的最大值．VABCe80mABP的边AB是eO的弦，直角顶点P在O内，延长AP交e于点，延长BP交CeO于点，连接．现、、BCD准备在△ABP和CDP区域内种植草坪，在△ADP和VBCP区域内种植花卉．记△ABP和CDP的S1，△ADP和VBCPS．2面积和为的面积和为S1①求种植草坪的区域面积．②求种植花卉的区域面积S2的最大值．S=1600m21）82）323）①，②1600m1）作OCAB交AB于点C，连接OA，利用垂径定理和勾股定理即可求出OC；ABOACDVABC2．1^（2交定理和勾股定理可求出（3）①连接OD，OA，求出AD，进一步可求出^于点D经过圆心的时候OCD=OC+OD=，进一步可求出VABC的面积；8112S=AP2+CP2=AD；②表示出212x2+y2S2=AP×DPS=2AP=DPS2，利用完全平方公式求出≤，当时，有最大值为1600m2．2【详解】解：作OCAB交AB于点C，连接OA，^∵AB=83，由垂径定理可知：AC=BC=43，∵OA8，=∴OC=OA2-AC2=4；AB（2）作交^于点，连接DOA，∵AB8，若使=VABC面积最大，则CD应最大，∴当CD经过圆心O的时候取值最大，由垂径定理可知：AD=BD=4，OA==OC，5∵∴=3，CD=OC+OD=，8∴12∴SVABC=´8´8=32，（3）①连接OD，OA，则OD=OA=40m，∵△ABP是等腰直角三角形，∴ÐABP=45°，∴ÐAOD=90°，即△AOD是等腰直角三角形，∴AD=OA2+OD2=402m，ÐAPB=ÐCPD=90°ÐDCP=ÐABP=45，°∵，∴CDP是等腰直角三角形，1212=AP2，△CDP=DP，2∵∴S△ABP11=S=AP2+DP2AD2=1600m，212211S=×AP×DP+×BP×CP=AP×DP，②由①可知：222设APx，=DP=yS=，故，2-2=x2+y2-2xy≥0，∵xyx2+y2x=y∴£，当时，等号成立，2x2+y2∴S2=≤，当AP=DP时，S2有最大值为1600m2．2【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式的应用，等腰直角三角形的判定及性质，112=S=AP2+CP2ADAD，利用完全平方公式求2（312x2+y2出S2=≤．221）如图1，已知VABC是边长为2的等边三角形，则VABC的面积为______．2）如图2，在VABC中，已知BAC120，BC63，求Ð=°=VABC的最大面积．BC=2433ABCDAB20=米，CD上安装一台摄像头M要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角ÐAMB=45°．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．1）32）933）存在，MC的长度为8米或12米．1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；»（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在BC上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M作MF⊥AB于F，作EO⊥MF于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．111【详解】】1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴BD=1，∴AD=∴△ABC的面积为故答案为：AB2-2=，312´2´3=3，；3（2）作△ABC的外接圆⊙O，∵∠BAC=120°，BC=63，»∴点A在BC上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，∴∠BOA'=60°，BH=CH=33，∴OH=3，OB=6，∴A'H=OA'-OH=6-3=3，1´3´6393；=∴△ABC的最大面积为2（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=102米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵102＞14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M作MF⊥AB于F，作EO⊥MF于E，连接OF，111∴EF=OH=10米，OM1=102米，∴EM1=14米，∴OE=OM12-M1E=2米，2∴CM1=BF=8米，同理CM2=BH+OE=10+2=12∴MC的长度为8米或12米．径定理圆周角定理等知识，掌握以上知识是解题的关键．3（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图，在VABC中，AB=AC，=°，D是VABC外一点，且=，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆A，则，两点必在eCDeAÐBACeA上，是的圆心角，∠BDC是A的圆周角，则ÐBDC=______°．e【初步运用】（2）如图，在四边形ABCD中，BADÐ=ÐBCD90，ÐBDC=24°，求ÐBAC的度数；=°【方法迁移】（3）如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得APB30（不写Ð=°【问题拓展】（4ABCD，AB=2，BCm，为边=MCDÐAMB=45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．②如图，在VABC中，BAC45，Ð=°AD是BC边上的高，且BD=6，CD=2，求AD的长．1）45）24）①2°2°34£m<2+1；②427+1）根据圆周角定理求解即可；1（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则AEBEDECE=BD，即可得到A、B、===21C、D在以E为圆心，为半径的圆心，则∠BAC=∠BDC=24°；2（3）先作等边三角形OAB，再以O为圆心，AB的长为半径画弧与直线l的交点即为所求；（4BC上截取一点F使得BF=BAAFAF为直径作圆OF作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则当BF£m<BQ时满足题意，据此求解即可；②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形，分别求出AF、DF即可得到答案．1）∵AB=AC=AD，∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，∵∠BAC=90°，1∴∠BDC=∠BAC=45°，2故答案为：45；°（2）如图所示，取BD中点E，连接AE，CE，∵∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点，1∴AEBEDECE=BD，===21∴A、B、C、D在以E为圆心，为半径的圆心，2∴、∠∠BAC=BDC=24°；（3）如图所示，P1、P即为所求；2（4BC上截取一点F使得BF=BAAFAF为直径作圆OF作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=90°，∴B在圆O上，AF=AB2+BF2=2，2∴OG=OF=2，∵OH⊥EF，1212∴FH=EF=AB=1，∴OH=OF2-OH=1，2∴GH=OG-OH=2-1，BF£m<BQ∴，∴2£m<2+2-1，即2£m<2+1②如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，连接OB，OC，OA，则四边形OFDE是矩形∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，在直角△BOC中BC=BD+CD=8，∴BO=CO=42，∵OE⊥BC，1∴BE=BC=4，2∴DE=OF=2，OE=DF=OB2-BE=4，2∴AF=AO2-OF=27，2∴AD=AF+DF=4+27【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形斜边上的中线，矩形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．4．小航在学习中遇到这样一个问题：»»如图，点C是AB上一动点，直径AB＝8cm，过点C作CD∥AB交AB于D，O为AB的中点．连接OC，OD，当△ABC的面积为3.5cm2时，求线段CD的长．小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：»(1)根据点C在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段CD，OC的长度和△OCD的面积，AB得到下表的几组对应值（当点C与点A或点B重合时，△OCD的面积为0CD/cmSDOCD001.01.92.03.93.05.64.05.07.86.07.97.06.88.00/2m填空：m＝(2)将线段CD的长度作为自变量x，△OCD的面积是x的函数，记为y，请在平面直角坐标系xOy中画出函数的图象，并写出△OCD面积的最大值；(3)△OCD的面积为3.5cm2CD【答案】(1)6.9(2)图见解析，△OCD面积的最大值为7.9cm2(3)1.8cm或7.8cm1AB＝8cmCD＝4cmOC＝OD＝4cm△OCD可求出△OCD的面积；（2）根据表格中的数据，先描点，再用光滑的曲线连接起来，即可画出函数图象；结合函数图象及表格可得△OCD面积的最大值；1272（3）设CD，=OH=hcm，利用S=hx=x得出关于的方程，求解方程得到DOCDx=23+3»7.8或x=23-3»1.8即可．(1)解：∵直径AB＝8cm，∴OC＝OD＝4.0cm，∴当CD＝4.0cm时，△OCD为等边三角形，设△OCD的高为h，则h＝4×sin60°＝23cm，1∴SDOCD=´4´23436.9cm2，=»2故答案为：6.9；(2)解：如图所示，结合函数图象及表格得，△OCD面积的最大值为7.9cm2；(3)y=3.5解：当时，如图所示：由图象可知：设CD＝xcm时，过O作OH⊥CD，垂足为H，xx2则CH=cm，OC＝4cm，设高OH＝hcm，则h2＝16-，241272根据题意得SDOCD=hx=，2æ7ö2æ1öø∴çhx÷=ç÷，即h22x=49è2è2øæ2ö2x2xç16-÷x=49，将h2=16-代入上式得4è4øæètö16-t=49，即t-t+196=0，令t=x2，则ç÷24ø64D=-2-4´1´196=3312>0，∵64--±331264±1223∴t===32±623，2´1223=3±23，22∴x2=32±623=32±2´3´23+∴x=23+3»7.8或x=23-3»1.8，∴当△OCD的面积为3.5cm2时，线段CD长度的近似值为1.8cm或7.8cm．1（23）准确表示出三角形面积，掌握方程的恰当求解是解决此问的关键．51D、E分别是VABC的边ABAC的中点，连结DEDE是VABC的一条中位线．则DE和BC的数量关系是____，位置关系是_____．【提出问题】如图④，AB是以MN为直径的⊙O的一条弦，连结OA、，点M在AB的上方，点N在AB的下方，MP^AB于P，MP-NQNQ^AB于Q，点P、Q均在弦ABMN=5上．已知，ÐOAB=30°，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究：【分析问题】先看两种特殊情况：（2N与点BQMP=MANQ=0也与点BP与点A，MP-NQ=_____（点看成是长度为0（3）如图③，当MNAB时，^P、Q重合，此时MP-NQ与的数量关系是____，先根据条件MP-NQ=____易求的长度，则MP-NQ4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值．12552521）DE=BC；DE//BCMP-NQ=OP2）3）；4）21）直接用中位线性质定理得出结论；12（2）由等边三角形判定得出△MOA为等边三角形，得到MPMA==MN，即可得到答案；11（330°所对的边是斜边的一半，得到OP=OA=ONOP=PN22可得知答案；（4O作直径CD⊥AB交于点EPM与CD交于点FOF是△MNP的中位线，EF是△PNQ的中位线，得到MPOF，=NQ=2EF，即=MPNQ2OFEFOE-=-，计算即可得出答案．1）∵点D、E分别是VABC的边AB、边AC的中点，∴DE是VABC的一条中位线，1∴DE=BC，DE//BC，21故答案为：DE=BC，DE//BC．2（2）∵MN为直径，O为圆心，当点N与点B重合时，点Q也与点B重合，点P与点A重合，∴∠MAB＝90°，O为MN的中点，1∴在Rt△MAB中，OA=∠=MN，==，2∴∠OABOBA30=°，∴MOA60，∴△MOA为等边三角形，Ð=°∵MN=51252NQ=0，，∴MPMA===MN=52∴MPNQ-，52故答案为：（3）当MNAB时，^P、Q重合，∵OAB30，Ð=°121∴在Rt△AOP中，OP=OA=ON，2∴OPPN，=∵OMON，=MP-NQ=MP-OP=OM=OP∴，∵MN5，=52∴OMOAON===，125∴OPPN==OA=，，45∴MPNQOP=-=252MP-NQ=OP故答案为：；．（4）∵MP^AB于P，NQ^ABQ于，∴过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PN与CD交于点F，如图：∴点O为MN的中点，MP//CD//NQ，∴点F为PN的中点，点E为PQ的中点，∴在△MNP中，OF是△MNP的中位线，∴MPOF，=在△PNQ中，EF是△PNQ的中位线，NQ=2EF∴∴，-=-=MPNQ2OFEFOE，∵在Rt△AOE中，OAB30，MN=5，Ð=°1252∴OEOA==MN=，5∴MPNQ-=．2【点睛】本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键．6．学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运V1ABCAB＝ACBACV＝90°D是ABCAD＝ACBDCAAB为半径作辅助圆⊙ACD必在⊙ABAC是⊙ABDCBDC＝ꢀꢀ问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数；V3ABCBAC＝45°AD是BCBD＝4CD＝2AD的长．1）45°2）25°3）3+171）利用同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；（2）由A、B、C、D共圆，得出BDCÐ=ÐBAC；（3）作VABC的外接圆，过圆心O作OEBC于点E，作OF^^AD于点F，连接OA、、OC．利用圆周角定理推知VBOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得DE=OF=1，==3，进而求解．1）如图，ABACQ=，=，\点B、C、D在以点A为圆心，AB长为半径的圆上，»»QÐBAC是BC所对的圆心角，而∠BDC是BC所对的圆周角，1\ÐBDC=ÐBAC=45°，2故答案为：45；°（2）如图，取BD的中点O，连接AO、CO．QÐBAD=ÐBCD=90°，点O为BD的中点，1∴OA=OB=OC=OD=BD2\点A、B、C、D在以点O为圆心，OA长为半径的圆上，»»∵BC=BC\ÐBDC=ÐBACQÐBDC=25°，\ÐBAC=25°；，（3）如图，作VABC的外接圆，过圆心O作OEBC于点E，作OF^^AD于点F，连接OA、、OC．QÐBAC=45°，\==°，∵BD=4，CD=2，∴BC=BD+CD=6，在RtVBOC中，OB2+OC2=BC2=36，又∵OBOC，=\BO=CO=32．=，，∵OBOC，OE^BCÐBOC=90°1\OE=BE=BC=3，2\OF=DE=BD-BE=1，DF=OE=3，∵在RtVAOF中，AO=3，OF1，=2\AF=AO2-OF2=(32)2-1=17，\AD=DF+AF=3+17．的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．7．小航在学习中遇到这样一个问题：»F是线段ABABABAB的垂直平分线交=于CCD的中点的长度．，»OFOABEAEVAEF是等腰三角形，求线段，连接并延长交于，连接．若小航结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：（1F在线段AB，EF，AE下表的几组对应值．/cmEF/cm6.75.64.53.5AE6.76.56.25.75.04.23.63.22.901.02.03.04.05.06.07.08.0m3.54.56.7n/cmmn填空：的值为_________，的值为___________；xxyWy和kx（2的长度作为自变量，EF和AE的长度都是xOyy中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；kxy面直角坐标系w（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当VAEF为等腰三角形时，线段1）3.0,5.623）3.3cm,4.6cm,或5.4cm1）根据垂径定理和图表数据，即可求出m的值；根据表中EF长度数据的对称性，求出n的值；（2）根据表格描点连线即可；（3）根据横坐标即为AF的长，yW表示AF与EF的函数关系，表示AF与AE的函数关系，ykx将等腰三角形的分类讨论转化为求函数交点即可．1）∵CD⊥AB，∴AD=BD=4,由表可知，当AF=4时，点F与点D重合，如图，则E与C重合，EF=CD,AC=AE,在Rt△AEF中，已知AF=4.0,AE=5.0,∴EF=3.0，即m=3.0;由表可知，EF的长度数据关于m对称，∴当AF=7.0时和当AF=1.0时，EF的长度相等，∴EF=5.6，故填5.6；（2）如图，描点连线：（3）如图，作直线y=x,VAEF为等腰三角形有三种情况：①AE=EF时，即AF=x为AF=5.4cm，yy与的交点横坐标，如图，wkx②当AF=EF时，即求y=x与的交点横坐标，如图，ywAF=3.3cm,③当AE=AF时，即求AF=4.6cm，y与y=x的交点横坐标，如图，kx综上所述，当△AEF为等腰三角形时，AF的长为3.3cm,4.6cm,或5.4cm．理解题意，熟练掌握相关知识点．8．问题提出（1a//bAB在直线aCD在直线bS_______△BCDVACD（填“＞”“＜”或“＝”问题探究（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB=12，求VABC面积的最大值；问题解决（3VABC中，ACB90，Ð=°AB=20BC=10，DÐABC为内部一点，且ÐADB=60°，过点C作CE//AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．1）=2）1083）753．1）由平行线的性质，据同底等高的两三角形面积相等作答；»（2）AB长不变，只要AB边上的高最大，VABC面积最大．由图知当C是优弧AB的中点时，AB»边上的高最大，VABC面积最大．求得优弧AB的中点到AB的距离就可求得VABC最大面积；（3C作CF∥BD交AD的延长线于FF=ÐADB=60°ADCE的面积=△ACF的面积；据∠F=60°得点F在以AC为边向VABC外作的等边三角形VAGC的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，△ACF的面积最大，即四边形ADCE的面积最大．最后计算出△ACF的面积即是四边形ADCE的面积最大值．1）如下图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N．∵a∥b∴∠MAB=∠AMN=90°∴四边形AMNB是矩形，∴AM=BN∴CDAMCDBN×=×1212又△ACD=CDAM、×S△BCD=CD×BNS=SVBCD∴；VACD»C，过C作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知11（2）取优弧AB的中点记为CD1过O且AD=BD，如下图②所示．过C作AB的平行线a，∵当直线aa距ABVABC的ABa运动到最高点CVABC时，的AB边上的高最大，又AB为常数，∴当C运动到CVABC1VABC的面积．1时的面积最大，下面计算1连接OB在RT△OBD中：∵AB=12、圆O的直径为201=10∴BD=6、BO=10、由勾股定理得OD=BO2-BD2=102-62=8CD=OD+OC=8+10=18∴∴11121VABCAB×1D=´12´18=108的面积为，12∴VABC面积的最大值为108；（3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，如下图③-1所示∴∠F=∠ADB=60°∵AD∥CE∴四边形DECF是平行四边形∴DF=CE，FC=DE又DC=CD∴△DFC≌△CEDS△DFC=△∴=△DAE又由（1）的结论知S△DACS=S△DAE+S△CED=S△DAC+S△DFC=△∴四边形ADCESS四边形ADCE所以只需求得最大值即得的最大值．以AC为边向VABC外作等边三角形VAGC，再作等边VAGC的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示．∵∠F=60°∴点F在VAGC的外接圆上，S由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，在RT△ABC中：最大=S．由勾股定理得AC=AB2-BC2=202-10=10321∴AJ=AC=5323∴GJ=∴SDACG´103=1521212=ACGJ´=´103´15=753∴四边形ADCE的最大面积是753．【点睛】此题考查了三角形等积变形、定角对定边的三角形的面积最大值、正三角形及其外接圆、平行四边形等考点，熟悉相关知识并能综合应用是关键．9【探究】等弧所对弦的弦心距相等．（1）请在图1中画出图形，写出已知、求证并证明．【应用】（22，O的弦AB，CD的延长线相交于点PeAB=CDÐAPC平分．12）见解析.1AB=CDABCDAB、CD=的垂线，垂足分别为E，F，然后通过三角形全等证明弦心距OE=OF；（2）过点O作OEAB，^OF^CD，垂足分别为E、F，结合（）的结论证明1Rt≌RtOPF，利用全等三角形的性质得到ÐOPE=ÐOPF．1）已知：AB=CD，OEAB于点E，^OF^CD于点F．求证：OE=OF．证明：∵AB=CD，∴ABCD．=∵OEAB，^OF^CD，11∴BE=AB，CF=CD，∴BECF．=22ìOB=OC,îBE=CF.在RtOBE和RtOCF中，OEBÐ=ÐOFC90，í=°△△∴Rt≌RtOCF（HL∴OE=OF．（2）证明：过点O作OEAB，^OF^CD，垂足分别为E、F，连接．由（1）可知，当ABCD时，OEOF．==在RtOPE和RtOPF中，OEPÐ=ÐOFP90，=°ìOE=OF∵íîOP=OP△△∴Rt≌RtOPF（HL∴OPEÐ=ÐOPF，即ÐAPC平分．点的运用是关键．10[阅读材料]如图1PP上有弦ABAB的中点MAB的中点M到某点或某直线的距离叫做弦AB到这点或者这条直线的“密距”1中线段MO的长度即为弦AB到原点O“密距”M作y轴的垂线交y轴于点N线段MN的长度即为弦AB到y轴的“密距”．[类比应用]已知⊙P的圆心为P（0，42，弦AB的长度为2，弦AB的中点为M．（1AB//y2P到弦AB的中点M的距离是____AB到原点O的“密距”是；（2AB在⊙PP到弦AB的中点M的距离变化吗?若不变化，请求出PM的长，若变化，请说明理由．②直接写出弦AB到原点O的“密距”d的取值范围；[拓展应用]如图3P的圆心为P042,点A02B为⊙P上白一动点，有直线y=-x-3，弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值是1）；192）①不变化，PM长为；②4-3£d£4+333应用】32+1．【分析】[类比应用]1）理解“密距”之意义，运用垂径定理相关知识，构造直角三角形，运用勾2得弦AB到原点O的“密距”d的取值范围．[拓展应用]AB的中点M运动轨迹是以(0,3)1为半径的圆，再求出此圆心到直线y=-x-3的“密距”，加1即可得弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值．【详解】[类比应用]（1）如下图2连接PA、PM、OM、∵P为圆心，M是弦AB（非直径）的中点∴PM⊥AB在RT△PAM中，由勾股定理得1PM=PA2-AM2=PA2-(AB)2=2-1=322即圆心P到弦AB的中点M的距离是∵AB∥y轴；3∴PM⊥y轴在RT△OMP中，由勾股定理得OM=PM2+OP2=(3)2+4=192∴由“密距”的意义得弦AB到原点O的“密距”是19．（2）①不变化连接PM、PA、∵点M是弦AB（非直径）的中点，P为圆心，∴PM⊥AB，MA=MB=1，∴PM=PA2-PM=32②由图知OPPMOMOPPM-££+∴4-3£d£4+3；[拓展应用]：如下图3C是PA中点，连接CM、过C作CD⊥EF于D∵M是AB（非直径）中点，P是⊙P的圆心∴PM⊥AB又∵C是PA中点AP∴CM==12当AB是⊙P的直径时，CM=CP=1∴当B点在⊙P上运动是，M的运动轨迹是以C为圆心，以1为半径的圆．易知直线y=-x-3与两坐标轴的交点为E(0,-3)、F(-3,0)∴OE=OF=3，∴EC=AO+OE+AC=2+3+1=6又∵x轴⊥y轴∴∠DEC=45°∴CD=CEsinÐDEC=6sin45°=32由图易知M到EF的最远距离为CD+CM=32所以弦AB到直线y=-x-3的“密距”的最大值为32+1．【点睛】此题主要考查垂径定理的相关知识．其关键是读懂题意理解“密距”，在拓展应用中还有一关键是发现弦AB的中点的轨迹是圆．11．问题提出（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是ꢀꢀ．问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．3△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．1）122）93）能实现；1701）当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．（3AC＝100ADC＝60°D在优弧ADCD运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．1）如图①中，∵BC＝6，AD＝4，1∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝×6×4＝12．2故答案为12．（2）∵矩形的周长为12，∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，∴S＝m（6﹣m）＝﹣（m﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．（3）如图③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，∵∠ADC＝60°，∴点D在优弧ADC上运动，当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，设D′是优弧ADCAD′CD′CD′到FD′F＝D′AAFAFC1＝30°＝∠ADC，2∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：（1）利用平方为非负的性质求解；（2）利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中12．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．(1)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(2)当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】(1)PA+PB=PC；»(2)P为的中点，四边形最大面积为3AB1）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得结论；（2P作PE⊥ABEC作CF⊥ABF，把四边形的面积转化为两个三»角形的面积进行计算，当点P为AB的中点时，PE+CF=PC从而得出最大面积．（1）解：在PC上截取PD=AP，如图，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，则∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，ìÐAPB＝ÐADCïÐABP＝ÐACDAP＝ADí