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《概率论与数理统计》复习题答案一、随机事件与概率1.袋中装有3个红球、5个白球和2个黑球（共10个球），从中不放回地随机抽取3个球。求以下概率：（1）至少有2个红球；（2）已知第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率。解答（1）“至少2个红球”包含“恰好2个红球”和“恰好3个红球”两种情况。总样本空间数为=120恰好2个红球：选2红1非红，非红球共7个（5白+2黑），故组合数为×=恰好3个红球：选3红0非红，组合数为=1因此，至少2个红球的概率为==（2）设事件A为“第一次抽到红球”，事件B为“第二次抽到白球”。需计算条件概率P(第一次抽到红球后，袋中剩余9个球（2红5白2黑），此时第二次抽到白球的概率为，故P(B二、一维随机变量及其分布2.设随机变量X∼N(2,4)（即均值μ=2，方差=解答（1）标准化处理：Z=P(X>3)（2）Y=均值E(Y)=2(y三、二维随机变量及其分布3.设二维随机变量(Xf(x（1）求常数k；（2）求X和Y的边缘概率密度(x)、(y)；（3）判断X与解答（1）由联合密度的归一性，∈∈积分区域为0<x<∈∈解得k=（2）X的边缘密度(x)：对y积分，(x故(x)Y的边缘密度(y)：对x积分，0<y<(y故(y)（3）若X与Y独立，则需f(x,取x=0.5，y=0.2（满足而(x)(y)（4）E(计算内层积分：∈d故E(四、随机变量的数字特征4.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布（X∼P(λ)），（1）求E解答（1）泊松分布的期望E(X)=λ，方差V（2）方差的性质：Var(五、大数定律与中心极限定理5.某工厂生产的产品次品率为5%，现从一批产品中随机抽取100件，用中心极限定理估计次品数超过10件的概率。解答设X为100件中的次品数，则X∼由中心极限定理，当n较大时，X近似服从正态分布N(np,np(1−需计算P(P(查标准正态分布表，Φ(2.29)六、数理统计的基本概念6.从总体X中抽取容量为5的样本，观测值为1,3,2,5,4。（1）计算样本均值¯X和样本方差（无偏方差）；（2）若总体X∼N(μ,)，其中解答（1）样本均值¯X样本方差=((1−3=4，(3−求和得4+0+（2）若总体X∼N(μ,)，则样本均值¯X七、参数估计7.设总体X的概率密度为：f(x其中θ>0为未知参数，,,…,为来自总体X解答（1）矩估计：一阶原点矩E(令E(X)=¯X（样本均值），即（2）极大似然估计：似然函数L(取对数得ln对θ求导并令导数为0：ln解得θ=−，故极大似然估计量为八、假设检验8.某工厂生产的零件长度服从正态分布N(μ,)，其中μ为均值，原假设:μ=100解答（1）已知总体方差=25，样本容量n=25（2）构造检验统计

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