2025-2026学年山东省烟台市爱华高级中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省烟台市爱华高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列说法正确的是（）A.若||=||，则=或=- B.若•=•，则=

C.若=，则•=• D.若•＞0，则，夹角为锐角2.若复数z满足i•（z+2）=3-i,则=（）A.-3-3i B.-3+3i C.3-3i D.3+3i3.在高为6的三棱柱ABC-A1B1C1中，△A'B'C'是底面△ABC的水平放置的直观图，如图，O'A'=O'B'=2，O′C′=，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为（）

A. B. C. D.4.若复数z满足|z-1+2i|=3，则|z|的最大值为（）.A. B. C. D.5.若||=1，=（1，），且在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.6.在三角形ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且acosB+（2c-b）cosA=c,则三角形ABC的形状为（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（）A. B. C. D.8.在锐角三角形ABC中，若c2=a（a+b），则的取值范围为（）A.（1，） B.（1，） C.（，） D.（，）二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z1，z2是关于x的方程x2-bx+4=0（|b|＜4，b∈R）的两根，则（）A.z1z2=4 B.

C.|z1|=|z2|=2 D.|z1+z2|=|z1|+|z2|10.已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,则下列说法正确的是（）A.若A＞B，则sinA＞sinB

B.若，则△ABC为钝角三角形

C.若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB

D.若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则△ABC为锐角三角形11.陶艺是中国传统古老文化与现代艺术结合的艺术形式，某校陶艺社同学制作了一个实心圆锥PO，若该圆锥底面直径和高均为2，现过PO中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱，得到工艺品如图所示，则下列说法正确的是（）A.剩下几何体的表面积为

B.剩下几何体的体积为

C.挖去圆柱体的外接球表面积为2π

D.若将挖去的圆柱制成一个实心球体艺术品，若不考虑体积损耗，则该球体的半径为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，的夹角为，若||=2，|2-|=2，则||=

.13.在直三棱柱ABC-A'B'C'中，，，BC=AA′=1，则直三棱柱ABC-A'B'C'外接球的体积为

，在三棱锥B'-A'BC中，底面A′BC上的高长为

.14.南方由于雨水较多，三角形斜屋顶建筑在江浙一带随处可见.如图是一三角形木屋的建筑示意图.三角形斜屋顶PMN在地面的投影为△ABC，且∠ABC=45°，∠ACB=60°.在M点测得N点的仰角为15°，在N点测得P点的仰角为30°，M点到地面的距离为3m,N点到地面的距离为4m,则P点到地面的距离为

m.

​

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集.

（1）若复数，求|z|；

（2）在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中O是原点，求向量对应的复数z.16.(本小题15分)

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，2），B（2，0），.

（1）若点A，B，P不能构成三角形，求；

（2）当取得最小值时，求△ABP的面积.17.(本小题15分)

如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，AB=AD=4，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，PA=5，圆台上底面的半径为1.

（1）求该圆台的表面积；

（2）求四棱锥P-ABCD的体积的最大值.18.(本小题17分)

请在①向量=（cosC，c-2a），=（b,cosB），且⊥；②（a2-b2）sinA=（b2-c2）sinC这两个条件中任选一个，填入横线上并解答.

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足_____.

（1）求B的大小；

（2）若b=2，求△ABC周长的取值范围；

（3）若AC边上的高为1，求△ABC面积的最小值.19.(本小题17分)

近年来，民宿作为一种具有特色的住宿形式，逐渐受到人们的青睐.小李计划将旧居改造成田园农家民宿，民宿小院用栅栏围成如图所示的等腰梯形形状，BC临街，长16米，∠B=75°，在BC上选择一点G开设大门，从大门出发铺两条鹅卵石小路GE，GF，小路终点E、F在墙AB、CD上，且∠BGE=∠CGF=60°，GEF为庭院休闲区，为使小院更具田园气息，路面EF用防腐木铺设.

（1）GE+GF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

（2）若鹅卵石路面平均每米需花费200元，防腐路面平均每米需花费400元，设修路总费用为S（单位：元），求S最小值.（最终结果保留整数）（参考数据：）​

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】ABC

11.【答案】BCD

12.【答案】3

13.【答案】

14.【答案】5+

15.【答案】|z|=

-i

16.【答案】

17.【答案】解：（1），所以，

在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB×AD×cos∠BAD=48，

得，

由正弦定理可知外接圆直径，

所以下底面半径R=4，上底面半径r=1，

圆台侧面积S侧=π（r+R）l=25π，

，

，

所以圆台表面积S表=42π．

（2）在四边形ABCD中，，

在△BCD中，由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC•CD•cos∠BCD，

得BD2=BC2+CD2-BC•CD≥BC•CD，

所以BC