2．10　函数模型的应用 专题讲义 学生版及解析-2027届高三数学一轮复习

2．10函数模型的应用课标要求考情分析1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用．◎考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现．◎核心素养：直观想象、数学运算、数学建模．幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长速度的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快．1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()2．在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表所示：x0.501.092.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x3．下面对函数f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是()A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快4．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．5．学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度v0＝12m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留________s(结果保留两位小数).(注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m))与时间teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s))满足关系式h＝v0t－eq\f(1,2)gt2，其中g＝9.8m/s2，eq\r(655)≈25.593)考点一用函数图象刻画变化过程基础考点自练自悟1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()2．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()3．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案．考点二已知函数模型求解实际问题重难考点师生共研(1)(多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.若空气温度为10℃，该物体温度从θ1℃(90≤θ1≤100)下降到30℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70℃，50℃下降到30℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则()(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．t2＝20 B．28≤t1≤30C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6(2)(多选)新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p0>0))是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．1．声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lgeq\f(x,10-12).喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为()A．120dB B．100dBC．80dB D．60dB2．冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式Q＝Q0·e-0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式Q＝Q0·e-0.0025t推算，经过t0年臭氧量还保留初始量的四分之一，则t0的值约为(ln2≈0.693)()A．584年 B．574年C．564年 D．554年考点三构建函数模型解决实际问题多维探究发散思维角度1构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？建模解决实际问题的三个步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．(3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中，得到实际问题的解．即：角度2构建指数函数、对数函数模型(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2024年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2024年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()A．y＝0.95eq\s\up6(\f(x,50))·m B．y＝(1－0.05eq\s\up6(\f(x,50)))·mC．y＝0.9550-x·m D．y＝(1－0.0550-x)·m(2)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(km/s))和燃料的质量Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kg))、火箭(除燃料外)的质量meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kg))的函数关系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).按照这个规律，当1000M＝8m时，火箭的最大速度为v1；当1000M＝4m时，火箭的最大速度为v2.则v1－v2≈(参考数据：lneq\f(252,251)≈0.004)()A．8.0km/s B．8.4km/sC．8.8km/s D．9.0km/s指数(对数)函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．1．运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶300km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(x2,420)))L，司机的工资是每小时46元．则这次行车的总费用的最低值是________元．2．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为为酒后驾车，80mg/100mL及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100mg/100mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________个小时才能驾驶汽车．(参考数据：lg5≈0.7，lg7≈0.85)A级基础过关1．下列函数，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是()A．y＝0.001ex B．y＝1000lnxC．y＝x1000 D．y＝1000×2x2．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利()A．25元 B．20.5元C．15元 D．12.5元3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln2≈0.7，ln3≈1.1)()A．1530只 B．1636只C．1830只 D．1930只4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln(kx)＝lnk0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12h后，人体内的药物含量为eq\f(3k0,4k)，则该药物的消除速率k的值约为()(参考数据：ln2≈0.693)A．0.1055 B．0.1065C．0.1165 D．0.11555．(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－eq\f(t,τ)，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln2＝0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值．若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则()物质τ的量纲单位τ的值铀234万年35.58铀235亿年10.2铀238亿年64.75A．T＝τln0.5 B．T与τ成正比例关系C．T1>T2 D．T3>10000T16．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝eq\f(8,9)λ，则λ＝________．7．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x-2，0≤x≤1，,\f(3,5)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x>1，))《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时)8．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq\r(3)m2，且高度不低于eq\r(3)m.记防洪堤横断面的腰长为xm，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为ym．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m.9．甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，A区域用来打造休闲区域，B区域用来种植辣椒，C区域用来种植青菜，D区域用来种植大蒜．已知B，D两区域是边长为x米的全等正方形，打造休闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费25元．ABCD(1)用y(单位：平方米)表示C区域的面积，求y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？B级能力提升10．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过()(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)A．122天 B．124天C．130天 D．136天11．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，希望能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lg(t＋1))，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________(保留到个位)(lg61≈1.79).12．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160，))设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？C级拓广探索13．如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α(单位：mm)的带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，厚度变为β(单位：mm).若α＝10，β＝5，每对轧辊的减薄率r不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(一对轧辊减薄率r＝\f(α－β,α)×100%，lg2＝0.3010，lg3＝0.4771))()A．14 B．15C．16 D．1714．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下表：上市时间x/天2620市场价y/元10278120(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b(a≠0)；②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；③y＝alogbx(a≠0，b＞0，b≠1)；④y＝eq\f(a,x)＋b(a≠0)；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在x∈(10，＋∞)使得不等式eq\f(f(x),x－10)－k≤0成立，求实数k的取值范围．

2．10函数模型的应用课标要求考情分析1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的广泛应用．◎考点考法：高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体，考查利用函数模型解决实际问题，与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点，常以选择题形式出现．◎核心素养：直观想象、数学运算、数学建模．幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长速度的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快．1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A、C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D.答案D2．在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表所示：x0.501.092.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析在直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D.答案D3．下面对函数f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x与g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法正确的是()A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)图象(图略)，由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C.答案C4．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．解析因为y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210＝－eq\f(1,25)(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的日利润最大时，当日售价为150元．答案1505．学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度v0＝12m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留________s(结果保留两位小数).(注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m))与时间teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s))满足关系式h＝v0t－eq\f(1,2)gt2，其中g＝9.8m/s2，eq\r(655)≈25.593)解析由题意知，h＝12t－eq\f(1,2)×9.8t2，令h＝2，可得12t－eq\f(1,2)×9.8t2＝2，即49t2－120t＋20＝0，所以t1＋t2＝eq\f(120,49)，t1t2＝eq\f(20,49)，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1－t2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1＋t2))2－4t1t2)＝eq\f(4\r(655),49)≈2.09eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s)).所以排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留2.09s.答案2.09考点一用函数图象刻画变化过程基础考点自练自悟1．某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A中总产量增长，C中总产量不变，因此A正确．答案A2．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()解析水匀速流出，所以鱼缸水深h先降很快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．答案B3．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()解析依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．答案D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案．考点二已知函数模型求解实际问题重难考点师生共研(1)(多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.若空气温度为10℃，该物体温度从θ1℃(90≤θ1≤100)下降到30℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70℃，50℃下降到30℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则()(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．t2＝20 B．28≤t1≤30C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6(2)(多选)新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p0>0))是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2[解析](1)由题意可知，θ＝10＋(θ1－10)e-0.05t，当θ＝30，则30＝10＋(θ1－10)，即＝eq\f(20,θ1－10)，－0.05t1＝lneq\f(20,θ1－10)，则t1＝20lneq\f(θ1－10,20)，其是关于θ1的单调递增函数．当θ1＝90时，t1＝20lneq\f(90－10,20)＝20ln4＝40ln2≈28，当θ1＝100时，t1＝20lneq\f(100－10,20)＝20lneq\f(9,2)＝20(2ln3－ln2)≈30，则28≤t1≤30，故B正确；当θ1＝70时，t2＝20lneq\f(70－10,20)＝20ln3≈22，故A错误；当θ1＝50时，t3＝20lneq\f(50－10,20)＝20ln2≈14，此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误，故选BC.(2)由题意可知∈[60，90]，∈[50，60]，＝40，对于选项A：可得－＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因为≥，则－＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1，且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于选项B：可得－＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因为－＝－40≥10，则20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)，且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，当且仅当＝50时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于选项D：由选项A可知：－＝20×lgeq\f(p1,p2)，且－≤90－50＝40，则20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.[答案](1)BC(2)ACD已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．1．声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)＝10×lgeq\f(x,10-12).喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为()A．120dB B．100dBC．80dB D．60dB解析设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)＝10×lgeq\f(x1,10-12)＝140，解得x1＝102，因为eq\f(x1,x2)＝eq\f(102,x2)＝108，所以x2＝10-6，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10-6))＝10×lgeq\f(10-6,10-12)＝60，所以一般说话时声音的等级约为60dB.故选D.答案D2．冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量Q呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式Q＝Q0·e-0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，t是时间，以年为单位．若按照关系式Q＝Q0·e-0.0025t推算，经过t0年臭氧量还保留初始量的四分之一，则t0的值约为(ln2≈0.693)()A．584年 B．574年C．564年 D．554年解析由题意知，Q＝Q0·＝eq\f(1,4)Q0，则＝eq\f(1,4)，解得t0＝－400lneq\f(1,4)＝－400(－2ln2)≈554(年).故选D.答案D考点三构建函数模型解决实际问题多维探究发散思维角度1构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(万元).每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解析](1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元．依题意得，当0<x<8时，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3；当x≥8时，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x))).所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)当0<x<8时，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9，即当x＝6时，L(x)取得最大值，最大值为9万元；当x≥8时，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15，当且仅当x＝eq\f(100,x)，即x＝10时等号成立，即当x＝10时，L(x)取得最大值，最大值为15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．建模解决实际问题的三个步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．(3)回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中，得到实际问题的解．即：角度2构建指数函数、对数函数模型(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2024年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2024年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()A．y＝0.95eq\s\up6(\f(x,50))·m B．y＝(1－0.05eq\s\up6(\f(x,50)))·mC．y＝0.9550-x·m D．y＝(1－0.0550-x)·m(2)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(km/s))和燃料的质量Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kg))、火箭(除燃料外)的质量meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kg))的函数关系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).按照这个规律，当1000M＝8m时，火箭的最大速度为v1；当1000M＝4m时，火箭的最大速度为v2.则v1－v2≈(参考数据：lneq\f(252,251)≈0.004)()A．8.0km/s B．8.4km/sC．8.8km/s D．9.0km/s[解析](1)设每年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－(95%)eq\s\up6(\f(1,50)).所以经过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·(1－a)x＝m·(95%)eq\s\up6(\f(x,50))＝0.95eq\s\up6(\f(x,50))·m.故选A．(2)由火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，当1000M＝8m时，有eq\f(M,m)＝eq\f(8,1000)，所以v1＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(8,1000)))＝2000lneq\f(1008,1000)；当1000M＝4m时，有eq\f(M,m)＝eq\f(4,1000)，所以v2＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,1000)))＝2000lneq\f(1004,1000)，可得v1－v2＝2000lneq\f(1008,1004)＝2000lneq\f(252,251)≈2000×0.004＝8(km/s).故选A．[答案](1)A(2)A指数(对数)函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．1．运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶300km，按交通法规限制50≤x≤100(单位：km/h)，假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(x2,420)))L，司机的工资是每小时46元．则这次行车的总费用的最低值是________元．解析行车所用时间t＝eq\f(300,x)h，根据汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(x2,420)))L，司机的工资是每小时46元，可得行车总费用为y＝eq\f(300,x)×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(x2,420)))＋eq\f(46×300,x)＝eq\f(21000,x)＋eq\f(30x,7)(50≤x≤100).y＝eq\f(21000,x)＋eq\f(30x,7)≥2·eq\r(\f(21000,x)·\f(30x,7))＝600，当且仅当eq\f(21000,x)＝eq\f(30x,7)，即x＝70时，等号成立．所以当x＝70时，这次行车的总费用y最低，最低费用为600元．答案6002．为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为为酒后驾车，80mg/100mL及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100mg/100mL.如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过________个小时才能驾驶汽车．(参考数据：lg5≈0.7，lg7≈0.85)解析设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则100(1－30%)x＜20，所以0.7x＜0.2.又y＝0.7x为减函数，所以x＞log0.70.2＝eq\f(lg0.2,lg0.7)＝eq\f(lg\f(1,5),lg\f(7,10))＝eq\f(lg1－lg5,lg7－lg10)＝eq\f(－lg5,lg7－1)≈eq\f(－0.7,0.85－1)≈4.7，所以他至少经过4.7个小时才能驾驶汽车．答案4.7A级基础过关1．下列函数，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是()A．y＝0.001ex B．y＝1000lnxC．y＝x1000 D．y＝1000×2x解析在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B、C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A．答案A2．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利()A．25元 B．20.5元C．15元 D．12.5元解析由题意，售价为100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋25%))元，再按九折出售的售价为100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋25%))×0.9元，所以，每件获利100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋25%))×0.9－100＝90×eq\f(5,4)－100＝12.5(元).故选D.答案D3．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln2≈0.7，ln3≈1.1)()A．1530只 B．1636只C．1830只 D．1930只解析∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，且当x＝2时，y＝1000，∴1000＝klog33，解得k＝1000，∴当x＝5时，y＝1000×log36＝1000×(log33＋log32)＝1000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(ln2,ln3)))≈1636.答案B4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式ln(kx)＝lnk0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12h后，人体内的药物含量为eq\f(3k0,4k)，则该药物的消除速率k的值约为()(参考数据：ln2≈0.693)A．0.1055 B．0.1065C．0.1165 D．0.1155解析由题意，lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k·\f(3k0,4k)))＝lnk0＋ln(1－e-12k)⇒e-12k＝eq\f(1,4)⇒－12k＝－2ln2，即6k＝ln2≈0.693，解得k≈0.1155.答案D5．(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－eq\f(t,τ)，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln2＝0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值．若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则()物质τ的量纲单位τ的值铀234万年35.58铀235亿年10.2铀238亿年64.75A．T＝τln0.5 B．T与τ成正比例关系C．T1>T2 D．T3>10000T1解析A选项，由题意得N(t)＝N0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(t,T))，又N(t)＝N0eeq\s\up6(－\f(t,τ))，故N0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(t,T))＝N0eeq\s\up6(－\f(t,τ))，两边取对数得，eq\f(t,T)ln0.5＝－eq\f(t,τ)，T＝τln2，A错误；B选项，由A可知，T与τ成正比例关系，B正确；C选项，由B可知，T与τ成正比例关系，由于铀234的τ值小于铀235的τ值，故T1<T2，C错误；D选项，T3＝τln2＝6.475×109ln2，T1＝τln2＝3.558×105ln2，故eq\f(T3,10000T1)＝eq\f(6.475×109ln2,3.558×109ln2)>1，D正确．故选BD.答案BD6．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝eq\f(8,9)λ，则λ＝________．解析因为eq\f(8,9)λ＝λ(1－3-8λ)，所以3-8λ＝eq\f(1,9)＝3-2，解得λ＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)7．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x-2，0≤x≤1，,\f(3,5)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x>1，))《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时)解析当0≤x≤1时，由f(x)≤0.02，得5x-2≤0.02，解得x≤2＋log50.02＝log50.5＜0，不符合题意；当x＞1时，由f(x)≤0.02，得eq\f(3,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤0.02，即31-x≤0.1，解得x≥1－log30.1＝1＋log310.因为3＜1＋log310＜4，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车．答案48．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq\r(3)m2，且高度不低于eq\r(3)m.记防洪堤横断面的腰长为xm，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为ym．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m.解析设梯形的高为hm．由题意可知9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·eq\f(x,2)＝BC＋x，h＝eq\f(\r(3),2)x，整理可得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，由h≥eq\r(3)，BC＞0，可得2≤x＜6，∴y＝BC＋2x＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≥2eq\r(\f(18,x)·\f(3x,2))＝6eq\r(3)，当且仅当eq\f(18,x)＝eq\f(3x,2)(2≤x＜6)，即x＝2eq\r(3)时等号成立．答案2eq\r(3)9．甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，A区域用来打造休闲区域，B区域用来种植辣椒，C区域用来种植青菜，D区域用来种植大蒜．已知B，D两区域是边长为x米的全等正方形，打造休闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费25元．ABCD(1)用y(单位：平方米)表示C区域的面积，求y关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？解析(1)由题意得C区域为长、宽分别为6－2x，x的长方形，所以y＝x(6－2x)＝－2x2＋6x，x∈(0，2).(2)设阳台改造的总费用为f(x)元，则f(x)＝30×6(2－x)＋40x2＋20(－2x2＋6x)＋25x2＝25x2－60x＋360，x∈(0，2)，当x＝－eq\f(－60,2×25)＝eq\f(6,5)时，f(x)有最小值，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))2－60×eq\f(6,5)＋360＝324.所以当x＝eq\f(6,5)米时，阳台改造的总费用最少，最少为324元．B级能力提升10．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1200倍大约经过()(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)A．122天 B．124天C．130天 D．136天解析由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.设经过n天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则eq\f(N0(1＋6%)n,N0)＝1200，∴1.06n＝1200，∴n＝log1.061200＝eq\f(ln1200,ln1.06)≈121.614，∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1200倍．答案A11．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，希望能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lg(t＋1))，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________(保留到个位)(lg61≈1.79).解析由题意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)≈eq\f(kP,2.79)＝eq\f(1,6)P，∴k＝eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)＝eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.答案46212．某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝4eq\r(2a)－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋2，80≤a≤120，,32，120<a≤160，))设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解析(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，所以f(128)＝4×