专题02 平行线的性质和判定（含拐点问题）（期末复习专项训练＋10大题型）（解析版）

专题02平行线的性质和判定（含拐点问题）题型1判定是否能使直线平行（常考点）题型2平行线的判定和性质多结论问题（重点）题型3利用平行线的性质求角（重点）题型4利用平行线的性质求解旋转多解问题（难点）题型5网格中作平行线或垂线题型6利用余角、补角或垂线求角题型7平行线的性质和判定的综合问题（重点）题型8利用平行线的判定与性质求解拐角问题（难点）题型9利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（难点）题型10利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（难点）题型一判定是否能使直线平行（共5小题）1．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在下列四组条件中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．根据平行线的判定定理逐项分析判断即可．【详解】解：A、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；B、由，不能得到，不符合题意；C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，符合题意；D、由不能得到，不符合题意；故选：C．2．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据平行线的判定定理逐项进行判断即可．【详解】解：A.∵，∴，该选项符合题意；B.∵，∴，该选项不符合题意；C.∵，∴，该选项不符合题意；D.∵，∴，该选项不符合题意；故选：A．3．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答．【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意；B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意；C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意；D、∵，∴，故该选项符合题意；故选：D4．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，直线，被直线所截，，下列条件中可以判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可．【详解】如图所示，根据题意可知，，和是一对同位角，根据同位角相等两直线平行可得，当时，．故选：A．5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平行线的判定方法依次判定即可．本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：A、和是同位角，，则，A选项正确；B、和是对顶角，不能得出，B选项错误；C、和是领补角，不能得出，C选项错误；D、和既不是同位角也不是内错角，不能得出，D选项错误；故选：A．题型二平行线的判定和性质多结论问题（共5小题）6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键．由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断．【详解】解：∵，，即，，所以③正确；∵，∴，∵平分，∴，∴∵，，∴，∵，，∴平分，即①正确；∵平分，∴，∴∴，即②正确；时，，∴，∴，∵，而，，∴，∴．故④错误．综上，正确的结论有①②③，共3个．故选C．7．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，过点作，作平分，作交于点，点是直线上的一点，连接与的关系不可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；过点作，根据平行线的性质，角平分线的定义，分别表示出，分三种情况讨论，根据点的位置．当在和之间时，，即，得出，当在的上方时，当在的下方时，分别求得，，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作∵，∴，∵平分，∴∴∵∴∵，∴∴∵∴设∴当在和之间时，，即∴，当在的上方时，如图所示，同理可得当在的下方时，如图所示，同理可得故选：D．8．（25-26七年级上·四川巴中·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的结论有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了平行线判定与性质、三角板中角度计算问题．若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④．【详解】解：若，则，∴，∵，∴，∴；故①正确；若，则；∴，故②错误；∵，∴，即，∴，故③正确；若，由③得，由①得：，∴，故④正确；即正确的结论有3个．故选：C．9．（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且，平分，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④【答案】C【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．由及，得，从而可判定③；由，得；由及平分，得，再结合，求得，可判定①；由及求得的度数即可判定②；根据现有条件无法判断④；最后可确定答案．【详解】解：∵，，∴，故③正确；∵，∴；∵，∴∵平分，∴，∴；∵，∴，即，∴∴，故①错误；∵，∴，∴，故②正确；∵，∴；∵，但无法得出，∴无法得到因而无法判断④正确；综上，正确的有②③．故选：C．10．（24-25七年级下·四川广元·期末）如图，，点在直线上（点F在点的右侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一点，连接，的平分线与的平分线交于点，且点在直线之间，有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明．【详解】①过点作，如图：∵，∴，∴，，∵，即，∴，故①正确；②∵，平分，平分，∴，，∴，，即，∴，∵，，∴，故②正确；③∵，∴，∴，即，故③正确；④∵，∴，即，∵，，故④不正确．综上，①②③正确，故选：C．题型三利用平行线的性质求角（共5小题）11．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______．【答案】/45度【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案．【详解】解：过点E作，，，，，，，，，．12．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____．【答案】/64度【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质．根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答．【详解】解：，，，，水面与槽底平行，；故答案为：．13．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行．若，则的度数为_____．【答案】/20度【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为．14．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，，，且，则______．【答案】【分析】本题考查三角形内角和，邻补角的性质和平行线的内错角相等性质．作辅助线，构造内错角，再结合得到内错角相等，进而结合三角形内角和求出的度数．【详解】解：如图延长交于点，在中，故答案为1615．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）．【答案】【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键．答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得；答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到，又，从而得到，最后得到．【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时，，∴，∵长方形，∴，，∴，∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置，∴，∵，∴，，在中，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴；答题空2：当点落在下方，且时，由折叠的性质，，∵，∴，∵长方形，∴，，，∴，由折叠的性质，，∴，∵，∴，整理得，．故答案为：，题型四利用平行线的性质求解旋转多解问题（共5小题）16．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为___________．【答案】或或【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：分三种情况：①当时，如图：，②当时，如图：，③当时，过C作，如图，，故答案为或或．17．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒1度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒3度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动，若射线先转动40秒，射线才开始转动，则射线转动__秒后，与平行．【答案】20或80【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解．【详解】解：设转动后与交于点，转动后与交于点，当时，如图1，，，，，，解得；②当时，如图2，，，，，解得，综上所述，射线转动20或80秒，两射线互相平行；故答案为：20或80．18．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图所示，将两个直角三角板的一个顶点重合，其中，，．三角板固定不动，三角板可绕点C转动，当时，的度数为__________．【答案】或【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质并分情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论，根据两直线平行内错角相等，再根据角的和差运算即可得到答案．【详解】解：第一种情况，如图所示，∵，，，∴，∴；第二种情况，如图所示，延长到点，∵，，，∴，，∴；综上，的度数为或．故答案为：或．19．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为________．【答案】秒或秒或秒【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形．根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，情况1，如图，当时，交于点，∵，∴，∴，∴，∴旋转时间（秒）；情况2，如图，当时，的延长线交于点，∵，∴，∴，∴，∴旋转时间（秒）；情况3，如图，当时，∵，∴，∴，∴旋转时间（秒）；综上所述，恰有一边与平行的时间为秒或秒或秒，故答案为秒或秒或秒．20．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知．若保持的一边与平行，则的度数为___________．【答案】或【分析】根据题意，当，，三种情况，结合平行线的性质，折叠的性质解答即可．本题考查了折叠，平行线的性质，角的计算，熟练掌握折叠性质，平行线的性质是解题的关键．【详解】解：∵将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置，∴当时，经过折叠在上，不符题意，当时，则，根据折叠的性质，得；当时，根据折叠的性质，得，过点D作，则，故，，故故答案为：或．题型五网格中作平行线或垂线（共5小题）21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）（1）如图，点、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺完成画图．过点画直线的垂线CD，并标出直线CD所经过的格点及垂足，连接线段；（2）线段_____的长就是点到直线的距离；（3）比较大小：_____（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】（1）见解析（2）（3）【分析】本题主要考查了利用网格作图，垂线段最短，解题的关键是熟练利用网格特征和几何基本性质．（1）利用网格的边长与角度特征，构造直角三角形来作垂线；（2）根据点到直线的距离定义，确定垂线段的长度即为点到直线的距离；（3）根据“垂线段最短”的性质，比较垂线段与斜线段的长度大小．【详解】解：（1）如图，线段即为所求；（2）线段的长就是点到直线的距离，故答案为：；（3）故答案为：．22．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，每个小正方形的边长为1，按下述要求画图，并回答下列问题：(1)过点画出线段的垂线，垂足为点；(2)画出线段的垂直平分线；(3)过点画的平行线，直线和直线的有怎样的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)，见详解【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的性质，线段的垂直平分线，解题的关键是掌握相关知识解决问题．（1）取格点J，作直线交于点D，直线即为所求；（2）取格点E，F，作直线即可；（3）取格点G，作直线即可．【详解】（1）解：如图，直线即为所求；（2）解：如图，直线即为所求；（3）解：如图，直线即为所求．理由：，，，，．23．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，网格线的交点叫格点，格点P是的边上的一点（请利用网格作图，保留作图痕迹，作图痕迹加粗加黑）．(1)过点P画的垂线，交于点C；(2)线段_____的长度是点O到的距离；(3)过点A画的平行线．【答案】(1)图见解析(2)(3)图见解析【分析】本题考查的是作图-复杂作图，熟知垂线段及平行线的作法是解答此题的关键．（1）过点P作，交于点C即可；（2）根据点到直线距离的定义即可得出结论；（3）依据平行线的判定，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，点C即为所求；（2）∵，∴线段的长度是点O到的距离．故答案为：；（3）如图，．24．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，都在格点上．(1)利用网格作图：①过点画直线的平行线；②过点画直线的垂线，垂足为点；(2)点C到直线的距离是线段______的长度；(3)比较大小：______（填、或），理由：____________．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)(3)，垂线段最短【分析】本题考查了作图的应用与设计（1）①根据网格线的特点及平行线的性质作图；②根据网格线的特点及垂线的性质作图；（2）根据点到直线的距离的定义求解；（3）根据“垂线段最短”求解．【详解】（1）解：①即为所求；②即为所求；（2）点到直线的距离是线段的长度；故答案为：；（3），理由为：垂线段最短；故答案为：，垂线段最短．25．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，方格纸中每个小正方形都是1，点A、B、C、E是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．(1)过点E画的垂线，垂足为M；(2)画，使得，；(3)与的数量关系是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或【分析】本题主要考查了利用网格画平行线，垂线，平移的性质，平行线的性质，熟练的作图是解题的关键．（1）根据网格作垂线方法，由点向下平移1格，再向左平移5格到，连接交于，结合网格特点可得；（2）根据平移的性质，由点向右平移2格，再向上平移2格到，连接，再由点向左平移1格，再向上平移5格到，即为所求，由点向左平移2格，再向下平移2格到，连接，也为所求；（3）将向右平移1格到，向右平移1格到，由平行线的性质可得，，．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：如图，或即为所求．（3）解：如图，将向右平移1格到，向右平移1格到，则，∵，，∴，，∴，，，∴或，∴或．故答案为：或．题型六利用余角、补角或垂线求角（共5小题）26．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点O为直线上一点，，，平分．(1)求的度数；(2)若与互余，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，易求，再根据角平分线的定义，可求，最后利用，计算即可；（2）由（1）知，根据余角的定义，可求，从而可得，再根据，计算即可求解．【详解】（1）解：因为点O为直线上一点，所以，因为，所以，因为平分，所以，因为，所以；（2）由（1）知，因为与互余，所以，因为，所以，因为，所以．27．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，与互为补角，，且．(1)求的度数；(2)如图2，若平分，平分，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，以及，即可求解；（2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵与互为补角，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，∴．28．（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，已知有公共顶点的两个角，，且，满足，．(1)若，满足，则，，与的特殊关系是；(2)将图中的绕点逆时针旋转至图时，与是否还具有（1）中的特殊关系？请说明理由；(3)在（1）的条件下，在旋转过程中，当与互余时，请直接写出的度数．【答案】(1)；；互补(2)与仍互补，理由见解析(3)或【分析】本题考查了角度的和差计算，互补、互余的定义，非负数的性质，分类讨论的思想．（1）先由非负数的性质得出，，进而得，再由圆周角的性质得，再根据互补的定义即可得出结论；（2）分别用，表示出与，再将两角相加，即可得出结论；（3）根据和是否在内部分情况讨论，分别画出图形，结合（1）中条件，求解即可．【详解】（1）解：∵，∴且，∴，，∴，，∴，∴，∴与的特殊关系是互补．（2）解：仍具有．理由如下：将图1中的绕点逆时针旋转至图2时，有，，∵，∴，即将图1中的绕点逆时针旋转至图2时，与的特殊关系是互补；（3）解：在（1）的条件下，，，当和都在外部时，如图1，此时，不可能与互余；当和都在外部时，如图，此时，不可能与互余；当和都在内部时，如图，∴，不满足与互余；当在内部，在外部时，如图，∴，，∵与互余，∴，即，∴，∴；当在外部，在内部时，如图，∴，，∵与互余，∴，即，∴，∴；综上所述，的度数为或．29．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部．(1)如图①，当时，求与的度数和；(2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角；(3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键．（1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可；（2）根据补角的定义解答即可；（3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可．【详解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴与互补的角有；（3）解：，理由如下：∵平分，∴，∴，∴．30．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，射线是钝角内部的一条射线，射线平分．(1)若和互余，，求的大小；(2)射线在的内部，且满足，①若，探究与的数量关系；②若，射线在的内部，且，判断是哪个角的平分线？并说明理由．【答案】(1)(2)①或；②是的平分线，理由见解析【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线定义，是解题的关键．（1）根据角平分线定义求出，根据余角定义得出，再求出结果即可；（2）①分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别画出图形，求出结果即可；②设，则，根据角平分线的定义求得，推出，根据，得出，求出，据此求解即可判断．【详解】（1）解：∵射线平分，，∴，∵和互余，∴，∴；（2）解：①或；当在左侧时，如图所示：∵射线平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；当在右侧时，如图所示：∵射线平分，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；综上，或；②是的平分线．理由如下：∵，∴在左侧，如图所示：设，则，，是的平分线，，，∵，∴，，，，是的平分线．题型七平行线的性质和判定的综合问题（共5小题）31．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，，与交于点．(1)若，求的度数；(2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等；（1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解；（2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证；掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，理由如下：，，，，，由（1）可知，，，．32．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点F在上，．(1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，试说明．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键．（1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得；（2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论．【详解】（1）解：如图，线段就是所求作的线段；（2）解：，，，由（1）得，，，．33．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图，中，平分，交于点，，交于点，点在上，连接．(1)若，求的大小；(2)若，试判断和的大小关系并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（）根据平行线的性质即可求解；（）由平行线的性质可得，，，即得，进而由角平分线的定义得，即可求证；本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，（2）解：，理由如下：∵，∴，，∵，∴，∴，又∵平分，∴，∴．34．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键．（1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出；（2）由和推出，再结合求出．【详解】（1）证明：，，，．（2）解：，，，，，．35．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，、的两边分别平行．(1)在图1中，与的数量关系是；(2)在图2中，与的数量关系是；(3)用一句话归纳的结论为．请选择（1）（2）中的一种情况说明理由．(4)应用：若两个角的两边两两互相平行，其中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数．【答案】(1)(2)(3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补(4)这两个角的度数为，或，．【分析】本题考查了平行线的性质以及角度关系的推理和计算，掌握平行线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系；（2）根据平行线的性质即可推导出两个角的数量关系；（3）根据（1）（2）的数量关系即可得出结论；（4）根据（3）的结论，建立方程即可求解．【详解】（1）解：如图，，，，，，故答案为：；（2）解：如图，，，，，，故答案为：；（3）解：用一句话归纳的结论为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故答案为：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4）解：设另一个角为，则这个角为，当这两个角相等时，，解得：，∴这两个角的度数为，；当这两个角互补时，解得：，∴这两个角的度数为，；综上所述：这两个角的度数为，或，．题型八利用平行线的判定与性质求解拐角问题（共5小题）36．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．(1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数；(2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．（1）直接根据平行线的性质求解即可；（2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：，，，∴，，∴，（2）解：由题意可得：，，如图：过E点作，，∴，∴，∴，∵，∴，即与所成锐角的度数．37．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，．(1)如图，若点在直线，之间，求证：．(2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数．(3)如图，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）过点作，可得，通过平行线的性质结合即可证明；（2）利用（1）的结论有，再由角平分线的性质得，，求得；过点作，可得，通过平行线的性质结合即可求解；（3）过点作，可得，通过平行线的性质结合等量代换可得；过点作，可得，由平行线的性质结合角平分线的性质可得，等量代换即可得解．【详解】（1）证明：如图，过点作，，，，；，；（2）解：由（1）知：，，，平分，平分，，，；如图，过点作，，，，，；（3）解：如图，过点作，，，，，；过点作，，，，，；平分，平分，，；．38．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，．(1)如图1，若，直接写出的度数；(2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示(3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)或【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；（2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；（3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：过点作，∵，∴，∴，，∴；∵，∴；（2）解：过点作，∵，∴，∴，由（1）知：，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴；（3）解：过点作，∵，∴，∴，，∵平分，∴，∵是的三等分线，分两种情况：①当时，如图所示：∵，∴，∵，∴，∵，又由（1）知：，∴，∴，∴；②当时，如图所示：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；综上：或．39．（25-26七年级上·江苏南京·期末）解决问题(1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小；(2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小；(3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则；（用，，的代数式表示）(4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论．【答案】(1)(2)(3)(4)见解析【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式，（1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出；（2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出；（3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得；（4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半．【详解】（1）解：作，∴，∵，∴，∴，∵平分平分，∴，∴；（2）解：如图所示，作，则，∴，，∴，设，∴，即，整理得，，∴，∴；（3）解：由平行线性质及角平分线定义，，如图所示，作，则，∴，∴，∴，∵，∴；（4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P，结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半．例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致．40．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究如图，，点P，Q为直线，上两定点，．(1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为；(2)若平分，平分，．①如图2，点N在左侧时，求的角度；②如图3，点N在右侧，求的角度；(3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则．（直接写出结果）【答案】(1)(2)①；②；(3)【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解；（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得；（3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解．【详解】（1）解：如图，过点作，，，，，，，故答案为：；（2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，，平分，平分，，，，；②如图，点在右侧时，过点作，则，，，，，，平分，平分，，，；（3）解：依题意由（2）②可知，，，，由（2）①可知，；同理可得，……，∴，故答案为：．题型九利用平行线的判定与性质探究角度之间的关系（共5小题）41．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，点、、在同一条直线上，点是一个动点，，连接、．(1)当点在线段上固定时，若，则的度数是___________；(2)当点在线段上运动时，试探究、和之间的数量关系；(3)当点不在线段上时，（2）中结论是否会发生改变？若改变，请写出它们之间新的数量关系；若不变，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)改变，或【分析】本题考查利用平行线的性质探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键：（1）过点作，进而得到，利用平行线的性质，得到，即可得出结果；（2）同（1）法即可得出结果；（3）分点在线段的延长线上以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：过点作，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）过点作，∵，∴，∴，∴；（3）会发生改变；①当点在线段的延长线上时，作，则：，∴，∴；②当点在线段的延长线上时，作，则：，∴，∴；综上：或．42．（25-26七年级上·福建漳州·期末）在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下：【探究一】如图①，已知，测得，求的度数；【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由；【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数．【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】．【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键．【探究一】根据平行线的性质即可得答案；【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案；（3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案．【详解】解：[探究一]∵，，∴，∵，∴，∵，∴．[探究二]如图，过点作，过点作，∵，∴，∴，，，∴，即，∴[探究三]如图，过点作，交于，，∴，，，，∵、的角平分线并相交于点，∴，，由（2）可知，，∴，∴，∴．43．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，，，点P是射线上一动点（与点A不重合），分别平分和，分别与射线交于点C，D．(1)______．(2)点P运动的过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请写出数量关系并说明理由；若变化，请写出变化规律．(3)若点P运动到某处时恰有，判断此时的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)数量关系不变，，理由见解析(3)直角三角形；理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与角平分线的定义是解题的关键．（1）根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得到，则可得到，据此可得答案；（2）根据平行线的性质可得，，则由角平分线的定义可得，据此可得结论；（3）由平行线的性质和已知条件可得，则可证明，则由角平分线的定义可得．求出，据此可得结论．【详解】（1）解：，．，．又平分，平分，．又，；故答案为；（2）解：数量关系不变，，理由如下：，，，平分，，；（3）解：是直角三角形，理由如下：，，．，∴，即．分别平分和，，．．，，．．，故是直角三角形．44．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【实验探究】在平面内，平行线的性质与角平分线的结合会产生丰富的角度关系．现有实验器材：直尺（用于画平行线）、量角器、铅笔、白纸．如图，直线的角平分线交于点．探究（1）初步观察与推理用量角器测量和的度数，你发现这两个角相等吗？请说明理由．探究（2）角度倍数关系的计算若测量得，请结合平行线的性质，求出的度数．探究（3）动点角度的分析点为射线上一点，连接．若测，且，求的度数．【答案】（1）与相等，理由见解析；（2）；（3）或【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．（1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论；（2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数；（3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明，，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案．【详解】（1）解：与相等，理由如下：∵是的平分线，∴，∵，∴，∴；（2）解：设，∴，由（1）可知：，∴，∵，∴，∵，∴，即，解得：，∴；（3）解：设，∵，∴，∵点Q为射线上一点，∴有以下两种情况：①当点Q在线段上时，如图1所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，解得：，即；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交于R，如图2所示：∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴，综上所述：的度数为或．45．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，已知，，连接．【问题提出】（1）如图1，点E、F在线段上，连接，，平分，平分，若，求的度数；【问题初探】（2）如图2，点E在线段上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由；【类比探究】（3）如图3，点E在的延长线上，连接，且，请探究与之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义，可得，，从而可求得答案；（2）设，根据可得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案；（3）设，可求得，，再根据平行线的性质，求得，，即可得到答案．【详解】解：（1），，平分，平分∠DAE，，，；（2）与之间的数量关系是：；理由如下：设，，，，，，，；（3）与之间的数量关系是：．理由如下：设，，，，，，，．题型十利用平行线的判定与性质解决三角尺问题（共5小题）46．（25-26七年级上·重庆·期末）如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点．(1)求证：；(2)试判别和的大小关系，并说明理由；(3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值．【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析；(3)或．【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解；（2）先通过运算角得出和，再比较即可求解；（3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可．【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线，∴，．∵，∴，，，，，∴．（2）∵直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴．∵由（1）得，即，∴，∴，∴．∴．（3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，∴设，，∵射线旋转一周时，全部停止运动，∴，∴，∴．∵由（1）得，且，∴．∴，∴，，∵、分别为、的角平分线，∴，，∴，．∵，∴，．①如图，，即，，，即，∴∵直角三角形，∴，∴．∵，∴∴，，，；②如图，，即，，，即，∴，∵直角三角形，∴，∴．∵，∴∴，，，（舍）；③如图，，即，，，即，∴，∵直角三角形，∴，∴．∵，∴∴，，，（舍）；④如图，，即，，，即，∴，∵直角三角形，∴，∴．∵，∴∴，，，；综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的定义、几何中角度的运算、平行的性质、解一元一次方程等，具有分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键．47．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论．小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究：三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上．【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且．（1）当与平行时，则的值为________；（2）当与平行时，求的值；【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】操作一：（1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解；（2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解；操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，①当与反向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值；②当与同向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值．【详解】操作一：（1）解：∵，，∴．∴，∵，，∴，由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即．∴，解得；（2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得．∵，∴，，∵，∴∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．又∵绕点逆时针旋转的角度为，即，∴，解得．操作二：解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则．∵，∴．又∵，∴．∵，∴．∵，∴