部编数学九年级上册专题24.1圆的有关性质基础解析版含答案

专题24.1圆的有关性质目录HYPERLINK\l"br1"圆的认识HYPERLINK\l"br1"......................................................................................................................................................1HYPERLINK\l"br3"圆的相关概念HYPERLINK\l"br3".............................................................................................................................................3HYPERLINK\l"br4"求相关角度HYPERLINK\l"br4"HYPERLINK\l"br4".................................................................................................................................................4HYPERLINK\l"br6"求相关长度HYPERLINK\l"br6"HYPERLINK\l"br6".................................................................................................................................................6HYPERLINK\l"br8"有关证明HYPERLINK\l"br8"......................................................................................................................................................8HYPERLINK\l"br10"垂径定理的计算HYPERLINK\l"br10"......................................................................................................................................10HYPERLINK\l"br13"垂径定理的应用HYPERLINK\l"br13"......................................................................................................................................13HYPERLINK\l"br18"圆周角圆心角相关概念HYPERLINK\l"br18"........................................................................................................................18HYPERLINK\l"br20"圆周角与圆心角求角度HYPERLINK\l"br20"........................................................................................................................20HYPERLINK\l"br22"圆周角与圆心角求长度HYPERLINK\l"br22"........................................................................................................................22HYPERLINK\l"br26"垂径定理的推论HYPERLINK\l"br26"......................................................................................................................................26HYPERLINK\l"br28"内接四边形HYPERLINK\l"br28"...............................................................................................................................................28HYPERLINK\l"br31"证明综合HYPERLINK\l"br31"....................................................................................................................................................31圆的认识在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。①表示方法：⊙O，读作“圆O”定点—圆心②确定一个圆的条件：定长—半径【例1】下列结论正确的是（ꢀꢀ）A．半径相等的两条弧是等弧B．半圆是弧C．半径是弦D．弧是半圆【解答】解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；B、半圆是弧，原结论正确；C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；故选：B．【变式训练1】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（ꢀꢀ）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的不稳定性，故本选项错误，不合题意；B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等，故本选项错误，不合题意；C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线，故本选项正确，符合题意D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，不合题意．故选：C．【变式训练2】下列说法错误的是（ꢀꢀ）A．直径是圆中最长的弦B．半径相等的两个半圆是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半圆是圆中最长的弧【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．故选：D．【变式训练3】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ꢀꢀ）A．无数个B．3个C．2个D．1个【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，故选：A．圆的相关概念【例2】已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ꢀꢀ）A．3cmB．6cmC．1.5cmD．3cm【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm故选：B．【变式训练1】已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为ꢀ6ꢀ厘米．【解答】解：∵直径是圆中最长的弦，⊙O中最长的弦为12厘米，∴⊙O的直径是12厘米．∴⊙O的半径是6厘米．故答案为：【例3】下列说法：①②③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ꢀꢀ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；②弦不一定是直径，错误，不符合题意；③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，正确的有3个，故选：C．【变式训练1123）4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ꢀꢀ）A．1个B．2个C．3个D．4个1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有1个，故选：A．求相关角度【例4】如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ꢀꢀ）A．38°B．52°C．76°D．104°【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故选：C．【变式训练1】如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，O为圆心，则∠ACO的度数为（ꢀꢀ）A．150°B．120°C．100°D．60°【解答】解：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B＝60°，∴∠ACO＝180°﹣60°＝120°．故选：B．【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．1）连OB，如图，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．求相关长度【例6】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（ꢀꢀ）A．53B．8C．6D．5【解答】解：如图，连结CD，∵CD是直角三角形斜边上的中线，1212∴CD=AB=×10＝5故选：D．【变式训练1】如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、BCH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（ꢀꢀ）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．1∴MH=BC，2∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【变式训练2】如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、AB作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（ꢀꢀ）A．6B．5C．4D．2【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，∴OC＝OA=퐵퐶2+푂퐵2=10，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与BCAPB关于直线AP的对称点MMC52A．2B．C．3D．10【解答】解：连接AM，∵点B和M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圆心，3为半径的圆上，∴当A，M，C三点共线时，CM最短，∵AC=32+42=5，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故选：A．有关证明【例7】已知，如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，AO=BO∠푂=∠푂，푂퐷=푂퐶∴△OCB≌△ODA（SAS∴AD＝BC．【变式训练1】已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？【解答】解：AC与BD相等．理由如下：连接OC、OD，如图，∵OA＝OB，AE＝BF，∴OE＝OF，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFD＝90°，在Rt△OEC和Rt△OFD中，OE=OF，푂퐶=푂퐷∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL∴∠COE＝∠DOF，∴AC=BD，∴AC＝BD．垂径定理的计算垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧【例8AB是⊙OCD⊥ABPCD＝AP＝8⊙O的半径为（ꢀꢀ）A．10B．8C．5D．3【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，∴CP＝DP＝4，设⊙O的半径为R，∵AP＝8，∴OP＝8﹣R，在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，即（8﹣R）2+42＝R2解得：R＝5，，∴⊙O的半径为5，故选：C．【变式训练1】如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ꢀꢀ）A．363B．243C．183D．723【解答】解：如图，连接OC，∵AB＝12，BE＝3，∴OB＝OC＝6，OE＝3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC=푂퐶2−푂퐸2=36−9=33，∴CD＝2CE＝63，1212∴四边形ACBD的面积=퐴퐵⋅퐶퐷=×12×63=363．故选：A．【变式训练2】如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（ꢀꢀ）A．4+5B．9C．45D．62【解答】解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，在Rt△BCO中，OC=푥2+(2푥)2=5푥，在Rt△FEO中，OF=(푥+4)2+42=푥2+8푥+32，∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝45，则半圆O的半径是45．故选：C．【变式训练3】已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（ꢀꢀ）A．1个B．3个C．6个D．7个【解答】解：∵CD是直径，1212∴OC＝OD=CD=×10＝5，∵AB⊥CD，∴∠AMC＝∠AMD＝90°，∵AM＝4.8，∴OM=52−82=1.4，∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，∴AC=82+42=8，AD=82+62=6，∵AM＝4.8，∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有5，6，A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，6，7，8，直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，故选：C．垂径定理的应用【例9】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ꢀꢀ）cm．A．10B．14C．26D．52【解答】解：如图所示：由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，∵AB＝48cm，1212∴BD=AB=×48＝24（cm设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，所以2r＝52，故选：D．【变式训练1】一装有某种液体的圆柱形容器，半径为6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正竖直，则容器中液体的高度为（ꢀꢀ）4휋−3312휋−9312휋−9312휋−93A．푐푚B．푐푚C．푐푚D．푐푚12휋2휋휋2【解答】解：连接OA，OB，如图，根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，푂퐶푂퐴3612∴cos∠AOC===，∴∠AOC＝60°，则∠AOB＝120°，∴AC＝33cm，AB＝2AC＝63cm，120휋×621∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB=−×63×3=12휋−93（cm23602设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h（cm依题意得：62휋ℎ=18(12휋−93，)12휋−932휋故选：B．∴ℎ=，【变式训练2】往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝72cm，则水的最大深度为（ꢀꢀ）A．36cmB．27cmC．24cmD．15cm【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D．∵OC⊥AB，∴AC＝CB＝36（cm∵OA＝OB＝39cm，∴OC=푂퐴2−퐴퐶2=392−362=15（cm∴CD＝39﹣15＝24（cm故选：C．【变式训练3】如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB＝8cm．若从目前所处位置到完全落入水中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（ꢀꢀ）A．0.5cm/sB．0.75cm/sC．1cm/sD．2cm/s【解答】解：设圆心为O，连接OB，则OB＝5，12过点O作OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D，则BD=퐴퐵=4cm，在Rt△BOD中，OD=52−42=3cm，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2cm，∴从目前所处位置到究全落入水中，球体下落的平均速度为2÷4＝0.5cm/s．故选：A．【例10】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．【解答】解：货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：如图，连接ON、OA．∵OC⊥AB，AB＝7.2m，1∴AD=AB＝3.6（m2设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m，2r2.4在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r＝（﹣）2+3.62，解得：r＝3.∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面1.5m，∴CH＝2.4﹣1.5＝0.9（m∴OH＝3.9﹣0.9＝3（m在Rt△OHN中，HN2＝ON2﹣OH2＝3.92﹣32＝6.21（m2∴HN=6.21（m∴MN＝2HN＝26.21（m）＞3m，∴货船能顺利通过这座拱桥．【变式训练1】诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，1∴BD=AB＝8（m2又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r＝（﹣）2+82，2r4解得r＝答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN=푂푁2−푂퐸2=102−92=19，∴MN＝2EN＝219m＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．圆周角圆心角相关概念圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．【例11】下列说法中，正确的个数为（ꢀꢀ）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧相等则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个B．2个C．3个D．4个1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；故选：B．【变式训练1】下列说法正确的是（ꢀꢀ）A．同弧或等弧所对的圆心角相等B．所对圆心角相等的弧是等弧C．弧长相等的弧一定是等弧D．平分弦的直径必垂直于弦【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，本选项符合题意；B、所对圆心角相等的弧是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；C、弧长相等的弧一定是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；D、平分弦的直径必垂直于弦，错误此弦不能是直径，本选项不符合题意．故选：A．【变式训练2】下列说法中，正确的是（ꢀꢀ）A．同心圆的周长相等B．面积相等的圆是等圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．平分弧的弦一定经过圆心【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．B、正确，本选项符合题意．C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．故选：B．【变式训练3】下列说法中，正确的有（ꢀꢀ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径也平分弦所对的弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法错误；②平分弦（不是直径）的直径也平分弦所对的弧，本小题说法错误；③能够重合的两条弧是等弧，本小题说法错误；④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧，本小题说法正确；故选：A．圆周角与圆心角求角度【例12】如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ꢀꢀ）A．158°B．58°C．64°D．116°【解答】解：∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．【变式训练1】如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ꢀꢀ）A．30°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故选：A．【变式训练2】如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ꢀꢀ）A．25°B．50°C．65°D．75°【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC+∠AOC＝75°，23∴∠AOC=×75°＝50°，∵OA＝OC，12∴∠OAC＝∠OCA=（180°﹣∠AOC）＝65°，故选：C．【变式训练3】如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（ꢀꢀ）A．100°B．110°C．115°D．120°【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，12∴∠BOC=×(360°−130°)=115°．故选：C．圆周角与圆心角求长度【例13】如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（ꢀꢀ）A．5B．6C．7D．8【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=푂퐹2−푂퐸2=52−32=4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【变式训练1】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝3，⊙O的直径为15，则AC长为（ꢀꢀ）A．10B．13C．12D．11【解答】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，AD=AF，∵D为弧AC的中点，∴AD=DC，∴ADC=DAF，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为15，152∴OF＝OA=∵AE＝3，，9∴OE＝OA﹣AE=，215292在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=푂퐹2−푂퐸2=)2−()2=6，(∴DE＝EF＝6，∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，故选：C．【变式训练2】如图，在半径为25的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB＝CD＝8，则OP的长为（ꢀꢀ）A．42B．22C．4D．2OAOCO作OE⊥CD于EOF⊥AB于FOFP＝∠OEP＝∠CEO＝∠AFO＝90°，∵AB⊥CD，∴∠EPF＝90°，∴四边形OFPE是矩形，∴OE＝FP，EP＝OF，∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，∴AF＝BF＝4，由勾股定理得：OF=푂퐴2−퐴퐹2=(25)2−42=2，同理OE＝2，即FP＝OE＝2，在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP=푂퐹2+퐹푃2=22+22=22，故选：B．【变式训练3】如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（ꢀꢀ）A．10B．13C．15D．16【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，AD=AF，∵点D是弧AC的中点，∴AD=CD，∴AC=DF，∴AC＝DF＝12，12∴EF=DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（﹣），x32152解得x=，∴AB＝2x＝15，故选：C．垂径定理的推论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧【例14】如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ꢀꢀ）A．AM＝BMB．CM＝DMC．AC=퐵퐶D．AD=퐵퐷【解答】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，∴AM＝BM，AC=BC，AD=BD，即选项A、C、D都正确，当根据已知条件不能推出CM和DM一定相等，故选：B．【变式训练1】如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ꢀꢀ）A．AE＝BEB．OE＝DEC．AC=퐵퐶D．AD=퐵퐷【解答】解：∵AB⊥CD，CD过圆心O，∴AE＝BE，AC=BC，AD=BD，不能推出OE＝DE，所以选项A、选项C、选项D都不符合题意，只有选项B符合题意；故选：B．【变式训练2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条件是（ꢀꢀ）A．AB⊥CDB．AC=ADC．BC=BDD．OE＝ED【解答】解：当AB⊥CD时，CE＝DE．故A正确；当BC=BD或AC=AD时，CE＝DE，故BC都正确；故选：D．【变式训练3】如图，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①AC=AD；②BC=BD；③EO＝EB；④EC＝ED．其中一定成立的是（ꢀꢀ）A．①③B．①④C．①②④D．①②③④【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，∴AC=퐴퐷，BC=BD，EC＝DE，故①②④正确．故选：C．内接四边形定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角【例15】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠ABC＝108°，则∠AOC的度数为（ꢀꢀ）A．72°B．108°C．144°D．150°【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝108°，∴∠D＝72°，∴∠BOC＝2∠D＝144°，故选：C．【变式训练1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝50°，则∠ADC的大小为（ꢀꢀ）A．130°B．120°C．110°D．100°【解答】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，∵BD垂直平分OC，1212∴OE=OC=OD，∠OED＝90°，∴∠ODE＝30°，∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵∠ABD＝50°，∴∠AOD＝2∠ABD＝100°，∵OA＝OD，12∴∠ADO＝∠OAD=（180°﹣∠AOD）＝40°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝40°+60°＝100°，故选：D．【变式训练2】如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（ꢀꢀ）A．85°B．75°C．70°D．65°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝15°，∴∠CAB＝75°，∴∠BDC＝∠CAB＝75°，故选：B．【变式训练3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，P是AD上一点，则∠APD等于（ꢀꢀ）A．120°B．125°C．135°D．150°【解答】解：连接OC，AC．∵弦CD垂直平分OB，1212∴OE=OB=OC，∴∠OCD＝30°，∴∠COB＝60°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝30°，∴∠ACD＝60°．∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，故选：A．证明综合【例16】如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交⊙O于点F，连接AF交CD于点G，连接AC，且AC∥DF．（1）求证：CG＝AG；（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．1）证明：∵AC∥DF，∴∠CDF＝∠ACD，∵CF=CF，∴∠CAF＝∠CDF，∴∠ACD＝∠CAF，∴AG＝CG；（2）解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴AC=퐴퐷，CE＝DE，∵∠DCA＝∠CAF，∴AD=퐶퐹，∴AC=퐴퐷=퐶퐹，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，∵DF是直径，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，∵CE⊥AO，∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，∴CE＝33=DE，∵AG2＝GE2+AE2，∴AG2＝（3−AG）2+9，3∴AG＝23，∴GE=3，∴DG＝43．【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D是BC的中点，连结OC，AD，交于点E，连结BE，BD．（1）求∠EBA的度数．（2）求证：AE=2BD．（3）若DE＝1，求⊙O的面积．1）连接AC，∵AC=BC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°∴∠CAB＝45°，∵点D是BC的中点，∴CD=퐵퐷，∴∠CAD＝∠EAB＝22.5°；（2）由（1）知，OC垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠DEB＝2∠EAB＝45°，∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴BD＝sin45°BE，∴BE=2BD，∴AE=2BD；（3）∵DE＝1∴BD＝DE＝1，∴AE＝BE=2，∴AD=2+1，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝（∴（2+1）2+1＝4OA2，2OA）2，22∴OA2=，22휋2휋∴圆的面积为πOA2=．2一．选择题（共8小题）1．下列说法正确的是(ꢀꢀ)A．直径是圆中最长的弦，有4条B．长度相等的弧是等弧C．如果eA的周长是eB周长的4倍，那么eA的面积是eB面积的8倍D．已知eO的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在eO上【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；B、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；C、如果eA的周长是eB周长的4倍，那么eA的面积是eB面积的16倍，故该选项不符合题意；D、已知eO的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在eO上，故该选项符合题意．故选：D．2．小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是(ꢀꢀ)A．4B．5C．10D．11【解答】解：Q半径为5的圆，直径为10，\在半径为5的圆中测量弦的长度，的取值范围是：0<„10，\弦的长度可以是4，5，10，不可能为11．故选：D．3．如图，eO的直径BA的延长线与弦的延长线交于点E，且CE=，已知ÐDOB=72°，则E等于(ꢀꢀ)A．36°B．30°C．18°D．24°【解答】解：如图：CE==CO，得ÐE=1．由Ð2是DEOC的外角，得Ð2=ÐE+1=2ÐE．由OC=OD，得ÐD=Ð2=2ÐE．由3是三角形DODE的外角，得3=E+ÐD=ÐE+2ÐE=ÐE．由3=72°，得E=°．解得ÐE=24°．故选：D．4．如图，eO的直径AB=12，弦CD垂直于点P．若=2，则CD的长为(ꢀꢀ)A．25B．42C．45D．82【解答】解：如图，连接，Q=，\==6，QPB=2，\=4，在RtDOPC中，CP=62-4=25，2QCD^，\CP=，\CD=2PC=45．故选：C．5．已知eO的半径为5，点O到弦的距离为3，则eO上到弦所在直线的距离为2的点有(ꢀꢀ)A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：过O点作OC^AB，交eO于P，如图，\=3，而=5，\=2，即点P到直线的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，\在直线的这边，还有两个点M，