第02讲 常用逻辑用语（解析版）

第02讲常用逻辑用语TOC\o"1-2"\h\u题型一充分、必要条件的判定 2题型二已知充分、必要条件求参 6题型三含量词的命题的否定 10题型四 含量词的命题的真假判断 13题型五 含量词的命题的应用 18课时精练 21【基础回顾】知识点1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p知识点2.全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示。（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示。知识点3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立简记∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,¬p(x)∀x∈M,¬p(x)【必备知识】1.充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}。（1）若p是q的充分条件，则A⊆B；（2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；（3）若p是q的必要不充分条件，则B⫌A；（4）若p是q的充要条件，则A＝B.2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”。3.命题p与p的否定的真假性相反。题型一充分、必要条件的判定充分、必要条件的三种判定方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断。（2）集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断，小集合⇒大集合。（3）等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止。【例题精讲】1．（2026·山东泰安·模拟预测）若x∈R，下列选项中，使x2−2x−3<0A．−1<x<3 B．−1≤x≤3 C．−1<x<2 D．−2<x<3【答案】C【详解】解不等式x2−2x−3<0，得则不等式x2−2x−3<0的解集为记使不等式x2−2x−3<0成立的充分不必要条件为集合则集合B为集合A的真子集，所以集合B=x|−1<x<22．（2026·江苏·二模）已知a>0,b>0,0<c<1，则“ac<bc<1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由y=xc且0<c<1在0,+∞若ac<b由y=cx且0<c<1在0,+∞若cb<c显然0<a<b<1可推出b>a>0，反之不一定成立，综上，“ac<b3．（2026·重庆·一模）“x2+x−2<0”是“2xx−2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解【详解】因为x2+x−2<0，所以(x+2)(x−1)<0，解得由2xx−2因为x|−2<x<1是x|−2<x<2的真子集，所以x2+x−2<0是4．（2026·辽宁沈阳·三模）命题“x−22x+1<0”的一个充分不必要条件是（A．−1<x<2 B．−12<x<2 C．−【答案】C【详解】不等式x−22x+1<0等价于(x−2)(2x+1)<0，解得找充分不必要条件，即找集合−12,25．（2026·重庆渝中·模拟预测）对于实数a、b，则“a>b”是“a2>A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当a=1，b=−1时，满足a>b，但a2=b2因为a2>b2，所以a>b，又因为b≥b综上“a>b”是“a6．（2026·天津河东·二模）已知x∈R，“1−2x≥3”是“x2−A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】先解出不等式，再根据集合间的关系，即可得答案．【详解】1−2x≥3⇒1−2x≥3或1−2x≤−3，解得A={x|x≤−1或x≥2}x2−2x−3因为B是A的真子集，所以“1−2x≥3”是“x7．（2026·河北衡水·二模）“log2a<log2bA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案.【详解】因为y=log2x所以由log2a<log由a−3>b−3>0又因为函数y=x−3在所以a−3>b因此，“log2a<log（多选）8．（2026·河北雄安·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．∃x∈RB．若x∈R，则“x>23”是“C．x2D．若ac2【答案】AC【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D.【详解】对于A，解不等式x2+3x+2≤0，得−2≤x≤−1，因此对于B，当2x<3时，x<0或x>23，即x>23能推出因此“x>23”是“对于C，x2当且仅当x2+3=9x2对于D，ac2−1>b（多选）9．（2026·江西宜春·模拟预测）用x表示不超过x的最大整数，则（

）A．xB．x=y是C．函数fx=D．方程4x2【答案】BCD【分析】根据函数的新定义逐项分析即可.【详解】对于A，当x不是整数时，如x=1.2，则有1.2=1,−1.2=−2对于B，若x=y=n，则有x,y∈[n,n+1)，区间长度小于1若x−y<1，不妨令x=0.9,y=1.1，此时有x−y=0.2<1，但x=0,即x=y=n对于C，由于2x+12x+1=2·2x2因此函数fx=2当0<t<1时，t=0，此时1<2−t<2，2−t=1，当t=1时，ft当1<t<2时，t=1，此时0<2−t<1，2−t=0，因此，函数fx=2对于D，方程4x2−2x−2=0代入4x2−2=2x得4x又因为2x必须是整数，不妨设2x=kk∈ℤ，则4因为2x∈[−1,1−52)∪(1+当k=−1时，x2=14⇒x=±12，当x=当k=1时，x2=34⇒x=±32，当x=当k=2时，x2=1⇒x=±1，当x=1时，2x=2=k，符合条件，当x=−1因此方程4x2−（多选）10．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若a,b∈R，则a>b成立的充分不必要条件可以是（

）A．a>b B．a2>b2 【答案】AC【分析】结合充分条件、必要条件的定义，由函数单调性和举反例进行判断，得到结论【详解】A选项，若a>b，则a>若b≥0，则a>b≥0，若b<0，则a>−b>b，所以a>b，充分性成立，若a>b，不妨设a=−2,b=−3，但不满足a>bB选项，若a2>b2，不妨设C选项，若log2a>log当0≥a>b时，log2D选项，若2a>2b，则a>b，当故2a>2题型二已知充分、必要条件求参求参数问题的解题策略（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解。（2）要注意区间端点值的检验。【例题精讲】1．（2026·重庆·模拟预测）已知p：x2−1<0，q：x≥m，若p是q的既不充分又不必要条件，则实数m的取值范围是（A．−1,1 B．−1,1 C．−1,+∞ D．【答案】C【详解】解x2−1<0，得因为p是q的既不充分又不必要条件，所以(−1,1)和[m,+∞所以m>−1，所以m的取值范围是−1,+∞2．（25-26高三上·福建·月考）已知集合A=x|x2−2x<0，B=x|x≥m，若“t∈B”是“t∈A．−2 B．0 C．1 D．3【答案】D【分析】首先解一元二次方程求出集合A，从而求出∁RA，依题意可得B真包含于∁R【详解】由x2−2x<0，即x−2x<0所以A=x|则∁R又B=x|x≥m，“t∈B”是“t∈所以B真包含于∁R所以m≥2，结合选项可知D正确.故选：D3．（25-26高一上·天津·月考）已知条件p:x<2，条件q:x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（A．a|a>2 B．a|a≥2C．a|a<−2 D．a|a≤−2【答案】D【分析】分析可知集合x|−2<x<2是集合x|x>a的真子集，根据包含关系即可得结果.【详解】因为条件p:x<2，即为−2<x<2，条件若p是q的充分不必要条件，则集合x|−2<x<2是集合x|x>a的真子集，则a≤−2，所以实数a的取值范围为a|a≤−2.故选：D.4．（25-26高三·天津·一轮复习）已知集合A=xx2−4x+3≤0，B=xx>m．若“x∈∁A．−∞,1 B．1,3 C．[3,+∞【答案】C【分析】解一元二次不等式可得A=1,3，即可写出∁RA，由题意知B⊆∁R【详解】由x2−4x+3≤0⇒x−1x−3≤0“x∈∁RA”是“x∈B”的必要不充分条件⇔B⊆由B⊆−∞,1∪3,+故m≥3.故选：C5．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知p:x>1，q:x<m，若p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（A．−∞,1 B．−∞,1 C．【答案】C【分析】依题意，¬q是p的子集，利用子集思想求解即可.【详解】p是¬q的必要不充分条件，则¬q是p的子集，又因为¬q:x≥m，p:x>1或x<−1，所以m>1.故选：C.6．（22-23高一上·安徽滁州·月考）若“−1<x<1”是“x−ax−3−a<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（A．{a|a≤1或a≥2} B．aC．a−2≤a≤−1 D．{a|a≤−2或【答案】C【分析】求得不等式的x−ax−3−a<0解，由已知可得【详解】因为x−ax−3−a<0，所以因为“−1<x<1”是“x−ax−3−a所以a≤−13+a≥1（两个等号不能同时成立），解得−2≤a≤−1所以实数a的取值范围是a|−2≤a≤−1.故选：C.7．（22-23高三上·河南安阳·月考）若“x+1=2”是“log2x+A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】解方程x+1=2得x=1或-3，再将“x+1=2”是“log2x+2【详解】解x+1=2的x=1或-3，设集合A=1,−3，方程log2x+2x=a的解集为集合当B=1时，log2当B=故选：B.（多选）8．（2026·云南昆明·模拟预测）若“sinα+cosα=m”是“1+sin2αA．0 B．1 C．2 D．2【答案】BC【分析】应用二倍角公式结合充分不必要条件定义计算求解.【详解】当m=0时，sinα+cosα=0，则sin所以1+sin2α=0，则“sin当m=1时，sinα+cosα=1，则sinα+cos当1+sin2α=1，则sin2所以sinα+cosα=1或sinα+cos所以“sinα+cosα=1当m=2时，sinα+cosα=2，则sin当1+sin2α=2，则所以sinα+cosα=2或sinα+所以“sinα+cosα=当m=2时，由sinα+cosα=且1+sin2α=2所以“sinα+cosα=2题型三含量词的命题的否定全称命题的否定（∀→∃，并否定结论）原命题：∀x∈M，P（x）（所有x属于M，都满足P(x））否定命题：∃x∈M，¬P（x）（存在x属于M，不满足P(x））存在命题的否定（∃→∀，并否定结论）原命题：∃x∈M，P（x）（存在x属于M，满足P(x））否定命题：∀x∈M，¬P（x）（所有x属于M，都不满足P(x））【例题精讲】1．（2026·浙江温州·二模）已知命题p:∃x∈R，x2−x+1≤0，那么¬pA．∀x∈R，x2−x+1>0 B．C．∀x∈R，x2−x+1≤0 D．【答案】A【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题p:∃x∈R，x其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以¬p为∀x∈R，x2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知命题p:∀x>0，log2x>0；命题q:∃x<0，|x+1|>1.则（A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【答案】B【详解】因为当x=12时，log2x=−1<0，所以命题因为当x=−3时，|x+1|=2>1，所以q是真命题，所以¬q是假命题.3．（2026·陕西咸阳·三模）命题“∀x>1，x2A．∀x≤1，x2C．∃x>1，x2【答案】C【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，故“∀x>1，x24．（2026·天津和平·二模）命题“∀x∈Z，∃n∈N∗，使得n≥xA．∃x∈Z，∃n∈N∗，使得n<x3 B．∀x∈ZC．∃x∈Z，∀n∈N∗，使得n<x3 D．∀x∈Z【答案】C【详解】命题“∀x∈Z，∃n∈N∗，使得n≥x3”的否定是“∃x∈Z5．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（

）A．命题p:∀x∈R，x2>0，则命题p的否定是：B．“a>1”是“1aC．方程x2−4x+a=0D．0<k<4是关于x的不等式kx2−kx+1>0【答案】B【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数k的取值分类讨论，并结合图像列不等式求解即得.【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论，故命题p:∀x∈R，x2>0的否定是：∃x∈对于B，由a>1可得1a<1；但a=−1时，满足1a故“a>1”是“1a对于C，设f(x)=x2−4x+a−−42>1对于D，对于x的不等式kx2−kx+1>0，当k=0当k≠0时，不等式kx2−kx+1>0对一切实数x恒成立等价于k>0综上可得，0≤k<4是关于x的不等式kx2−kx+1>06．（25-26高二下·陕西西安·期中）命题p:∀x∈0,1，x2+x>0A．∃x0∈0,1，x0C．∃x0∈0,1，x0【答案】C【详解】命题p:∀x∈0,1，x2+x>0的否定是¬p：∃7．（25-26高三上·浙江金华·期末）命题“∃x∈R，x2+x−1>0”的否定是（A．∀x∈R，x2+x−1>0 B．∀x∈RC．∃x∈R，x2+x−1<0 D．∃x∈R【答案】B【详解】命题“∃x∈R，x2其否定为：∀x∈R，x2（多选）8．（25-26高一上·湖南常德·期末）下列说法正确的有（

）A．对任意实数x都有xB．若2<a<5,3<b<10，则−18<a−2b<−1C．当x>1时，x+1D．若p:∃n∈N,【答案】AB【分析】根据绝对值的概念可判断A的真假；利用不等式的基本性质可判断B的真假；利用基本不等式可判断C的真假；根据特称量词命题否定是全称量词命题可判断D的真假.【详解】对于A：绝对值大于等于0恒成立，故A正确；对于B：由2<a<5,3<b<10,−20<−2b<−6，由同向不等式可加性有2−20<a−2b<5−6，即−18<a−2b<−1，故B正确；对于C：因为x>1,x−1>0，所以x+1当且仅当x−1=1x−1，即对于D：由特称量词命题的否定是全称量词命题，所以p:∃n∈N,n故选：AB（多选）9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（

）A．∀x∈R，xB．“∃x∈R，|x−1|+1<0”是假命题C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题D．“∀x∈R，x+4x4≥0”的否定是“∀x∉R【答案】AB【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项.【详解】选项A：将不等式变形：x2−2x+4>0，配方得：对所有实数恒成立，因此选项A正确；选项B：由绝对值的非负性，x−1≥0因此x−1+1>0选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误；选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变x的取值范围，因此选项D错误.故选：AB.（多选）10．（2025·四川泸州·一模）下列命题正确的有（

）A．f(x)=|x|x与B．“x<1”是“x2C．命题“∀x∈R,x2−x+2⩾0D．若f(x)=|x−1|−|x|，则f【答案】BD【分析】对于A，f(x)与g(x)定义域不同，故不是同一函数，得到答案；对于B，根据充分不必要条件定义和不等式关系，即可判定真假；对于C，根据含全称量词的命题的否定直接求解即可判定真假；对于D，先求出f12=0【详解】对于A，f(x)=xx=对于B，x<1，则有x2−5x+6>0，但x2−5x+6>0，则所以“x<1”是“x2−5x+6>0”的充分不必要条件，故对于C，由含全称量词命题的否定知，命题“∀x∈R，x2−x+2≥0”的否定是“∃x∈对于D：f12=故选：BD.题型四 含量词的命题的真假判断一、全称命题（∀x∈M，P(x））的真假判断定义：命题“对所有x属于M，P(x)成立”。判断方法：为真：需证明论域M中的每一个元素x都满足P（x）。为假：只需找到至少一个反例（即存在x∈M，使得P(x)不成立）。二、存在命题（∃x∈M，P(x））的真假判断定义：命题“存在x属于M，使得P(x)成立”。判断方法：为真：只需找到至少一个实例（即存在x∈M，使得P(x)成立）。为假：需证明论域M中没有任何元素x满足P（x）（即∀x∈M，¬P(x)为真）。【例题精讲】1．（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（

）A．∀x∈B．∃x∈C．任何实数都有算术平方根D．任意两个无理数之和仍为无理数【答案】A【分析】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故可判断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说明即可判断.【详解】对于A，含有全称量词，而ex>0，所以对于B，不含有全称量词，故B错误；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C错误；对于D，含有全称量词，2,−2是无理数，而−2故选：A2．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题p:∀x∈R,x2+2x+2>0，则命题pA．真，¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0C．假，¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0【答案】B【分析】根据命题的真假判断即可.【详解】x2+2x+2=(x+1)又¬p:∃x∈R，x23．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，x≠0，则x+1x>2，命题A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题【答案】C【详解】对于命题p，当x=1时，x+1x对于命题q，解不等式x2−x−2≤0，得−1≤x≤2，所以4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，x+1>1；命题q:∃x>0，2xA．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题【答案】B【详解】当x=0时，x+1>1不成立，所以命题p是假命题，¬p根据指数函数和对数函数的图像可知，函数y=2x与y=log则∃x>0，2x=log0.5x5．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（

）．A．∃x∈R，x2+1<0 B．∀x∈RC．∀x∈Z，x∈N D．∃x∈R，【答案】C【分析】对四个选项进行一一分析，即可求得答案.【详解】对于A：∀x∈R,都有x2≥0，所以x2+1≥1>0对于B：当x=0时，x+x对于C：∀x∈Ζ，x为非负整数，且自然数集N对于D：x2−3x+10=0，故选：C6．（2026·河北·一模）已知命题p:∀x∈R,5x−2A．p和q都是假命题 B．p是真命题，q是假命题C．p是假命题，q是真命题 D．p和q都是真命题【答案】C【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法确定给定命题真假即可.【详解】命题p是全称量词命题，当x=0时，5x−2e命题q是存在量词命题，当x0=0时，4cos故选：C7．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题p:“∃x∈R，使得不等式ax2+2ax+2<0成立”为假命题，则实数A．0, 4 B．2, 4 C．【答案】D【分析】题意说明¬p：“∀x∈R，ax2【详解】命题p:“∃x∈R，使得不等式ax2+2ax+2<0成立”为假命题，则命题¬p：“a=0时，不等式为2≥0恒成立，满足题意，a≠0时，则a>0Δ=4a综上，a的范围是[0,2].（多选）8．（25-26高三·全国·一轮复习）下面四个命题错误的是（）A．∀x∈R，xB．∃x∈Q，C．∃x∈R，D．∀x∈R，【答案】ABC【分析】判断全称量词命题和存在量词命题的真假.【详解】对A：由x2−3x+2>0⇒x−1x−2>0⇒所以命题“∀x∈R，x对B：由x2=2⇒x=−2或x=2，所以x为无理数，故“对C：对x∈R，x2+1≥1，所以方程x2+1=0对D：因为4x2≥2x−1+3x2⇔x2−2x+1≥0⇔故选：ABC（多选）9．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知命题p：平行四边形的对角线相等，q:∃x∈1,2,−2A．p是存在量词命题B．q是存在量词命题C．¬p：有些平行四边形的对角线不相等D．q是真命题【答案】BCD【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的概念可判断ABC；利用零点存在性定理可判断D.【详解】“平行四边形的对角线相等”的意思为“所有的平行四边形的对角线都相等”，故命题p为全称量词命题，其否定为“有些平行四边形的对角线不相等”，故A错，C对；由存在量词命题的形式可知，q为存在量词命题，B对；记fx=−2x−x+4由零点存在性定理可知，fx在区间1,2即∃x∈1,2故选：BCD（多选）10．（25-26高三上·广东梅州·期中）设集合M=xi∈N∣1≤i≤n,i∈N*,n≥3，若∃x,y,z∈M，使得y2A．若1,9,x是Ω集，则x=3或81B．若集合A是Ω集，集合B是非空数集，则A∪B是Ω集C．若集合A是Ω集，集合B=yj∈N∣1≤j≤m,j∈D．∀p∈N*，∃q∈N*且q≥3，使得【答案】ACD【分析】根据Ω集的定义求出x，即可判断A，举反例判断B，根据Ω集的定义判断C、D.【详解】对于A：由Ω集的定义及已知得，12=9x，或92解得x=3或x=81（舍去x=−3,x=1对于B：若取B=12，则12∈A∪B，1对于C：由A是Ω集，所以存在x,y,z∈A（x,y,z两两不等），使得y2因为B中的元素个数不小于2，所以∃w∈B且w≠0，使得wx,wy,wz∈C，且wx,wy,wz两两不等，由y2=xz，得(wy)2=wx对于D：设D=p+1,2p+1,3p+1,⋯,qp+1取x=p+1∈D,y=p+1满足y2=xz（x,y,z两两不等），存在D=p+1,2p+1,3p+1,⋯,qp+1是Ω故选：ACD.题型五 含量词的命题的应用含量词命题的解题策略（1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可。当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假。（2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围。【例题精讲】1．（25-26高三上·北京·月考）已知命题“∀x∈R,x2+ax+A．−∞,−1∪C．(−1,1) D．−1,1【答案】B【分析】根据题意，转化为∃x∈R【详解】由命题∀x∈R,x则满足Δ=a2−4×1×1所以实数a的取值范围为−∞故选：B.2．（25-26高一上·云南大理·月考）命题：“∀x∈R，都有一元二次不等式ax2−2ax−3<0”为真命题，则实数A．a−3<a<0B．a−3<a≤0C．aa<−3【答案】A【分析】根据一元二次不等式解集的形式求a的取值范围.【详解】因为一元二次不等式ax2−2ax−3<0所以a<0Δ=2a2−4a×−3<0⇒故选：A3．（25-26高一上·天津河东·月考）已知命题p:“∀x∈1,4，x2−mx+4<0”，若命题p是真命题，则实数mA．m>5 B．m≥5 C．m>4 D．m≥4【答案】A【分析】命题p是真命题等价于m>x+【详解】当x∈1,4时，不等式x2−mx+4<0所以∀x∈1,4，x2−mx+4<0函数y=x+4x，x∈1,4在1,2又当x=1时，y=1+4=5，当x=4时，y=4+1=5，所以x+4所以m>5，故选：A4．（2025·广东江门·模拟预测）若命题“∀x∈R,x2+x+a≠0”的否定是真命题，则实数aA．12,+∞ B．12,+∞【答案】C【分析】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得.【详解】命题“∀x∈R,x2+x+a≠0则“∃x∈R,x则有Δ=1−4a≥0，解得a≤故选：C.5．（25-26高一下·云南·开学考试）若命题“∃x0∈R，x02A．−∞,−14 B．−∞,【答案】D【分析】条件可转化为“∀x∈R，x2【详解】因为命题“∃x0∈R所以命题“∀x∈R，x2则Δ=1−4m≤0，解得m≥即m的取值范围是146．（25-26高一上·江西赣州·期末）使命题p:“∃x∈1,2,m≤xA．m≥4 B．m>5 C．m≤2 D．m≤5【答案】A【分析】根据命题p是假命题可得命题¬p是真命题，从而可得m≥5，再根据包含关系可得.【详解】因为命题p:“∃x∈1,2所以命题¬p:“∀x∈1,2,m>x所以m≥5的一个必要不充分条件m≥4.故选：A7．（2025高一上·吉林长春·专题练习）命题p：“∃x∈R，ax2+2ax−4≥0”为假命题，则aA．−4<a≤0 B．−4≤a<0 C．−3≤a≤0 D．−4≤a≤0【答案】A【分析】利用“命题P与命题¬P真假性相反”，可以把原问题转化成恒成立问题，然后分类讨论可得答案.【详解】“∃x∈R，ax等价于“∀x∈R，ax当a=0时，−4<0，成立；当a≠0时，需满足a<0Δ解得−4<a<0；综上：−4<a≤0.故选：A8．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知命题“存在x∈{x|−1<x<2}，使得等式3x−m=0成立”是假命题，则实数m的取值范围是_____________【答案】{m|m≤−3或【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解.【详解】由已知命题“存在x∈{x|−1<x<2}，使得等式3x−m=0成立”是假命题，等价于“任意x∈{x|−1<x<2}，使得等式3x−m≠0成立”是真命题，又因为−1<x<2，所以−3<3x<6，要使3x≠m，则需m≤−3或m≥6.所以实数m的取值范围为{m|m≤−3或m≥6}故答案为：{m|m≤−3或9．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若“∃x∈1,2,ax2−x≤0【答案】−【分析】根据特称命题证明方法，构造函数，根据定义域，对函数解析式进行参变分离，求出参数范围.【详解】设f(x)=ax∃x∈1,2,ax2−x≤0则ax2−x≤0，由x∈当x∈1,2时，1x∈12故答案为：−∞10．（2026·青海西宁·二模）已知命题p:∀x∈R,ax2−3x≥−5，若p为真命题，则a【答案】[【分析】根据题意，分a=0、a≠0两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解.【详解】ax2−3x≥−5由题意可知，∀x∈R当a=0时，原不等式为−3x+5≥0，解得x≤5当a≠0时，依题意得a>09−20a≤0，解得a≥综上所述，a的取值范围为[9课时精练一、单选题1．（25-26高一上·江苏淮安·月考）命题“∀x>1，x2−x<0”的否定是（A．∀x≤1，x2−x<0 B．∀x>1C．∃x>1，x2−x≥0 D．∃x≤1【答案】C【详解】命题“∀x>1，x2所以所求的否定是“∃x>1，x22．（25-26高二下·贵州遵义·月考）命题“∀x>1，x2−1>0”的否定形式是（A．∀x>1，x2−1≤0B．∀x≤1，x2−1≤0C．∃x>1，x2【答案】C【详解】∀x>1，x2−1>0”的否定形式是“∃x>1，3．（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（

）A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形【答案】B【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解.【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题，所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形.4．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为假命题的是（）A．有些实数是无限不循环小数B．每一个末位是0的整数都是5的倍数C．至少有一个整数n，使n2D．对任意负数x，x2【答案】C【分析】对于A，根据实数的定义分析判断即可；对于B，根据5的倍数的特点判断即可；对于C，利用反证法判断即可；对于D，根据负数的平方的特点判断即可.【详解】对于A，比如π是实数，而且是无限不循环小数，故A正确；对于B，每一个末位是0的整数都是5的倍数，故B正确；对于C，假设有一个整数n，使n2+1是4的倍数，则所以n2为奇数，可设n=2k+1,k∈则n2所以n2+1除以4余2，则n2所以假设不成立，则不存在整数n，使n2对于D，对任意负数x，x2故选：C5．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：∀x∈0,+∞，x2+x−1>0；q：∃x∈−3,0A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，¬q是真命题C．¬p是真命题，q是真命题 D．¬p是真命题，¬q是真命题【答案】C【分析】举例说明命题p，q的真假，进而判断其否定的真假.【详解】对于命题p：当x=12时，可知p是假命题，即¬p是真命题；对于命题q：当x=−1时，x+5=4=3x−1可知q是真命题，即¬q是假命题.故选：C.6．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“∀x∈R,x2−mx+2>0”是真命题，则实数mA．−22,22 B．−22,22【答案】A【分析】由判别式Δ<0【详解】由题意可得：Δ=解得：−22所以实数m的取值范围为−22故选：A7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x2=x，则（A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【答案】B【分析】判断出p、q的真假，即可得出结论.【详解】对于命题p，不妨取x=3，则1−3>1，则命题p对于命题q，由x2=x可得x=0或x=1，则命题因此，¬p和q都是真命题.故选：B.8．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知命题p:∃x∈R, x2A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题【答案】C【分析】首先通过取特值判断命题p与命题q的真假，进而判断选项的正误即可.【详解】对于命题p：当x=1时，12−1−1=−1<0，因此命题p为真命题，从而对于命题q：当a=−2，b=−4时，a+b2=−2−42=−3，ab=−2×综上可得：命题p与命题¬q均为真命题.故选：C二、多选题（多选）9．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）下列命题中，正确的是（

）A．命题“∃x∈R，x>1”的否定是“∀x∈R，B．“至少有一个x，使x2C．“∀x≥0，x−2>xD．“a+1>b−2”是“a>b”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据特称命题的否定判断A，根据全称命题及特称命题定义判断B，根据全称命题及特称命题的真假判断C，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】命题“∃x∈R, “至少有一个x，使x2当x=0时，x−2=−2,x=0，对于D，若a+1>b−2，不妨取a=b=1，则a>b不成立，若a>b，则必有a+1>b+1>b−2，所以“a+1>b−2”是“a>b”的必要不充分条件，D选项正确；（多选）10．（25-26高二上·江西宜春·期末）下列命题中正确的是（

）A．若命题“∀x∈R，x2+4ax+3a>0”为真命题，则实数B．不等式x−2x+1≤0C．若a=log617，b=D．当x>−1时，x2−3x【答案】ACD【分析】对A，根据题意可得Δ<0【详解】对于A，由题可得Δ=4a2−4×3a<0，即对于B，不等式x−2x+1≤0⇔x+1x−2≤0对于C，因为a=log617<所以a<b<c，故C正确；对于D，因为x>−1，所以x+1>0，x2当且仅当x+1=4x+1，即故选：ACD.（多选）11．（25-26高一下·湖南长沙·期末）以下四个命题中，是真命题的是（

）A．∀x∈B．存在整数x，y，使得2x+4y=5C．∀a∈R，二次函数y=x2+2aD．若命题p:∀x>0,x2+x+1≥0，则【答案】AC【分析】逐项判断各选项的正确性即可.【详解】对于A，显然为真命题；对于B，2x+4y=2(x+2y)一定为偶数，故B选项为假命题；对于C，设fx=x2+2a，易知其定义域为R对于D，若命题p:∀x>0,x2+x+1≥0故选：AC.三、填空题12．（25-26高一上·山东德州·期末）若“∀x∈R，ax2−2ax+6>0【答案】0,6【详解】当a=0时，6>0恒成立，或当a>0Δ=4a综上，a的取值范围是0,6.13．（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“∀x∈−1,4，x2−2x−a>0”为真命题，则实数a【答案】−2（不唯一）【分析】分离参数后，求出x2−2x的最小值为−1，得出【详解】由题意，x2−2x>a，对任意因为x2−2x=x−12−1，所以当x∈所以a<−1，故答案为：−2（不唯一）14．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）若“∀x∈0,2，2x−1+2−x−m<0【答案】−【分析】先求出原命题为真命题的时候m的范围，再取其补集即可.【详解】假设若“∀x∈0,2，2x−1+令t=2x，不等式即为m>t2+由对勾函数单调性可知，函数ft=t2+故其最大值在端点处取得，比较f(1)=32与可知f(t)max=f(4)=所以若“∀x∈0,2，2x−1+2−x故答案为：−四、解答题15．（25-26高一上·福建宁德·期中）设命题p:∀x∈R，使得不等式mx2−mx+2>0恒成立；命题q:∃(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p､q有且只有一个是真命题，求实数【答案】(1)0,8(2)−4,0【分析】（1）分m=0和m≠0两种情况进行讨论即可；（2）分p真q假和p假q真两种情况进行讨论求解，再取并集即可．【详解】（1）因为p:∀x∈R,mx所以当m=0时，不等式为2>0，在R上恒成立，符合题意；当m≠0时，m>0,Δ=m综上，实数m的取值范围为0,8．（2）若q为真命题，即q:则对于0≤x≤3,(2x−2)由于0≤x≤3,2x−2∈−2,4所以m≤4，解得−4≤m≤4又因为p,q有且只有一个是真命题，所以当p真q假时，0≤m<8,解得4<m<8；当p假q真时，m<0解得−4≤m<0．所以实数m的取值范围为−4,0∪16．（25-26高一上·四川南充·期中）（1）已知命题p：存在实数x∈R，使x2−ax+a+3≤0成立.若命题p是真命题，求实数（2）已知命题q：任意实数x∈2,3，使x2+4x−a<0恒成立.若命题q【答案】（1）−∞,−2∪【分